Một số nguyên lý và kỹ thuật để giải các bài toán tổ hợp (Luận văn thạc sĩ)

76 232 0
Một số nguyên lý và kỹ thuật để giải các bài toán tổ hợp (Luận văn thạc sĩ)

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Một số nguyên lý và kỹ thuật để giải các bài toán tổ hợp (Luận văn thạc sĩ)Một số nguyên lý và kỹ thuật để giải các bài toán tổ hợp (Luận văn thạc sĩ)Một số nguyên lý và kỹ thuật để giải các bài toán tổ hợp (Luận văn thạc sĩ)Một số nguyên lý và kỹ thuật để giải các bài toán tổ hợp (Luận văn thạc sĩ)Một số nguyên lý và kỹ thuật để giải các bài toán tổ hợp (Luận văn thạc sĩ)Một số nguyên lý và kỹ thuật để giải các bài toán tổ hợp (Luận văn thạc sĩ)Một số nguyên lý và kỹ thuật để giải các bài toán tổ hợp (Luận văn thạc sĩ)Một số nguyên lý và kỹ thuật để giải các bài toán tổ hợp (Luận văn thạc sĩ)Một số nguyên lý và kỹ thuật để giải các bài toán tổ hợp (Luận văn thạc sĩ)Một số nguyên lý và kỹ thuật để giải các bài toán tổ hợp (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ MINH PHƯƠNG MỘT SỐ NGUYÊN KỸ THUẬT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠCTOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ MINH PHƯƠNG MỘT SỐ NGUYÊN KỸ THUẬT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠCTOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH Đặng Hùng Thắng Thái Nguyên - 2017 i Mục lục Danh sách kí hiệu ii Mở đầu Chương Hệ số nhị thức hệ số đa thức 1.1 1.2 1.3 Hệ số nhị thức tính chất 1.1.1 Định nhị thức 1.1.2 Các đồng thức tổ hợp 1.1.3 Tam giác Pascal 11 1.1.4 Đồng thức Chu Shih-Chieh 13 1.1.5 Một số tính chất hệ số nhị thức 19 Hệ số đa thức tính chất 22 1.2.1 Hệ số đa thức 22 1.2.2 Định đa thức 24 Một số toán vận dụng 28 Chương Nguyên Dirrichlet, nguyên bao hàm – loại trừ, hàm sinh 38 2.1 Nguyên Dirichlet 38 2.2 Nguyên bao hàm – loại trừ 40 2.3 Hàm sinh quan hệ truy hồi 44 2.3.1 Các hàm sinh thông thường 44 2.3.2 Phân hoạch nguyên 54 Các toán áp dụng 60 2.4 Kết luận 73 Tài liệu tham khảo 74 ii Danh sách kí hiệu Z tập hợp số nguyên N tập hợp số tự nhiên n! n giai thừa, xác định n! = · · · · · n n r Cnr số tổ hợp chập r n phần tử deg P(x) bậc đa thức P(x) a ≡ b (mod p) a đồng dư với b theo modulo p gcd(a, b) ước chung lớn hai số nguyên a b a|b a ước b a b a ước b x m ∑ i=1 m ∏ bi phần nguyên x hiệu tổng a1 + a2 + · · · + am hiệu tích b1 b2 · · · bm i=1 P(X) tập tất tập tập hợp X |A| số phần tử tập hợp A Mở đầu Trong nhiều năm tổ hợp chuyên đề lớn học viên chuyên ngành toán cấp Các nguyên tắc kĩ thuật tổ hợp ngày có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác, đặc biệt khoa học máy tính Nhận thức vai trò thuyết tổ hợp đời sống đại nên thuyết tổ hợp đưa vào chương trình học phổ thơng chiếm phần kì thi tốn quốc gia quốc tế Trong chương trình bậc đại học cao học, học viên chưa có điều kiện làm quen nghiên cứu nguyên thuật đại số tổ hợp có khơng nhiều không sâu Mặt khác, nước ta tài liệu tổ hợp chưa nhiều Mục tiêu đề tài luận văn tìm hiểu số nguyên kỹ thuật để giải toán tổ hợp nâng cao như: Nguyên Dirrichlet Nguyên bao hàm loại trừ, kỹ thuật sử dụng hệ số nhị thức, hệ số đa thức, quan hệ truy hồì phương pháp hàm sinh Về mặt ứng dụng, luận văn áp dụng thuyết để soi sáng tốn tổ hợp phổ thơng, phân loại hệ thống hoá (theo dạng phương pháp giải) tập nâng cao tổ hợp sáng tác toán tổ hợp Tác giả cố gắng phấn đấu để luận văn cung cấp thêm tài liệu tham khảo tốt tổ hợp cho học sinh phổ thông, đặc biệt dành cho em học sinh có khiếu mơn tốn Tác giả hy vọng luận văn đáp ứng phần lòng u thích khám phá tốn học em học sinh đồng thời tài liệu hữu ích để bạn đồng nghiệp tham khảo Ngồi thơng qua việc viết luận văn, tác giả có hội mở rộng nâng cao hiểu biết tốn cấp nói chung tổ hợp nói riêng, nâng cao kỹ giải toán tổ hợp, phục vụ tốt cho việc giảng dạy mơn tốn trường phổ thông Nội dung luận văn trình bày hai chương: Chương Hệ số nhị thức hệ số đa thức Trong chương chúng tơi trình bày định lí hệ số nhị thức, hệ số đa thức Các tính chất hệ số nhị thức hệ số đa thức số ví dụ vận dụng giải toán tổ hợp Chương Nguyên Dirrichlet Nguyên bao hàm – loại trừ hàm sinh Trong chương chúng tơi trình bày ngun bản, nguyên Dirichlet, nguyên bao hàm – loại trừ hàm sinh Một số ví dụ toán áp dụng nguyên Trong thời gian học tập hoàn thành luận văn, nhận hướng dẫn GS TSKH Đặng Hùng Thắng (Trường ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội) Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán–Tin, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu Cuối cùng, tác giả muốn dành lời cảm ơn đặc biệt đến gia đình động viên chia sẻ khó khăn để tác giả hoàn thành tốt luận văn Thái Nguyên, ngày 04 tháng 11 năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Minh Phương Chương Hệ số nhị thức hệ số đa thức 1.1 Hệ số nhị thức tính chất 1.1.1 Định nhị thức Trong phần này, chúng tơi trình bày định nhị thức, tính chất hệ số nhị thức ứng dụng toán tổ hợp Chúng ta bắt đầu với dạng đơn giản sau Định nhị thức phát Isaac Newton (1646-1727) năm 1676 Định lí 1.1.1 Với số nguyên n ≥ 0, ta có n n n n−1 n n n x + x y+···+ xyn−1 + y n−1 n n n n−r r x y =∑ r r=0 (x + y)n = Chứng minh thứ - Quy nạp toán học Với n = 0, kết tầm thường (x + y)0 = = 0 x0 y0 Giả sử xảy n = k với số nguyên k ≥ đó, k (x + y)k = ∑ r=0 k k−r r x y r Xét n = k + Quan sát thấy (x + y)k+1 = (x + y)(x + y)k k = (x + y) ∑ r=0 k = ∑ r=0 = k k−r r x y r (bởi giả thiết quy nạp) k k+1−r r k k k−r r+1 x y ∑ x y r r=0 r k k+1 k k k k−1 k x + x y+ x y +···+ xyk k + k k k k−1 k k k+1 x y+ x y +···+ xyk + y k−1 k Áp dụng (??) kết tầm thường, k k+1 =1=1 0 k k+1 =1= , k k+1 ta có (x + y)k+1 = k + k+1 k+1 k k+1 k + k+1 x + x y+···+ xyk + y , k k+1 điều ta cần Phép chứng minh hoàn thành nguyên quy nạp toán học Chứng minh thứ hai - Phương pháp tổ hợp Đủ để chứng minh hệ số xn−r yr khai triển (x + y)n n r Để khai triển tích (x + y)n = (x + y)(x + y) · · · (x + y), n ta chọn hai x y từ nhân tử (x + y) sau nhân chúng với Như vậy, để tạo thành xn−r yr , trước hết ta chọn r n nhân tử (x + y) sau chọn “y” từ r nhân tử chọn (và tất nhiên chọn “x” từ phần lại (n − r) nhân tử) Bước thực theo cách Do đó, số cách để tạo thành xn−r yr 1.1.2 n r n r cách cách thứ hai Các đồng thức tổ hợp Định nhị thức kết tốn học có nhiều ứng dụng Trong phần này, thấy Định 1.1.1 sinh cách dễ dàng nhiều tính chất thú vị liên quan đến hệ số nhị thức Để đơn giản so sánh, số cách chứng minh khác tính chất đưa Ví dụ 1.1.2 Chứng minh với số nguyên n ≥ 0, ta có n ∑ r=0 n n n n = + +···+ = 2n r n (1.1) Chứng minh thứ Cho x = y = Định 1.1.1, ta có n ∑ r=0 n = (1 + 1)n = 2n r điều kết thúc phép chứng minh Chứng minh thứ hai Cho X tập hợp có n phần tử P(X) tập hợp tất tập hợp X Ta đếm lực lượng |P(X)| theo hai cách Với r = 0, 1, , n, số tập có r phần tử X n r theo định nghĩa Do |P(X)| = n n n + +···+ n Mặt khác, ta có |P(X)| = 2n Do đó, ta có điều cần chứng minh Ví dụ 1.1.3 Chứng minh với số nguyên n ≥ 1, ta có n • ∑ (−1)r r=0 n = r n n n n = 0, − + − · · · + (−1)n n n n n + +···+ +··· = 2k n n n = + +···+ + · · · = 2n−1 2k + = • (1.2) (1.3) Chứng minh Cho x = y = −1 Định 1.1.1, ta nhận n ∑ r=0 n (−1)r = (1 − 1)n = 0, r mà đồng thức thứ Đồng thức thứ hai thu từ đồng thức thứ đồng thức (1.1) Nhận xét 1.1.4 Một tập A tập X khác rỗng gọi tập hợp chẵn phần tử (tương ứng lẻ phần tử) tập X |A| chẵn, tương ứng lẻ Đồng thức (1.3) nói rằng, cho trước tập n phần tử X, số tập chẵn phần tử số tập lẻ phần tử X Ví dụ 1.1.5 Chứng minh với số n ∈ N, ta có n ∑r r=1 n n n n n = +2 +3 +···+n = n · 2n−1 r n (1.4) Chứng minh thứ Cho x = Định 1.1.1 cho ta n (1 + y)n = ∑ r=0 n r y r Đạo hàm hai vế đồng thức theo biến y ta có n n(1 + y)n−1 = ∑r r=1 n r−1 y r Cuối cùng, cách đặt y = 1, ta có n n = n(1 + 1)n−1 = n · 2n−1 r ∑r r=1 Ta có điều cần chứng minh Chứng minh thứ hai Đồng thức n n n−1 = r r r−1 viết lại thành r với điều kiện r ≥ n n−1 =n r r−1 Do n n n n−1 n n−1 ∑ r r = ∑ n r−1 = n ∑ r−1 r=1 r=1 r=1 n−1 =n∑ s=0 n−1 (cho s = r − 1) s = n · 2n−1 (bởi (1.1)) Ta có điều phải chứng minh Nhận xét 1.1.6 Mở rộng kỹ thuật sử dụng hai chứng minh trên, người ta chứng minh n ∑ r2 n = n(n + 1)2n−2 , r ∑ r3 n = n2 (n + 3)2n−3 r r=1 n r=1 ... kĩ thuật đại số tổ hợp có không nhiều không sâu Mặt khác, nước ta tài liệu tổ hợp chưa nhiều Mục tiêu đề tài luận văn tìm hiểu số nguyên lý kỹ thuật để giải toán tổ hợp nâng cao như: Nguyên lý. .. HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ MINH PHƯƠNG MỘT SỐ NGUYÊN LÝ VÀ KỸ THUẬT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60 46... tơi trình bày định lí hệ số nhị thức, hệ số đa thức Các tính chất hệ số nhị thức hệ số đa thức số ví dụ vận dụng giải toán tổ hợp Chương Nguyên lý Dirrichlet Nguyên lý bao hàm – loại trừ hàm

Ngày đăng: 22/01/2018, 17:02

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan