Dạy học giải toán chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cho học sinh Trung học phổ thông (Luận văn thạc sĩ)Dạy học giải toán chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cho học sinh Trung học phổ thông (Luận văn thạc sĩ)Dạy học giải toán chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cho học sinh Trung học phổ thông (Luận văn thạc sĩ)Dạy học giải toán chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cho học sinh Trung học phổ thông (Luận văn thạc sĩ)Dạy học giải toán chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cho học sinh Trung học phổ thông (Luận văn thạc sĩ)Dạy học giải toán chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cho học sinh Trung học phổ thông (Luận văn thạc sĩ)Dạy học giải toán chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cho học sinh Trung học phổ thông (Luận văn thạc sĩ)Dạy học giải toán chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cho học sinh Trung học phổ thông (Luận văn thạc sĩ)Dạy học giải toán chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cho học sinh Trung học phổ thông (Luận văn thạc sĩ)Dạy học giải toán chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cho học sinh Trung học phổ thông (Luận văn thạc sĩ)Dạy học giải toán chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cho học sinh Trung học phổ thông (Luận văn thạc sĩ)
Trang 1CHO HQC SINH TRUNG HQC PHO THONG
LUAN VAN THAC Si KHOA HOC GIAO DUC
THAI NGUYEN - 2017
Trang 2
DAI HOC THAI NGUYEN TRUONG DAI HQC SU PHAM
NGUYÊN NGỌC HOA
DẠY HỌC GIẢI TOÁN CHỦ ĐÈ
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MAT PHANG CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỎ THÔNG
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Trung
THÁI NGUYÊN - 2017
Trang 3LOI CAM DOAN
Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu riêng của tôi Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017
Tác giả luận văn
Nguyễn Ngọc Hoa
Trang 4LOI CAM ON
Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới PGS.TS Trần Trung đã tận tình
hướng dẫn em hoàn thành luận văn này
Em xin trân trọng cảm ơn:
- Phòng đào tạo sau đại học trường ĐHSP Thái Nguyên, Khoa Toán trường
ĐHSP Thái Nguyên
- Các thầy cô giáo ở trường ĐHSP Thái Nguyên đã hướng dẫn em học tập trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu
- Bạn bè và gia đình đã động viên em trong suốt quá trình học tập và làm luận văn
Dù đã rất có gắng nhưng luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, em mong nhận được sự góp ý chân thành của quý thầy, cô giáo và các bạn
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017
Tác giả luận văn
Nguyễn Ngọc Hoa
il
Trang 5MUC LUC
lLÒÏ CA11/QBTs2605151530323615105861313513353513305438585453043355013433551380839158SG8 1381165104825 s0 1 LỚI Gỗ 11:Ợ cv sngsit0ES1LDRGSEDDRGSSIEEINSSSESSSESSESEISESXESSISSEXSSSESSSSESSESSSSESSSSESSYESO.S158544481308066 il
MUC TUC oo eeceececcesseccesscccessseccesseccesssecesssecesseccesseecessecesssececsueesesssecessseceesstesestuesessseeeees iil
Danh mục các chữ viết viết tắt 00:00 0 iv ID2anh TriG Gác DẪN ssoii:zssvs6i319572401166046508)394429863614858V35603539S5835830804SE38SM4A398.3614638955633V238g8Ẻ V IDanh mục cáo TH sec eeseseisneoioseitsoEEEHDEEEEIGEIGBISEEEEENINSEEEBNISEITRRSSRSIESRSSS12ESEtsesevl vi
U96 1
1 Lý do chọn đề tài - 22c 2+2 x2 122112112211111111111111111111 11111111 cree 1
2 Muc dich nghién cttu weed
3 Đối tượng và khách thể nghiên cứu weal
5 Nhiệm vụ nghiên cứu wed
6 Phương pháp nghiên cứu - wed
7 Đóng góp của luận văn, kết qua dat duoc wd
8 Cấu trúc của lUẬN:VĂH:::srr:ecarzzaaazzaauaangage wad
1.1 Tổng quan lịch sử nghiên cứu vấn đề wed 1.1.1 Lịch sử nghiên cứu năng lực toán học wed 1.1.2 Lịch sử hình thành Phương pháp tọa độ iD 1.2 Dạy học giải toán MMA REI RENEE 53 6 1,2,1 VỊ trí chức năng của bài tẬp LOAN csssssssvecvecessecvennsvosserossecssonsvesvoncsserseonsevsvevenvonses 6
1.2.2 Phân loại bài tẬp toán - - - - 6 6 +11 11 112v nh TH nhà nh nh nh nàn 9
1.2.3 Phương pháp tìm lời giải các bài toán - ¿+ +s+ xe s+rvreeerrerrrrrrrree 10 1.2.4 Các yêu cầu của việc giải bài toán . -2¿ Set 22k 2212221211211 22c, 13 1:3: Năng lực và năng lực tOán hỌC sss6ssss6s0i1100601810446145103615811316438133164183516)333568543885 14
1.3.2 Năng lực toán hỌC - -.- ch nH TH HH nh HH TT Hàn TT Hàn nh Hành 15 1.4 Năng lực giải toán của học sinh -¿- ¿+ + +k kh nh nh ngư 16
1H
Trang 61.4.1 Quan niém vé nang luc gidi tod oes esse eesseessesssessessesssesseessessessesseeesens 1.4.2 Một số thành tố năng lực giải toán của học sinh -«ss++scscssxeses
1.4.3 Các yêu tố ảnh hưởng đến năng lực giải toán của học sinh -
1.5 Thực trạng bồi đưỡng năng lực giải toán trong dạy học giải toán cho học sinh
ở trường Trung học phổ thông hiện nayy 2 22- 52 522S+2CE+2Ex++rxeerxeerxeerxeee 1.6 Kết luận chương . 2-2-2 2EE22EE2EEEEE2211271127122712111211121122111211 1
Chương 2: CÁC BIỆN PHÁP SƯ PHẠM BÒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN TRONG DẠY HỌC GIẢI TOÁN CHỦ ĐÈ PHƯƠNG PHÁP TỌA
ĐỘ TRONG MẶT PHÁNG CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHÓ THÔNG
2.1 Khái quát chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở trường Trung học phổ thôngg 2 2 ©S+2+EE22EE2EE2E1227112711271127112711271171111111211.1.11.1111 1e 2.1.1 Vi trí và mục tiêu dạy học nội dung chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở trường Trung học phô thông -¿- + ++22++22E++2EE++zrxxzrxrrrrrrree 2.1.2 Yêu cầu về kiến thức, kỹ năng của chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng trong chương trình môn Toán Trung học phổ thông . - 2.1.3 Nội dung chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở trường Trung học phô thôngg -: ©2¿©©22+EE22EE22EE22E1227112711271127112711211111111111111211.11.1111 1e 2.1.4 Đặc điểm dạy học chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở trường Trung học phổ thông 2: 2¿+¿+SE£2EE£SEE2EE+SEE22EE2EEE2221122112711271227122212221 21 c0, 2.2 Định hướng đề xuất các biện pháp sư phạm bồi dưỡng năng lực giải toán trong dạy học giải toán chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 2.3 Các biện pháp sư phạm bồi dưỡng năng lực giải toán trong dạy học giải toán chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng .: - 2 ©++z©+++czxeetzxcee 2.3.1 Biện pháp 1: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng thực hiện lược đồ G.Polya trong giải toán các bài toán về tọa độ trong mặt phăng 2 2csz+cze+cseee 2.3.2 Biện pháp 2: Rèn luyện cho học sinh giải toán các bài toán tọa độ trong mặt phẳng bằng nhiều cách khác nhau . -2:2¿©22©+++22+++2zx++2xx++tzxzrxreee 2.3.3 Biện pháp 3: Bồi dưỡng cho học sinh khả năng chuyền đổi các bài toán đại
số sang bài toán tọa độ trong mặt phẳng thông qua hoạt động biến đổi đối tượng
dé nhận thức mối liên hệ ân chứa trong bài toán -¿ ¿c++c++rxczrxrzrxerrxeee
Trang 72.3.4 Biện pháp 4: Rèn luyện kỹ năng tọa độ hóa dé giải các bài toàn hinh hoc 85
3.0, TOchite thyemphi@in scssssensssvncsasansncweaveinenannasenrteaiencseciereciees 95
3.2.1 Đối tượng và địa bàn thực nghiỆm sess ccsssaescesssseccavsseeceessvesccxsvarscannaaceceesensnczeons 95
3.2.2 Kế hoạch thực nghiệm -2- 22 22+©+E+2+E+2EEE2EE221127112711271227122712 2212 xe 95 3.2.3 Đề kiểm tra thực nghiệm 2-22 ©+2©++2EE£EEE92112711171127112711 71.21 Lee 96
3.4 Kết luận chương 3 MEER 98
TAI LIEU THAM KHAO 00 cccccssccsssssssssssessssseessssscsssssesssssesssssecsesseceesseesesseesessees 100
PHU LUC
Trang 8DANH MUC CAC CHU VIET TAT TRONG LUAN VAN
:Dự kiến câu trả lời của học sinh
: Câu hỏi gợi ý của giáo viên : Day hoc
: Gido vién : Hoạt động : Học sinh : Phương pháp tọa độ : Phương trình tổng quát : Trung học phô thông : Trang
: vec-to chi phuong : vec-tơ pháp tuyến
IV
Trang 9DANH MUC BANG
Bang 1.1: Bang khao sat thyrc trang DH ia tod eee eee eeeeeeernetseeeeeetseeeenees
Bảng 3.1: Bảng phân phối tần suất điểm của bài kiểm tra . -:-5:
Bảng 3.2: Bảng phân phối tần suất điểm tính theo % -2¿22<+©cxsccxceee
Trang 10DANH MUC CAC HINH
Minh: 1) siscsesrnnnasennnrnmnmnar amma 19 HH: Ì,2::s:ssx:2xsgy2zsy6c65655008110/80010615009960X235103001013009/014001140191834013163614 1835:0360 21 Hình l.3 CS 1111 111119111 HH HT HT HH, 23
Hình 2:Í ;sssesssioiosiioiggrorotitioioitililiiikdliVGil504S616338336183355833533338514304885143188829/3Y88306531030 43 Hình 2.2: ‹‹:.¿::::s::sxcc2sx6621561601221011 001 0015361881618516L9513136856514A046SE3E15E551314E38L10146134011485806/G018 E10 43 FIN 2.3 svscssvesessecsssnsussvenosvocneonssveveseavouseseanvenennsvonyeressecssonsvesvonepeoeseonssvesevearenesarreprenneved! 43 Hình 2.4 St ng HH HH HH HH HH HH HH hi Hình 2.5
Trang 11Hình 2.25 - 12.1111 119121111 12111 HH HH HH HH HH TH HH, 76
Hinh 2:27 :cscscxssnsniciiibtiti10310036118133836313234166034613504164830050018415184433363301536135143838635383iaX61 77 Hin 2.28 -ssssssceysssersnavesnswnnsonsvenrsvevecensenssennsvsavsnsvenenvaysvsrsnavenisennsonavennsvesecosnnenernsenevcnneds 78 Hình 2.20 S112 4111 9121111 121g HH HH TT HT TT, 78
Hình 2S Í ¿ss:zsgiicci6v5566616666166166ã3560533486605583603964886633.948688533888:38SRg6143948g311318844613V884865311884 82
Hình 2,32 ‹:.¿z: s21 6082106 n05 015511850184 15610153 3685584 41XEE1SEGES5551408 8010 S115V01148880410015 014 86
Trang 12MO DAU
1 Lý do chọn đề tài
Giáo dục Việt Nam đang tiến hành đổi mới căn bản, toàn diện từ mục tiêu giáo
dục, nội dung đến phương pháp, phương tiện DH Nâng cao chất lượng DH nói chung, chất lượng DH môn Toán nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành giáo dục nước ta hiện nay GV phải thiết kế các HĐ, tổ chức DH một cách thuận lợi đồng thời giúp HS nắm bắt, vận dụng được kiến thức trong thời gian ngắn nhất vào thực tiễn một cách có hiệu quả và do vậy đặt ra những yêu cầu cấp thiết trong việc nâng cao chất lượng và hiệu quả giảng dạy Trong đó phương pháp giảng
dạy là một trong những yếu tố quyết định để GV và HS hoàn thành nhiệm vụ dạy và
học của mình, nhằm đáp ứng những thay đổi nhanh chóng của khoa học, công nghệ, truyền thông
Toán học có liên quan chặt chẽ với thực tế và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội hiện đại, nó thúc đây mạnh mẽ các quá trình tự động hóa sản xuat, trở thành công cụ thiết yếu cho
mọi ngành khoa học và được coi là chìa khóa của sự phát triển DH giải toán có vai
trò quan trọng trong việc phát triển khả năng tư duy của HS, vì để giải bài toán HS phải suy luận phải tư duy, phải liên hệ với các bài toán khác để tìm ra lời giải; phải
biết huy động kiến thức, biết chuyển đổi ngôn ngữ, biến đổi đối tượng Mối liên hệ,
dấu hiệu trong bài toán chỉ có thê được phát hiện thông qua quá trình phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, so sánh Nguồn gốc sức mạnh của Toán học là ở tính chất trừu tượng cao độ của nó Nhờ trừu tượng hoá mà Toán học đi sâu vào bản chất của nhiều
sự vật, hiện tượng và có ứng dụng rộng rãi Nhờ có khái quát hoá, xét tương tự mà khả năng suy đoán và tưởng tượng của HS được phát triển, và có những suy đoán có thể rất táo bạo, có căn cứ dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm qua việc rèn luyện các thao tác tư duy Cũng qua thao tác khái quát hoá và trừu tượng hoá mà tư duy độc lập,
tư duy sáng tạo, tư duy phê phán của HS cũng được hình thành và phát triển Bởi qua các thao tác tư duy đó HS tự mình phát hiện van dé, tự mình xác định được phương hướng, tìm ra cách giải quyết và cũng tự mình kiểm tra, hoàn thiện kết quả đạt được của bản thân cũng như những ý nghĩ và tư tưởng của người khác Một mặt các em cũng phát hiện ra được những vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới
Trang 13Bài tập toán học là một công cu cần thiết giúp HS thực hiện các HĐ toán học trong và ngoài giờ lên lớp Đã có nhiều công trình nghiên cứu các chức năng của bài tập toán Trong các chức năng được nói đến, chức năng DH, chức năng phát triển, chức năng kiểm tra và chức năng giáo dục được khai thác nhiều trong DH Thực chất HÐĐ giải toán là HĐ trung tâm trong học tập môn toán của HS Thông qua
số lượng và chất lượng hoàn thành công việc giải toán về căn bản có thể đánh giá được trình độ nhận thức môn toán của người học Chính vì lẽ đó, bài tập toán tham gia vào mọi khâu của quá trình DH môn toán
Chương “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” có vai trò quan trọng trong môn Toán ở trường THPT, đây là một nội dung luôn gắn với HS trong suốt quá trình học tập cũng như trong nhiều bài toán thực tế
Đã có nhiều công trình nghiên cứu về việc DH giải toán cho HS nhưng đây vẫn là vấn đề cần được tiếp tục nghiên cứu cả về phương diện lý luận và triển khai trong thực tiễn DH, vì vậy với tất cả những lý do trên tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn này là: “Dạy học giải toán chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cho học sinh Trung học phổ thông”
2 Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một số vấn đề về cơ sở lí luận và thực tiễn về DH giải toán, năng lực giải toán PPTĐ trong mặt phẳng cho HS THPT Đề xuất các biện pháp sư phạm trong DH giải toán PPTĐ nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán góp phần nâng cao chất lượng DH môn Toán ở trường phô thông
3 Đối tượng và khách thể nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Quá trình DH giải toán PPTĐ trong mặt phẳng ở
trường THPT
- Khách thể nghiên cứu: Các biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán trong DH
giải toán chủ đề PPTĐ trong mặt phẳng cho HS ở trường THPT
4 Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng được các biện pháp sư phạm và sử dụng các biện pháp trong
DH giải toán nói chung cũng như bồi dưỡng năng lực giải toán PPTĐ trong mặt phẳng nói riêng trong quá trình DH sẽ góp phần nâng cao chất lượng DH môn toán và
Trang 145 Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lí luận có liên quan đến vấn đề DH giải toán, năng lực giải toán cho HS
- Nghiên cứu về nội dung chủ đề PPTĐ trong mặt phẳng trong chương trình toán THPT
- Điều tra, khảo sát để làm rõ cơ sở thực tiễn về vấn đề DH giải toán, bồi
dưỡng năng lực giải toán cho HS ở trường THPT hiện nay
- Đề xuất các biện pháp sư phạm bồi dưỡng năng lực giải toán trong DH giải
toán chủ đề PPTĐ trong mặt phẳng cho HS THPT
- Tổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi, hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề xuất
6 Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu về các vấn đề liên quan đến đề tài của luận văn
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát thực trạng việc DH nội dung PPTĐ trong mặt phẳng cho HS ở trường THPT qua các hình thức dự giờ, quan sát,
điều tra
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm và xử lý
số liệu thống kê để đánh giá kết quả định tính, định lượng
7 Đóng góp của luận văn, kết quả đạt được
- Góp phần làm sáng tỏ một số thành tố năng lực giải toán của HS
- Làm rõ vị trí, chức năng của bài tập toán
- Đề xuất những định hướng và các biện pháp sư phạm trong quá trình DH giải toán chủ đề PPTĐ trong mặt phẳng nhằm góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho HS
8 Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần Mở đầu và Kết luận cùng Phụ lục, nội dung luận văn gồm ba
chương như sau:
Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Các biện pháp sư phạm bồi dưỡng năng lực giải toán trong DH giải toán chủ đề PPTĐ trong mặt phẳng cho HS THPT
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.
Trang 15Chuong 1
CO SO LY LUAN VA THUC TIEN 1.1 Téng quan lich si nghién ctru van dé
1.1.1 Lịch sử nghiên cứu năng lực toán học
Nhà Toán học Pháp H Poincaré là một trong những người đầu tiên đề xướng việc nghiên cứu cấu trúc năng lực toán học của HS Ông công nhận có tính đặc thù của các năng lực sáng tạo Toán học và đã chỉ ra những thành phần quan trọng nhất của chúng là trực giác Toán học Trong các bài của Viện sĩ B.V Gơnheđencô (dẫn theo [16, tr.15]) viết về giáo dục học ở trường phô thông, ông đưa ra các yêu cầu đối với tư duy Toán học của HS là: Năng lực nhìn thấy sự không rõ ràng của quá trình suy luận, thấy được sự thiếu sót của những điều cần thiết trong chứng minh; Sự cô đọng; Sự chính xác của các kí hiệu; Phân chia rõ tiến trình suy luận; Thói quen lí lẽ đầy đủ về logic
A.N Kôlmôgôrôv (dẫn theo [20, tr.18]) xem xét năng lực toán học trên cơ sở 3 thành tố có liên quan đến: Năng lực biến đổi thành thạo các biêu thức chữ phức tạp, năng lực tìm kiếm các phương pháp xa lạ với các qui tắc thông thường để giải phương trình; Trí tưởng tượng hình học hay “trực giác hình học”; Nghệ thuật suy luận lôgíc được phân nhỏ hợp lí, tuần tự
V A Cruchetxki (dẫn theo [20, tr.24]) lại nhìn nhận dưới góc độ thu nhận và
xử lí thông tin đã phân chia năng lực Toán học bao gồm các thành tố cơ bản là:
- Thu nhận thông tin toán học: Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu Toán
học, năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán;
- Chế biến thông tin Toán học: Năng lực tư duy lôgic trong lĩnh vực các quan
hệ số lượng và hình dạng không gian, hệ thống kí hiệu số và dấu Năng lực tư duy bằng các kí hiệu Toán học; Năng lực khái quát hóa nhanh chóng và rộng các đối tượng, quan hệ Toán học và phép toán; Năng lực rút gọn quá trình suy luận Toán học
và hệ thống các phép toán tương ứng Năng lực tư duy bằng cấu trúc rút gọn; Tính linh hoạt trong quá trình tư duy trong HĐ Toán học; Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa sai lại phương hướng của tiến trình tư duy thuận sang tiến trình tư duy đảo (trong suy luận Toán học);
Trang 16- Lưu trữ thông tin toán học: Trí nhớ Toán học (trí nhớ khái quát về hệ thống Toán học; đặc điểm về loại; sơ đồ suy luận và chứng minh; phương pháp giải Toán;
nguyên tắc đường li giải Toán);
- Thành phần tổng hợp khái quát: khuynh hướng Toán học của trí tuệ
Theo hướng bồi đưỡng năng lực Toán học cho HS trung học cơ sở, Trần Đình Châu tập trung vào bốn yếu tố của nó trong DH Số học [3, tr.38] Nghiên cứu rèn
luyện năng lực giải Toán, Lê Thống Nhất đã đi theo hướng tìm hiểu, phân loại các sai lầm và biện pháp sửa chữa cho HS THPT [12]
Từ những nghiên cứu trên, có thể thấy: Năng lực Toán học là những đặc điểm tâm lí về HĐ trí tuệ của HS, giúp họ nắm vững và vận dụng tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc, những kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong môn Toán Năng lực Toán học được hình thành, phát triển, thể hiện thông qua (và gắn liền với) các HĐ của HS nhằm giải quyết những nhiệm vụ học tập trong môn Toán: xây dựng và vận dụng khái niệm, chứng minh và vận dụng định lí, giải bài toán,
Pascal mở ra một lĩnh vực mới là hình học xạ ảnh thì hình học xạ ảnh khác với hình
học giải tích do các ông Fermat và Descartes phát minh ra Sự khác biệt được thé hiện như sau, hình học xạ ảnh là một nhánh của hình học nói chung còn hình học giải tích lại là một phương pháp của hình học
Việc ứng dụng PPTĐ trong không gian ba chiều được thực hiện vào cuối thế
ki XVII va trong thế kỉ XVIII do công rất lớn của Clairot va Euler
Vào thé ki thir XIX, do sự phát triển như vũ bão của các ngành kĩ thuật, đặc
biệt là vật lý, toán học đã có nhiều bước tiến mới như các khái niệm về vectơ,
tenxơ, đã xuất hiện trong hinh hoc Wessel (1745 — 1818), J R Argent (1768 —
1822), C.F Gauss (1777 — 1855) có các công trình về lý thuyết số phức đã thiết lập
Trang 17mối liên hệ giữa các phép toán số học trên các số phức với các phép toán hình học trên các vectơ trong không gian hai chiều
Vào thế kỉ thứ XIX, các ông W.R Hamilton, A.F Mobiles đã sử dụng khái niệm vectơ để nghiên cứu không gian ba chiều và nhiều chiều
Cuối thế kỉ thứ XIX, đầu thế kỉ thứ XX, phép tính vectơ được phát triển và ứng
dụng rộng rãi Xuất hiện các ngành mới như đại số vectơ, giải tích vectơ, lý thuyết trường, lý thuyết tổng quát về không gian nhiều chiều Các lý thuyết này có ứng dụng rất lớn trong vật lý hiện đại, chang han như thuyết tương đối của Albert Binstein
Nói tóm lại, sự ra đời của vectơ và tọa độ đã góp phần không nhỏ trong việc thúc đây sự phát triển của toán học và ứng dụng của toán học trong các bài toán thực tế
1.2 Dạy học giải toán
1.2.1 Vị trí chức năng của bài tập toán
Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy HĐ toán học Đối với HS có thể xem việc giải toán là HĐ chủ yếu của HĐ toán học Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thê thay thế được trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện những HĐ nhất định bao gồm
cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, những HĐ Toán học phức hợp, những HĐ trí tuệ phổ biến trong Toán học, những HĐ trí tuệ chung và những HĐ ngôn ngữ HĐ giải bài tập Toán học là điều kiện để thực
hiện tốt các mục đích DH Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc giải bài tập Toán
học có vai trò quyết định đối với chất lượng DH môn Toán
Trong thực tiễn, bài tập toán được sử dụng với nhiều dụng ý khác nhau Mỗi
bài tập có thể được dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra Tất nhiên, việc giải một bài tập cụ thể
thường không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất nào đó mà thường bao hàm những
ý đồ nhiều mặt đã nêu HĐ học của HS liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và
PPDH Vai trò của bài tập Toán học được thể hiện trên ba bình diện sau:
Thứ nhất, trên bình diện zmực ziêu DH, bài tập Toán học ở trường phổ thông là
Trang 18Mặt khác, những bài tập lại thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến VIỆC thực hiện các mục tiêu DH môn Toán, cụ thể là:
- Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau
của quá trình DH, kế cả khả năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn
- Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những HĐ tư duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ
- Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức của người lao động mới
Thứ hai, trên bình diện nội dung DH, những bài tập Toán học là giá mang HĐÐ liên hệ với những nội dung nhất định, một phương tiện cải đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bô sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lí thuyết
Thứ ba, trên bình diện phương pháp DH, bài tập Toán học là giá mang HĐ để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu DH khác Khai thác tốt các bài tập như vậy sẽ góp phần tô chức cho HS học tap trong HD
và bằng HĐ tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao luu [8, tr.388]
Theo Vũ Dương Thụy [9], bài tập có các chức năng sau:
« Chức năng dạy học: GV có thê dùng bài tập toán để hình thành, củng cố cho HS
những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình DH
Vi du 1.1 Dé hình thành cho HS khái niệm của dãy số, GV có thể cho HS giải bài tập sau: Cho day sé (uy): Uy, = - Biểu diễn (1„) trên trục số
a) Em có nhận xét gì về khoảng cách từ u,, đến 0 khi n lớn?
b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy số 1„y thì khoảng cách từ u, đến 0 nhỏ hơn 0,01? 0,001?
Bằng việc giải bài tập này HS sẽ nhận ra 2 điều:
- Khi n càng lớn thì khoảng cách từ „ đến 0 càng nhỏ, tức là ư„ càng dần đến 0 khi
n cảng lớn
- Ta luôn tìm được số n đề khoảng cách |„ — 0| nhỏ hơn một số đương tùy ý cho trước
Trên cơ sở đó, GV dẫn dắt HS vào khái niệm của dãy SỐ
Trang 19e Chức năng giáo dục: HĐ giải bài tập toán giúp HS hình thành thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin khám phá và phẩm chất đạo đức Trong quá
trình giải bài tập HS phải thường xuyên sử dụng các quy tắc, định lí, mệnh đề logic,
Các em dần làm quen với luận chứng, luận cứ khao học và lối tư duy khoa học
Việc giải các bài tập liên môn như ứng dụng Toán học vào giải các bài toán vật
lí, hóa học, sinh học, địa lí đã cho thấy được tầm quan trọng và ý nghĩa của
môn toán, học tốt môn toán là nền tảng để học tốt các môn khoa học tự nhiên khác
Cũng chính vẽ đẹp của các bài tập toán học và những ứng dụng thực tiễn của nó sẽ tạo nên niềm hứng thú, niềm tin và lòng say mê học tập
Ví dụ 1.2 Để nhấn mạnh tầm quan trọng của việc phân biệt các hình hộp, GV có thể cho tình huống như sau: Một công ty A đến kí hợp đồng để công tỉ B sản xuất các hình hộp bằng kim loại quí với ba kích thước là a, b, c cho trước Nhưng do hợp đồng không ghi rõ là hình hộp gì, nên để “dạy” cho bên A một bài học, bên
B đã sản xuất những hình hộp rất đẹt với 3 kích thước như đã kí kết Bên B không
dùng được những sản phẩm này nhưng
vẫn phải thanh lí hợp đồng Thiệt hại này của cơ quan là do khái niệm “hình hộp” trong văn bản kí kết
© Chức năng phát triển: Thông qua HĐ giải bài tập HS được phát triển năng lực
tư duy và các thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học Các
HĐ thường xuyên diễn ra trong DH giải toán là: phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hóa, trừu tượng hóa
Trong khi DH, GV nên tạo điều kiện cho HS được rèn luyện các HĐ trí tuệ Cho HS thực hiện các thao tác phân tích và tổng hợp, phân tích trong khi đi
tìm lời giải và tổng hợp để trình bày lời giải Việc tìm nhiều lời giải cho một bài toán và phân tích, so sánh để tìm ra lời giải hay nhất là một HĐ phát huy được
năng lực tư duy của HS, đó là một HĐ rất đáng lưu ý trong DH
Ví dụ 1.3 Khi giải bài toán: “Chứng minh rằng nếu x + y = 2 thì xy < 1”, các em
đã tìm ra được nhiều cách giải Sau đây là một số cách giải:
*Cách 1: Đặt x = 1 +n thì = 2 — x = 1—mm Ta có :
Trang 20Dấu “=” xảy ra khi x = y = 1
*Cách 4: Ta có (x + y)? = 4,—(x — y)Ÿ < 0 hay x2 + 2xy + y? = 4(1);
—x? + 2xy — y? < 0 (2) Cộng (1) với (2) ta được : xy < 1
*Cách 5 : Không mắt tính tổng quát ta giả sử > y, ta có :
2=xz+y>2yy<1,x>1
Từ đó : (xT— 1) — 1) <0>xy—x—y+1<0>xy<1
*Cách 6 : Giả sử xy > 1 Từ giả thiết x + y = 2 va do x? + y? > 2xy nên ta có: 4=x?+2xy + yˆ > 4xy > 4 (vô lý) Vậy xy < 1
Sở đĩ tìm được nhiều cách giải như vậy là vì các em biết khai thác giả thiết theo
nhiễu cách khác nhau, có nhiều cách “nhìn' khác nhau
«_ Chức năng kiểm tra: Bài tập là phương tiện tốt để đánh giá mức độ, chất lượng, kết quả
giảng dạy và học tập, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của HS 1.2.2 Phân loại bài tập toán
Người ta có thể phân loại bài tập toán theo nhiều cách khác nhau tùy thuộc
vào mục đích khai thác của nó
Theo tài liệu bồi dưỡng GV, phân chia theo cấp độ kiến thức thì bài tập
được phân thành ba loại: bài tập nhận biết, bài tập thông hiểu và bài tập vận dụng
e Bài tập nhận biết: là loại bài tập chỉ yêu cầu HS nhớ khái niệm, định nghĩa, định
lí, hệ quả là giải được
Ví dụ 1.4 Tìm tâm và bán kính của đường tròn x2 + yŸ — 2x + 4y — 20 = 0
e Bài tập thông hiểu: là loại bài tập yêu cầu HS phải hiểu được ý nghĩa, kí hiệu toán học trong định nghĩa, định lí, quy tắc, công thức mới giải được
Vi du 1.5 Viết phương trình chính tắc của elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm
của Hypebol (H): = = — = 1 và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H)
Trang 21- Bài tập vận dụng: là loại bài tập đòi hỏi HS phải vận dụng các định lí, định nghĩa, quy tắc, suy luận, khái quát hóa, trừu tượng hóa kiến thức mới giải được
Ví dụ 1.6 Tìm quỹ tích các điểm biểu diễn trên mặt phẳng biểu diễn số phức
Vậy quỹ tích các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức z là elip():
x2 y?
212g 1
Theo G Polya, ông chia bài toán thành hai dạng : Bài foán tìm tòi và bài toán chứng mình
- Bài toán tìm tòi: là bài toán yêu cầu HS phải tìm ra một đối tượng nào đó, hay nói
cách khác là tìm ra ân số của bài toán
Ví dụ 1.7 Các bài toán dựng hình, quỹ tích, bài toán xác định, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, bài toán tìm max, min, là các bài toán tìm tồi
- Bài toán chứng mình: là bài toán xác định xem một kết luận nào đó đúng hay sai,
là xác nhận hay bác bỏ kết quả đó
Ví dụ 1.8 Các bài toán chứng minh về hình học, đại số, lượng giác đều thuộc loại bài toán chứng minh
1.2.3 Phuong phap tim lời giải các bài toán
Không thể có một phương pháp chung để giải mọi bài toán Ngay cả đối với những lớp bài toán riêng biệt cũng có trường hợp có, trường hợp không có thuật giải Tuy nhiên, trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát
hiện cách giải bài toán lại là điều có thê và cần thiết
Bài tập toán rất đa dạng và phong phú Việc giải bài tập là một yêu cầu quan
trọng đối với HS Có thé chia bai tap toán ra làm hai loại:
a) Loại có sẵn thuật toán
Trang 22Để giải loại này HS phải nắm vững các quy tắc giải đã học và rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo Đây là cơ sở quan trọng đề giải các bài toán phức tạp hơn Yêu cầu cho
HS 1a:
- Nắm vững quy tắc giải đã học
- Nhận dạng đúng bài toán
- Giải theo quy tắc đã học một cách thành thạo
b) Loại chưa có sẵn thuật toán
Loại bài tập này chiếm số lượng khá lớn trong sách giáo khoa và gây cho HS không ít khó khăn dẫn đến tâm lý sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình Đây
là một trở ngại lớn cho ý chí tiến thủ vươn lên trong học tập của HS Do vậy khi dạy
HS giải bài tập, không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà quan trọng hơn là: Dạy cho
HS biết cách suy nghĩ tìm ra con đường hợp lý để giải bài toán
Trong DH giải toán, kỹ năng tìm kiếm lời giải là một trong các kỹ năng quan trọng nhất, mà việc rèn luyện các thao tác tư duy là một thành phần không thẻ thiếu trong DH giải toán
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chỉ tiết của G
Polya về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn DH, có thể
nêu lên phương pháp chung để giải bài toán như sau:
> Bước I: Tìm hiểu nội dung đề bài
- Phát biểu đề bài dưới những dạng khác nhau đề hiểu rõ nội dung bài toán;
- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh;
- Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ dé hỗ trợ cho việc diễn tả dé bài
>Bước 2: Tìm cách giải
- Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán, biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho và cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan,
sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, giải toán dựng hình, quỹ tích
- Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức liên quan
- Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng dé chọn được cách giải hợp lí nhất
II
Trang 23> Bưóc 3: Trình bày lời giải
- Từ các cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc làm thành một
chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện mạch lạc các
bước đó
> Bưóc 4: Nghiên cứu sâu lời giải
- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải
- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng, khái quát hóa hay lật ngược vấn đề
Ví dụ 1.9 Giải phương trinh: x? — 1 = Vx +1
> Bước 1: Tìm hiểu bài toán: Bài toán yêu cầu giải phương trình có chứa một căn thức bậc 2
> Bước 2: Tìm cách giải:
- Với bài toán trên ta có thể giải như thế nào?
- Cách giải thông thường của các phương trình chứa căn thức?
- Hãy nêu các hướng để giải bài toán trên?
Cách 1: Đặt điều kiện sau đó bình phương hai về
Cách 2: Đặtt = Vx + 1> 0 >x =t?T— 1 và chuyên phương trình đã cho về biến £
Cách 3: Phân tích (1) thành (x — 1)(x + 1) = V% + 1 có nhân tử chung là Vx + 1
> Bước 3: Trình bày lời giải:
Trang 24> Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải:
Với phương trình trên thì các cách giải ở bước 2 đều thực hiện vì phương trình đã cho có nghiệm nguyên là x=-I Một câu hỏi rất tự nhiên là nếu phương trình không có nghiệm nguyên thì sao? Chăng hạn với phương trình x2 — 3 = Vx + 3 thì cách giải Ở trên rất khó giải vì phương trình bậc 4 sau khi bình phương không có nghiệm nguyên
- Nếu GV chỉ dừng lại ở dạng x? — a = V*% + thi HS sé gap khé khan khi
giải các bài toán tổng quát hơn GV có thê cho HS nghiên cứu thêm bài toán:
ILx3—5=2V2x+5
2.x?—2x+3=vwx+5
4x+9
3.7x⁄?+7x= 28
Từ các tình huống mà GV đặt ra, HS có thể tìm được dạng tổng quát của
phương trinh trén la: X" — B = AVAX + B,n € N*
1.2.4 Các yêu cầu của việc giải bài toán
Để phát huy tác dụng của bài tập toán học cần nắm vững các yêu cầu của lời
giải Nói một cách tóm tắt, lời giải phải đúng và phải tốt Để thuận tiện cho việc thực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình DH và đánh giá HS, có thể cụ thể
hóa các yêu cầu, đương nhiên phải chấp nhận những yếu tố trùng lặp nhất định trong các yêu cầu chỉ tiết :
> Kết quả phải đúng
Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng, một biểu thức, một hàm số, một hình vẽ, thỏa mãn các yêu cầu đề ra Kết quả các bước trung gian cũng phải
13
Trang 25đúng Như vậy lời giải không thể chứa những sai lầm tính toán, vẽ hình, biến đổi
biểu thức,
> Lập luận phải chặt chẽ: Lời giải phải tuân thủ các yêu cầu sau:
- Luan dé phải nhất quán;
- Luận cứ phải đúng;
- Luận chứng phải hợp lôgic
> Lời giải phải đầy đủ: Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không được bỏ sót một
trường hơp, một chỉ tiết cần thiết nào Cụ thể là giải phương trình không được thiếu nghiệm, phân chia trường hợp không được thiếu một khả năng nào,
1.3 Năng lực và năng lực toán học
1.3.1 Năng lực
Năng lực là những đặc điểm tâm lí cá nhân của con người, đáp ứng được yêu
cầu của một loại HĐ nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành tốt HĐ đó
Thông thường, một người được coi là có năng lực nếu người đó nắm vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của một loại HĐ nào đó và đạt được kết quả tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cũng tiến hành HĐ đó trong những điều kiện hoàn cảnh tương đương
Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong loại HĐ nhất định của con người Năng lực chỉ nảy sinh và quan sát được trong HĐ giải quyết những yêu cầu đặt ra
Kết quả nghiên cứu của các công trình tâm lý học và giáo dục học cho thấy, từ nền tảng là các khả năng ban đầu, trẻ em bước vào HĐ Qua quá trình HĐÐ mà dần hình thành cho mình những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo cần thiết và ngày càng phong phú, rồi từ đó nảy sinh những khả năng mới với mức độ mới cao hơn Đến một lúc nào đó, trẻ em đủ khả năng bên trong để giải quyết những HĐ ở những yêu cầu khác
xuất hiện trong học tập và cuộc sống thì lúc đó HS sẽ có được một năng lực nhất
định Dưới đây là một số cách hiểu về năng lực:
+) Định nghĩa 1: Năng lực là phẩm chất tâm lý tạo ra cho con người khả năng hoàn thành một loại HĐ nào đó với chất lượng cao [24]
+) Định nghĩa 2: Năng lực là một tổ hợp những đặc điểm tâm lý của con người, đáp ứng được yêu cầu của một HĐ nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn
Trang 26+) Định nghĩa 3: Năng lực là những đặc điểm cá nhân của con người đáp ứng yêu cầu của một loại HĐ nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành xuất sắc một số loại HĐ nào đó (Dẫn theo [3])
Như vậy, cả ba định nghĩa đó đều có điểm chung là: năng lực chỉ nảy sinh và
quan sát được trong HĐ giải quyết những yêu cầu mới mẽ, và do đó nó gắn liền với tính sáng tạo, tuy nó có khác nhau về mức độ (định nghĩa 3 gắn với mức độ hoàn
thành xuất sắc)
Mọi năng lực của con người được biểu lộ ở những tiêu chí cơ bản như tính dễ dàng, nhẹ nhàng, linh hoạt, thông minh, tính nhanh nhẹn, hợp lý, sáng tạo và độc đáo trong giải quyết nhiệm vụ
Phần lớn các công trình nghiên cứu tâm lý học và giáo dục học đều thừa nhận rằng con người có những năng lực khác nhau vì có những tổ chất riêng, tức là sự thừa nhận sự tồn tại của những tố chất tự nhiên của cá nhân thuận lợi cho sự hình thành và phát triển của những năng lực khác nhau
và tốt các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng
Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực HĐ sáng tạo Toán học, tạo ra những kết quả mới, khách quan có giá trị lớn đối với xã hội loài người
Giữa hai mức độ HĐ toán học đó không có một sự ngăn cách tuyệt đối Nói đến năng lực học tập Toán không phải là không đề cập tới năng lực sáng tạo Có nhiều em HS có năng lực, đã nắm giáo trình Toán học một cách độc lập và sáng tạo,
đã tự đặt và giải các bài toán không phức tạp lắm; đã tự tìm ra các con đường, các phương pháp sáng tạo để chứng minh các định lý, độc lập suy ra các công thức, tự
tìm ra các phương pháp giải độc đáo những bài toán không mẫu mực
Sau đây là một số định nghĩa về năng lực toán học:
Định nghĩa 1: Năng lực học tập toán học là các đặc điểm tâm ly cá nhân (trước hết là các đặc điểm HĐ trí tuệ) đáp ứng yêu cầu HĐ toán học và giúp cho việc nắm
15
Trang 27giáo trình Toán một cách sáng tạo, giúp cho việc nắm một cách tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo toán học [4, tr 14]
Định nghĩa 2: Những năng lực học toán được hiểu là những đặc điểm tâm lý
cá nhân (trước hết là những đặc điểm HĐ trí tuệ) đáp ứng yêu cầu của HĐ toán học,
và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì là nguyên nhân của sự thành công trong việc năm vững một cách sáng tạo Toán học với tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực toán học [5,tr 126]
Nói đến HS có năng lực toán học là nói đến HS có trí thông minh trong việc
học Toán Tắt cả mọi HS đều có khả năng và phải nắm được chương trình trung học,
nhưng các khả năng đó khác nhau từ HS này qua HS khác Các khả năng này không phải cố định, không thay đổi: Các năng lực này không phải nhất thành bất biến mà hình thành và phát triển trong quá trình học tập, luyện tập để nắm được HD tương ứng; vì vậy, cần nghiên cứu để nắm được bản chất của năng lực và các con đường
hình thành, phát triển, hoàn thiện năng lực
Tuy nhiên, ở mỗi người cũng có khác nhau về mức độ năng lực toán học Do vậy, trong DH toán, vấn đề quan trọng là chọn lựa nội dung và phương pháp thích hợp để sao cho mọi đối tượng HS đều được nâng cao dần về mặt năng lực toán học vấn đề này nhà Toán học Xôviết nổi tiếng, Viện sĩ A N Kôlmôgôrôv cho rằng:
“Năng lực bình thường của HS trung học đủ để cho các em đó tiếp thu, nắm được toán học trong trường trung học với sự hướng dẫn tốt của thầy giáo hay với sách tốt” 1.4 Năng lực giải toán của học sinh
1.4.1 Quan niệm về năng lực giải toán
Trên đây đã nói đến khái niệm năng lực, năng lực toán học Năng lực giải toán là một phần của năng lực toán học Vậy năng lực giải toán là gì và thể hiện như
thế nào?
Năng lực giải toán là một thể hiện của năng lực toán học, nó là đặc điểm tâm lí
cá nhân của con người đáp ứng được yêu cầu của HĐ giải toán, và là điều kiện cần
thiết dé hoàn thành tét HD giải toán đó
Từ góc độ phát hiện và giải quyết van đề, ta có thê hiểu, năng lực giải toán là
Trang 28cao, đòi hỏi huy động khả năng tư duy tích cực và sáng tạo, nhằm đạt được kết quả sau một số bước thực hiện
Thông thường, một người được coi là có năng lực giải toán nếu người đó nắm vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của HĐ giải toán và đạt được kết quả tốt hơn, cao hơn
so với trình độ trung bình của những người khác cũng tiến hành HĐ giải toán trong những điều kiện hoàn cảnh tương đương
Các thành phần của năng lực giải toán gồm: năng lực phân tích tổng hợp, năng lực khái quát hóa, năng lực suy luận lôgIc, năng lực rút gọn quá trình suy luận, năng lực tư duy linh hoạt, năng lực tìm ra lời giải hay, năng lực tư duy thuận nghịch, trí
Như vậy, một người được coi là có năng lực giải toán nếu người đó nắm vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của HĐ giải toán và đạt được kết quả cao so với trình độ trung bình của những người khác cùng tiến hành HĐ giải toán đó trong các điều kiện tương đương
Từ đặc điểm HĐ trí tuệ của những HS có năng lực toán học và khái niệm về năng lực giải toán ta có thể rút ra một số đặc điểm và cấu trúc của năng lực giải toán như sau:
Khả năng lĩnh hội nhanh chóng quy trình giải một bài toán và các yêu cầu của một lời giải rõ ràng, đẹp đẽ
Sự phát triển mạnh của tư duy logic, tư duy sáng tạo thê hiện ở khả năng lập luận chính xác, về quan hệ giữa các dữ kiện của bài toán
Có năng lực phân tích, tổng hợp trong lĩnh vực thao tác với các kí hiệu, ngôn ngữ toán học Khả năng chuyên đổi từ điều kiện của bài toán sang ngôn ngữ: kí hiệu, quan hệ, phép toán giữa các đại lượng đã biết, chưa biết và ngược lại
Có tính độc lập và độc đáo cao trong khi giải toán và sự phát triển của năng lực giải quyết vấn đề
17
Trang 29Có tính tích cực, kiên trì về mặt ý chí và khả năng huy động trí óc cao trong lao động giải toán
Khả năng tìm tòi nhiều lời giải, huy động nhiều kiến thức một lúc vào việc giải bài tập, từ đó lựa chọn lời giải tối ưu
Có khả năng kiểm tra các kết quả đã đạt được và hình thành một số kiến thức
mới thông qua HĐ giải toán, tránh được những nhằm lẫn trong quá trình giải toán
Có khả năng nêu ra được một số bài tập tương tự cùng với cách giải (có thể là định
hướng giải, hoặc quy trình có tính thuật toán, hoặc thuật toán để giải bài toán đó)
Có khả năng khái quát hóa từ bài toán cụ thể đến bài toán tông quát, từ bài toán
có một số yếu tố tổng quát đến bài toán có nhiều yếu tố tổng quát, nhờ các thao tác trí tuệ: phân tích, so sánh, tổng hợp, tương tự, trừu tượng, hệ thống hóa, đặc biệt hóa
Bàn về năng lực, cũng có nhiều ý kiến cho rằng: năng lực là do thượng để ban cho Song nhiều ý kiến cho rằng đó chỉ là một phần nhỏ, còn phần nhiều là do sự tích lũy, sự bồi đắp, sự học hỏi, rèn luyện mà có Quá trình học tập HS sẽ được bổ sung các kiến thức, được trang bị các phương pháp, từ đó năng lực giải toán được nâng lên Một phần do HS tự nâng thêm năng lực của mình, một phần do các thầy cô giáo hướng dẫn, rèn luyện, bồi dưỡng
1.4.2 Một số thành tổ năng lực giải toán của học sinh
1.4.2.1 Năng lực dự đoán vấn để
Khi kiểm tra một tình huống hoặc tiến hành theo dõi liên tục trong một quãng thời gian, sau đó đưa ra ý kiến nhận xét về những gì có khả năng xảy ra thì ta đã làm công việc dự đoán Để có dự đoán mang tính chuân xác cao, cần phải xem xét các bằng chứng một cách cần thận trước khi đưa ra điều dự đoán của mình
Theo Đào Văn Trung mô tả: “Dự đoán là một phương pháp tư tưởng được ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu khoa học Đó là căn cứ vào các nguyên lý và sự thật
đã biết để nêu lên những hiện tượng và quy luật chưa biết Hay, dự đoán là sự nhảy
vọt từ giả thuyết sang kết luận” [22]
Dự đoán có vai trò quan trọng như thế trong khoa học, trong cuộc sống, vậy
Trang 30được trời phú cho nang khiếu tự nhiên, còn lại chúng ta cần phải học tập để có được
năng khiếu dự đoán đó Quá trình dự đoán có kết quả khi phán đoán mà chúng ta đưa
ra gần với chân lý nhất, cần nghiên cứu dự đoán của mình, so sánh chúng với các sự kiện, đổi dạng chúng đi nếu cần, và như vậy sẽ có kinh nghiệm phong phú (và sâu sắc) về các dự đoán sai và các dự đoán đúng Những dự đoán có thể rất táo bạo nhưng phải có căn cứ dựa trên những qui tắc, kinh nghiệm nhất định chứ không phải là đoán
mò, càng không phải là nghĩ liều” [14]
Để có năng lực dự đoán, phát hiện vấn đề thì điều kiện tiên quyết là HS phải
giải thật nhiều dạng toán, phải biết tích luỹ kinh nghiệm Họ cần phải được rèn luyện các năng lực thành tố như: Năng lực xem xét các đối tượng Toán học, năng lực tư duy biện chứng; năng lực so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, tổng quát hoá; năng lực liên tưởng các đối tượng, quan hệ đã biết với các đối tượng tương tự, quan
+ Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thang A và các vtpt khác vec-tơ không
có giá vuông góc với A như hình vẽ Khi đó A được gọi là vtpt của đường thang + Hãy đưa ra dự đoán về định nghĩa vtpt của đường thắng?
+ Dự đoán mỗi đường thắng có bao nhiêu vtpt và chúng có liên hệ với nhau
như thế nào?
19
Trang 311.4.2.2 Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ
Đứng trước một vấn đề, HS có thể gặp khó khăn khi tìm cách giải quyết hoặc
là muốn có nhiều cách giải quyết khác nhau Một trong những phương án có thé đáp ứng được nhu cầu đó là năng lực chuyên đổi ngôn ngữ của bài toán
Năng lực chuyên đổi ngôn ngữ là một trong những năng lực quan trọng đề huy
động kiến thức đối với việc giải toán Nó được thể hiện qua các HĐ như:
- HD chuyén đổi ngôn ngữ nhìn nhận một nội dung toán học theo mối liên hệ liên môn: đại số hoá, hình học hoá, lượng giác hoá,
- HĐ chuyển đổi ngôn ngữ trong nội tại hình học: từ phương pháp tổng hợp sang phương pháp giải tích (gồm có phương pháp véc-tơ và PPTĐ), hoặc phương
hệ giữa các yếu tố đã cho và các yếu tố cần tìm ra ngôn ngữ véc-tơ Nếu sự “phiên dịch” không gặp khó khăn lớn thì việc sử dụng véc-tơ để giải bài toán đó là có cơ sở
Năng lực chuyên đổi ngôn ngữ giúp HS có thêm những định hướng, những đường lối cho việc tìm tòi nhiều phương pháp, cách giải khác nhau
Ví dụ 1.11
Cho góc vuông Oxy, ABCD là hình chữ nhật có chu vi không đổi, A, C là 2 điểm thay đổi thuộc Ox, Oy Chứng minh rằng đường thắng d vuông góc kẻ từ B vuông góc với đường chéo AC luôn đi qua 1 điểm cố định
Trang 32- Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ
- Trong hệ trục tọa độ này giả sử A(a;0), B(a;c), C(0;e)
Đặt a+c=b=const (vì chu vi OABC không đổi)
Phương trình đường thắng AB theo đoạn chắn là: = a = =1C©y= —* Tế
- Phương trình đường thắng d qua B(a;c) và vuông góc với AC có dạng:
Trang 331.4.2.3 Nang luc quy lạ về quen nhờ biến đổi về dạng tương tự
Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó, trong toán học hai bài toán được gọi
là tương tự nhau nếu hoặc chúng có cùng phương pháp giải; hoặc cùng giả thiết, hoặc cùng kết luận; hoặc được đề cập đến những vấn đề giống nhau, những đối tượng có tính chất giống nhau Khai thác chức năng của bài tập tương tự là một trong những việc làm quan trọng trong DH bởi nó có vai trò khắc sâu kiến thức đã học, rèn luyện
kỹ năng, kỹ xảo
Biến đổi về dạng tương tự là một HĐ biến đổi đối tượng, HĐ này thể hiện trong tiến trình người giải toán phải làm bộc lộ đối tượng của HĐ (các khái niệm toán học, các qui luật về mối liên hệ giữa các đối tượng toán học, các quan hệ giữa chúng) Những HĐ đó là để biến đôi cấu trúc, nội dung và hình thức của đối tượng, sao cho các tri thức mới tương thích với các tri thức đã có; từ chủ thể xâm nhập vào đối tượng, hiểu và giải thích chúng, vận dụng chúng với tư cách là sản phẩm của HĐ nhận thức Để sự tìm tòi được thuận lợi, nhiều khi cũng cần có những thủ thuật để
biến cái khó thành cái dễ, biến ý đồ thành những việc cụ thé
Biến đổi về dạng tương tự thực chất là đi tìm những điểm tiếp xúc của bài toán
với kiến thức đã có thể hiện ở các góc độ khác nhau Nhờ quá trình biến đổi vấn đề,
biến đổi các bài toán HS có thể quy các vấn đề trong tình huống mới, các bài toán lạ
về các van dé quen thuộc, về các bài toán tương tự đã giải
Goi A,B theo thứ tự là tập nghiệm của (2), (3) Ta có:
+ A là nửa mặt phẳng phía dưới đường thắng (đ):x+y-2=0
+B là tập các điểm thuộc đường tròn (C) có phương trình:
tam I(1; 2)
—1)?+(y—2)?=ø+ lvàt sf
(x -1)*+(y-2) a và ta có bkR =va+T
Trang 34Vậy hệ có nghiệm © 4 ñ B khác rỗng
1 j1+2-2|
Việc biến đổi, chuyên đổi bài toán từ giải hệ phương trình về dạng toán PPTĐ trong
mặt phẳng đã giúp bài toán trở nên dễ dàng hơn
1.4.2.4 Năng lực nhìn bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau
Căn cứ vào bản chất của kiến thức toán học vào mối quan hệ duy vật biện
chứng ta thấy mỗi nội dung, mỗi một vấn đề có thể nhìn nhận dưới nhiều góc độ, có
nhiều hình thức biểu đạt khác nhau Một bài toán có thé ta phải chuyên đổi ngôn ngữ
bằng cách: đại số hoá, lượng giác hoá, hình học hoá
Nếu đứng trước một vấn đề mỗi người làm toán có thói quen nhìn nhận theo
nhiều góc độ khác nhau dựa trên những tri thức, những kinh nghiệm đã có thì sẽ hình thành dần nên trong họ một tư duy nhạy bén, sắc sảo một niềm tin sẽ giải quyết được vấn đề bởi lẻ bài toán đang giải đó nó còn ân tàng những cách giải ở những góc độ nào đó mà chúng ta phải khám phá ra
Ví dụ 1.13 (Trích đề thi thử tỉnh Bắc Ninh năm 2014)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AD=2AB, gọi M,N lần lượt là trung điểm của cạnh AD, BC Trên đường thắng MN lấy điểm K sao cho
N là trung điểm của đoạn thắng MK Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết K(-5;1),
phương trình đường thắng chứa cạnh AC: 2x+y-3=0 và điểm A có tung độ dương
Trang 35Bài toán trên có thể chia thành hai bước:
+Bước 1: chứng minh 4Œ 1 KD (dùng giả thiết quan trọng này đề làm tiếp
bước 2)
+Bước 2: van dung AC L KD vào việc giải tìm tọa độ của 4 đỉnh A, B, C, D
> Bước 1: Nhận xét đầu tiên sau khi dựng hình xong đó là phát hiện A€Œ L
KD Đề chứng minh AC L KD có rất nhiều cách trong đó kế đến:
Cach 1: Goi H = ACN KD
Chứng minh KDC + ACD = 90° (ching minh tổng 2 góc trong một tam giác bang 90° suy ra DHC=90° > DAC + ACD = 90° nên ta cần chứng minh ĐAC = MKD (2 goc nay bang nhau do 2 tam giác AMKD = AACD )
Cu thể: Ta có AMKD = AACD (c-g-c)> DAC = MKD
Ta c6 DAC + ACD = 90° = MKD + ACD = 90° © HDC + ACD = 90° Suy
Trang 36đương AC.KD = 0
Cu thé: Dựng hệ trục Bxy như hình vẽ, đặt cạnh AB=a>0=AD=2AB=2a
Ta có: A(0; a); C(2a; 0); D(2a; a); K (—a; a)
Mặt khác: {a = (28: —4) _ 76 RB = 20? +202 =0 3 AC L KD tail,
KD = (—a; 2a)
Cách 4: Dựa trên ý tưởng chứng minh AẺ KỦ = 0 = Ta sit dụng tích vô hướng
giữa hai vec-tơ đ.b= |a| |b| cos(a b) Cu thé trong bài này ta sẽ gọi M = BC N
KD — chuyển bài toán chimg minh AC.KD = 0 thanh AC.MD = 0 (Ta sé ding quy tắc “chèn điểm” để tạo ra các tích vô hướng bằng 0 hoặc các cạnh có độ đài và
Trang 37AD.MC = AD.MC.cos(AD, MC) = 2.5 coS 0°) =a?
AD.CD = 0 (do AD LCD)
DC.CD = —CD = —a?
nén AC.MD = a? — a? = 0.Suyra AC 1 MD > AC L KD tại H
Cách 5: Ta có thể vận dụng “định lý đảo Pytago” để chứng minh AHCD L H >
AC L KD, đề thực hiện điều này cần tính số đo của 3 cạnh HC, HD, CD theo 1 cạnh còn lại hoặc 1 cạnh cho trước đồng thời vận dụng “định lý thuận Thales” do xét thấy
Hướng 1: Tạo thêm phương trình đường thăng mới
*Goi ACN KD = H.Do KD L AC: 2x+y-3=0> KD: x-2y+m=0
KD qua K(5;-1) > m = —7 Vay KD: x-2y-7=0
Trang 38Đường thắng AD qua D có dạng là: a(x-1)+b(y+3)=0
Mặt khác cos CAD = |cos(AC, AD)| =
Suy ra (2a + b)? = 4(a? +b?) © RE
*TH1: Voi AD: 3x+4y+9=0
Tac6A=ADNAC >A (=: -2), Loại vì A có tung độ dương
*TH2: Voi AD: x-1=0
Ta có A4 = ADn AC > A(1; 1) Nhận vì A có tung độ dương
Do M là trung điểm của AD® M(1;—1)
Goi I la tam hình chữ nhật ABCD, ta có ME = 3MỈ > I(2; —1)
Mặt khác I là trung điểm của AC và BD > B(3; 1),C(3; —3)
Vậy tọa độ thỏa yêu cầu bài toán là A(1;1), B(3;1), CG;-3), D(1;-3)
Hướng 2: Tìm tọa độ điểm A thông qua độ dài AK
- Viết phương trình KD—› H = KD n AC > tọa độ H
- Tham số hóa điểm A theo đường AC một ẩn nên cần một phương trình — độ dài AK=?
Dựa vào định lý Thales ở cách 5 ta tính được độ dài AK
- Có tọa độ điểm A—>toa độ C (do AH = s40) — tọa độ trung điểm I— tọa độ D (do CD = <Ki) — tọa độ B
Vậy có thể thấy bài toán đã vận dụng rất nhiều kĩ thuật, phương pháp để giải quyết
các đối tượng cần tìm Về phần chứng minh vuông góc, với nhiều phương án tiếp cận khác nhau chúng ta có nhiều cách chứng minh khác nhau
1.4.2.5 Năng lực khái quát hóa
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “Khái quát hoá là chuyền từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phan tir trong tập hợp xuất phat” [7, tr 55]
27
Trang 39Có thể nói trong cuộc sống và học tập, khắp nơi và mọi lúc đều cần đến phương pháp tư duy khái quát Đúng như Đại văn hào Nga - Lep Tônxtôi đã nói:
“Chỉ khi trí tuệ của con người tự khái quát hoặc đã kiểm tra sự khái quát thì con
người mới có thể hiểu được nó” Không có khái quát thì không có khoa học; không
biết khái quát là không biết cách học Khả năng khái quát là khả năng học tập vô cùng quan trọng, khả năng khái quát Toán học là một khả năng đặc biệt [23, tr.170]
Trong sỐ các năng lực trí tuệ thì năng lực khái quát hoá tài liệu Toán học là thành phần cơ bản nhất của năng lực toán học; điều này đã được các nhà Sư phạm, nhà Toán học như: V A Krutecxki, A I Marcusêvich, Pellery, Tổ chức quốc tế UNESCO, khẳng định trong sơ đồ cấu trúc năng lực toán học của mình
Đề giúp HS phát triển năng lực khái quát hoá cần tập luyện cho họ HD khái
quát hoá và điều cốt yêu nhất là nắm vững phương pháp khái quát hoá Trên tỉnh thần
do, dé phat trién năng lực khái quát hoá cho HS có thể thực hiện theo các cách sau: a) Tập luyện cho học sinh hoạt động khái quát hoá trên cơ sở so sánh các trường hợp riêng có sự tham gia của hoạt động phân tích - tổng hợp
Khái quát hoá có ý nghĩa là sự chuyển những kiến thức đã có lên một mức độ cao hơn dựa trên cơ sở xác định tính chất chung hay quan hệ phổ biến của các đối tượng đang xét Chính vì vậy, trong khi tiến hành khái quát hoá phải thấy được những nét chung duy nhất trong các mệnh đề riêng biệt
HD phân tích và tổng hợp bao giờ cũng diễn ra khi HĐ so sánh chưa tim ra
được đặc điểm bản chất — chung đề khái quát hoá Kết quả HĐ khái quát hoá chỉ là
dự đoán, vì vậy để có độ chính xác về mặt Toán học cần có bước chứng minh Đường
lối chứng minh kết quả khái quát có thể tìm thấy sau quá trình phân tích, quá trình
giải các bài toán cụ thể nhưng cũng có những trường hợp đường lối giải quyết bài toán cụ thể chưa thể áp dụng để giải quyết bài toán tổng quát lúc này GV cần gợi động cơ đề HS có thể tìm kiếm con đường giải quyết khác mà nó có thể giúp ích cho việc giải quyết bài toán tổng quát
Khái quát hoá trên cơ sở so sánh những trường hợp riêng lẻ là một con đường khái quát hoá, nhưng không phải là con đường duy nhất Bên cạnh con đường này
Trang 40HS có nhiều khả năng) không dựa vào sự so sánh mà dựa trên sự phân tích chỉ một hiện tượng trong hàng loạt hiện tượng giống nhau Việc nhận biết một số bài tập cụ
thể như là đại diện của một lớp bài tập cùng kiểu thuộc về dạng khái quát hoá này Vì
vậy, ta coi trọng đúng mức nhưng không quá cường điệu vai trò của so sánh trong khái quát hoá
b) Tập luyện cho học sinh hoạt động khái quát hoá trên cơ sở trừu tượng hoá cùng với hoạt động phân tích và tổng hợp
Đặc điểm của phương pháp này là từ phân tích một sự vật cụ thẻ, riêng lẻ suy
ra tính chất chung của loại sự vật đó Khái quát từ trừu tượng cũng là phương pháp vô cùng quan trọng Nó bắt đầu từ phân tích, từ ngoài vào trong, từ thô đến tỉnh, chọn
lấy cái cốt lõi
Trừu tượng hóa là sự nêu bật và tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc
điểm không bản chất Khái quát hóa có mối liên hệ mật thiết với trừu tượng hóa, trừu
tượng hóa chính là để khái quát hóa, sẽ không khái quát hóa được theo những phương hướng đúng đắn nếu không nắm được phương phương pháp trừu tượng hóa, trừu
tượng hóa là điều kiện ắt có nhưng chưa phải là đủ để khái quát hóa Khai thác mối
liên hệ này có thể tạo điều kiện cho HS tập luyện trừu tượng hóa với khái quát hóa
Trong khi đòi hỏi HS khái quát hóa trên cơ sở so sánh những trường hợp riêng lẻ có thể nâng cao yêu cầu trừu tượng hóa bằng cách bố trí những trường hợp riêng lẻ mang một số đặc điểm chung nổi bật nhưng không cần thiết cho việc dự đoán quy luật tổng quát
Phân tích và tổng hợp là bản chất của HÐĐ tư duy nói chung, của khái quát hóa
và những HĐ trí tuệ có liên quan nói riêng Khái quát hóa và các HĐ trí tuệ có liên quan chỉ là những dạng của phân tích và tổng hợp Vì vậy, khi tập luyện cho HS khái quát hóa và những HĐÐ trí tuệ có lien quan, cần phải rèn luyện cho họ khả năng phân tích và tổng hợp coi đó là cơ sở để thực hiện các HĐ trí tuệ Nếu HS gặp khó khăn
khi tiến hành một HĐ nào đó thì cần quay lại cơ sở của HĐ đó là phân tích và tổng
hợp Chẳng hạn như, khi hướng dẫn HS khái quát một số ví dụ cụ thể để tìm ra quy luật, nếu HS khó khăn trong việc phát hiện ra đặc điểm chung thì yêu cầu họ trước hết hãy mô tả đặc điểm của từng ví dụ (phân tích) rồi đối chiếu với nhau để tìm ra các
29