tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ
TÍCH PHÂN KÉP TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2016 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2016 / 106 NỘI DUNG ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN KÉP TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2016 / 106 NỘI DUNG ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN KÉP TÍCH PHÂN KÉP TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ-CÁC TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2016 / 106 NỘI DUNG ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN KÉP TÍCH PHÂN KÉP TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ-CÁC TÍCH PHÂN KÉP TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỰC TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2016 / 106 NỘI DUNG ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN KÉP TÍCH PHÂN KÉP TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ-CÁC TÍCH PHÂN KÉP TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỰC ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN KÉP TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2016 / 106 Định nghĩa tích phân kép Đặt vấn đề Cho z = f (x, y) hàm xác định miền đóng D = {(x, y) ∈ R2 : a x b, c y d} Ω = {(x, y, z) ∈ R3 : z f (x, y), (x, y) ∈ D} Tính thể tích V vật thể Ω TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2016 / 106 Định nghĩa tích phân kép TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Đặt vấn đề TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2016 / 106 Định nghĩa tích phân kép TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Đặt vấn đề TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2016 / 106 Định nghĩa tích phân kép TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Đặt vấn đề TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2016 / 106 Định nghĩa tích phân kép Cho hàm số f (x, y) Định nghĩa 0, ∀(x, y) ∈ D ĐỊNH NGHĨA 1.1 Tích phân kép hàm số f (x, y) miền D m n f (xij∗ , yij∗ )∆x∆y f (x, y)dxdy = lim m,n→∞ D i=1 j=1 giới hạn tồn Lúc f (x, y) gọi hàm khả tích D TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2016 / 106 Ứng dụng hình học tích phân kép S = 1+ − D TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Tính diện tích mặt cong x − x2 − y + − TÍCH PHÂN KÉP y − x2 − y dxdy = TP HCM — 2016 101 / 106 Ứng dụng hình học tích phân kép S = Tính diện tích mặt cong x 1+ − − x2 − y D 2π = − r2 0 + − y − x2 − y dxdy = rdr dϕ = 2π = −3 − r2 r=3 r=0 dϕ = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2016 101 / 106 Ứng dụng hình học tích phân kép S = Tính diện tích mặt cong x 1+ − − x2 − y D 2π = − x2 − y dxdy = − r2 0 + − y rdr dϕ = 2π = −3 − r2 r=3 r=0 dϕ = 2π 9dϕ = 18 ϕ = 2π = 18.2π = 36π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2016 101 / 106 Ứng dụng hình học tích phân kép Tính diện tích mặt cong VÍ DỤ 4.10 Tính diện tích phần mặt cầu x2 + y + z2 = nằm phía mặt trụ x2 + y = 2y TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2016 102 / 106 Ứng dụng hình học tích phân kép Tính diện tích mặt cong VÍ DỤ 4.10 Tính diện tích phần mặt cầu x2 + y + z2 = nằm phía mặt trụ x2 + y = 2y TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2016 102 / 106 Ứng dụng hình học tích phân kép TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) Tính diện tích mặt cong TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2016 103 / 106 Ứng dụng hình học tích phân kép Tính diện tích mặt cong Vì phần mặt cầu x2 + y + z2 = nằm phía mặt trụ x2 + y = 2y chia làm hai phần có diện tích nên diện tích mặt cầu cần tìm 2 + fx + fy dxdy, S = D với z = f (x, y) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) − x2 − y , TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2016 104 / 106 Ứng dụng hình học tích phân kép Tính diện tích mặt cong Vì phần mặt cầu x2 + y + z2 = nằm phía mặt trụ x2 + y = 2y chia làm hai phần có diện tích nên diện tích mặt cầu cần tìm 2 + fx + fy dxdy, S = D với z = f (x, y) = − x2 − y , D = {(x, y) : x2 + y TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 2y} = {(x, y) : x2 + (y − 1)2 TÍCH PHÂN KÉP 1} TP HCM — 2016 104 / 106 Ứng dụng hình học tích phân kép Tính diện tích mặt cong Vì phần mặt cầu x2 + y + z2 = nằm phía mặt trụ x2 + y = 2y chia làm hai phần có diện tích nên diện tích mặt cầu cần tìm 2 + fx + fy dxdy, S = D với z = f (x, y) = − x2 − y , D = {(x, y) : x2 + y 2y} = {(x, y) : x2 + (y − 1)2 1} Đổi biến x = r cos ϕ, y = r sin ϕ ta D = {(r, ϕ) : TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) r sin ϕ, TÍCH PHÂN KÉP ϕ π} TP HCM — 2016 104 / 106 Ứng dụng hình học tích phân kép S = 1+ − D TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Tính diện tích mặt cong x − x2 − y + − TÍCH PHÂN KÉP y − x2 − y dxdy = TP HCM — 2016 105 / 106 Ứng dụng hình học tích phân kép S = 1+ − D π =2 sin ϕ 0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) − r2 Tính diện tích mặt cong x − x2 − y + − − x2 − y π rdr dϕ = −2 y − r2 dxdy = r=2 sin ϕ r=0 dϕ = TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2016 105 / 106 Ứng dụng hình học tích phân kép S = − x2 − y D π =2 sin ϕ 0 x 1+ − Tính diện tích mặt cong − r2 + − − x2 − y π rdr dϕ = −2 y − r2 dxdy = r=2 sin ϕ r=0 dϕ = π =2 −4 − sin2 ϕ + dϕ = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2016 105 / 106 Ứng dụng hình học tích phân kép S = − x2 − y D π =2 sin ϕ − r2 x 1+ − Tính diện tích mặt cong + − − x2 − y π rdr dϕ = −2 y − r2 dxdy = r=2 sin ϕ r=0 dϕ = π =2 −4 − sin2 ϕ + dϕ = π/2 π (−4 cos ϕ + 4)dϕ + =2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) (4 cos ϕ + 4)dϕ π/2 TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2016 105 / 106 Ứng dụng hình học tích phân kép S = − x2 − y D π =2 sin ϕ − r2 x 1+ − Tính diện tích mặt cong + − − x2 − y π rdr dϕ = −2 y − r2 dxdy = r=2 sin ϕ r=0 dϕ = π =2 − sin2 ϕ + dϕ = −4 π/2 π (−4 cos ϕ + 4)dϕ + =2 π/2 = − sin ϕ + 4ϕ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) (4 cos ϕ + 4)dϕ π/2 + sin ϕ + 4ϕ TÍCH PHÂN KÉP π π/2 = 8π − 16 TP HCM — 2016 105 / 106 Ứng dụng hình học tích phân kép Tính diện tích mặt cong CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý THEO DÕI TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN KÉP TP HCM — 2016 106 / 106