tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn sắc xuất thống kê, các môn học tài chinhs kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ
Chương 3.Các đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên véctơ ngẫu nhiên §1 Kỳ vọng Định nghĩa Ρ Χ = xi ) = pi ⇒ Ε ( Χ ) = ∑ xi pi Định nghĩa 1.1: Giả sử ( i Định nghĩa 1.2: Giả sử X liên tục có hàm mật độ fX ( x) ⇒ Ε ( Χ) = +∞ ∫ x f ( x ) dx X −∞ Ý nghĩa: Kỳ vọng E(X) giá trị trung bình X Tính chất: (1) E(C) = C,(2) E(CX) = C.E(X) ,C số (3) E(X+Y) = E(X) + E(Y) (4) X, Y độc lập suy E(XY) = E(X).E(Y) Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 §2: PHƯƠNG SAI 1.Định nghĩa 2.1:Phương sai đại lượng ngẫu nhiên X là: D ( Χ) = Ε ( Χ − Ε ( Χ) ) Định lý 2.1 : ( ) ( D(Χ) = Ε Χ − Ε ( Χ ) ) ( ) vớ i Ε Χ = ∑ xi2.pi , nế u X rờ i rạc ; +∞ ( ) ∫ Ε Χ2 = −∞ i x2 fΧ ( x) dx , nế u X liê n tục Tính chất: (1) D(C) = ; (2) D(CX) = C D( Χ) (3) X,Y độc lập suy D(X+Y) = D(X)+D(Y) (4) D(C+ X) = D(X), với C số Độ lệch: σ ( Χ) = D ( Χ) Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 §3.Các đặc trưng khác đại lượng ngẫu nhiên 1.Mod X (giá trị X ứng với xác suất lớn nhất) Định nghĩa 3.1: Giả sử X rời rạc Ρ ( Χ = xi ) = pi ⇒ M od Χ = xi neá u pi = M ax pi 0 Định nghĩa 3.2: Giả sử X liên tục có hàm fX có ( x) , ta ⇒ Mod Χ = x0 neá u f X ( x0 ) = Max f X ( x) Med X(medium – trung vị X) Med Χ = m ⇔ Ρ ( Χ < m ) ≤ 1/ 2, Ρ ( X > m ) ≤ 1/ Định nghĩa 3.3: MedX = m ⇔ F ( m ) = f x dx = Định lý 3.1: Nếu X liên tục X ∫−∞ X ( ) m Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 3.Moment Định nghĩa 3.4: Moment cấp k cuả đại lượng ngẩu k nhiên X sốΕalà : X − a) ( a = 0: moment gốc a = E(X):moment trung tâm Hệ số nhọn hệ số bất đối xứng(xem SGK) Ví dụ 3.1: Ε( Χ) = cos x, x ∈ [ 0, π / 2] Χ ~ fX ( x) = 0, x ∉ [ 0, π / 2] +∞ ∫ x f ( x ) dx = ∫ X −∞ Khoa Khoa Học Máy Tính π /2 π x.cos xdx = − Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 π D ( X ) = ∫ x cos xdx − − 1÷ = π − 10 44 43 π /2 ( ) Ε X2 Mod X =0 Med X = m ⇔∫ m −∞ m f X ( x ) dx = ∫ cos xdx = 1/ ⇔ sin m = / ⇔ m = π / Ví dụ 3.2 :Cho X có bảng phân phối xác suất sau Χ Ρ p pq Khoa Khoa Học Máy Tính m −1 m pq m−2 pq m + m −1 pq m k k −1 pq Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 ∞ E ( X ) = ∑ kp.q k −1 = p k =1 ( 1− q) = p 1 D ( X ) = ∑ k pq − ÷ k =1 p 43 +∞ k −1 Ε( Χ ) 2 1 1+ q 1+ q q = p − = − = ÷ (1 − q )3 p p2 p2 p2 Mod X = p ( + q + + q m − ) ≤ / Med X =m ⇔ m−2 m −1 p + q + + q + q ( ) ≥ 1/ Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 − q m −1 m −1 p ≤ 1/ q ≥ m −1 1 − q ≤ / 1− q ⇔ ⇔ ⇔ m m 1 − q ≥ 1/ p − q ≥ 1/ q m ≤ 1− q ⇔ m ln q ≤ − ln , ( m − 1) ln q ≥ − ln − ln − ln ⇔ ≤m≤ +1 ln q ln q Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 .Ví dụ 3.3 : Cho X có bảng phân phối xác suất sau: X P 0,4 0,3 0,3 Ε ( Χ ) = 2.0, + 5.0,3 + 7.0,3 = 4, D ( Χ ) = 21 0.4 2.0,3 4+44 +474.0,3 43 − ( 4, ) 2 2 ( ) Ε Χ2 σ ( Χ ) = D( X ) = 2,107 Mod X = ; Med X = Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Cách dùng máy tính bỏ túi ES • Mở tần số(1 lần): Shift Mode • Nhập: Mode Stat 1-var xi ni 0,4 0,3 0,3 AC: báo kết thúc nhập liệu Cách đọc kết quả: Shift Stat Var Khoa Khoa Học Máy Tính Stat On(Off) x =→ Ε ( Χ ) = 4, xσ n =→ σ ( Χ ) = 2,107 Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Cách dùng máy tính bỏ túi MS:Vào Mode chọn SD Xóa liệu cũ: SHIFT CLR SCL = Cách nhập số liệu : 2; 0,4 M+ 5; 0,3 M+ 7; 0,3 M+ Cách đọc kết quả: x =→ Ε ( Χ ) = 4, SHIFT S – VAR xσ n =→ σ ( Χ ) = 2,107 Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 10 Ví dụ 3.4: Tung lúc xúc xắc cân đối,đồng chất Gọi X tổng số điểm nhận Hãy tính E(X), D(X) Giải: Gọi Xi số điểm xúc xắc thứ i Χ = Χ1 + Χ + + Χ Ε ( Χ ) = Ε ( Χ1 ) + + Ε ( Χ ) = 5Ε ( Χ1 ) Xi độc lập ⇒ D ( Χ ) = D ( Χ1 ) + D ( Χ ) + + D ( Χ ) = 5D ( Χ1 ) X1 PX 1 ⇒ Ε ( Χ1 ) = , 6 Khoa Khoa Học Máy Tính 35 D ( Χ1 ) = 12 Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 11 §4: Kỳ vọng hàm Y = ϕ ( Χ) Ρ ( Χ = xi ) = pi ⇒ E (Y ) = ∑ ϕ ( xi ) pi 1.Trường hợp rời rạc: i 2.Trường hợp liên tục: Χ : fX ( x) ⇒ Ε ( Y ) = ∫ +∞ −∞ Ví dụ 4.1: Cho Χ: fX ( ϕ ( x ) f X ( x ) dx π cos x, x ∈ 0, x) = 0 , x ∉ 0, π Tìm kỳ vọng phương sai Y= sinX Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 12 Ε( Y ) = ∫ π /2 Ε( Y ) =∫ sin x sin x cos xdx = π /2 D( Y ) = Ε( Y Khoa Khoa Học Máy Tính π /2 sin x sin x cos xdx = ) −( E(Y ) ) = π /2 = 1 = − = 12 Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 13 §5: Kỳ vọng hàm Ζ = ϕ ( Χ,Y ) 1.Trường hợp rời rạc: Ρ ( Χ = xi , Y = y j ) = pij Ví dụ 5.1: ⇒ Ε ( Ζ ) = ∑ ϕ ( xi , y j ) pij i, j Ε ( ΧY ) = ∑ xi y j pij i, j 2.Trường hợp liên tục: (X,Y) liên tục có hàm mật độ f(x,y) Ví dụ 5.2: ⇒ Ε ( Ζ ) = ∫∫ ϕ ( x, y ) f ( x, y ) dxdy 14 43 R Z 44 7Ω 48 u ≤ x ≤ y ≤ 1, (hình 5.1) f ( x, y) = 8xy, nế 0 , nế u trá i lại Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 14 HÌNH 5.1 y ↑ Ω X → Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 15 Ε ( Χ) = ∫∫ x f ( x, y ) dxdy = ∫ R Ε( Y ) = ∫∫ y f ( x, y ) dxdy = ∫ R Ε( Y ) = Ε( X ) = 1 ∫∫ y2 f y dy ∫ x.8 xydx y dy ∫ y.8 xydx ( x, y ) dxdy R2 x ∫∫ f Ε ( X Y ) = ( x, y ) dxdy ∫∫ xy f ( x, y ) dxdy R2 Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 16 §6: Các đặc trưng vectơ ngẫu nhiên 1.Kỳ vọng: E(X,Y) = (E(X),E(Y)) Hiệp phương sai (covarian): Định nghĩa 6.1: cov(X,Y) = E[(X - E(X)).(Y – E(Y))] Định lý 6.1: cov(X,Y) = E(XY) – E(X).E(Y) Tính chất: (1) X,Y độc lập cov(X,Y) = (2) cov(X,X) = D(X) n m n m (3) cov ∑ Χ i , ∑ Y j ÷ = ∑∑ cov ( Χ i , Y j ) j =1 i =1 i =1 j =1 m m m (4) cov ∑ Χ i , ∑ Χ k ÷ = ∑ D ( Χ i ) + ∑ cov ( Χ i , X k ) k =1 i≠k i =1 i =1 Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 17 Hệ số tương quan Định nghĩa 6.2: RXY cov ( Χ, Y ) = σ ( Χ ) σ ( Y ) Tính chất: (1) X,Y độc lập ⇒ RΧY = (2) RXY ≤ 1, ∀Χ, Y (3) RXY = ⇔ ∃a, b, c : aΧ + bY = c Ý nghĩa: Hệ số RXY đặc trưng cho sự ràng ḅc tún tính giữa X Y: RXY gần1, thì X,Y gần có quan hệ tuyến tính cov ( Χ, Χ ) ,cov ( Χ, Y ) Ma trận tương quan: D ( Χ, Y ) = ÷ cov ( Y , Χ ) ,cov ( Y , Y ) ÷ Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 18 • Ví dụ 6.1:Cho biến ngẫu nhiên Χ1 , Χ , , Χ m ; Y1 , Y2 , , Yn có phương sai đều cov ( Χi , Χ j ) = p1 ;cov ( Yi , Y j ) = p2 ;cov ( Χi , Y j ) = p3 Tìm hệ số tương quan biến ngẫu nhiên: Giải: U = ( Χ1 + Χ + + Χ m ) V = ( Y1 + Y2 + + Yn ) n m m n cov ( U ,V ) = cov ∑ Χi , ∑ Yi ÷ = ∑ ∑ cov ( Χi , Y j ) = m.n p3 j =1 i =1 j =1 i =1 m m m D ( U ) = cov ∑ Χ i , ∑ X k ÷ = ∑ D ( Χi ) + ∑ cov ( Χ i , Χ k ) = m + m(m − 1) p1 k =1 i≠k i =1 i =1 D ( V ) = n + n(n − 1) p2 RUV = cov ( U ,V ) σ ( U ) σ ( V ) Khoa Khoa Học Máy Tính = m.n p3 m + m ( m − 1) p1 n + n ( n − 1) p2 Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 19 Cách dùng máy tính bỏ túi a)Loại ES: MODE STAT a+bx xi yi pij AC Cách đọc kết quả: SHIFT STAT VAR SHIFT STAT VAR SHIFT STAT VAR SHIFT STAT VAR SHIFT STAT REG SHIFT STAT SUM Khoa Khoa Học Máy Tính x =→ Ε ( X ) xσ n =→ σ ( X ) y =→ Ε ( Y ) yσ n =→ σ ( Y ) r =→ RXY ∑ xy =→ Ε ( XY ) Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 20 b) Loại MS: MODE REG LIN Cách xóa liệu cũ : SHIFT CLR SCL = M+ Cách nhập liệu : xi , y j ; pij Cách đọc kết quả: x =→ Ε ( X ) SHIFT S-VAR xσ n =→ σ ( X ) SHIFT S-VAR >y =→ Ε ( Y ) SHIFT S-VAR >yσ n =→ σ ( Y ) SHIFT S-VAR >>r =→ RXY SHIFT S-VAR >∑ xy =→ Ε ( XY ) SHIFT S-SUM Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 21 Ví dụ 6.2: Giả sử X,Y có bảng phân phối xác suất sau: Y 0,1 0,2 0,3 0,4 X Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 22 .Bảng tương đương với bảng sau: Khoa Khoa Học Máy Tính xi yj pij 0,1 0,2 0,3 0,4 Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 23 Nhập bảng số liệu vào máy tính,ta có: x =→ Ε ( X ) = 1, xσ n =→ σ ( X ) = 0,9165 y =→ Ε ( Y ) = 4, yσ n =→ σ ( Y ) = 0,9798 r =→ RXY = −0, 0891 ∑ xy =→ Ε ( XY ) = 5,8 Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 24 ... Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 .Ví dụ 3. 3 : Cho X có bảng phân phối xác suất sau: X P 0,4 0 ,3 0 ,3 Ε ( Χ ) = 2.0, + 5.0 ,3 + 7.0 ,3 = 4, D ( Χ ) = 21 0.4 2.0 ,3 4+44 +474.0 ,3 43 − ( 4, ) 2 2... ≤ 1/ Định nghĩa 3. 3: MedX = m ⇔ F ( m ) = f x dx = Định lý 3. 1: Nếu X liên tục X ∫−∞ X ( ) m Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 3. Moment Định nghĩa 3. 4: Moment cấp... Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 ∞ E ( X ) = ∑ kp.q k −1 = p k =1 ( 1− q) = p 1 D ( X ) = ∑ k pq − ÷ k =1 p 43 +∞ k −1 Ε( Χ ) 2 1 1+ q 1+ q q = p − = − = ÷ (1 − q )3 p p2 p2