Chứng minh đa giác nội tiếp

D C A B A B D C Phơng pháp chứng minh đa giác nội tiếp một đờng tròn - Biên soạn: Trần Duy Vũ Phơng pháp chứng minh: một tứ giác nội tiếp đờng tròn - các điểm cùng thuộc một đờng tròn Chứng minh tứ giác nội tiếp A. Kiến thức cơ bản 1) Định nghĩa tứ giác nội tiếp: Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đờng tròn gọi là tứ giác nội tiếp đờng tròn (Hay gọi tứ giác nội tiếp ) Và đờng tròn đó gọi là đờng tròn ngoại tiếp của tứ giác. 2) Tính chất: + Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 0 + Đảo lại: Nếu một tứ giác có có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 0 thì tứ giác đó nội tiếp đợc đờng tròn. 3) Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp Dấu hiệu 1: (Dựa vào định nghĩa đờng tròn) Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm cố định là tứ giác nội tiếp Tức là chứng minh tồn tại một điểm O sao cho OA = OB = OC = OD. Dâu hiệu 2: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 0 là tứ giác nội tiếp Tứ giác ABCD có : CA + = 180 0 tứ giác ABCD nội tiếp Dấu hiệu 3: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện là tứ giác nội tiếp Dấu hiệu 4: ( Dựa vào cung chứa góc) Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới các góc bằng nhau Tứ giác ABCD có : ABD = ACD và B, C là hai đỉnh kề nhau tứ giác ABCD nội tiếp B. Bài tập: 1. Củng cố khái niệm, tính chất , dấu hiệu nhận biết Bài 1: Trong các tứ giác sau tứ giác nào là tứ giác nội tiếp ? Giải thích vì sao 1 A = 0 ; C = 180 0 - 0 ACB = ADB B D C A ABCD là hình thang cân D C A B BAD = BCD Phơng pháp chứng minh đa giác nội tiếp một đờng tròn - Biên soạn: Trần Duy Vũ Bài 2: Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai a) Hình thang cân là một tứ giác nội tiếp b) Hình bình hành có bốn điểm c) Các đỉnh của mọt tứ giác bất kỳ nằm trên các đờng tròn d) Hình thang có một góc vuông là một tứ giác nội tiếp 2. Vận dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác nội tiếp Bài 2: a) Cho tứ giác ABCD có hai cạnh đối AB và CD cắt nhau tại M . Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi MA.MB = MC.MD b) Tứ giác ABCD có hai đờng chéo cắt nhau tại M. Chứng minh rằng : Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi MA.MC = MB.MD Bài 3: Cho tam giác ABC có góc A nhọn và các đờng cao BE , CF cắt nhau tại H. Gọi H là điểm dối xứng của H qua BC. Tìm các tứ giác nội tiếp có trong hình vẽ Bài 4: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB . Từ A kẻ hai đờng thẳng cắt tiếp tuyến của đờng tròn tại A ở E và F và cắt đờng tròn tại C và D. Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp. Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) . Các đờng cao AD , BE , CF cắt nhau tại H 2 A D B C C A D B B D A C M O D C A B M O D C A B H' F Ê H B C A D C B O A E F Phơng pháp chứng minh đa giác nội tiếp một đờng tròn - Biên soạn: Trần Duy Vũ Vẽ đờng kính AA của đờng tròn (O) , các đờng thẳng AD , AA cắt EF lần lợt tại M , Q . CA cắt AD tại R a) Chứng minh các tứ giác BCEF và AFDC nội tiếp b) Vẽ đờng kính AA của đờng tròn (O) cắt EF tại Q, cắt CF tại N , BC tại P Chứng minh tứ giác CEQA nội tiếp c) Gọi M là giao điểm của EF với AD. Chứng minh các điểm M , P , Q cùng thuộc một đờng tròn d) Gọi R là giao điểm của AC với AD. Chứng minh tứ giác HRAN nội tiếp Hớng dẫn a) Chứng minh các tứ giác này có hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh nối hai đỉnh còn lại dới các góc bằng nhau b) Chứng minh góc ngoài tại một đỉnh của tứ giác bằng góc trong của đỉnh đối diện: Góc QAC= góc AEF (vì cùng bằng các góc AHF = ABC c) Tứ giác CEQA nội tiếp mà góc ECA = 90 0 nên ta có góc PQM = 90 0 . Từ đó ta có tổng hai góc PQM và góc PDM = 180 0 nên tứ giác MQPD nội tiếp d) Chứng minh góc ngoài của tứ giác bằng góc trong của đỉnh đối diện. Góc NAR = góc AHF Bài 6: Từ điểm P ở ngoài đờng tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến PA và PB. Qua điểm M thuộc đoạn thẳng AB kẻ đờng thẳng vuông góc với OM cắt PA tại C và PB tại D. Chứng minh rằng : a) Các tứ giác OACM , OBDM nội tiếp b) M là trung điểm của CD c) Bốn điểm C , O , D , P có cùng thuộc một đờng tròn không ? Hớng dẫn a) + Chứng minh đỉnh A và M của tứ giác OCAM cùng nhìn cạnh OC dới hai góc bằng nhau + Chứng minh tứ giác OBDM có tổng hai góc đối OMD và OBD bằng 180 0 b) Ta chúng minh tứ giác PAOP nội tiếp và chứng minh hai đỉnh D và P của tứ giác CODP nhình cạnh OC dới các góc bằng nhau 3 N P R Q M A' D F H E O B C A D C O B A M Phơng pháp chứng minh đa giác nội tiếp một đờng tròn - Biên soạn: Trần Duy Vũ Nhận xét: Vậy ta có thể vận dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp để chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đờng tròn Chứng minh các điểm cùng thuộc một đờng tròn A. Một số phơng pháp chứng minh các điểm cùng thuộc một đờng tròn + Dựa vào hai đờng tròn có ba điểm chung thì trùng nhau Ví dụ : để chứng minh 5 điểm ABCDE cùng thuộc một đờng tròn ta chứng minh : bốn điểm ABCD cùng thuộc một đờng tròn và bón điểm ABCE cùng thuộc một đờng tròn. Vì hai đờng tròn này có ba điểm A , B , C chung nên 5 điểm trên cùng thuộc một đờng tròn + Chứng minh các điểm cách đều một điểm cố định + Chứng minh các điểm cùng nhìn đoạn thẳng nối hai điểm dới các góc bằng nhau B. Bài tập Bài 1: Cho hai đờng tròn (O) và (O) cắt nhau tại hai diểm A và B . Một cát tuyến qua A và vuông góc với AB cắt đờng tròn (O) và (O) tại C và D. Tia CB cắt đờng tròn (O) tại M . Tia DB cắt đờng tròn (O) tại N . Chứng minh 5 điểm M , N , A , O , O cùng thuộc một đờng tròn Hớng dẫn + Ta chứng minh bốn điểm A, O, N, O cùng thuộc một đ- ờng tròn và A, O , M , O cùng thuộc một đờng tròn + Mà hai đờng tròn này có ba điểm chung nên 5 điểm trên cùng thuộc một đờng tròn Bài 2: (Đờng tròn chín điểm hay đờng tròn ơ le) Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng các trung điểm của ba cạnh , chân của ba đờng cao , các trung điểm của ba đoạn thẳng nối liền ba đỉnh với trực tâm của tam giác cùng nằm trên một đờng tròn Hớng dẫn. Gọi A . B , C thứ tự là trung điểm của các cạnh BC , AC , AB Gọi D , E , F thứ tự là các chân đờng cao hạ từ A , B , C xuông cạnh đối diện Gọi R , S , T thứ tự là trung điểm của AH , BH , CH Ta chọn ba điểm A , B , C làm gốc sau đó chứng minh các tứ giác sau nội tiếp DCBA , ECAB FCAB RCAB , SABC, TBCA 4 N M D C A B O O' T S R H D E F A' B' C' B C A Phơng pháp chứng minh đa giác nội tiếp một đờng tròn - Biên soạn: Trần Duy Vũ Một số bài tập luyên tập Bài 1: Cho đờng tròn (O) và đờng thẳng xy ở ngoài đờng tròn . Kẻ OA vuông góc với xy . Từ A kẻ cát tuyến ABC với (O). Tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt xy lần lợt tại D và E. a) Chúng minh các tứ giác AOCE và ABOD b) Ta giác ODE là tam giác gì? Vì sao? Hớng dẫn: a) Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 0 và tứ giác có hai đỉnh nhìn cạnh nối hai đỉnh còn lại dới các góc bằng nhau b) Tam giác có hai góc bằng nhau Nhận xét: nếu ta chứng minh hai góc ADO = góc AEO một cách trực tiếp thì có thể khó , nên ta đa các góc này về trong đờng tròn để từ đó vận dụng quan hệ giữa các góc của một đờng tròn để chứng minh chúng bằng nhau Bài 2: Cho A ở ngoài đờng tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC . Gọi I là giao điểm của AO với BC. Vẽ dây MN qua I ( MN < 2R). Chứng minh rằng a) Tứ giác ABOC nội tiếp b) Chứng minh IO.IA = IM.IN và tứ giác MONA nội tiếp c) AO là tia phân giác của góc MAN Hớng dẫn a) Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 0 b) + Tứ giác ABOC nội tiếp nên IB.IC = IO.IA + tứ giác MBCN nội tiếp nên IB.IB = IM.IN Vậy IO.IA = IM.IN Từ đó ta có tam giác OIM đồng dạng với tam giác NIA nên góc MOA = góc MNA suy ra tứ giác MONA nội tiếp c) ta chứng minh OAN = góc OMN = góc ONM = góc OAM Nhận xét: Qua các bài tập trên giúp HS nhìn nhận một bài táon với các yếu tố hình học đợc đa vào trong đờng tròn . Nh vậy khả năng so sánh , chứng minh sẽ rễ ràng hơn ------------------Hết-------------------- 5 E D B A O C M I A O C B N . tròn Chứng minh tứ giác nội tiếp A. Kiến thức cơ bản 1) Định nghĩa tứ giác nội tiếp: Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đờng tròn gọi là tứ giác nội tiếp. 2R). Chứng minh rằng a) Tứ giác ABOC nội tiếp b) Chứng minh IO.IA = IM.IN và tứ giác MONA nội tiếp c) AO là tia phân giác của góc MAN Hớng dẫn a) Tứ giác