Sử dụng Cauchy trong bài toán chứng minh

A- một số vấn đề lý thuyết A1 Tính chất A C > 0 B D > 0 A.B C.D A2 - Bất đẳng thức Cô si Bất đẳng thức đợc viết dới dạng khác nhau (Chỉ áp dụng với các số không âm) 1) Dạng căn thức ba ba . 2 + 3 3 cba cba ++ n n n aaa n aaa . . 21 21 +++ 2) Dạng lũy thừa ba ba . 2 2 + cba cba 3 3 ++ n n n aaa n aaa . 21 21 +++ 3) Hệ quả a / Hai số không âm có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau b / Hai số không âm có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau. Nếu Thì B- các dạng bài tập vận dụng bất đẳng thức cô si Dạng 1: Vận dụng bất đẳng thức Cô si và tính chất của bất đẳng thức Dạng 2: Tách các số hạng của tổng Dạng 3: Nhân thêm hệ số cho các thừa số Dạng 4: Tìm cách thêm các số hạng thích hợp Dạng 5: Dạng tổng nghịch đảo của các số dơng C- cách giải các dạng bài tập vận dụng bất đẳng thức cô si Dạng 1: Vận dụng bất đẳng thức Cô si và tính chất của bất đẳng thức Ví dụ 1: * Bài toán: Cho a > 0, b > 0 Chứng minh rằng: (a+2)(b+2)(a+b) 16ab * Phân tích và cách giải: - Bất đẳng thức cần chứng minh là tích của 3 tổng dơng vì a>0, b>0. Do vậy ta có thể vận dụng bất đẳng thức Cô si kết hợp với tính chất của bất đẳng thức: Nếu A C > 0 B D > 0 Thì: A.B C.D - áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: aa .2.22 + <1> bb .2.22 + <2> baba 2 + <3> - Nhân từng vế của <1>, <2>, <3> ta có: abbababa .2.2.8))(2)(2( +++ ab16 <Điều phải chứng minh> - Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b =2 Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 2 Ví dụ 2: * Bài toán: Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng: 9 111 )( ++++ cba cba * Giải: - áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: 3 .3 cbacba ++ <1> 3 1 .3 111 cbaaaa ++ <2> - Nhân từng vế của <1> và <2> ta có: 3 3 1 9 111 )( cba cba cba cba ++++ 9 <Điều phải chứng minh> - Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b = c * Nhận xét: - Mở rộng từ bài toán trên ta có bài toán tổng quát: Cho a 1 , a 2 , . , a n là các số dơng thì ta có: 2 21 21 1 . 11 ) .( n aaa aaa n n ++++++ - Dấu đẳng thức xảy ra khi : a 1 = a 2 = . = a n Ví dụ 3: * Bài toán: Cho a,b,c > 0 và a + b + c =1 Chứng minh rằng: 64 1 1. 1 1. 1 1 + + + cba Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 3 * Giải: - áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: 4 2 .41 cbaacbaa +++=+ <1> 4 2 .41 cbabcbab +++=+ <2> 4 2 .41 cbaccbaa +++=+ <3> - Nhân từng vế của <1>, <2>, <3> ta có: ( ) ( ) ( ) cbacba .641.1.1 +++ <4> Vì a,b, c >0 nên abc > 0. Chia cả hai vế của <4> cho abc ta đợc: 64. )1( . )1( . )1( +++ c c b b a a 64 1 1. 1 1. 1 1 + + + cba <Điều phải chứng minh> - Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b = c = 3 1 Bài tập đề nghị: * Bài 1: Cho a 1, b 1 Chứng minh rằng: ababba + 11 * Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: xx P += 1 21 Với 0 < x < 1 * Bài 3: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Xác định hình dạng của tam giác sao cho biểu thức: cba c bca b acb a Q + + + + + = nhỏ nhất Dạng 2: Tách các số hạng của tổng Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 4 Ví dụ 1: * Bài toán: Cho a, b là hai số dơng thoả mãn a + b = 5 Chứng minh rằng: a 2 .b 3 108 * Giải: - áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 5 số dơng ta có: 5 3 b . 3 b . 3 b . 2 a . 2 a 333225 1 ++++ bbbaa ( ) 5 32 108 b . a ba 5 1 + 5 32 108 b . a 1 a 2 .b 3 108 <Điều phải chứng minh> - Dấu đẳng thức xảy ra khi : 32 ba = , mà a + b =5 a = 2 và b = 3 Ví dụ 2: * Bài toán: Tính số đo các góc của tam giác ABC sao cho biểu thức: M = A.B 2 .C 3 Đạt giá trị lớn nhất * Giải: - áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 6 số dơng ta có: 6 3 C . 3 C . 3 C . 2 B . 2 B .A 333226 1 +++++ CCCBB A ( ) 6 32 108 C . B .A 6 1 ++ CBA 6 32 108 C . B .A 30 108 C . B .A 30 32 6 AB 2 C 3 108.30 6 Vậy M = AB 2 C 3 đạt giá trị lớn nhất khi: Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 5 30 6 180 622 == ++ === CBACB A = 30 0 = 60 0 = 90 0 Giá trị lớn nhất là : M max = 108.30 6 Ví dụ 3: * Bài toán: Cho x 2 , 0 và m,n là các sô nguyên dơng. Tím giá trị lớn nhất của hàm số: y = sin m x.cos n x * Giải: - Nhận xét: Vì sin 2 x + cos 2 x = 1 x nên ta viết: 2 cos . 2 cos 2 sin . 2 sin cossin 2222 22 n x n x m x m x xx +++++=+ 2 m số hạng 2 n số hạng - áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 22 nm + số dơng ta có: 2 nm 2 n 2 m nm2222 2 n . 2 m xcos .x sin 2 n xcos . 2 n xcos 2 m xsin . 2 m xsin2 + +++++ + nm 2 m số hạng 2 n số hạng ( ) 2 nm 2 n 2 m nm 22 2 n . 2 m xcos .x sin xcos x sin 2 + + + nm 2 nm 2 n 2 m nm 2 n . 2 m xcos .x sin nm 2 + + 2 n 2 m nm 2 2 n . 2 m xcos .x sin nm 2 + + nm 22 n 2 m nm nm 2 . 2 n . 2 m xcos .x sin nm + + Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 6 Vậy Giá trị lớn nhất của y là : 22 n 2 m max nm 2 . 2 n . 2 m y nm + + = - Dấu đẳng thức xảy ra khi : 2 n xcos 2 m xsin 22 = n.sin 2 x - m.cos 2 x = 0 n.(1 - cos 2 x ) - m.cos 2 x = 0 n - ( m + n ).cos 2 x = 0 nm n cos 2 + = x nm n cos + = x x = + 2k Trong đó : nm n arccos + = Bài tập đề nghị: * Bài 1: Chứng minh rằng: Ryx , ta có: x 2 + y 2 + 1 xy + x + y * Bài 2: Cho a, b, c là ba số không âm thoả mãn điều kiện a + b + c = 1 Chứng minh rằng: 6 +++++ accbba Dạng 3: Nhân thêm hệ số cho các thừa số Ví dụ 1: * Bài toán: Cho a [ ] 2 ; 0 ; b [ ] 4 ; 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: F = (2 - a).(4 - b).(3a + 2b) Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 7 * Phân tích và cách giải: - Ta có: 2 - a + 4 - b + 3a + 2b = 2a + b + 6 phụ thuộc vào a,b nên không thể vận dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số hạng này. Nếu ta nhân thêm hệ số vào các thừa số ta sẽ đợc các thừa số mới mà tổng không đổi. - Trong biểu thức có (3a + 2b), nên: + Để khử a ta dùng 3(2 - a) + Để khử b ta dùng 2(4 - b) - áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: ( ) [ ] )23()4.(22.3 3 1 )23).(4.(2).2.(3 3 babababa ++++ 3 14 .6 3 F 3 3 14 6F 81 1372 F Vậy Giá trị lớn nhất của F là : 81 1372 max = = F - Dấu đẳng thức xảy ra khi : 3.(2-a) = 2.(4-b) = 3a + 2b 3 5 9 4 = = b a Ví dụ 2: * Bài toán: Cho x [ ] 1 ; 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y = (1 - x) 2 . (1 + 4x) * Giải: - Ta có thể viết y = (1-x).(1-x).(1+4x) - Biểu thức có 1 + 4x nên: Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 8 + Để khử x ta dùng 2.(1-x) và 2.(1-x) - áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: ( ) [ ] )41()1.(21.2 3 1 )41).(1.(2).1.(2 3 xxxxxx ++++ 3 5 4 3 y 3 3 3.4 5 y 108 125 y Vậy Giá trị lớn nhất của y là : 108 125 max = = y - Dấu đẳng thức xảy ra khi : 2.(1-x) = 1 + 4x 6 1 = x Ví dụ 3: * Bài toán: Cho x [ ] 1 ; 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: xxy = 1 . * Giải: - Ta có thể viết y = )1.(.)1.( 2 xxxxx = + Để khử x ta dùng 2.(1-x) - áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: [ ] )1.(2 3 1 )1.(2 3 xxxxxx ++ 3 2 )1.(.2 3 2 xx 3 2 3 2 )1.(.2 xx 27 4 )1.( 2 xx y = 3 9 2 )1.(1 . 2 = xxxx Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 9 Vậy Giá trị lớn nhất của y là : 3 9 2 max = = y - Dấu đẳng thức xảy ra khi : x = 2.(1-x) 3 2 = x Bài tập đề nghị: * Bài 1: Cho a, b, c là ba số dơng có tổng là hằng số. Tìm a, b, c sao cho: A = ab + bc + ca là lớn nhất * Bài 2: Cho x [ ] 1 ; 0 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: nn xxy = 1 . Với Nn * Bài 3: Một mảnh vờn hình chữ nhật và một mảnh vờn hình vuông có chu vi bằng nhau. Hãy cho biết mảnh vờn nào có diện tích lớn hơn ? Vì sao ? * Bài 4: Cho x 0; y 0 và x + y = 6 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: A = x 2 y.(4 - x - y) Dạng 4: Tìm cách thêm các số hạng thích hợp Ví dụ 1: * Bài toán: Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng: zyx x z z y y x ++++ 2 3 2 3 2 3 * Phân tích và cách giải: Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 10 [...]... vụ s phạm với đề tài Sử dụng bất đẳng thức Cô si trong bài toán chứng minh Trong tiểu luận này, chúng tôi đã tìm tòi, chọn lọc một hệ thống các bài toán điển hình để giải theo các dạng cụ thể Qua đó, nhóm thực hiện đề tài đã cùng nhau trao đổi, tích luỹ và bổ xung những kinh nghiệm trong giảng dạy bộ môn toán nói chung, đặc biệt là sử dụng bất đẳng thức Cô si trong bài toán chứng minh ở các khối 8 ,... đợc: Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 13 a+b+c r r r = + + a + b + c ha hb hc 1 1 1 1 + + = ha hb hc r - áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: 1 1 1 (ha + hb + hc ) + + 9 h a hb hc 1 9 r ( ha + hb + hc ) ha + hb + hc 9.r - Dấu đẳng thức xảy ra khi : ha = hb = hc Hay a = b = c ABC là đều Ví dụ 2: * Bài toán: Chứng minh rằng trong. .. tức là ABC đều Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 14 Ví dụ 3: * Bài toán: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta luôn có : tg A B C A B C + tg + tg 9.tg tg tg 2 2 2 2 2 2 Trong đó: A, B, C là số đo các góc của ABC * Phân tích và giải: + Ta có: 1 1 1 + + = A B C tg tg tg 2 2 2 tg A B B C C A tg + tg tg + tg tg 2 2 2 2 2 2 A B C tg tg tg 2 2 2 + Dễ dàng chứng minh đợc: tg A... phải chứng minh> A B C = tg = tg , tức là ABC đều 2 2 2 Bài tập đề nghị: * Bài 1: Cho a, b, c là các số dơng Chứng minh rằng: 1 1 1 + a b + 1 1 1 + b c + 1 1 1 + c a a +b+c 2 * Bài 2: Chứng minh rằng trong một tam giác ta luôn có : ra + rb + rc ha + hb + hc Trong đó: ha ; hb ; hc là các đờng cao hạ từ các đỉnh A, B, C ra ; rb ; rc là bán kính đờng tròn bàng tiếp trong các góc A, B, C của ABC Sử dụng. .. - Dấu đẳng thức xảy ra khi : x = y = z Ví dụ 2: * Bài toán: Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng: x2 y2 z2 1 1 1 + + + + y3 z 3 x3 x y z * Phân tích và cách giải: - Xét số hạng thứ nhất + Để khử tử số của x2 y3 x2 y3 cần nhân với 1 1 và x x Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 11 - áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: x2 1 1 x2 1 1 + + 3.3 3 y3 x x y x x x2... 1 1 + 3 + + n 3 + n3 + + + 3 a1 a2 an a2 a3 an a1 Bài tập đề nghị: * Bài 1: Cho a, b, c, d là các số dơng Chứng minh rằng: a 2 b2 c 2 d 2 1 1 1 1 + + + + + + b5 c 5 d 5 a 5 a 3 b 3 c3 d 3 * Bài 2: Cho a, b, c là ba số dơng Chứng minh rằng: Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 12 a 5 b 5 c5 2 + 3 + 3 a + b2 + c2 3 b c a Dạng 5: Dạng tổng nghịch đảo của các số dơng Từ bất... x y z x +y+z Vận dụng kết quả trên để giải quyết một số bài toán Ví dụ 1: * Bài toán: Chứng minh rằng trong một tam giác ta luôn có : ha + hb + hc 9r Trong đó: ha ; hb ; hc là các đờng cao hạ từ các đỉnh A, B, C và r là bán kính đờng tròn nội tiếp của ABC * Phân tích và cách giải: - Xem xét một quan hệ giữa các đờng cao ha ; hb ; hc và bán kính đờng tròn nội tiếp r + Dễ dàng chứng minh đợc : 1 1 1... + y + z - Dấu đẳng thức xảy ra khi : x = y = z Nhận xét: Mở rộng từ hai bài toán trên với x, y, z > 0 ta có bài toán tổng quát sau: Bài toán tổng quát: Cho a1, a2, , an là n số dơng thì ta có: 3 3 3 3 a1 a2 a 1 a + 2 + + n 2 + n2 a1 + a2 + + an 2 a2 a3 an a1 2 2 2 2 a1 a2 a 1 a 1 1 1 + 3 + + n 3 + n3 + + + 3 a1 a2 an a2 a3 an a1 Bài tập đề nghị: * Bài 1: Cho a, b, c,... này có thể sử dụng nh một tài liệu tham khảo để cùng chia sẻ kinh nghệm với các đồng nghiệp và làm tài liệu h ớng dẫn sử dụng bất đẳng thức Cô si trong bài toán chứng minh cho học sinh khối 8 , khối 9 và học sinh giỏi Chúng tôi - Nhóm thực hiện đề tài xin chân thành cảm ơn sự hớng dẫn tận tình của Thầy Nguyễn Tiến Tài cùng sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô giáo tổ Phơng pháp giảng dạy-Khoa Toán, trờng... tg 2 2 2 tg A C B C A B tg + tg tg = 1 tg tg 2 2 2 2 2 2 tg A C B C A B tg + tg tg + tg tg = 1 2 2 2 2 2 2 tg - áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: B C 1 1 1 A + tg + tg + + tg B C 2 2 tg A 2 tg tg 2 2 2 9 Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 15 tg A B C + tg + tg 2 2 2 9 1 1 1 + + A B C tg tg tg 2 2 2 A B C tg tg A B C 2 2 2 tg + tg + tg 2 2 2 tg A . = b = c, tức là ABC đều. Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 14 Ví dụ 3: * Bài toán: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta luôn. của tổng Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 4 Ví dụ 1: * Bài toán: Cho a, b là hai số dơng thoả mãn a + b = 5 Chứng minh rằng: