Phòng giáo dục Đô Lơng kinh nghiệm dạy hớng dẫn học sinh ôn tập tứ giác nội tiếp đờng tròn a/ đặt vấn đề: 1) Cơ sở lý luận: Các kiến thức hình học nói chung học sinh phổ thông, em thấy khó khăn, việc vận dụng kiến thức vào làm tập khó khăn, riêng phần Tứ giác nội tiếp khái niệm học sinh THCS đợc học cuối chơng trình hình học phẳng lớp 9, mét néi dung cÇn vËn dơng nhiỊu kiÕn thøc em đà học trớc Đồng thời nội dung thờng đợc đa vào tập hình học đề thi cuối cấp THCS Vì để học sinh nắm đợc định nghĩa, tính chất, dấu hiệu từ vận dụng kiến thức đợc học vào làm tập việc làm không đơn giản 2) Cơ sở thực tiễn: Sau nhiều năm dạy toán lớp ôn tập cho học sinh thi kỳ thi cuối cấp THCS , phần Tứ giác nội tiếp đà cố gắng xếp dạy cho em theo trình tự: Hệ thống lại lý thuyết từ ®Þnh nghÜa, tÝnh chÊt, dÊu hiƯu nhËn biÕt tø giác nội tiếp tập chọn tập có nội dung phù hợp với trình độ học sinh, theo mạch từ dễ đến khó, số phát triển đợc nên định hớng cho em phát triển tập định hớng cho em từ cách vẽ hình, híng chøng minh b/ néi dung: I- PhÇn lý thut: * Thông qua tiết 49 50 phân phối chơng trình toán Tứ giác nội tiếp , Luyện tập giáo viên chốt lại cho học sinh vấn đề: Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang Năm học 2008 Phòng giáo dục Đô Lơng 1) Định nghĩa tứ giác nội tiếp: Một tứ giác có đỉnh năm đờng tròn đợc gọi tứ giác nội tiếp đờng tròn (gọi tắt tứ giác nội tiếp) 2) TÝnh chÊt cđa t gi¸c néi tiÕp: Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo góc ối diÖn b»ng 1800 3) DÊu hiÖu nhËn biÕt: + Dấu hiệu 1: (Dựa theo định nghĩa) đỉnh tứ giác thuộc đờng tròn + Dấu hiệu 2: (Dùa theo tÝnh chÊt) Tø gi¸c cã tỉng gãc ®èi diƯn b»ng 1800 + DÊu hiƯu 3: (Dùa theo chứa góc) Tứ giác có đỉnh liên tiếp nhìn đoạn thẳng nối đỉnh lại dới góc không đổi * Thông qua tiết luyện tập ôn tập hớng dẫn học sinh giải hết tập SGK Qua giúp học sinh nắm đợc, đà chứng minh đợc tứ giác nội tiếp thì: - Tổng góc đối diện tứ giác 1800 - Có thể vận dụng tính chất góc đờng tròn qua đỉnh tứ giác để chứng minh phần II- Phần tập: Dạng 1: Vận dụng dấu hiệu để nhận biết chứng minh tứ giác néi tiÕp Bài 1: Cho ∆ABC cã gãc nhän, đờng cao AK , BM , CN cắt H a) Kể tên tứ giác nội tiếp cã h×nh vÏ ? V× sao? b) Chøng minh H tâm đờng tròn nội tiếp MNK Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang Năm học 2008 Phòng giáo dục Đô Lơng A M N H Chứng minh: a) Trên hình vẽ có tứ giác nội tiếp - Tứ giác AMHN nội tiếp vì: à ANH + à AMH = 900 + 900 = 1800 ( gt ) Hc: B C K Hinh (Theo dÊu hiÖu 2) · ANH + · AMH = 900 => ®iĨm A, M, H, N thuộc đờng tròn đờng kính AH (theo dấu hiệu 1) - Tơng tự tứ giác BNHK tứ giác CMHK nội tiếp - Tứ giác ANMC néi tiÕp v×: · · BNC = BMC = 900 (theo dấu hiệu 3) - Tơng tự tứ giác BKMA tứ giác CKNA nội tiếp b) Theo câu a ta có tứ giác BNHK nội tiếp => · · NKH = NBH (1) Tø gi¸c BNMC néi tiÕp => · · NBM = MNN · · Hay NBH = MCN (2) · · MCH = MKH (3) Tø gi¸c CKHM néi tiÕp => Tø (1) (2) vµ (3) => · · NKH = MKH Hay KH phân giác à NKM Chứng minh tơng tự ta có: NH, MH phân giác à à à NKM ; MNK ; NMK Vậy H giao điểm đờng phân giác MNK Hay H tâm đờng tròn nội tiếp MNK Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang Năm học 2008 Phòng giáo dục Đô Lơng Bài 2: Cho ABC, AH đờng cao, hạ HP, HQ lần lợt vuông góc với AB, AC Chứng minh: Tứ gi¸c A BPQC néi tiÕp Q P B C H Hinh Chøng minh: XÐt Tø gi¸c APHQ cã: · APH = · AQH = 900 => Tø gi¸c APHQ néi tiÕp => · AHP = · AQP (2 gãc nội tiếp chắn cung Mà à AHP = à ABH (cïng phơ víi => · BBH = · AQP Lại có: à à AQP + PQC = 1800 ả ) AP · BAH ) (2 gãc kÒ bï) · => · ABH + PQC = 1800 hay · · PBC + PQC = 1800 => Tø gi¸c BPQC néi tiÕp (theo dÊu hiƯu 2) • Sau chøng minh toán, giáo viên đa (hoặc gợi ý để học sinh tự nêu) vấn đề: ã Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang Năm học 2008 Phòng giáo dục Đô Lơng Nếu lấy điểm H thuộc đờng cao AH, kể HP , HQ lần lợt vuông góc với AB, AC Liệu tứ giác BPQC có phải tứ giác nội tiếp không ? Giáo viên hớng dẫn học sinh cách chứng minh hoàn toàn tơng tự Bài tậi tơng t nhà: Bài 3: Cho Tứ giác ABCD có AC vuông góc BA Hạ 0H , 0N lần lợt vuông góc với AB, AC, CD, DA HÃy kể tên chứng minh tứ giác nội tiếp tạo từ điểm A, B, C, D, H, K, M, N, O *Cã số toán, nội dung không nói ®Õn tø gi¸c néi tiÕp nhng chøng minh nÕu sử dụng kiến thức tứ giác nội tiếp có cách giải đơn giản Dạng 2: Sử dụng kiến thức tứ giác nội tiếp để chứng minh Bài 1: Cho ABC nội tiếp (0) kể đờng cao BH CK Chứng minh 0A vuông gãc HK A I H K O B C DA Hinh Chứng minh : Gọi giao điểm KH AO lµ I Ta cã: · · BKC = BHC = 900 ( gt ) =>Tø gi¸c BKHC néi tiÕp (Theo dÊu hiƯu 3) S¸ng KiÕn Kinh NghiƯm Trang Năm học 2008 Phòng giáo dục Đô Lơng => à ACB = · AKH (cïng bï víi · BKH ) (1) Kéo dài AO cắt (O) điểm thứ lµ D => · ADB = · ACB (2 gãc nội tiếp chắn cung AB) Từ (1) (2) suy · AKH = · ADB (2) (3) µ Lại có: ABD vuông B ( ABD = 900 góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) => à à ADB + DAB = 900 (4) · · AKH + DAB = 900 Tõ (3) vµ(4) => Hay · · IKA + IAK = 900 => · AIK = 900 => OA KH Bài 2: Cho (O) từ điểm A (0) kẻ tiếp tuyến AB, AC (B, C tiếp điểm) lấy điểm M cung nhỏ BC Kẻ MI, MH , MK lầ lợt vuông góc với BC, CA, AB gọi P giao điểm BM IK, Q giao điểm CM IH a) Chứng minh MIK MHI đồng dạng b) Chøng minh PQ ⊥ BC B K I M A O H Hinh S¸ng KiÕn Kinh NghiƯm Trang C Năm học 2008 Phòng giáo dục Đô Lơng Chøng minh: a) Ta cã c¸c tø gi¸c MKBI , MHCI nội tiếp (theo dấu hiệu 2) => ả K1 = B1 (2 µ µ I1 = C1 => (2 góc nội tiếp chắn cung) à B1 = C1 (cùng Mà góc nội tiếp chắn cung) chắn cung CM (O)) ả K1 = I1 (1) Chøng minh t¬ng tù ta cã: µ ¶ I1 = H1 Tõ (1) vµ (2) => ∆MIK b) Theo c©u a ta cã: (2) ∆MHI (gg) µ µ µ I1 = C1 = B1 Chøng minh tơng tự ta có ả ả I = C2 = B2 ả à à => B1 + C2 = I1 + I = PIQ XÐt tứ giác MPIQ có: à à à ả PMQ + PIQ = BMC + B1 + C2 = 1800 (tỉng gãc 1∆) Tø gi¸c MPIQ néi tiÕp · µ MQP = I Mµ µ ¶ I = C2 => (2 gãc néi tiếp chắn cung) à ả MQP = C2 Mặt khác (chứng minh trên) ả à MQP C2 vị trí đồng vị đờng thẳng PQ BC => PQ // BC Lại có: MI BC (gt) => MI PQ Bài tập tơng tự nhà Bài 3: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB Điểm M thuộc nửa đ- ờng tròn , điểm C thuộc đoạn OA Trên nửa mặt phẳng bê AB cã chøa M S¸ng KiÕn Kinh NghiƯm Trang Năm học 2008 Phòng giáo dục Đô Lơng vẽ tiếp tuyến Ax, By đờng thẳng qua M vuông góc MC cắt Ax, By P Q AM cắt CP E, BM cắt CQ F a) Chøng minh · PCQ = 1v b) Chøng minh EF// AB Dạng 3: Dạng toán tổng hợp Đối với toán tổng hợp có nhiều câu, hình vẽ có nhiều đờng rờm rà , nên hớng dẫn cho học sinh vẽ câu, hình, hình vẽ câu vẽ đờng cần thiết liên quan đến câu mà Có thể vẽ (ở nháp) yếu tố liên quan với nhau, yếu tố cần chứng minh màu mực hình vẽ nhiều màu mực để nối rõ yếu tố cần chứng minh Từ em dễ dàng chứng minh Bài 1: Cho ABC nhọn, kẻ đờng cao AA’ , BB’ , CC’ Gäi E, F hình chiếu A AB, AC.Gọi K, L hình chiếu B BC, BA Gọi M, N hình chiếu C CA , CB a) Chøng minh FK//AB b) Chøng minh tø gi¸c ALKC néi tiÕp c) Chøng minh tø gi¸c MLKF néi tiÕp d) Chøng minh ®iĨm M, L, E, N, K, F thuộc đờng tròn Chứng minh: a) Chøng minh FK//AB A B' F B Ta cã tứ giác AB A B nội tiếp (vì Sáng Kiến Kinh NghiÖm · ' B = ·AA' = 900 ) AB Trang A' C K Hinh a Năm học 2008 Phòng giáo dục Đô Lơng => à à ABC = CB ' A' (cïng bï A B’ A’ ) (1) Tơng tự ta có tứ giác A B FK néi tiÕp (dÊu hiÖu 3) => · ' B 'C = FKC · A (cïng bï víi Tõ (1) vµ (2) => Mµ gãc · ' KF ) A (2) · · ABC = FKC · · ABC , FKC vị trí đồng vị đờng thẳng KF AB => KF // AB b) Chứng minh tứ giác ALKC nội tiếp A Chứng minh tơng tự (dạng 1) L B' B C K Hinh b c)Chøng minh tø gi¸c MLKF néi tiÕp A L M B' C' B F A' C K Hinh c Chứng minh tơng tự câu a ta có: LM // BC => · AML = · ACB Theo c©u b: · · ACB = BLK (1) (cïng bï · ALK ) (2) Trang Năm học 2008 Theo câu a: KF// AB Sáng Kiến Kinh Nghiệm Phòng giáo dục Đô Lơng => à à BLK = LKF (so le trong) (3) Kết hợp (1) (2) (3) suy L¹i cã: => · · AML + LMF = 1800 (2 gãc kÒ bï) · · LKF + LMF = 1800 => tø gi¸c MLKF néi tiÕp (dÊu hiƯu 2) e) Chøng minh ®iĨm M, L, E, N, K, F thuộc 1đờng tròn Chứng minh tơng tự câu b ta cã tø gi¸c AMNB néi tiÕp => Mµ => · · ABC = NMF · · ABC = NMF M L (theo c©u a) B' · · NMF = FKC L¹i cã: => A · · FKC + FKN = 1800 F C' (2 gãc kÒ bï) E · · NMF + FKN = 1800 B => Tø gi¸c NMFK néi tiÕp (dÊu hiƯu 2) N A' K Hinh d => Điểm N thuộc đờng tròn qua điểm M, K, F (*) Theo câu c ta có tứ giác MLKF nội tiếp => Điểm L thuộc ®êng trßn qua ®iĨm M, K, F (**) Chøng minh tơng tự câu c ta có: tứ giác ENKF nội tiếp =>Điểm E thuộc đờng qua điểm N, K, F Kết hợp (*) => điểm E thuộc đờng tròn điểm M, K, F (***) Từ (*) (**) (***) suy điểm M, L, E, N, K, F thuộc đờng tròn qua ®iÓm M, K, F A L M B' F C' E S¸ng KiÕn Kinh NghiƯm B A' N Trang10 K C Năm học 2008 Hinh 1-3 C Phòng giáo dục Đô Lơng toán này, giáo viên không hớng dẫn em tách thành hình a, hình b, hình c, hình d để làm câu tong ứng a, b, c, d mà để em vẽ chung hình nh hình hình vẽ rậm, có nhiều đờng, em em khó nhìn yếu tố cần để chứng minh Từ việc chứng minh khó khăn nhiều Khi hớng dẫn em tách thành hình nh câu trở thành toán nhỏ, hình vẽ đơn giản đờng, em dễ thấy liên hệ yếu tố từ việc chứng minh dễ dàng Bài tập tơng tự: Bài 2: (đề thi vào THPT năm 2007 2008- Tỉnh Nghệ An) Cho nửa đờng tròn tâm O , đờng kính AB, điểm H nằm điểm A B (H không trùng với O) đờng thẳng vuông góc với AB H, cắt nửa đờng tròn tạo điểm C gọi D E lần lợt chân đờng vuôgn góc kẻ từ H đến AC BC a) Tứ giác HDCE hình ? Vì b) Chứng minh tứ giác A D E B nội tiếp c) Gọi K tâm đờng tiếp tứ giác ADEB Chứng minh DE = 2KO c/ kết luận: Trên kinh nghiệm nhỏ dạy hớng dẫn học sinh ôn tập tứ giác nội tiếp đờng tròn, nhằm giúp em chuẩn bị tốt kỳ thi cuối cấp THCS Tôi thiết nghĩ đà đợc học hệ thống đầy đủ lý Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang11 Năm học 2008 Phòng giáo dục Đô Lơng thuyết cần có hệ thống tập phù hợp với đối tợng học sinh yếu, trung bình, khá, giỏi đáp ứng với nhu cầu học tập em Chẳng hạn , dạng rèn luyện cho học sinh yếu, trung bình biết cách nhận xét,dự đoán tứ giác nội tiếp hình vẽ từ củng cố dấu hiệu, kỹ chứng minh tứ giác nội tiếp dạng 1, dạng nhằm để nâng cao kỹ chứng minh tứ giác nội tiếp từ đa đợc toán tơng tự hay toán tổng quát tập dạng 2, dạng nhằm giúp em thấy đợc ứng dụng tứ giác nội tiếp, ®Ó chøng minh gãc b»ng , ®êng thẳng song song , đờng thẳng vuông góc, chứng minh tập hợp điểm thuộc đờng tròn từ em bớc nắm vững kiến thức, gây hứng thú học tập học toán, nâng cao t lô gíc, vận dụng hợp lý giải toán Với kiến thức có hạn, mạnh dạn đa kinh nghiệm nhỏ Trên nhằm giúp học sinh không ngỡ gặp toán tứ giác nội tiếp hay sử dụng ứng dụng, tứ giác nội tiếp để chứng minh đà có kết khả quan kỳ thi cuối cấp THCS Tuy nhiên ý kiến mang tính chủ quan thân, nên không thẻ tránh khỏi khiếm khuyết , thiết sót Vì mong góp ý phê bình đồng nghiệp để rửa đối dạy ôn tập lần sau có hiệu d/Kiến nghị đề xuất: Hàng năm, sau đợt thi SKKN nên giới thiệu SKKN hay, có tính sáng tạo áp dụng rộng rÃi có hiệu có hiệu qu cách gửi photo đong theo môn, để giáo viên toàn huyện học tập, áp dụng vào dạy mình./ Xin cảm ơn nhiều ! Đô Lơng, ngày tháng năm 2008 Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang12 Năm học 2008 Phòng giáo dục Đô Lơng Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang13 Năm học 2008 Phòng giáo dục Đô Lơng Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang14 Năm học 2008 Phòng giáo dục Đô Lơng Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang15 Năm học 2008 Phòng giáo dục Đô Lơng Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang16 Năm học 2008 Phòng giáo dục Đô Lơng Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang17 Năm học 2008 Phòng giáo dục Đô Lơng Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trang18 Năm học 2008 ... tự tứ giác BNHK tứ giác CMHK nội tiếp - Tứ giác ANMC néi tiÕp v×: · · BNC = BMC = 900 (theo dấu hiệu 3) - Tơng tự tứ giác BKMA tứ giác CKNA nội tiếp b) Theo câu a ta có tứ giác BNHK nội tiếp. .. lại dới góc không đổi * Thông qua tiết luyện tập ôn tập hớng dẫn học sinh giải hết tập SGK Qua giúp học sinh nắm đợc, đà chứng minh đợc tứ giác nội tiếp thì: - Tổng góc đối diện tứ giác ®ã b»ng... 1) Định nghĩa tứ giác nội tiếp: Một tứ giác có đỉnh năm đờng tròn đợc gọi tứ giác nội tiếp đờng tròn (gọi tắt tứ giác nội tiếp) 2) TÝnh chÊt cđa t gi¸c néi tiÕp: Trong tø giác nội tiếp, tổng số