Chuyên đề toán giới hạn – liên tục – Trần Quốc Nghĩa

GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sư (Sưu tầ tầm & biên tậ tập) Chủ đề GIỚI HẠN – LIÊN TỤC Vấn đề GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A - GIỚ GIỚI HẠ HẠN HỮ HỮU HẠ HẠN  Giới hạn hữu hạn • lim un = ⇔ un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở n →+∞ • Dãy số ( un ) có giới hạn L nếu: lim = L ⇔ lim ( − L ) = n →+∞ n →+∞  Lưu ý: Ta viết gọn: lim un = 0, lim un = L  Giới hạn đặc biệt 1) lim = n 2) lim 4) un =  lim un = 7) lim = 0, k ∈ ℕ * nk =0 n 3) lim = n 5) lim C = C , ∀C ∈ ℝ 6) lim q n = q < ) 8) lim q n = +∞ q > 9) lim n k = +∞, k ∈ ℕ *  Định lí giới hạn • Nếu hai dãy số ( un ) ( ) có giới hạn ta có: 1) lim(un ± ) = lim un ± lim 3) lim 2) lim ( un ) = lim un lim un lim un = (nếu lim ≠ ) lim 4) lim ( k un ) = k lim un , (k ∈ ℝ) 5) lim un = lim un 6) lim 2k un = 2k lim un (nếu un ≥ ) (căn bậc chẵn) 7) lim 2k +1 un = k +1 lim un (căn bậc lẻ) 8) Nếu un ≤ lim = lim un = - Định lí kẹp giới hạn dãy số: Cho ba dãy số ( un ) , ( ) , ( wn ) L ∈ ℝ Nếu un ≤ ≤ wn , ∀n ∈ ℕ * lim un = lim wn = L ( ) có giới hạn lim = L • Nếu lim un = a lim = ±∞ lim un =0 1) Dãy số tăng bị chặn có giới hạn 2) Dãy số giảm bị chặn có giới hạn n  1  Chú ý: e = lim  1+  ≈ 2, 718281828459 , số vô tỉ  n  Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn • Một cấp số nhân có cơng i q với | q |< gọi cấp số nhân lùi vô hạn Ta có : S = u1 + u1q + u1q +… = u1 (với | q |< ) 1− q TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 B - GIỚ GIỚI HẠ HẠN VÔ CỰ CỰC  Định nghĩa • lim un = +∞ với mỗ i số dương tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số n →+∞ hạng trở đi, lớn số dương • lim un = −∞ với mỗ i số âm tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng n →+∞ trở đi, nhỏ số âm • lim un = −∞ ⇔ lim ( −un ) = +∞ n →+∞ n→+∞  Lưu ý: Ta viết gọn: lim un = ±∞  Định lí − Nếu lim un = +∞ lim =0 un − Nếu lim un = 0, ( un ≠ 0, ∀n ∈ ℕ ) ⇔ lim =∞ un  Một vài qui tắc tìm giới hạn Qui tắc 1: Nếu lim un = ±∞ Qui tắc 2: Nếu lim un = ±∞ Qui tắc 3: Nếu lim un = L ≠ , lim = ±∞ , lim = L ≠ , lim = > lim ( un ) là: lim ( un ) là: < kể từ số hạng trở thì: lim un lim v n lim ( un v n ) +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ lim un +∞ −∞ −∞ +∞ Dấu lim ( un v n ) L +∞ +∞ −∞ −∞ + − + − L +∞ −∞ −∞ +∞ + + − − Dấu lim + − + − un +∞ −∞ −∞ +∞ Dạng Dãy có giới hạn A PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Dãy ( un ) có giới hạn mỗ i số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọ i số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương Khi ta viết: lim ( un ) = lim un = un → lim un = ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ ℕ* : n > n0  un < ε • Một số kết quả: (xem phần tóm tắt lý thuyết)  Chú ý: Sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh, đánh giá biểu thức lượng giá, nhân liên hợp thức, … B BÀI TẬP MẪU Ví dụ Chứng minh dãy sau có giới hạn : a) un = n+3 c) un = 3n b) un ( −1) = n n+4 n −1) ( b) un = n c) un = n2 c) un = ( 0,99 ) d) un = n , k ∈ℕ* nk d) un = ( −0,97 ) n GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sư (Sưu tầ tầm & biên tậ tập) n ( −1) cos n Ví dụ Chứng minh dãy sau có giới hạn : a) un = b) = n ( n + 1) n2 + Ví dụ Tính giới hạn sau: sin n a) un = n+5 cos 3n b) un = n +1 c) un ( −1) = n d) un = +1 n − sin 2n (1, ) n Ví dụ Tính: a) lim n + 2sin ( n + 1) n3 n + 23 n b) ( −2 ) lim n 33 n + c) lim ( n +1 − n ) d) lim ( n2 + − n ) TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 Ví dụ Chứng minh dãy sau có giới hạn : a) un = n + − n b) = n3 + − n Ví dụ Cho dãy số ( un ) với un = a) Chứng minh n 3n un +1 < với mọ i n un b) Chứng minh dãy ( un ) có giới hạn u Ví dụ Cho dãy số ( un ) với u1 = , un +1 = un2 + n , n ≥ a) Chứng minh < un ≤ với mọ i n b) Tính lim un GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sư (Sưu tầ tầm & biên tậ tập) Dạng Khử dạng vô định ∞ ∞ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Đối với dãy un = a0 n m + a1n m −1 + + am , a0 ≠ 0, b0 ≠ chia tử lẫn mẫu phân thức b0 n k + b1n k −1 + + bk cho lũy thừa lớn n tử n m mẫu nk , việc đặt thừa số chung cho n m mẫu nk rút gọn, khử dạng vô định Kết quả: 0 m < k  a a lim un =  m = k (dấu +∞ −∞ tùy theo dấu ) b0  b0 ±∞ m > k • Đối với biểu thức chứa bậc hai, bậc ba đánh giá bậc tử mẫu để đặt thừa số chung rồ i đưa thức, việc chia tử mẫu cho lũy thừa số lớn n tử mẫu • Đối với biểu thức mũ chia tử mẫu cho mũ có số lớn tử mẫu, việc đặt thừa số chung cho tử mẫu số hạng  Biến đổ i rút gọn, chia tách, tính tổng, kẹp giới hạn, … sử dụng kết biết B BÀI TẬP MẪU Ví dụ Tính giới hạn sau: 2n + a) lim 3n + n − 3n + b) lim 3n + n3 + n − n + c) lim 2n3 + n + 2n + d) lim 3n + n + TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 Ví dụ Tính giới hạn sau: a) lim 3n − n + n3 + 4n + d) lim n5 + n − 3n − 4n3 + 6n + n4 + n5 + ( n + )( 3n + 1) e) lim 4n + n + b) lim −2n3 + 3n − 3n − 2 ( 2n + 1) ( − n ) c) lim f) lim ( 3n + 5) Ví dụ 10 Tính giới hạn sau: a) lim n + 3n − 2n − n + b) lim n − 7n3 − 5n + n + 12 c) lim 2n − n − 3n d) lim 6n + n + 2n + GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sư (Sưu tầ tầm & biên tậ tập) Ví dụ 11 Tính giới hạn sau: a) lim 4n 2.3n + 4n b) lim 3n − 2.5n + 3.5n c) lim 3.2n +1 − 2.3n+1 + 3n d) lim 22 n + 5n + 3n + 5.4n Dạng Khử dạng vô định ∞ - ∞ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Đối với dãy un = am n m + am−1nm −1 + + a0 , am ≠ đặt thừa số chung m cho thừa số lớn n nm Khi đó: lim un = +∞ am > lim un = −∞ am < • Đối với biểu thức chứa thức nhân, chia lượng liên hợp bậc hai, bậc ba để đưa dạng: A− B2 A− B  A+ B=  A+ B =  A− B=  A− B A− B A − B2 A+ B A− B A− B = A+ B     A+ B= A− B= A+ B3 A2 − B.3 A + B A − B3 A+ B = A− B = A2 + B.3 A + B A+ B A2 − A.B + B A− B A2 + A.B + B • Đặc biệt, ta thêm, bớt đại lượng đơn giản để xác định giới hạn có dạng vô định, chẳng hạn: ( =( n3 + − n2 + = n + n + − n3 3 ) ( n + n − n) + (n + ) 2−n ) n3 + − n + n − n + ; 3 • Đối với biểu thức khác, biểu thức hỗn hợp xem xét đặt thừa số chung mũ có số lớn nhất, lũy thừa n lớn TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 B BÀI TẬP MẪU Ví dụ 12 Tính giới hạn sau: a) lim ( n − 14n − ) b) lim ( −2n + 3n − 19 ) c) lim 2n − n + d) lim −8n3 + n − n + Ví dụ 13 Tính giới hạn sau: ( d) lim ( n2 + n + − n a) lim n3 + − n ) ) b) lim ( e) lim ( ) c) lim n +1 − n n n3 + n − n + 3n ) f) lim ( n3 + n − n3 + ) n2 + − n2 + n3 + − n + n GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sư (Sưu tầ tầm & biên tậ tập) Ví dụ 14 Tính giới hạn sau: ( a) lim n n − n + d) lim ( ) n2 + n + − n + b) lim ) e) lim ( n + − 2n ) n + − n +1 c) lim f) lim ( n2 − n − n ) 3n + − 2n + GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sư (Sưu tầ tầm & biên tậ tập) Câu [2D4-2] lim x →+∞ 15 x +2 A 15 Câu 71 15 C D +∞ C +∞ D −∞ 3 C − D −∞ B C +∞ D −∞ C +∞ D −∞ B −2 x + 3x − 15 x →+∞ 2+ x A −1 B −2 [1D4-2] lim Câu 10 [1D4-3] lim x →−∞ ( ) x + x + + x A B Câu 11 [1D4-2] lim− x →1 2x + x −1 A Câu 12 [1D4-2] lim+ x →2 x +7 x−2 A B Câu 13 [1D4-2] Giới hạn lim A −35 Câu 14 [1D4-2] Giới hạn lim+ x →1 A 2n − 5.7 n bao nhiêu? 2n + n B C D −5 2x + bao nhiêu? x2 − B −∞ C +∞ D II PHẦN TỰ LUẬN Câu [1D4-2] Tính giới hạn hàm số sau: 3x − 11x + b) lim x →3 3− x a) lim ( x − x + x + ) x →−∞ Câu [1D4-2] Xét tính liên tục hàm số sau điểm x0 =  x2 − 5x +  f ( x) =  x − − x +  Câu x ≠ x = [1D4-3] Chứng minh phương trình x + x − = có nghiệm khoảng ( −2; ) TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 72 ĐỀ SỐ – THPT Nguễn Trung Trực, Bình Định Phần trắc nghiệm: Câu 1: [1D4-1] Mệnh đề sai? A Hàm số f ( x ) liên tục đoạn [ a; b ] f ( a ) f ( b ) < phương trình f ( x ) = có nghiệm thuộc ( a; b ) B Hàm số f ( x ) gọi gián đoạn x0 x0 không thuộc tập xác định C Hàm số f ( x ) gọi liên tục x0 thuộc tập xác định lim f ( x ) = f ( x0 ) x → x0 D Hàm số f ( x ) liên tục khoảng ( a; b ) f ( a ) f ( b ) < phương trình f ( x ) = có nghiệm thuộc đoạn [ a; b ] Câu 2: [1D4-2] Giới hạn lim 2n − 3n + n4 + n2 + B A Câu 3: x + 5x + x →−4 x+4 B +∞ B x2 − x →−2 x + B −2 [1D4-3] Giới hạn lim x →−∞ A Câu 7: Câu 8: D −3 C −1 D C −4 D C − D +∞ C −1 D C y = x − D y = C D C −2 D x2 − x − x + 2x + B −∞ 2n − 5n [1D4-1] Giới hạn lim n +1 A −∞ B +∞ [1D4-2] Hàm số liên tục ℝ ? A y = sin Câu 9: C [1D4-2] Giới hạn lim A +∞ Câu 6: D −2  x2 −1 x ≠  [1D4-2] Cho hàm số f ( x ) =  x − , a tham số thực Để hàm số liên tục a x =  x0 = giá trị a A Câu 5: C [1D4-2] Giới hạn lim A Câu 4: π x B y = cot x [1D4-1] Giới hạn lim ( x − x3 + ) x →−∞ A −∞ Câu 10: [1D4-2] Giới hạn lim A B +∞ ( 2n − 1)( − n ) n2 − 3n + B 2x − x2 + GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sư (Sưu tầ tầm & biên tậ tập) Câu 11: [1D4-1] Giới hạn lim A 2n3 − 5n + 3n3 − n B Câu 12: [1D4-2] Giới hạn lim− x →2 A +∞ Phần tự luận: 73 x −1 x−2 B C +∞ D C D −∞ Đề A Câu 1: Câu 2: Câu 1: Câu 2: Câu 1: Câu 2: Câu 1: Câu 2: Câu 1: Câu 2: Câu 1: [1D4-2] Tính giới hạn sau a) lim x →1 3x + − − x2 1 − x  [1D4-3] Xét tính liên tục hàm số f ( x ) =  x − x −  2x −  Đề B [1D4-2] Tính giới hạn sau a) lim x→4 2x +1 − 16 − x 2 + x  [1D4-3] Xét tính liên tục hàm số f ( x ) =  x − x +  3x −  Đề C [1D4-2] Tính giới hạn sau a) lim x →1 x+3−2 x − 3x + 2 2 x −  [1D4-3] Xét tính liên tục hàm số f ( x ) =  x + x −  2x −  Đề D [1D4-2] Tính giới hạn sau a) lim x→2 2x + − − x2 1 + x  [1D4-3] Xét tính liên tục hàm số f ( x ) =  x − x −  2x −  Đề E [1D4-2] Tính giới hạn sau a) lim x →1 2x + − x2 −1 3 − x  [1D4-3] Xét tính liên tục hàm số f ( x ) =  x − x − 12  2x −  Đề F [1D4-2] Tính giới hạn sau a) lim x→2 5x −1 − − x2 b) lim ( ) n2 − n + − n x ≤ x > b) lim ( ℝ ) n + 2n − − n x ≤ x > b) lim ( ℝ ) 4n − 2n + − 2n x ≤ x > b) lim ( ℝ ) n2 − n + − n x ≤ x > b) lim ( ℝ ) n − 2n − n x ≤ x > b) lim ( ℝ ) n2 + n + − n TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 Câu 2: Câu 1: Câu 2: Câu 1: Câu 2: Câu 1: Câu 2: Câu 1: Câu 2: Câu 1: Câu 2: 74 2 x −  [1D4-3] Xét tính liên tục hàm số f ( x ) =  x − x −  x − 12  Đề G [1D4-2] Tính giới hạn sau a) lim x →3 x +6 −3 − x2 1 − 3x  [1D4-3] Xét tính liên tục hàm số f ( x ) =  x − x +  3x −  Đề H [1D4-2] Tính giới hạn sau a) lim x →3 x +1 − − x2 2 x −  [1D4-3] Xét tính liên tục hàm số f ( x ) =  x − x +  2x −  Đề I [1D4-2] Tính giới hạn sau a) lim x→2 3x − − x2 − 1 − x  [1D4-3] Xét tính liên tục hàm số f ( x ) =  x − x −  2x −  Đề J [1D4-2] Tính giới hạn sau a) lim x→2 4x +1 − x2 − 3 − x  [1D4-3] Xét tính liên tục hàm số f ( x ) =  x − x −  x − 12  Đề K [1D4-2] Tính giới hạn sau a) lim x →1 5x − − x2 −1 2 x −  [1D4-3] Xét tính liên tục hàm số f ( x ) =  x − x +  2x −  Đề L a) lim 5x + − − x2 Câu 1: [1D4-2] Tính giới hạn sau Câu 2: 4 x −  [1D4-3] Xét tính liên tục hàm số f ( x ) =  x + x −  3x −  x →3 x ≤ x > b) lim ( ℝ ) n + 2n − n x ≤ x > b) lim ( ℝ ) 4n − n + − 2n x ≤ x > b) lim ( ℝ ) n − 3n + − n x ≤ x > b) lim ( ℝ ) n + 4n − − n x ≤ x > b) lim ( ℝ ) n2 + n + − n x ≤ x > b) lim ( ℝ ) n + 3n − − n x ≤ x > ℝ GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sư (Sưu tầ tầm & biên tậ tập) 75 ĐỀ SỐ – THPT Như Xuân, Thanh Hóa Câu [1D4-3] Cho lim x →+∞ A Câu Câu ) x +ax +5 − x = Khi giá trị a là: B 10 2 x − x [1D4-2] Cho hàm số f ( x ) =   x − 3x kết là: A B C 10 x ≥ x < Tính giới hạn hàm số x = ta C Không tồn 2 O A y = 4x +1 2x +1 a −1 2a B a C a − x2 − 4x + [1D4-2] Tính giới hạn lim ta kết là: x →1 x −1 A −3 B C D a + D −2 [1D4-2] Tính giới hạn lim ( x5 + x − x + ) ta kết là: x →+∞ B −∞ C +∞ D [1D4-2] Tìm giớ i hạn lim ( −3n − 2n + 1) ta kết là: A +∞ Câu 1 B y = x3 − x + C y = x − x + D y = x − 3x + 2 x − ( a + 1) x + a kết là: x →+∞ x2 − a A Câu x [1D4-3] Tính lim A Câu D [1D4-3] Đồ thị hàm số hình bên đồ thị hàm số nào? y − Câu D −2 −2 x + ta kết là: x →1 x −1 B +∞ C I Câu D [1D4-1] Tính giới hạn lim+ A −∞ Câu ( B C 2n5 + 2n − ta kết là: n2 + B +∞ C −∞ D −∞ [1D4-2] Tìm giớ i hạn lim A D −1 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 76 Câu 10 [1D4-2] Cho phương trình x − x + x + = (1) mệnh đề mệnh đề sau: A Phương trình (1) có hai nghiệm thuộc khoảng ( 0; ) B Phương trình (1) khơng có nghiệm khoảng ( −2;0 ) C Phương trình (1) khơng có nghiệm khoảng ( −1;1) D Phương trình (1) có nghiệm khoảng ( −2;1) Câu 11 [1D4-2] Cho hàm số f ( x ) xác định [ a; b ] , mệnh đề sau mệnh đề đúng? A Nếu hàm số f ( x ) liên tục, tăng [ a; b ] f ( a ) f ( b ) > phương trình f ( x ) = khơng có nghiệm khoảng ( a; b ) B Nếu hàm số f ( x ) liên tục [ a; b ] f ( a ) f ( b ) > phương trình f ( x ) = khơng có nghiệm khoảng ( a; b ) C Nếu phương trình f ( x ) = có nghiệm khoảng ( a; b ) hàm số f ( x ) phải liên tục ( a; b ) D Nếu f ( a ) f ( b ) < phương trình f ( x ) = có nghiệm khoảng ( a; b ) 3n3 − 2n + Câu 12 [1D4-2] Tìm giớ i hạn lim ta kết là: n3 + 1 A −∞ B C 5n + 2.3n ta kết là: 4n − 5n B −∞ C −1 D +∞ Câu 13 [1D4-2] Tìm giớ i hạn lim A +∞ D  1  Câu 14 [1D4-2] Tìm giá trị S = 1 + + + + + n +  ta kết là:   A B C D 2 2 + + + + 3n − ta kết là: 2n + 3 B C −1 Câu 15 [1D4-3] Tìm giớ i hạn lim A +∞ D −∞ xa − xb với a, b ∈ ℕ* ta kết là: x →+∞ − x Câu 16 [1D4-2] Tính giới hạn lim A ab B a − b  x+4 −2  x Câu 17 [1D4-3] Để hàm số f ( x ) =   2a −  là: A B C b − a D a b x≠0 liên tục điểm x = giá trị a x=0 C D GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sư (Sưu tầ tầm & biên tậ tập) 77 x4 − ta kết là: x →+∞ x + x B −5 C Câu 18 [1D4-2] Tính giới hạn lim A D  x x ≠ Câu 19 [1D4-2] Hàm số f ( x ) =  có tính chất: −15 x = A Liên tục x = x = B Liên tục x = không liên tục x = C Liên tục mọ i điểm D Liên tục x = 1, x = 3, x =  x − 3x −  Câu 20 [1D4-2] Để hàm số f ( x ) =  x−2  ax +1  A B x > liên tục điểm x = giá trị a là: x ≤ C D −3 ĐỀ SỐ – THPT Nho Quan A, Ninh Bình I – PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu 1: Câu 2: [1D4-1] Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn ? n2 − n + n − 3n + n3 + 2n − A lim B lim C lim 2n − n2 + n n − 2n3 [1D4-3] Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn ? 2n + 2n + − n3 A lim n n B lim C lim 3.2 − − 2n n + 2n ( 2n + 1)( n − 3) lim n − 2n3 Câu 3: Câu 6: D ) c xk D −∞ [1D4-1] Với k số nguyên dương, c số Kết giới hạn lim x →+∞ A x0k Câu 5: 2n − 3n n3 + 3n [1D4-3] Trong mệnh đề sau đây, chọn mệnh đề sai n3 − 2n A lim 2n − 3n3 = −∞ B lim = +∞ − 3n − n3 n − 3n3 C lim D lim = −∞ =− n + 2n 2n + 5n − 2 ( Câu 4: D lim B +∞ C [1D4-3] Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn −1 ? 2x −1 1− x −1 x +1− x + x −1 A lim B lim C lim D lim 2 x → x →0 x → x →+∞ x x −1 ( x − 1) x −1 [1D4-2] Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn − ? 2 2n + n +n n3 A lim B lim C lim − 3n −2n − n2 n2 + D lim n − n3 2n3 + TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 Câu 7: [1D4-1] Với số k nguyên dương Kết giới hạn lim x k x → x0 A +∞ Câu 8: Câu 9: 78 B −∞ C D x0k  1  [1D4-2] Tính giới hạn: lim  + + +  n ( n + 1)  1.2 2.3 A B C D [1D4-4] Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn −1 ? x2 − 2x + A lim B lim− x →−∞ x →2 x2 − − x ( x + 1) ( − x ) x3 − C lim+ x2 −1 x →1 + 2x − x+2 D lim + x →( −2 ) Câu 10: [1D4-2] Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn +∞ ? −3 x + −3 x + −3x + A lim+ B lim− C lim x →+∞ x →2 x →2 x−2 x−2 x−2 D lim x →−∞ −3x + x−2 Câu 11: [1D4-1] Với số k nguyên dương Kết giới hạn lim x k x → x0 A x B k C +∞ D −∞ Câu 12: [1D4-2] Giới hạn hàm số có kết 1? x2 + 4x + x + 3x + x + 3x + A lim B lim C lim x →−1 x →−1 x →−1 x +1 x +1 1− x x + 3x + D lim x →−2 x+2 Câu 13: [1D4-3] Tìm mệnh đề mệnh đề sau: A lim x →1 C lim x →1 5− x −2 = − x −1 B lim x− x =− x −1 12 D lim 1 Câu 14: [1D4-4] Tính tổng: S = + + + + 27 A − B II – PHẦN TỰ LUẬN x→ x→ C x − 3x − =− x −4 16 x +1 − x +1 =− x D Câu 15: [1D4-2] Tìm m để hàm số sau liên tục điểm x = :  3x − x + , neáu x ≠  f ( x) =  x −1  5m − 3, neáu x =  Câu 16: [1D4-3] Chứng minh phương trình sau có hai nghiệm: x3 − 10 x − = GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sư (Sưu tầ tầm & biên tậ tập) 79 ĐỀ SỐ – THPT An Hải, Hải Phòng A TRẮC NGHIỆM: (0,5 điểm/ câu * câu = điểm) Câu Giới hạn hàm số sau bao nhiêu: lim x k ( với k nguyên dương) x →+∞ A +∞ B C 14 D k Câu Giới hạn hàm số sau bao nhiêu: lim A Câu x − 2x + x→ B ( x − 2) C Giới hạn hàm số sau bao nhiêu: lim x →+∞ ( D +∞ ) x2 + x − x A Câu B −∞ C D  2x −1  x x ≥ Cho hàm số: f ( x ) =  Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai? x − x  x <  x − A lim− f ( x ) = B lim+ f ( x ) = x →1 C lim f ( x ) = x →1 Câu Câu x →1 D Không tồn giới hạn hàm số f ( x ) x tiến tới Cho hàm số: ( I ) y = sin x , ( II ) y = cos x , ( III ) y = tan x , ( IV ) y = cot x Trong hàm số sau hàm số liên tục ℝ A ( I ) ( II ) B ( III ) ( IV ) C ( I ) ( III ) D ( I ) , ( II ) , ( III ) ( IV ) x2 − 2x Cho hàm số f ( x ) chưa xác định x = : f ( x ) = Để f ( x ) liên tục x = , phải x gán cho f ( ) giá trị bao nhiêu? A −3 B −2 B TỰ LUẬN: (7 điểm) Bài 1: ( điểm) Tính giới hạn hàm số sau: 2x − x→ x + a) lim x2 − x + x →+∞ x + x + b) lim C −1 c) lim x→ D x − 10 − x−2  3x − 11x + x ≠  Bài 2: ( điểm) Tìm m để hàm số f ( x ) =  liên tục x0 = x −3 2 m − x x =  Bài 3: ( điểm) Chứng minh phương trình: a) x + x − = có nghiệm thuộc khoảng ( 0; 1) b) cos x + m cos x = ln có nghiệm với mọ i giá trị tham số m TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 80 ĐỀ SỐ – THPT Đoàn Thượng, Hải Dương PHẦN (3 điểm):Câu hỏi trắc nghiệm Câu 1: Tìm mệnh đề sai mệnh đề: A lim x = +∞ B lim x = −∞ x →−∞ Câu 2: x →−∞ B 300 Cho hàm số f ( x ) = Câu 4: Dãy số sau có giới hạn A un = n2 − 2n 5n + 3n Tính giới hạn lim B un = Tính giới hạn lim D −∞ 17 ? − 2n 5n + 3n 2n +1 − 3.5n + 3.2n + 7.4n B C un = − 2n 5n + 3n D un = 17 n − 5n + 3n C D +∞ C −∞ D +∞ x + x − 15 Tính giới hạn lim x →3 x−3 A +∞ Câu 9: C 20 B −1 A −1 Câu 8: x →−∞ n2 −1 n−2 A Câu 7: D lim x = +∞ 2x − , mệnh đề sau, mệnh đề sai? x −1 A Hàm số liên tục x = B Hàm số liên tục x = C Hàm số liên tục x = D Hàm số liên tục x = Câu 3: Câu 6: x →−∞ Cho lim f ( x ) = , lim g ( x ) = −∞ hỏi lim  f ( x ) g ( x )  giá trị sau: x →+∞ x →+∞ x →+∞ A +∞ Câu 5: C lim 2.x = +∞ B C D Cho hàm số f ( x ) = x + x − Xét phương trình: f ( x ) = (1) , mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai? A (1) có nghiệm khoảng ( −1;1) B (1) có nghiệm khoảng ( 0;1) C (1) có nghiệm ℝ D (1) Vơ nghiệm Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau (với k số nguyên dương): 19 A lim k = B lim n k = +∞ C lim k = n n D lim n k = −∞ Câu 10: Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau A lim ( ) B lim ( −2n3 + 2n + n − 1) = −∞ n − n + n = +∞ D lim ( 2n − 3n ) = +∞ C lim ( −2n + 1) = −1 Câu 11: Trong hàm số sau, hàm số liên tục ℝ A f ( x ) = x − x B f ( x ) = 3x + x −1 C f ( x ) = x2 x +3 D f ( x ) = x GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sư (Sưu tầ tầm & biên tậ tập) 81 Câu 12: Trong phương pháp tìm giới hạn lim x →+∞ ( ) + x − x đây, phương pháp phương pháp thích hợp? A Nhân chia với biểu thức liên hợp ( ) 1+ x + x B Chia cho x C Phân tích nhân tử rút gọn D Sử dụng định nghĩa với x → +∞ Câu 13: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục x0 , hỏi lim f ( x ) giá trị sau đây: x → x0 A f ( x0 ) B f ( ) C f ( −2 ) D f ( 3) Câu 14: Cho lim f ( x ) = , lim g ( x ) = , hỏi lim  f ( x ) + g ( x )  giá trị sau: x → x0 x → x0 x →+∞ A B C D x2 − x Câu 15: Cho f ( x ) = với x ≠ phải bổ sung thêm giá trị f ( ) hàm số 3x f ( x ) liên tục ℝ ? A B C D − PHẦN (7 điểm): Câu hỏi tự luận ĐỀ CHẴN 2n + Câu 16: (2,0 điểm) Tính giới hạn dãy số: a) lim n −1 3.2n + n b) lim n 2.7 − 3.4n Câu 17: (2,0 điểm) Tính giới hạn hàm số: (x b) lim a) lim ( −3x − x + 1) x→ 2 + 2017 ) − x − 2017 x→  3x − x −  Câu 18: (2,0 điểm) Tìm m để hàm số f ( x ) =  x −3  x + mx +  x x > liên tục với mọ i x ∈ ℝ x ≤ Câu 19: (1,0 điểm) Chứng minh phương trình x cos x + x sin x + = có nghiệm ℝ ĐỀ LẺ Câu 16: (2,0 điểm) Tính giới hạn dãy số: a) lim 3n − n +1 b) lim 2.3n + 5n 3.5n − 4.2n Câu 17: (2,0 điểm) Tính giới hạn hàm số: a) lim ( −3x − x + 1) x →1 (x b) lim + 2016 ) + x − 2016 x→  2x2 − 5x +  Câu 18: (2,0 điểm) Tìm giá trị m để hàm số f ( x ) =  x−2  x + mx +  Câu 19: (1,0 điểm) Chứng minh phương trình a − 3b + 10c = x x > liên tục ℝ x ≤ ax + bx + c = có nghiệm biết TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 82 ĐỀ SỐ – Nguồn Internet Đề A Câu 1: (3đ) Tìm giới hạn sau: a) lim 4n3 + 3n − 2n4 + b) lim 27 n3 − 4n + n−6 c) lim 5n3 − n + n − − 2n Câu 2: (4đ) Tìm giới hạn sau: a) lim x2 − 2x − x2 − b) lim x − x + − x3 − x3 c) lim− 5x − x−2 d) lim x + + 5x + − 3x + − x →3 x →2 x →−∞ x→  x + 3x + x ≠ −1  Câu 3: (1,5đ) Xác định a để hàm số f ( x ) =  x + liên tục x = −1 ax + 3x x = −1  Câu 4: (1,5đ) Chứng minh phương trình x − 3x − = có ba nghiệm Đề B Câu 1: (3đ) Tìm giới hạn sau: a) lim n − 3n + 3n5 + b) lim 8n3 − 2n + − 2n c) lim −3n3 + n − 4n − Câu 2: (4đ) Tìm giới hạn sau: a) lim x2 + x − x2 − b) lim 4x2 − 2x + − 6x 2x − c) lim+ 3x − x −3 d) lim x +1 + 2x + − 7x + − x→2 x →3 x →−∞ x →3  x − 3x + x ≠  Câu 3: (1,5đ) Xác định a để hàm số f ( x ) =  x − liên tục x = 3 x − ax + x =  Câu 4: (1,5đ) Chứng minh phương trình x − x + = có ba nghiệm GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sư (Sưu tầ tầm & biên tậ tập) 83 ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM A C D B D A C B A 10 C 11 B 12 C 13 D 14 B 15 A 16 C 17 D 18 A 19 A 20 B 21 C 22 B 23 D 24 A 25 A 26 B 27 C 28 C 29 B 30 B 31 A 32 D 33 B 34 C 35 D 36 B 37 A 38 C 39 D 40 C 41 B 42 B 43 C 44 A 45 B 46 A 47 D 48 A 49 A 50 C 51 D 52 B 53 A 54 D 55 C 56 B 57 A 58 D 59 D 60 B 61 C 62 B 63 C 64 B 65 C 66 A 67 B 68 C 69 A 70 B 71 A 72 B 73 C 74 A 75 D 76 B 77 B 78 C 79 A 80 A 81 D 82 D 83 B 84 C 85 A 86 D 87 D 88 B 89 C 90 A 91 B 92 C 93 A 94 A 95 B 96 C 97 A 98 A 99 100 D D 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 A D C C D D D B B D C B A D B B D C A A 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 A B D C C C B D D D C D A B C D B C A C 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 A B C D B D B C D A C C B A C D A D C B 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 B B A C D B C D B A C A D D B C C D D A 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 D A D C B A B D B B A C D A B B D B C D 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 B A C C D B C B D A C A C B D A C D D A TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 84 MỤC LỤC GIỚI HẠN – LIÊN TỤC Vấn đề GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Dạng Dãy có giới hạn ∞ Dạng Khử dạng vô định ∞ Dạng Khử dạng vô định ∞ - ∞ Dạng Cấp số nhân lùi vô hạn 10 BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ĐỀ 11 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VẤN ĐỀ 13 Vấn đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 20 Dạng Định nghĩa giới hạn 21 Dạng Giới hạn bên 23 ∞ Dạng Khử dạng vô định 25 ∞ Dạng Khử dạng vô định 27 Dạng Khử dạng vô định ∞ - ∞, 0.∞ 29 Dạng Sử dụng đồ thị để tìm giá trị giới hạn 30 BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ĐỀ 33 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VẤN ĐỀ 40 Vấn đề HÀM SỐ LIÊN TỤC 44 Dạng Xét tính liên tục hàm số điểm 45 Dạng Xét tính liên tục hàm số khoảng, đoạn 48 Dạng Chứng minh phương trình có nghiệm 52 Dạng Xét dấu biểu thức 55 BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ĐỀ 56 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VẤN ĐỀ 59 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG 61 CÁC ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 69 ĐỀ SỐ – THPT Nguyễn Trãi, Thanh Hóa 69 ĐỀ SỐ – THPT Hoàng Thái Hiếu, Vĩnh Long 70 ĐỀ SỐ – THPT Nguễn Trung Trực, Bình Định 72 ĐỀ SỐ – THPT Như Xuân, Thanh Hóa 75 ĐỀ SỐ – THPT Nho Quan A, Ninh Bình 77 ĐỀ SỐ – THPT An Hải, Hải Phòng 79 ĐỀ SỐ – THPT Đoàn Thượng, Hải Dương 80 ĐỀ SỐ – Nguồn Internet 82 ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 83 MỤC LỤC 84 ... NGHĨA NGHĨA (Sư (Sưu tầ tầm & biên tậ tập) Chủ đề GIỚI HẠN – LIÊN TỤC Vấn đề GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A - GIỚ GIỚI HẠ HẠN HỮ HỮU HẠ HẠN  Giới hạn hữu hạn • lim un = ⇔ un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ... (nếu un ≥ ) (căn bậc chẵn) 7) lim 2k +1 un = k +1 lim un (căn bậc lẻ) 8) Nếu un ≤ lim = lim un = - Định lí kẹp giới hạn dãy số: Cho ba dãy số ( un ) , ( ) , ( wn ) L ∈ ℝ Nếu un ≤ ≤ wn , ∀n ∈ ℕ... nhân lùi vô hạn Ta có : S = u1 + u1q + u1q +… = u1 (với | q |< ) 1− q TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 B - GIỚ GIỚI HẠ HẠN VÔ CỰ CỰC  Định nghĩa • lim un = +∞ với mỗ i số dương tùy ý cho trước, số hạng