Đang tải... (xem toàn văn)
tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ
KHAI TRIỂN TAYLOR - MACLAURIN TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2016 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHAI TRIỂN TAYLOR - MACLAURIN TP HCM — 2016 / 21 NỘI DUNG CƠNG THỨC TAYLOR VÀ ỨNG DỤNG Cơng thức Taylor Công thức Maclaurin Khai triển Taylor khai triển Maclaurin hàm biến TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHAI TRIỂN TAYLOR - MACLAURIN TP HCM — 2016 / 21 Công thức Taylor ứng dụng Cơng thức Taylor Giả sử hàm f (x, y) có đạo hàm riêng liên tục đến cấp (n + 1) lân cận điểm (x0 , y0 ) Khi lân cận (x0 , y0 ) ln có cơng thức f (x, y) = f (x0 , y0 ) + df (x0 , y0 )+ 1! n d f (x0 , y0 ) + + d f (x0 , y0 ) + Rn (∆x, ∆y) 2! n! (1) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHAI TRIỂN TAYLOR - MACLAURIN TP HCM — 2016 / 21 Công thức Taylor ứng dụng Công thức Taylor dn+1 f (x0 + α∆x, y0 + α∆y) Rn (∆x, ∆y) = (n+1)! Phần dư viết dạng Rn = o(ρ n) với ρ = (∆x)2 + (∆y)2 Với vi phân cấp n ∈ N, ln có cơng thức n n d f= k=1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Cnk ∂n f n−k k dx dy ∂xn−k ∂y k KHAI TRIỂN TAYLOR - MACLAURIN TP HCM — 2016 (2) / 21 Công thức Taylor ứng dụng Công thức Taylor VÍ DỤ 1.1 Khai triển hàm f (x, y) = x3 − 5x2 − xy + y + 10x + 5y − theo công thức Taylor lân cận điểm (2, 1) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHAI TRIỂN TAYLOR - MACLAURIN TP HCM — 2016 / 21 Công thức Taylor ứng dụng Công thức Taylor VÍ DỤ 1.1 Khai triển hàm f (x, y) = x3 − 5x2 − xy + y + 10x + 5y − theo công thức Taylor lân cận điểm (2, 1) Giải f (x, y) = f (2, 1) + df (2, 1) + TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) d2 f (2, 1) d3 f (2, 1) + + o(ρ ) = 2! 3! KHAI TRIỂN TAYLOR - MACLAURIN TP HCM — 2016 / 21 Công thức Taylor ứng dụng Công thức Taylor VÍ DỤ 1.1 Khai triển hàm f (x, y) = x3 − 5x2 − xy + y + 10x + 5y − theo công thức Taylor lân cận điểm (2, 1) Giải d2 f (2, 1) d3 f (2, 1) + + o(ρ ) = 2! 3! f (2, 1) + fx (2, 1)(x − 2) + fy (2, 1)(y − 1) + f (x, y) = f (2, 1) + df (2, 1) + TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHAI TRIỂN TAYLOR - MACLAURIN TP HCM — 2016 / 21 Công thức Taylor ứng dụng Cơng thức Taylor VÍ DỤ 1.1 Khai triển hàm f (x, y) = x3 − 5x2 − xy + y + 10x + 5y − theo công thức Taylor lân cận điểm (2, 1) Giải d2 f (2, 1) d3 f (2, 1) + + o(ρ ) = 2! 3! f (2, 1) + fx (2, 1)(x − 2) + fy (2, 1)(y − 1) + [fxx (2, 1)(x − 2)2 + 2! 2fxy (2, 1)(x − 2)(y − 1) + fyy (2, 1)(y − 1)2 ] + f (x, y) = f (2, 1) + df (2, 1) + TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHAI TRIỂN TAYLOR - MACLAURIN TP HCM — 2016 / 21 Công thức Taylor ứng dụng Cơng thức Taylor VÍ DỤ 1.1 Khai triển hàm f (x, y) = x3 − 5x2 − xy + y + 10x + 5y − theo công thức Taylor lân cận điểm (2, 1) Giải d2 f (2, 1) d3 f (2, 1) + + o(ρ ) = 2! 3! f (2, 1) + fx (2, 1)(x − 2) + fy (2, 1)(y − 1) + [fxx (2, 1)(x − 2)2 + 2! 2fxy (2, 1)(x − 2)(y − 1) + fyy (2, 1)(y − 1)2 ] + [fxxx (2, 1)(x − 3! 2)3 + 3fxxy (2, 1)(x − 2)2 (y − 1) + 3fxyy (2, 1)(x − 2)(y − 1)2 + f (x, y) = f (2, 1) + df (2, 1) + fyyy (2, 1)(y − 1)3 ] + o(ρ ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHAI TRIỂN TAYLOR - MACLAURIN TP HCM — 2016 / 21 Công thức Taylor ứng dụng Công thức Taylor Vậy f (x, y) = + (x − 2) + 5(y − 1) + (x − 2)2 −(x − 2)(y − 1) + (y − 1)2 + (x − 2)3 + o(ρ ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHAI TRIỂN TAYLOR - MACLAURIN TP HCM — 2016 / 21 Công thức Taylor ứng dụng Cơng thức Maclaurin VÍ DỤ 1.3 Tìm khai triển Maclaurin hàm số f (x, y) = sin x sinh 2y đến số hạng bậc TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHAI TRIỂN TAYLOR - MACLAURIN TP HCM — 2016 12 / 21 Công thức Taylor ứng dụng Cơng thức Maclaurin VÍ DỤ 1.3 Tìm khai triển Maclaurin hàm số f (x, y) = sin x sinh 2y đến số hạng bậc Cách Ta có d2 f (0, 0) d3 f (0, 0) f (x, y) = f (0, 0) + df (0, 0) + + + 2! 3! d4 f (0, 0) d5 f (0, 0) + + o(ρ ) = 4! 5! TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHAI TRIỂN TAYLOR - MACLAURIN TP HCM — 2016 12 / 21 Công thức Taylor ứng dụng Công thức Maclaurin = f (0, 0) + fx (0, 0)x + fy (0, 0)y+ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHAI TRIỂN TAYLOR - MACLAURIN TP HCM — 2016 13 / 21 Công thức Taylor ứng dụng Công thức Maclaurin = f (0, 0) + fx (0, 0)x + fy (0, 0)y+ [fxx (0, 0)x2 + 2fxy (0, 0)xy + fyy (0, 0)y ] 2! TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHAI TRIỂN TAYLOR - MACLAURIN TP HCM — 2016 13 / 21 Công thức Taylor ứng dụng Công thức Maclaurin = f (0, 0) + fx (0, 0)x + fy (0, 0)y+ [fxx (0, 0)x2 + 2fxy (0, 0)xy + fyy (0, 0)y ] 2! + [fxxx (0, 0)x3 + 3fxxy (0, 0)x2 y + 3fxyy (0, 0)xy + 3! fyyy (0, 0)y ] TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHAI TRIỂN TAYLOR - MACLAURIN TP HCM — 2016 13 / 21 Công thức Taylor ứng dụng Công thức Maclaurin = f (0, 0) + fx (0, 0)x + fy (0, 0)y+ [fxx (0, 0)x2 + 2fxy (0, 0)xy + fyy (0, 0)y ] 2! + [fxxx (0, 0)x3 + 3fxxy (0, 0)x2 y + 3fxyy (0, 0)xy + 3! (4) (4) fyyy (0, 0)y ] + [fxxxx (0, 0)x4 + 4fxxxy (0, 0)x3 y + 4! (4) (4) (4) 2 6fxxyy (0, 0)x y + 4fxyyy (0, 0)xy + fyyyy (0, 0)y ] TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHAI TRIỂN TAYLOR - MACLAURIN TP HCM — 2016 13 / 21 Công thức Taylor ứng dụng Công thức Maclaurin = f (0, 0) + fx (0, 0)x + fy (0, 0)y+ [fxx (0, 0)x2 + 2fxy (0, 0)xy + fyy (0, 0)y ] 2! + [fxxx (0, 0)x3 + 3fxxy (0, 0)x2 y + 3fxyy (0, 0)xy + 3! (4) (4) fyyy (0, 0)y ] + [fxxxx (0, 0)x4 + 4fxxxy (0, 0)x3 y + 4! (4) (4) (4) 2 6fxxyy (0, 0)x y + 4fxyyy (0, 0)xy + fyyyy (0, 0)y ] (5) (5) + [fxxxxx (0, 0)x5 + 5fxxxxy (0, 0)x4 y + 5! (5) (5) 10fxxxyy (0, 0)x3 y + +10fxxyyy (0, 0)x2 y + (5) (5) 5fxyyyy (0, 0)xy + fyyyyy (0, 0)y ] + o(ρ ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHAI TRIỂN TAYLOR - MACLAURIN TP HCM — 2016 13 / 21 Công thức Taylor ứng dụng Công thức Maclaurin f (x, y) = 2xy − x3 y + xy + o(ρ ) 3 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHAI TRIỂN TAYLOR - MACLAURIN TP HCM — 2016 14 / 21 Công thức Taylor ứng dụng Công thức Maclaurin Cách Sử dụng công thức khai triển Maclaurin hàm biến hàm sin x sinh 2y đến cấp Sau rút gọn loại bỏ phần tử có bậc lớn 5, ta f (x, y) = x − (2y)3 (2y)5 x3 x5 + + o(x5 ) 2y + + + o(y ) = 3! 5! 3! 5! 2x5 y 4x3 y 4x5 y = 2xy − x y + + xy − + 5! 3.3! 3.5! 5 5 x(2y) x (2y) x (2y) + − + + o(ρ ) = 5! 3!.5! 5!.5! = 2xy − x y + xy + o(ρ ) 3 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHAI TRIỂN TAYLOR - MACLAURIN TP HCM — 2016 15 / 21 Công thức Taylor ứng dụng Khai triển Taylor khai triển Maclaurin hàm biến Tìm khai triển Taylor cơng thức thời gian, nên đa số trường hợp ta sử dụng cách sau: Đặt X = x − x0, Y = y − y0 Tìm khai triển Maclaurin hàm f (X , Y ) việc khai triển Maclaurin hàm biến Đổi f (X , Y ) sang f (x, y) Sắp xếp theo thứ tự tăng dần bậc x − x0, y − y0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHAI TRIỂN TAYLOR - MACLAURIN TP HCM — 2016 16 / 21 Công thức Taylor ứng dụng Khai triển Taylor khai triển Maclaurin hàm biến VÍ DỤ 1.4 Tìm khai triển Taylor hàm z = f (x, y) = ex+y lân cận điểm (1, −1) đến số hạng bậc Giải Đặt X = x − 1, Y = y + Tìm khai triển Maclaurin hàm f (X , Y ) việc khai triển Maclaurin hàm biến TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHAI TRIỂN TAYLOR - MACLAURIN TP HCM — 2016 17 / 21 Công thức Taylor ứng dụng Khai triển Taylor khai triển Maclaurin hàm biến Cách f (X , Y ) = eX +1+Y −1 = eX eY = Y2 Y3 X2 X3 + + o(X ) + Y + + + o(Y ) = 1+X + 2! 3! 2! 3! 2 X X X Y Y Y 2X Y = 1+X + + + Y + XY + + + + + o(ρ ) 2! 3! 2! 2! 2! 3! Đổi f (X , Y ) sang f (x, y) ta (x − 1)2 (x − 1)3 + + (y + 1)+ 2! 3! (x − 1)2 (y + 1) (y + 1)2 + + +(x − 1)(y + 1) + 2! 2! (y + 1)2 (x − 1) (y + 1)3 + + + o(ρ ) 2! 3! f (x, y) = + (x − 1) + TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHAI TRIỂN TAYLOR - MACLAURIN TP HCM — 2016 18 / 21 Công thức Taylor ứng dụng Khai triển Taylor khai triển Maclaurin hàm biến Sắp xếp theo thứ tự tăng dần bậc x − 1, y + 1, ta (x − 1)2 + f (x, y) = + (x − 1) + (y + 1) + 2! (y + 1)2 (x − 1)3 +(x − 1)(y + 1) + + + 2! 3! (x − 1)2 (y + 1) (y + 1)2 (x − 1) (y + 1)3 + + + + 2! 2! 3! +o(ρ ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHAI TRIỂN TAYLOR - MACLAURIN TP HCM — 2016 19 / 21 Công thức Taylor ứng dụng Khai triển Taylor khai triển Maclaurin hàm biến Cách f (X , Y ) = eX +1+Y −1 = eX +Y = et = t2 t3 = + t + + + o(ρ ) = 2! 3! 2 X Y X X 2Y Y 2X Y = 1+X +Y + + XY + + + + + + o(ρ ) 2! 2! 3! 2! 2! 3! Đổi f (X , Y ) sang f (x, y) ta (x − 1)2 f (x, y) = + (x − 1) + (y + 1) + + 2! (y + 1)2 (x − 1)3 +(x − 1)(y + 1) + + + 2! 3! (x − 1)2 (y + 1) (y + 1)2 (x − 1) (y + 1)3 + + + + o(ρ ) 2! 2! 3! TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHAI TRIỂN TAYLOR - MACLAURIN TP HCM — 2016 20 / 21 Công thức Taylor ứng dụng Khai triển Taylor khai triển Maclaurin hàm biến CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý THEO DÕI TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHAI TRIỂN TAYLOR - MACLAURIN TP HCM — 2016 21 / 21