ap dung dinh ly Viet trong mot so viẹc giải bai toan

áp dụng định lý Vi - ét việc giải số toán ================================================================================================================== A. Phần mở đầu. 1. lý chọn đề tài. Trong chơng trình sách giáo khoa Toán lớp THCS, học sinh đợc làm quen với phơng trình bậc hai: Công thức tính nghiệm phơng trình bậc hai, đặc biệt định lý Viét ứng dụng việc giải toán. Song qua việc giảng dạy Toán trờng T.H.C.S nhận thấy em vận dụng hệ thức Viét vào giải toán cha thật linh hoạt, cha biết khai thác sử dụng hệ thức Viét vào giải nhiều loại toán, hệ thức Viét có tính ứng dụng rộng rãi việc giải toán. Đứng trớc vấn đề đó, sâu vào nghiên cứu đề tài: áp dụng định lý Viét việc giải số toán với mong muốn giúp cho học sinh nắm vững sử dụng thành thạo định lý Viét, đồng thời làm tăng khả năng, lực học toán kích thích hứng thú học tập học sinh. 2. đối tợng phạm vi nghiên cứu. Trong đề tài này, đa nghiên cứu số ứng dụng định lý Viét việc giải số toán thờng gặp cấp T.H.C.S. Do đề cập đến số loại toán là: a) ứng dụng định lý Viét giải toán tìm điều kiện tham số để toán thoả mãn yêu cầu đặt b) ứng dụng định lý giải toán lập phơng trình bậc hai ẩn, tìm hệ số phơng trình bậc hai ẩn. c) ứng dụng định lý Viét giải toán chứng minh. d) áp dụng định lý Viét giải phơng trình hệ phơng trình. e) Định lý Viét với toán cực trị. 3.tình hình thực tế học sinh lớp trờng thcs Ninh Xuân: Đa số học sinh khối em gia đình nông nên thời gian học lớp nhiều học sinh lao động gia đình em giành nhiều thời gian cho việc giúp gia đình làm kinh tế nên giành thời gian cho việc học. Mặt khác số học sinh coi nhẹ, xem thờng việc học, lời học dẫn đến việc hổng kiến thức lớp dới không nắm vững kiến thức lớp. Nhiều học sinh =========================================================== áp dụng định lý Vi - ét việc giải số toán ================================================================================================================== hạn chế khả sử dụng ngôn ngữ toán học, khả trình bày toán . 4. việc làm thân Để giúp học sinh nắm vững kiến thức phơng trình bậc hai việc dùng định lý viét, trình giảng dạy đa số toán việc sử dụng định lý viét dể giải dẫn đến kết nhanh hơn. B. nội dung. Định lý Viét: Nếu x1, x2 hai nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = (a 0) thì: b x + x2 = a x .x = c a * Hệ quả: (trờng hợp đặc biệt) a) Nếu phơng trình ax2 + bx + c = (a 0) có a + b + c = phơng trình có nghiệm là: x1 = nghiệm là: x2 = c a b) Nếu phơng trình ax2 + bx + c = (a 0) có a - b + c = phơng trình có nghiệm là: x1 = - nghiệm là: x2 = * Nếu có hai số u v thoả mãn điều kiện c a u + v = S u.v = P u, v hai nghiệm phơng trình: x2 Sx + P = 0. điều kiện để có hai số u, v là: S2 4P 0. Sau số ví dụ minh hoạ cho việc ứng dụng định lý Viét giải số dạng toán. I. ứng dụng định lý viét giải toán tìm điều kiện tham số để toán thoả mãn yêu cầu đặt ra. 1. Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm giá trị m để nghiệm x1, x2 phơng trình =========================================================== áp dụng định lý Vi - ét việc giải số toán ================================================================================================================== mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = thoả mãn điều kiện x12 + x 22 = Bài giải: Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm (phân biệt nghiệm kép): m ; ' ' = (m - 2)2 - m(m - 3) = - m + ' m 4. Với m 4, theo định lý Viét, nghiệm x ; x2 phơng trình có liên hệ: x1 + x = m3 2(m 2) ; x1.x2 = m m 2(m 3) Do đó: = x12 + x 22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m 2) - m m m2 = 4m2 - 16m + 16 - 2m2 + 6m m2 - 10m + 16 = m = m = Giá trị m = không thoả mãn điều kiện m Vậy với m = x12 + x 22 = Ví dụ 2: Cho phơng trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0. Tìm m để phơng trình có nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn 1 x1 + x + = x1 x2 Bài giải: ' = ( (m 2)) (m + 2m 3) > (1) Ta phải có: x1 .x (2) 1 x1 + x (3) x + x = (1) ' = m2 - 4m + - m2 - 2m + = - 6m + > m < (2) m2 + 2m - (m - 1)(m + 3) m 1; m - x +x x +x 2 (3) x .x = ( x1 + x2 )(5 x1 .x2 ) = Trờng hợp: x1 + x2 = x1 = - x2 m = không thoả mãn điều kiện (1) Trờng hợp: - x1.x2 = x1.x2 = =========================================================== áp dụng định lý Vi - ét việc giải số toán ================================================================================================================== Cho ta: m2 + 2m - = (m - 2)(m + 4) = m = (loại) m = (thoả mãn Đ K) Vậy với m = - phơng trình cho có nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn x + x2 1 + = x1 x Ví dụ 3: Cho phơng trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = (m tham số). a) Xác định m để nghiệm x1; x2 phơng trình thoả mãn x1 + 4x2 = b) Tìm hệ thức x1; x2 mà không phụ thuộc vào m Bài giải: 2( m +1) x1 + x2 = m m x .x = m a) Ta phải có: x + x = m ' = ( ( m +1) m(m 4) Từ (1) (3) tính đợc: x2 = Thay vào (2) đợc (1) (2) (3) (4) m2 5m + ; x1 = 3m 3m (m 2)(5m + 8) m 2m2 - 17m + 8=0 = m 9m Giải phơng trình 2m2 - 17m + = Vậy với m = m = 4x2 = 3. đợc m = 8; m = thoả mãn điều kiện (4). nghiệm phơng trình thoả mãn x1 + b) Theo hệ thức Viét: Thay x1 + x = + m x1 + x = - m (*) = x1 + x2 - vào (*) đợc x1x2 = - 2(x1 + x2 - 2) m Vậy x1.x2 = - 2(x1 + x2) Ví dụ 4: Với giá trị m hai phơng trình sau có nghiệm chung: x2 + 2x + m = (1) =========================================================== áp dụng định lý Vi - ét việc giải số toán ================================================================================================================== x2 + mx + = (2) Bài giải: Gọi x0 nghiệm chung phơng trình ta có x02 + x0 + m = x02 + mx0 + = Trừ theo vế hai phơng trình ta đợc (m - 2)x0 = m - Nếu m = hai phơng trình x2 + 2x + = vô nghiệm Nếu m x0 = từ m = - Với m = - 3: (1) x2 + 2x = 0; có nghiệm x1 = x2 = - Và (2) x2 - 3x + = 0; có nghiệp x3 = x4 = Rõ ràng với m = - hai phơng trình có nghiệm chung x = 1. 2. Bài tập: Bài 1: Cho phơng trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = (1) Tìm giá trị tham số m để phơng trình có (1) có nghiệm x1 = 2x2. Bài 2: Cho phơng trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = a) Tìm m để phơng trình có nghiệm. b) Tìm m để phơng trình có nghiệm trái dấu. Khi hai nghiệm, nghiệm có giá trị tuyệt đối lớn hơn? c) Xác định m để nghiệm x1; x2 phơng trình thoả mãn: x1 + 4x2 = 3. d) Tìm hệ thức x1, x2 mà không phụ thuộc vào m. Bài 3: a) Với giá trị m hai phơng trình sau có nhật nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó? x2 - (m + 4)x + m + = (1) x2 - (m + 2)x + m + = (2) b) Tìm giá trị m để nghiệm phơng trình (1) nghiệm phơng trình (2) ngợc lại. II. ứng dụng định lý viét toán lập phơng trình bậc hai ẩn, tìm hệ số phơng trình bậc hai ẩn số =========================================================== áp dụng định lý Vi - ét việc giải số toán ================================================================================================================== 1. Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho x1 = +1 ; x2 = 1+ Lập phơng trình bậc hai có nghiệm là: x1; x2 +1 Ta có: x1 = Nên x1.x2 = ; x2 = 1+ = (1 + )(1 ) = +1 . = 1+ x1 + x2 = + + = 1+ Vậy phơng trình bậc hai có nghiệm: x1; x2 x2 - x+ =0 Hay 2x2 - x + = Ví dụ 2: Cho phơng trình: x2 + 5x - = (1) Không giải phơng trình (1), lập phơng trình bậc hai có nghiệm luỹ thừa bậc bốn nghiệm phơng trình (1) Cách giải: Gọi x1; x2 nghiệm phơng trình cho theo hệ thức viét, ta có: x1 + x2 = -5; x1.x2 = - Gọi y1; y2 nghiệm phơng trình phải lập, ta có: y1 + y2 = x14 + x 24 y1 y2 = x14 .x 24 Ta có: x14 + x 24 = (x12 + x22)2 - 2x12.x22 = 729 = 727 x14 .x 24 = (x1.x2)4 = (- 1)4 = Vậy phơng trình cần lập là: y2 - 727y + = Ví dụ 3: Tìm hệ số p q phơng trình: x2 + px + q = cho hai x1 x = 3 x x = 35 nghiệm x1; x2 phơng trình thoả mãn hệ: Các giải: Điều kiện = p2 - 4q (*) ta có: =========================================================== áp dụng định lý Vi - ét việc giải số toán ================================================================================================================== x1 + x2 = -p; x1.x2 = q. Từ điều kiện: ( x x ) = 25 x1 x = 2 x x = 35 ( x x ) x1 + x1 x + x = 35 ( ) q ( x + x ) 4x x = 25 p = 25 p2 q = ( x + x ) x1 x2 + x1 x = 35 ( ) Giải hệ tìm đợc: p = 1; q = - p = - 1; q = - Cả hai cặp giá trị thoả mãn (*) 2) Bài tập: Bài 1: Lập phơng trình bậc hai có nghiệm + 3+ Bài 2: Lập phơng trình bậc hai thoả mãn điều kiện: Có tích hai nghiệm: x1.x2 = x1 x + = k2 x1 x2 k Bài 3: Xác định có số m, n phơng trình: x2 + mx + n = Sao cho nghiệm phơng trình làm m n. Iii. ứng dụng định lý viét giải toán chứng minh. 1. Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho a, b nghiệm phơng trình: x2 + px + = b, c nghiệm phơng trình x2 + qx + = Chứng minh: (b - a)(b - c) = pq - 6. Hớng dẫn học sinh giải. Đây toán chứng minh đẳng thức thông thờng, mà đẳng thức thể liên quan nghiệm phơng trình hệ số phơng trình đó. Vì đòi hỏi phải nắm vững định lý Viét vận dụng định lý Viét vào trình biến đổi vế đẳng thức, để suy hai vế nhau. Cách giải: a,b nghiệm phơng trình: x2 + px + = b,c nghiệm phơng trình: x2 + qx + = 0. Theo định lý viét ta có: a + b = - p b + c = - q a.b = b.c = =========================================================== áp dụng định lý Vi - ét việc giải số toán ================================================================================================================== Do đó: (b a)(b c) = b2 + ac - (1) pq = (- p)(- q) = (a + b)(b + c) = b2 + ac + Suy ra: pq - = b2 + ac +3 = b2 + ac - (2) Từ (1) (2) suy (b - a)(b - c) = pq - (đpcm) Vídụ 2: Cho số a,b,c thoả mãn điều kiện: a+b+c=-2 (1); a2 + b2 + c2 = Chứng số a, b, c thuộc đoạn trục số: ;0 (2) biểu diễn Cách giải: Bình phơng hai vế (1) đợc: a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = Do (2) nên: ab + bc + ca = (4 - 2): = bc = - a(b + c) = - a(- - a) = a2 + 2a + Ta lại có: b + c = - (a + 2), b, c nghiệm phơng trình: X2 + (a + 2)X + (a2 + 2a + 1) = (*) Để (*) có nghiệm ta phải có: = (a+2)2 - 4(a2+2a+1) a(3a + 4) Chứng minh tơng tự ta đợc: - a0 4 b 0; - c 3 2. Bài tập: Bài 1: Gọi a, b hai nghiệm phơng trình bậc hai: x2 + px + = 0. Gọi c, d hai nghiệm phơng trình: y2 + qy + = Chứng minh hệ thức: (c-a)(a-b)(b-c)(b-d) = (p-q)2 Bài 2: Chứng minh viết số x = ()200 dới dạng thập phân, ta đợc chữ số liền trớc dấu phẩy 1, chữ số liền sau dấu phẩy 9. iii. áp dụng định lý viét giải phơng trình hệ phơng trình. 1. Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phơng trình: x x x x+ =6 x +1 x +1 =========================================================== áp dụng định lý Vi - ét việc giải số toán ================================================================================================================== Hớng dẫn: ĐKXĐ: {xR x - 1} Đặt: 5x u = x. x + 5x = x + x +1 u + = ? u. = ? Tính: u, v, từ tính x. Bài giải: ĐKXĐ: {x R x - 1} 5x u = x. x +1 Đặt: (*) 5x = x + x +1 x x u + = x. x + + x + x + u + = u. = x. x . x + x u. = x +1 x +1 u, v nghiệm phơng trình: x2 - 5x + = = 25 24 = +1 =3 x2 = =2 x1 = u = v = u = v = u = (*) trở thành: = Nếu: x2 - 2x + = ' = = - < Phơng trình vô nghiệm: u = (*) trở thành: x2 - 3x + = = Nếu: Suy ra: x1 = 1; x2 = Vậy phơng trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 2. Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình: a) x + y = 11 xy = 31 b) x + y + yx = xy + x y = 12 Bài giải: a) x,y nghiệm phơng trình: x2 - 11x +31 = =========================================================== áp dụng định lý Vi - ét việc giải số toán ================================================================================================================== =(-11)2 - 4.1.31 = 121 124 = - < Phơng trình vô nghiệm Vậy hệ phơng trình cho vô nghiệm. b) Đặt x + y = S xy = P S + P = Ta có hệ: S.P = 12 Khi S P hai nghiệm phơng trình: t2 7t + 12 = 0. Giải phơng trình đợc t = t = 3. + Nếu S = P = x, y nghiệm phơng trình: u2 - 4u + = u = u = Suy (x = 1; y = 3) (x = 3; y = 1) + Nếu S = P = x, y nghiệm phơng trình: v2 3v + = Phơng trình vô nghiệm = - 16 = - < Vậy hệ cho có hai nghiệm số là: (x = 1; y = 3) (x = 3; y =1) 2. Bài tập: Bài 1: Giải phơng trình: x3 + 9x2 + 18 + 28 = Bài2: Giải hệ phơng trình sau: x+y =9 a) 2 x + y = b) x+y=3 4 x + y = 17 V. Định lý viét với toán cực trị: 1. Các ví dụ: Ví dụ 1: Gọi x1, x2 nghiệm phơng trình: x2 - (2m - 1)x + m = Tìm m để x12 + x22 có giá trị nhỏ Bài giải: Xét: = 4m2 - 4m + - 4m + = 4m2 - 8m + = 4(m - 1)2 + > Nên phơng trình cho có hai nghiệm với m =========================================================== áp dụng định lý Vi - ét việc giải số toán ================================================================================================================== Theo định lý Viét ta có: x1 + x2 = 2m - 1; x1.x2 = m - 2 x1 + x2 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = (2m - 1)2 - 2(m - 2) 11 11 ) + 4 =4m2 - 6m + = (2m - Dấu = xảy m = Vậy Min(x12 + x22) = 11 m = 4 Ví dụ 2: Gọi x1; x2 nghiệm phơng trình: 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = Tìm giá trị lớn biểu thức: A =x1x2 - 2x1 - 2x2 Cách giải: Để phơng trình cho có nghiệm thì: ' = (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3) = - (m + 1)(m + 5) -5 m-1 (*) Khi theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = - m - x1 .x2 = m + 4m + m + 8m + Do đó: A = Ta có: m2 + 8m + = (m + 1)(m + 7) với điều kiện (*) thì: (m + 1)(m + 7) 0. 2 Suy ra: A = m + 8m = (m + 4) Dấu xảy (m + 4)2 = hay m = - Vậy A đạt giá trị lớn là: m = - 4, giá trị thoả mãn điều kiện (*). Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A=(x4 + 1) (y4 + 1), biết x, y 0; x + y = Cách giải: A = (x4 + 1)(y4 + 1) = x4 + y4 + y4x4 + =========================================================== áp dụng định lý Vi - ét việc giải số toán ================================================================================================================== Ta có: x + y = x2 + y2 = 10 - 2xy x4 + y4 + 2y2x2 = 100 - 40xy + 4x2y2 x4 + y4 = 100 - 40xy + 2x2y2 Đặt : xy = t x4 + y4 = 100 - 40t + 2t2 Do A = 100 - 40t + 2t2 + t4 + = t4 + 2t2 40t + 101 a) Tìm giá trị nhỏ nhất: A = t4 - 8t2 + 16 + 10t2 - 40t + 40 + 45 = (t2 - 4)2 + 10(t - 2)2 + 45 45 Min(A) = 45 t = 2, xy = 2; x + y = nên x y nghiệm phơng trình X2 - X + = 0. Tức x = 10 + ; y = 10 x = 10 ; y = 10 + 2 b) Tìm giá trị lớn nhất: 5 x + y 10 Ta có: xy = t = (1) Viết A dới dạng: A = t(t3 + 2t - 40) + 101. Do (1) nên t3 125 125 ; 2t t3 + 2t - 40 + - 40 < t nên 8 A 101 Max(A) = 101 t = tức x = 0; y = x = ; y = 2. Bài tập: Bài 1: Gọi x1, x2 nghiệm phơng trình. x2 + 2(m - 2)x - 2m + = Tìm m để x12 + x 22 có giá trị nhỏ nhất. Bài 2: Cho phơng trình: x2 - m + (m - 2)2 = Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức A = x1x2 + 2x1 + 2x2 Bài 3: Cho phơng trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = (m tham số). Tìm m cho nghiệm x1; x2 phơng trình thoả mãn 10x1x2 + x12 + x 22 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó. C. Kết luận. =========================================================== áp dụng định lý Vi - ét việc giải số toán ================================================================================================================== ứng dụng định lý Viét việc giải toán vấn đề lớn, đòi hỏi ngời học phải có tính sáng tạo, có t tốt kỹ vận dụng lý thuyết cách linh hoạt. Chính lẽ đó, trình giảng dạy, ngời giáo viên cần chuẩn bị chu đáo, tỉ mỉ, rõ ràng thể loại tập cụ thể để học sinh hiểu sâu chất cách vận dụng. Xây dựng cho em niềm đam mê, hứng thú học tập, tôn trọng suy nghĩ, ý kiến sáng tạo em. Cần thờng xuyên kiểm tra, đánh giá kết học tập, bổ sung thiếu sót kịp thời, dạy sâu, dạy kết hợp nhuần nhuyễn, lôgic khác nhau. Nghiên cứu đề tài ứng dụng định lý Viét việc giải toán không giúp cho học sinh yêu thích học môn toán, mà sở giúp cho thân có thêm kinh nghiệm giảng dạy. Mặc dù cố gắng thực đề tài, song tránh khỏi thiếu sót cấu trúc, ngôn ngữ kiến thức khoa học. Vì vậy, mong quan tâm đồng chí, đồng nghiệp góp ý kiến chân thành để đề tài hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn! Ninh Xuân, ngày 16 tháng năm 2009 Ngời viết Trần Danh Lợi =========================================================== [...]... =========================================================== áp dụng định lý Vi - ét trong việc giải một số bài toán ================================================================================================================== ứng dụng của định lý Viét trong việc giải toán là một vấn đề lớn, đòi hỏi ngời học phải có tính sáng tạo, có t duy tốt và kỹ năng vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt Chính vì lẽ đó, trong quá trình giảng dạy, ngời giáo... thú trong học tập, tôn trọng những suy nghĩ, ý kiến và sáng tạo của các em Cần thờng xuyên kiểm tra, đánh giá kết quả học tập, bổ sung thiếu sót kịp thời, dạy sâu, dạy chắc và kết hợp nhuần nhuyễn, lôgic giữa các bài khác nhau Nghiên cứu đề tài ứng dụng của định lý Viét trong việc giải toán không chỉ giúp cho học sinh yêu thích học bộ môn toán, mà còn là cơ sở giúp cho bản thân có thêm kinh nghiệm trong. .. này thoả mãn điều kiện 2 (*) Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A=(x4 + 1) (y4 + 1), biết x, y 0; x + y = Cách giải: A = (x4 + 1)(y4 + 1) = x4 + y4 + y4x4 + 1 =========================================================== áp dụng định lý Vi - ét trong việc giải một số bài toán ==================================================================================================================...áp dụng định lý Vi - ét trong việc giải một số bài toán ================================================================================================================== Theo định lý Viét ta có: x1 + x2 = 2m - 1; x1.x2 = m - 2 2... = xảy ra khi m = Vậy Min(x12 + x22) = 3 4 11 3 khi m = 4 4 Ví dụ 2: Gọi x1; x2 là nghiệm của phơng trình: 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =x1x2 - 2x1 - 2x2 Cách giải: Để phơng trình đã cho có nghiệm thì: ' = (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3) = - (m + 1)(m + 5) 0 -5 m-1 (*) Khi đó theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = - m - 1 2 x1 x2 = m + 4m + 3 2 m 2 + 8m + 7 Do đó: A... định lý Viét trong việc giải toán không chỉ giúp cho học sinh yêu thích học bộ môn toán, mà còn là cơ sở giúp cho bản thân có thêm kinh nghiệm trong giảng dạy Mặc dù đã rất cố gắng khi thực hiện đề tài, song không thể tránh khỏi thiếu sót về cấu trúc, ngôn ngữ và kiến thức khoa học Vì vậy, tôi mong sự quan tâm của các đồng chí, đồng nghiệp góp ý kiến chân thành để đề tài này hoàn thiện hơn Xin chân thành . vào giải nhiều loại bài toán, trong khi đó hệ thức Viét có tính ứng dụng rất rộng rãi trong việc giải toán. Đứng trớc vấn đề đó, tôi đi sâu vào nghiên cứu đề tài: áp dụng định lý Vi- ét trong. đặc biệt là định lý Viét và ứng dụng của nó trong việc giải toán. Song qua việc giảng dạy Toán 9 tại trờng T.H.C.S tôi nhận thấy các em vận dụng hệ thức Viét vào giải toán cha thật linh hoạt, cha biết. toán đó là: a) ứng dụng của định lý Viét trong giải toán tìm điều kiện của tham số để bài toán thoả mãn các yêu cầu đặt ra b) ứng dụng của định lý trong giải bài toán lập phơng trình bậc hai một