sáng kiến Khai thác, phát triển từ một bài toán hình học lớp 9”

Để giúp các em học sinh tháo gỡ những khó khăn trong quá trình học tập bộ môn Toán, đặc biệt là phân môn Hình học, đồng thời, giúp các em phát triển tư duy lô gíc, hình thành cho các em cách nghiên cứu khoa học trong quá trình học tập, tôi đã nảy sinh sáng kiến: “Khai thác, phát triển từ một bài toán hình học lớp 9”.

TÓM TẮT NỘI DUNG SÁNG KIẾN

Môn Toán có vai trò quan trọng trong đời sống và trong khoa học kỹthuật Vì vậy, người thầy phải có phương pháp dạy học để phát huy được tínhtích cực học tập của học sinh

Khi dạy những em học sinh khá, giỏi cần tạo ra những tình huống có vấn

đề trong mỗi bài toán để các em tìm tòi, nghiên cứu và phát hiện ra những kết

luận mới, từ đó tôi đã nảy sinh sáng kiến: “Khai thác, phát triển từ một bài toán hình học lớp 9”.

Nội dung sáng kiến “Khai thác, phát triển từ một bài toán hình học lớp 9” được trình bày trên cơ sở:

- Thông qua việc giải bài tập trong sách giáo khoa hình thành các bài tập

có nội dung phong phú và đa dạng hơn

- Thông qua việc khai thác, phát triển bài toán, hình thành chuỗi các bàitập có nội dung liên quan, lấy bài tập này làm cơ sở để phát triển các bài tập kếtiếp

- Ngoài ra, bằng cách thay đổi, thêm, bớt một số yếu tố trong đề bài củabài toán, ta cũng có các bài toán thú vị và khá độc đáo

Qua việc khai thác, phát triển “Bài toán gốc” trong sách giáo khoa Toán 9 thành 16 bài toán đã giúp các em học sinh nhận thấy: việc khai thác, phát triểncác bài toán cơ bản trở thành những bài toán khó có ý nghĩa quan trọng trongquá trình học tập Nó giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn về một bài toán, đồng thờikhắc sâu cho các em về những kiến thức cơ bản và nâng cao Việc khai thác,phát triển "Bài toán gốc" cũng phần nào giúp các em học sinh làm quen với việc

tự học, tự tìm tòi nghiên cứu tài liệu, điều đó sẽ giúp ích cho các em trong suốtquá trình học tập sau này

Để áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy, người thầy cần phải:

- Dạy cho học sinh nắm chắc, hiểu sâu kiến thức cơ bản và tăng cườngluyện tập để các em vận dụng thành thạo các kiến thức đó

- Phát huy tính sáng tạo, tự lực của học sinh bằng cách đổi mới phươngpháp giảng dạy, áp dụng có hiệu quả phương pháp dạy học lấy học sinh làmtrung tâm Bằng kết quả đạt được, bằng tín hiệu từ học trò, thầy luôn điều chỉnhnội dung truyền tải và vận dụng phương pháp cho phù hợp, có hiệu quả cao.

- Tìm ra được mối quan hệ giữa các phần kiến thức, tạo ra sự móc xíchlôgíc giữa các nội dung kiến thức, làm cơ sở khai thác, phát triển kiến thức sâurộng hơn

Khi dạy những em học sinh khá, giỏi tôi luôn tạo ra những tình huống cóvấn đề trong mỗi bài toán để các em tìm tòi, nghiên cứu và phát hiện ra nhữngkết luận mới, từ đó các em đặt ra thêm yêu cầu mới và khó hơn cho bài toán.Vấn đề đặt ra là: việc hướng dẫn học sinh khai thác, phát triển từ những bài toán

cơ bản trong sách giáo khoa như thế nào cho hiệu quả, để phát triển nó thànhnhững bài toán khó là một việc làm không phải dễ đối với mỗi chúng ta

Để giúp các em học sinh tháo gỡ những khó khăn trong quá trình học tập

bộ môn Toán, đặc biệt là phân môn Hình học, đồng thời, giúp các em phát triển

tư duy lô gíc, hình thành cho các em cách nghiên cứu khoa học trong quá trình

học tập, tôi đã nảy sinh sáng kiến: “Khai thác, phát triển từ một bài toán hình học lớp 9”.

1.2 Phạm vi nghiên cứu và đối tượng áp dụng:

- Khai thác, phát triển bài tập 31 (Trang 116- SGK Toán 9- Tập 1- NXB

Giáo dục)

- Áp dụng dạy đối tượng học sinh lớp 9 khá, giỏi khi ôn thi vào lớp 10THPT, ôn thi học sinh giỏi các cấp

1.3 Mục tiêu nghiên cứu:

Khai thác, phát triển một bài toán hình trong sách giáo khoa thành nhiềubài toán khác có liên quan nhằm phát huy năng lực sáng tạo, hình thành tư duynghiên cứu khoa học cho học sinh

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau đây:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phương pháp khảo sát thực tiễn

- Phương pháp đặc biệt hoá

- Phương pháp phân tích

- Phương pháp tổng hợp

- Phương pháp khái quát hóa

2 Thực trạng của việc khai thác, phát triển bài toán.

Qua quá trình công tác giảng dạy, tôi thấy:

- Đa số học sinh, sau khi tìm được một lời giải đúng cho bài toán thì các

em hài lòng và dừng lại, mà không tìm lời giải khác, không khai thác thêm bàitoán, không sáng tạo gì thêm nên không phát huy hết tính tích cực, độc lập, sángtạo của bản thân

- Học sinh còn học vẹt, làm việc rập khuôn, máy móc Từ đó dẫn đến làmmất đi tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân

- Không ít học sinh thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp họctập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập

- Học không đi đôi với hành, làm cho bản thân học sinh ít được củng cố,khắc sâu kiến thức, ít được rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếp thu kiến thứcmới, do đó năng lực cá nhân không được phát huy hết.

- Việc chuyên sâu một vấn đề nào đó, liên hệ được các bài toán với nhau,phát triển một bài toán sẽ giúp cho học sinh khắc sâu được kiến thức Quantrọng hơn là nâng cao được tư duy cho các em học sinh, giúp học sinh có hứngthú hơn khi học toán

3 Các giải pháp, biện pháp thực hiện

3.1 Kiến thức cơ bản cần nhớ.

3.1.1 Khái niệm tiếp tuyến của đường tròn:

Nếu đường thẳng a và đường tròn (O) chỉ có một điểm chung C thì đườngthẳng a gọi là tiếp tuyến của đường tròn (O) Điểm C gọi là tiếp điểm

3.1.2 Các tính chất của tiếp tuyến:

* Đinh lí 1:

Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông gócvới bán kính đi qua tiếp điểm

* Định lí 2: (Tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau).

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm

- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếptuyến

- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính

đi qua các tiếp điểm

3.1.3 Đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác.

* Đường tròn nội tiếp tam giác.

Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nộitiếp tam giác (hay tam giác ngoại tiếp đường tròn) Tâm của đường tròn nội tiếptam giác là giao điểm của các đường phân giác trong của tam giác

* Đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếptam giác (hay tam giác nội tiếp đường tròn) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tamgiác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác.

3.1.4 Bất đẳng thức Cauchy(Cô-Si) áp dụng cho 2 số không âm.

Với 2 số a, b không âm, ta có: .

Bài 31 (Trang 116 - SGK Toán 9 – Tập 1 – NXB giáo dục).

Trên hình 82, tam giác ABC ngoại

tiếp đường tròn (O)

a) Ta có: AB, AC, BC là tiếp tuyến của đường tròn(O) (gt)

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta được:

AD = AF; BD = BE; CE = CF

Do đó:

AB + AC – BC = (AD + BD) + (AF + CF) – (BE + CE)

= (AD + AF) + (BD – BE) + (CF – CE)

= (AD + AD) + (BD – BD) + (CE – CE) = 2.AD (Đpcm).

b) Chứng minh tương tự câu a, ta được các hệ thức sau:

2.BD = 2.BE = AB + BC – AC ; 2.CE = 2.CF = AC + BC – AB

3.3 Khai thác, phát triển "Bài toán gốc".

Với việc áp dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, chúng ta dễ dàngchứng minh được bài tập 31- Trang 116 - SGK Toán 9 tập 1 Nhưng nếu biết

O A

B

C

F D

E

cách khai thác, phát triển bài toán này theo những cách khác nhau thì chúng ta sẽkhám phá được những kết quả đáng khích lệ.

Hay 8.AD.BE.CF abc�

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c, nghĩa là ABC là tam giác đều.Như vậy từ bài tập 31- Trang 116 - SGK Toán 9 tập 1 (ta gọi là “Bài toángốc”) nếu biết cách khai thác, phát triển bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cô-Sithì ta sẽ có bài toán mới sau đây:

Bài toán 1: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O) với các tiếp điểm trên

các cạnh AB, BC, CA lần lượt là D, E, F Chứng minh: 8.AD BE CF

≤AB.BC.AC

3.3.2 Từ “Bài toán gốc” nếu ta đặc

biệt hóa bài toán thành: Tam giác

ABC vuông tại đỉnh A(AB = c,

3.3.3 Từ “Bài toán gốc” nếu ta

đặc biệt hóa bài toán, cho tam giác ABC

vuông tại đỉnh A (AB = c, AC = b, BC =

a) Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp

tam giác vuông ABC thì OD = OE =

OF = r Khi đó ta thấy tứ giác ADOF là

hình (do � � $A D F 90 , OD OF   0  )

O

F D

B

A

� AD OD r  mà ADb c a 

b c ar

Áp dụng bất đẳng thức Cô - Si cho 2 số dương, ta có: a2   �b2 c2 2bc

Từ việc khai thác, phát triển như trên, ta có bài toán 3 như sau:

Bài toán 3:

Cho tam giác ABC (A 90� 0) Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam

giác, a là độ dài cạnh huyền Chứng minh rằng: r 2 1

Bài toán 4:

Cho tam giác ABC ( �A 90 0) Gọi R, r lần lượt là bán kính của đường

tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp tam giác Chứng minh rằng: R 2 1

r � 

6.3.5 Từ “Bài toán gốc” nếu ta đặc

biệt hóa bài toán: cho tam giác ABC

vuông tại đỉnh A (AB = c, AC = b,

BC = a) Gọi r là bán kính đường

tròn nội tiếp, R là bán kính đường

tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC

thì ta có thể khai thác, phát triển theo

hướng khác như sau:

A

lại có OD//AN( vì cùng vuông góc với AB)

Áp dụng định lý Ta-lét trong tam giác ABN ta được:

Nếu khai thác, phát triển theo hướng này thì được bài toán 7 như sau:

Bài toán 7 : Cho tam giác ABC (A 90� 0) Gọi O là tâm đường tròn nộitiếp Đường thẳng CO, BO cắt AB, AC lần lượt tại M, N Chứng minh:

BN CM  BO CO

Bài toán 7 tương tự một phần của bài hình trong đề thi tuyển sinh vào lớp

10 THPT - tỉnh Hải Dương năm học 1999 – 2000

Như vậy, nếu biết khai thác, phát triển như trên thì việc tìm ra lời giải củamột phần khó trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT sẽ đơn giản hơn

3.3.8 Vẫn cho tam giác ABC

nội tiếp của các tam giác ABC,

ABH, ACH thì ta có thể khai

82

(O2; r2) lần lượt là đường tròn nội tiếp của các tam giác ABC, ABH, ACH.Chứng minh:

3.3.9 Ta tiếp tục khai thác, phát triển

bài toán 8 theo cách đi tìm mối

quan hệ giữa AH và r

Theo bài toán 8 ta có r, r, r là độ1 2

dài 3 cạnh của một tam giác vuông

Với cách khai thác, phát triển như trên, ta đã tìm ra thêm mối quan hệ giữa

đường cao AH với bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC Từ đó

ta có bài toán sau:

Bài toán 9: Cho tam giác ABC ( �A 90 0), đường cao AH Gọi r là bán kínhđường tròn nội tiếp Chứng minh rằng: AH > 2r

r B

O

H E

3.3.10 Cũng bắt đầu từ “Bài toán

gốc” (giả sử AB>AC), nếu ta tiếp

tục kẻ đường trung tuyến AD Gọi

(O1); (O2) lần lượt là các đường

tròn nội tiếp tam giác ABD, ACD

Đường tròn (O1); (O2) lần lượt tiếp

F

E

O A

B

C

F D

E

Như vậy, từ hình vẽ của “Bài toán gốc” nếu khai thác theo hướng trên thì ta

có bài toán 11 như sau:

3.3.12 Từ kết quả của Bài toán 11, ta có: S ABC  p r (11) Nếu ta gọi h h h a, ,b c

lần lượt là các đường cao tương ứng với các cạnh a, b, c cuả tam giác ABC

a b c ABC

Với cách khai thác, phát triển như trên ta thu được bài toán 12 như sau:

Bài toán 12: Cho tam giác có: h h h a, ,b c lần lượt là các đường cao, r là bán

kính của đường tròn nội tiếp Chứng minh: 1 1 1 1

Nếu khai thác, phát triển như trên ta có bài toán 13 như sau:

Bài toán 13: Cho tam giác có: h h h a, ,b c lần lượt là các đường cao, r là bán kính của đường tròn nội tiếp Chứng minh: h a  �h b h c 9r.

3.3.14 Nếu ta tiếp tục bổ sung thêm điều kiện: a2 b2 �c2 thì có thể phát triển tiếp bài toán như sau:

Nếu khai thác, phát triển theo cách này thì ta có bài toán 14 như sau:

Bài toán 14: Cho tam giác có độ dài các cạnh a, b, c thoả mãn điều kiện

a b � c

Gọi p, r, h c lần lượt là nửa chu vi, độ dài bán kính đường tròn nội tiếp, độ dài

đường cao ứng với cạnh c của tam giác Chứng minh rằng: 25

c

r

Bài toán 14 chính là một phần trong đề thi vào lớp 10 THPT chuyên tỉnh

Ninh Bình, năm học 2008-2009 Như vậy nếu biết khai thác, phát triển nhữngbài toán đơn giản trong SGK thì ngay cả những bài khó trong đề thi vào lớp 10THPT chuyên cũng trở nên đơn giản

Kết quả của bài toán 14 vẫn đúng khi a2 b2  Với điều kiện này, c2

theo định lý đảo của định lý Py-ta-go ta có tam giác ABC vuông tại C

3.3.15 Từ hình vẽ của

“Bài toán gốc” ta nối OA

và DF cắt nhau tại H Nối

OB và DE cắt nhau tại K

Nối OC và FE cắt nhau

tại I

O I K H

F

C E

B D A

Ta có: OD = OF (bán kính)

AD = AF (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

� OA là đường trung trực của đoạn thẳng DF

OA là đường trung trực của đoạn thẳng DF

� H là trung điểm của DF

� EH là đường trung tuyến của VDEF

Tương tự ta có: FK, DI cũng là đường trung tuyến của VDEF

� EH, FK, DI đồng quy

Nếu khai thác, phát triển như trên ta được bài toán 15 như sau:

Bài toán 15: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O) D, E, F lần

lượt là các tiếp điểm của đường tròn (O) với các cạnh AB, BC, AC AO cắt DF tại H, BO cắt DE tại K, CO cắt EF tại I Chứng minh:

a) 2( AH AO. + BK BO. + CI CO. ) = AB + AC + BC

b) Các đường thẳng EH, FK, DI đồng quy.

3.3.16 Từ “Bài toán gốc” khi ∆ABC

có Â=900 thì AD là bán kính r của (O)

B

A

Bài toán 16: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi C là điểm

tùy ý trên nửa đường tròn, D là hình chiếu vuông góc của C trên AB Tia phângiác của góc ACD cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ hai là E, cắt tiaphân giác của góc ABC tại H Gọi I là giao điểm của CE với phân giác của gócBAC Trên BH lấy K sao cho HK=HD Gọi J là giao điểm của AI và BH Xácđịnh vị trí điểm C để tổng khoảng cách từ I, J, K đến AB là lớn nhất

N M F

G O

J K I

Gọi IF, JM, KN là khoảng cách từ I, J, K đến AB

Ta có I, J, K lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác vuông ACD, ABC, BCD

� IF, JM, KN lần lượt là bán kính của các đường tròn nội tiếp các tam giác vuông ACD, ABC, BCD

� CD lớn nhất khi C là điểm chính giữa của cung AB

Vậy IF+JM+KN lớn nhất khi C là điểm chính giữa của cung AB

- Một số em bước đầu đã biết cách khai thác, phát triển bài toán đã giải, đềxuất bài toán mới.

Để đánh giá hiệu quả của việc áp dụng sáng kiến này, tôi kiểm tra đánh giáchất lượng các em học sinh khá, giỏi lớp 9A được dạy theo cách áp dụng sángkiến để đối chứng với các em học sinh khá, giỏi lớp 9B dạy theo cách thôngthường Thời gian làm bài của các em là 45 phút

Đề bài:

Câu 1: ( 8 điểm ).

Cho tam giác ABC vuông tại C có ba cạnh là a, b, c.

Gọi S, p, r, h c lần lượt là diện tích, nửa chu vi, độ dài bán kính đường tròn nội tiếp, độ dài đường cao thuộc cạnh c của tam giác Chứng minh rằng:

Điểm

6,5�7,8

Điểm 8,0�10

số bài đạt điểm giỏi nhiều hơn, không có bài dưới trung bình

Ở lớp 9B, các em học bài nhưng chỉ dừng lại ở việc tìm ra lời giải màkhông đào sâu suy nghĩ, phát triển bài toán nên nhiều em làm bài còn lúng túng,

mất thời gian và kết quả cũng thấp hơn, số bài đạt điểm giỏi ít hơn, còn 1 bàiđiểm dưới trung bình.

Trong quá trình áp dụng kinh nghiệm này vào giảng dạy, tôi rút ra một sốbài học sau:

- Phải dạy cho học sinh nắm chắc, hiểu sâu kiến thức cơ bản và tăng cườngluyện tập để các em vận dụng thành thạo các kiến thức đó

- Phát huy tính sáng tạo, tự lực của học sinh bằng cách đổi mới phươngpháp giảng dạy, áp dụng có hiệu quả phương pháp dạy học lấy học sinh làmtrung tâm Bằng kết quả đạt được, bằng tín hiệu từ học trò, thầy luôn điều chỉnhnội dung truyền tải và vận dụng phương pháp cho phù hợp, có hiệu quả cao

- Cần tìm ra được mối quan hệ giữa các phần kiến thức, tạo ra sự móc xíchlôgíc giữa các nội dung kiến thức, làm cơ sở khai thác, phát triển kiến thức sâurộng hơn

- Khi khai thác, phát triển một bài toán ta có thể đặc biệt hóa, bổ sung dữkiện cho bài toán theo nhiều khía cạnh khác nhau Việc hướng dẫn học sinh cáchkhai thác, phát triển như vậy sẽ giúp các em tăng thêm hứng thú trong học tập

bộ môn Toán, ham mê học tập và nghiên cứu tài liệu, từ đó phát triển thànhnhững bài toán mới hay hơn và khó hơn

5 Điều kiện để sáng kiến được nhân rộng.

- Đối với học sinh:

Phải nắm chắc kiến thức cơ bản và vận dụng linh hoạt vào các bài toán khác Phải có lòng say mê học tập không ngại khó, thường xuyên đọc các tài liệutham khảo

- Đối với giáo viên:

Phải có trình độ chuyên môn vững vàng để không những có lời giải hay mà cònkhai thác và phát triển các bài toán thành những bài toán hay hơn, đa dạng hơn

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ