Chúng tôi Sưu tầm và tổng hợp, chúng tôi mong rằng đây là một tài liệu thuchwj sự hữu ích giúp bạn trong việc chuẩn bị hài, học bài, thi cử, công việc và chúc bạn thành công hơn, đạt điểm cao hơn. Cảm ơn các bạn rất nhiều vì đã theo dõi tài liệu của chúng tôi
TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG BÀI TẬP NÂNG CAO HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Bài 1: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ đường cao, đường chéo vng góc với cạnh bên Tính độ dài đường cao hình thang cân Bài giải sơ lƣợc: A X B Kẻ AH CD ; BK CD Đặt AH = AB = x HK = x AHD = BKC (cạnh huyền- góc nhọn) Suy : DH = CK = 10 x X 10 x x 10 Vậy HC = HK + CK = x + = 2 D H C K 10cm Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ADC vng A có đường cao AH 10 x 10 x 5x = 100 2 Giải phương trình ta x = x = – (loại) Ta có : AH2 = DH CH hay x Vậy : AH = Bài 2: Cho tam giác ABC cân A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài 15,6cm, đường cao ứng với cạnh bên dài 12cm Tính độ dài cạnh đáy BC A Giải: Đặt BC = 2x, từ tính chất tam giác cân ta suy CH = x Áp dụng định lí Pitago tính AC = 15, 62 x Từ KBC HAC BC KB hay AC AH 2x 15, x 12 15, 15,6 K 12 Đưa phương trình 15,62 + x2 = 6,76x2 // C // B Giải phương trình ta nghiệm dương x = 6,5 H 2x Vậy BC = 2.6,5 = 13(cm) Bài Tập : Cho ABC : A 90 Qua trung điểm I AC, dựng ID BC Chứng minh : BD2 CD2 AB2 B Giải: Hạ AH BC Ta có : HD = DC ( t/c đường trung bình) H Ta có : BD2 – CD2 = ( BC - CD)2 – CD2 = BC2 + CD2 – 2BC.CD – CD2 D = BC2 – BC.(2CD) = BC2 – BC.HC = BC2 – AC2 = AB2 C ( Chú ý : AB2 = BC2 – AC2) A I Bài Tập : Cho ABC vuông A Đường cao AH, kẻ HE, HF vng góc với EB AB AB, AC Chứng minh rằng: a) b) BC BE CF = AH3 FC AC Giải: a) Trong AHB có HB = BE BA (1) ; AHC có HC = CF CA (2 ) HB BE AB Từ (1) (2) có : (1) HC FC AC A F E B H Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh Tổ : Toán - Tin C TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG 2 ABC có :AB = BH BC AC = HC BC suy HB AB HB AB (2) HC AC HC AC Trong EB AB Từ (1) (2) Ta có : FC AC BE BH b) ABC EBH BA BC AB AB3 Thay BH (3) BE BC BC AC Tương tự ta có CF ( 4) BC AB AC Từ (3) (4) Ta có : BE CF = BC AB3 AC AB AC Mà AB AC = BC AH nên BC BE CF = BC = AH 2 BC BC BC Bài 5: Cho hình vng ABCD Qua A, vẽ cát tuyến Bất kì cắt cạnh BC, tia CD E F Chứng minh : A B 1 2 AE AF AD E Giải: Dựng điểm H thuộc tia CD cho BE = HD Ta có : ABE ADH ( c – g –c ) )AE AH H Áp dụng hệ thức lựơng cho AHF : HAF 900 ; AD HF 1 1 1 nên 2 2 AH AE AF AF AD AD Bài 6: Cho hình thoi ABCD có A 1200 , tia Ax tạo với D F C A Ta có : B M Tia AB góc BAx 15 , cắt BC, CD M, N o H 1 Chứng minh: 2 AM AN AB C Giải: Từ A, dựng đường thẳng vng góc với AN Cắt CD P, hạ AH CD Ta có : ABM ADP ( g – c – g) )AM AP N Áp dụng hệ thức lượng cho NAP : NAP 900 , AH NP 1 1 1 nên (1) 2 2 AM AN AH AP AN AH Mà AH2 = sinD.AD = sin600.AD = (2) AB 1 1 Thay (2) (1) Ta có : 2 2 AM AN AB AM AN AB Ta có : Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh Tổ : Toán - Tin P D TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG BÀI TẬP PHẦN HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC VNG ( 2011-2012) Bài 1: Trong hình vẽ sau biết AB , AC 6,4 , AN 3,6 ; AND 900 , DAN 340 Hãy tính (làm tròn đến số thập phân thứ tư ) a) CN b) ABN c) CAN Bài : Trong hình vẽ sau biết QPT 180 , PTQ 1500 , QT , TR Hãy tính : a) PT b) Diện tích tam giac PQR Hƣớng dẫn : Từ T R hạ đƣờng vng góc với PQ d) AD Q P 18 150 T R Bài 3: Cho tam giác ABD vuông B, AB = cm, BD = cm Trên cạnh BD lấy điểm C cho BC = cm Từ D kẻ Dx // AB, cắt đường thẳng AC E a) Tính AD b) Tính góc BAD, BAC c) Chứng minh AC tia phân giác góc BAD d) Chứng minh tam giác ADE cân D Hƣớng dẫn câu c: Hạ CI AD Chứng minh : AB = CI Bài 4: Cho ABC có góc A = 200 ; Bˆ = 300 ; AB = 60cm Đường cao kẻ từ C đến AB cắt AB P ( hình vẽ) Hãy tìm a) Tính AP ? ; BP ? b) CP ? Bài 5: Cho ABC có A 60 Kẻ BH AC CK AB a) chứng minh KH = BC.CosA b) Trung điểm BC M Chứng minh MKH tam giác Hƣớng dẫn : Câu a : Từ KH = BC.CosA KH BC AH ABC AB AHK Câu b: Vận dụng tính chất đường trung tuyến tam giác vuông ý A 600 Bài 6: Cho ABC ( A = 900 ) Từ trung điểm E cạnh AC kẻ EF BC Nối AF BE a) Chứng minh AF = BE.cosC b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6 Tính diện tích tứ giác ABFE c) AF BE cắt O Tính sin AOB Hƣớng dẫn : Câu a : Tương tự cách giải Câu b: Sử dụng tính chất diện tích miền đa giác hình học Câu c : Rất khó: Hạ AH, FK vng góc với BE.Tính SABFE = SABE + SBFE Suy sin AOB Bài 7: Cho tam giác vuông ABC ( B = 900 ) Lấy điểm M cạnh AC Kẻ AH BM, CK BM a) Chứng minh : CK BH.tgBAC b) Chứng minh : MC MA BH.tg BAC BK Hƣớng dẫn : Câu a : Tương tự cách giải Câu b: Tiếp tục vận dụng câu a lần Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có đ.chéo AC lớn đ.chéo BD Kẻ CH AD CK AB Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh Tổ : Tốn - Tin TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG a) Chứng minh CKH BCA b) Chứng minh HK AC.sin BAD c) Tính diện tích tứ giác AKCH biết BAD 600 , AB = cm AD = cm Bài 9: Cho ABC , trực tâm H trung điểm đường cao AD Chứng minh: tgB.tgC = A E H B D C ĐÁP ÁN Bài 1: Trong hình vẽ sau biết AB , AC 6,4 , AN 3,6 ; AND 900 , DAN 340 Hãy tính (làm tròn đến số thập phân thứ tư ) a) CN Bài giải b) ABN a) CN AC AN 6,42 3,62 5,2915 3,6 0, ABN 23034'41'' b) sin ABN AN 3,6 0,5625 CAN 55046'16'' c) cos CAN AC 6, d) AN AD.cos A AD.cos340 AN 3,6 4,3426 AD B cos34 0,8290 c) CAN d) AD A 34 3,6 6,4 C N D Q Bài : Trong hình vẽ sau biết QPT 180 , PTQ 1500 , QT , TR Hãy tính : a) PT b) Diện tích tam giac PQR P 18 150 T R Bài giải a) Xét PTQ, kẻ đường cao TK , ta có PQT 1800 1500 180 120 TK TQ.sin Q 8.sin120 ; TK PT sin P PT sin180 PT sin180 8.sin120 ; 8.sin120 5,3825 cm PT sin180 Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh Tổ : Tốn - Tin TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG b) Ta có PR PT TR 5,3825 10,3825 cm ; Kẻ đường cao RH, ta có RH PR.sin P 10,3825.sin180 3,2084 Xét PTQ, ta có P 180 , Q 120 : PK PT cos P 5,3825.cos180 5,1191; QK QT cos Q 8.cos120 7,6085 PQ PK KQ 5,1191 7,6085 12,7276 1 Diện tích tam giác PQR : S PQR PQ.RH 12,7276.3, 2084 20, 4176 cm2 Q 2 H K P 18 150 R T Bài 3: Cho tam giác ABD vuông B, AB = cm, BD = cm Trên cạnh BD lấy điểm C cho BC = cm Từ D kẻ Dx // AB, cắt đường thẳng AC E a) Tính AD b) Tính góc BAD, BAC E c) Chứng minh AC tia phân giác góc BAD d) Chứng minh tam giác ADE cân D B Giải :a) Áp dụng định lí Pitago Ta có : 3cm C AD AB2 BD2 62 82 10cm b) Áp dụng tỉ số lượng giác Ta có : BD A sin BAD BAD 5307' I AD 10 BC tgBAC 0,5 BAC 26034' (*) AB c) Hạ CI AD Ta có : ICD BAD ( g-g) CI CD CD AB CI 3cm AB AD AD 10 nên ABC AIC (CH-CGV) AI AB 6cm CI Suy : tgCAI (**) AI Từ (*) (**) Ta có : BAC IAC hay AC tia phân giác BAD d) Mặt khác : BAC E ( cặp góc soletrong) nên E IAC hay ADE cân D D Bài 4: Cho ABC có góc A = 200 ; Bˆ = 300 ; AB = 60cm Đường cao kẻ từ C đến AB cắt B AB P ( hình vẽ) Hãy tìm a) Tính AP ? ; BP ? b) CP ? Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh Hƣớng Dẫn A 60 P Tổ : Toán - Tin TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG a) Kẻ AH BC ; AHB H AH = AB SinB = 60.Sin300 = 60 AHC ( Hˆ = 1v) = 30 B AH = AC Cos400 60 AH 30 = = 39,164 0,7660 Cos 40 APC có ( Pˆ = 1v) P AC = A C AP = AC.Cos 20 = 39,164 0,9397 = 36,802 H PB = AB – AP = 60 – 36,802 = 23, 198 b) APC ( Pˆ = 1v) CP = AC Sin200 = 39,164 0,342 = 13, 394 Bài 5: Cho ABC có A 600 Kẻ BH AC CK AB a) chứng minh KH = BC.CosA b) Trung điểm BC M Chứng minh MKH tam giác Giải : a) AHB AKC ( g-g) K AH AB A chung AK AC B Suy : AHK ABC AH HK AH HK BC Mặt khác : M AB BC AB 60 Hay HK = cosA.BC A H I b) HK cos600 BC BC Mặt khác : HM = KM = BC ( Tính chất đường trung tuyến tam giác vuông) nên HK = HM = KM hay MKH tam giác Bài 6: Cho ABC ( A = 900 ) Từ trung điểm E cạnh AC kẻ EF BC Nối AF BE a) Chứng minh AF = BE.cosC b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6 Tính diện tích tứ giác ABFE c) AF BE cắt O Tính sin AOB Giải: a) CEF CBA ( g-g) C B CF AC CE BC nên CFA CEB ( c -g- c) AF AC AF nên cos C BE BC BE F Vậy AF = BE.cosC Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh O A E Tổ : Tốn - Tin C TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG b) Vì ABC ( A = 900 ) nên AB = SinC BC = 0,6.10 = 6cm AC 8cm nên AE = EC = 4cm Mặt khác : EF = SinC EC = 0,6 = 2,4cm B FC 3, 2cm ( Định lí Pitago) SABFE = SABC - SCFE 1 AB AC EF FC 2, 3, = 20,16 (cm ) 2 c) Hạ AH BE; FK BE = H Ta có : SABFE = SABE + SBFE F O = AO SinAOB BE OF sinAOB BE 1 sinAOB BE AO OF sin AOB BE AF (1) 2 mà + BE = 52 ( Định lí Pitago) (2) + ABC FEC ( g - g) AC BC C chung nên ACF BCE ( c-g-c) FC EC AF AC AC nên (3) AF BE 52 BE BC BC 10 K A E C Từ (1), (2) (3) Ta có : SinAOB = SABFE 20,16 63 BE AF 52 0,8 52 65 C Bài 7: Cho tam giác vuông ABC ( B = 900 ) Lấy điểm M cạnh AC Kẻ AH BM, CK BM a) Chứng minh : CK BH.tgBAC H M MC BH.tg BAC MA BK Giải: a) Ta có : AHB BKC ( g - g) Vì K H 90 ; BCK ABH ( phụ với CBK ) CK BC BC CK BH BH tgBAC BH AB AB b) Từ câu a), ta có : CK BH.tgBAC b) Chứng minh : MC CK MC BH tg BAC Suy : MA AH MA AH BKC ( g - g) Mặt khác : AHB BK BC BC tgBAC = = ( 2) AH AB AH AB BK BK MC BH.tg BAC Thay (2) vào (1) Ta có : MA BK mà Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh K B A (1) Tổ : Toán - Tin TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có đ.chéo AC lớn đ.chéo BD Kẻ CH AD CK AB a) Chứng minh CKH BCA b) Chứng minh HK AC.sin BAD c) Tính diện tích tứ giác AKCH biết BAD 600 , AB = cm AD = cm GIẢI: K a) BKC DHC ( g - g) Vì K H 900 ; D B ( A ) KC BC KC BC hay HC DC HC AB (*) Mặt khác : Xét tứ giác AKCH Ta có : A HCK 1800 ; A ABC 1800 Suy : ABC HCK (**) Từ (*) (**) Ta có : CKH BCA( c-g-c) C B HK CK CK HK AC AC sin KBC AC BC BC A mà BAD KBC ( cặp góc đồng vị) nên HK AC sin BAD BC AH BK CK c) SAKCH = SABCH + SBKC = CH 2 BC AD CosA AB CosA BC SinA BC = SinA AB + 2 0 Cos60 Cos60 Sin600 Sin60 = 2 25 sin 60 cos600 =2 ( 10+4cos600).sin600 + 26.2 b) D H Bài 9: Cho hai hình chữ nhật có kích thước 5; đặt cho cạnh hình chữ nhật song song với Tính diện tích tứ giác? M N A B K O H L D C Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh Q P Tổ : Tốn - Tin TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG N M A B C D Q P AH NQ CK NQ mà AH = CosOAH AO ; CK CosOCK CO ; + OAH OCK ( cặp góc soletrong) Giải: Ta có : SANCQ = SANQ + SCNQ = SANCQ CosOAH NQ AO OC = CosOAH AC NQ 2 Ta chứng minh số đo OAH không đổi Thật : OAH 900 AOH 900 OCD OLC mà OLC 900 MQN ( Tính chất góc ngồi đỉnh O) Suy : OAH 900 OCD 900 MQN MQN OCD ( Cố định ) 1 Vậy SANCQ = CosOAH AC NQ = Cos MQN OCD AC NQ 2 MN Và tgMQN = MQN 30057 ' ; OCD 330 41' NQ Vậy : SANCQ = Cos20 44' 34 52 20,9998 21 (cm2) Bài 10: Cho ABC , trực tâm H trung điểm đường cao AD Chứng minh: tgB.tgC = A AD BD Giải : tgB ; tgC cot gDBH BD HD AD BD AD nên tgB.tgC = BD HD HD mà AD = 2HD nên tgB.tgC = E H HD 2 HD B D C Bài tập 11: Cho ABC : B 600 ; C 800 Tính số đo góc tạo đường cao AH trung tuyến AM Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh Tổ : Toán - Tin TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG Giải: Ta có : tg = MH AH A Mặt khác : BH - HC = ( BM + MH) - ( MC - MH ) = 2MH BH HC AH AH mà BH ; HC tgB tgC MH 1 AH tgB tgC nên MH = 1 AH tgB tgC 1 Vậy tg AH tgB tgC B M H C 110 20' Bài 10: Cho ABC , phân giác AD, đường cao CH trung tuyến BM gặp điểm Chứng minh : CosA = bCosB A H O B Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh 10 D Tổ : Toán - Tin C TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG Bài 6: a) Cho tam giác DEF có ED = cm, D 40 , F 58 Kẻ đường cao EI tam giác Hãy tính: a) Đường cao EI b) Cạnh EF b) Giải tam giác vuông ABC, biết A 900 , AB = 5, BC = E Giải: a) Áp dụng hệ thức lượng Ta có : + EI = sinD DE = sin 400.7 4,5 (cm) EI 4,5 7cm + EF = 5,3 (cm) SinF Sin580 0 b) AC BC AB 72 52 4,9(cm) AB CosB B 440 25' BC + C 900 B 45035' D 40 58 I F Bài 1: Cho ABC : A 900 ; AB 5cm; BC 13cm Vẽ phân giác AD, đường cao AH a) Tính độ dài đoạn thẳng BD; DC b) Từ H, kẻ HK AC Chứng minh : ABC KAH c) Tính độ dài đoạn thẳng AK KC ? Giải : B a) Áp dụng định lí Pitago, ta có : H AC BC AB2 12cm D + Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có : BD CD BD CD BC 13 AB AC AB AC AB AC 17 13 13 14 Suy : BD cm CD = 12 cm 17 17 17 17 b) ABC KAH ( g-g) AB AC 60 c) Ta có : AH BC = AB AC AH cm BC 13 17 Từ ABC KAH AB BC AB AH 131 38 AK 1 cm ; KC 10 cm AK AH BC 169 169 Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh 11 A K C Tổ : Toán - Tin TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG a) Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có : BH EH AB EA ' Vậy CosB = 0,25 B 7503121'' B 370 45' 15 AH 5.4 nên AB = 5,164 SinB 15 + Áp dụng cơng thức tính chiều dài đường phân giác Ta có : B AB BC Cos 5,164 x Cos370 45' BD hay AB BC 5,164 x 5,164 BC x 14,3115 5,164 cos370 45' + SinB AC = AB2 BC AB BC CosB 13,9475 Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh 12 Tổ : Tốn - Tin ... LƢỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG ( 2011-2012) Bài 1: Trong hình vẽ sau biết AB , AC 6,4 , AN 3,6 ; AND 900 , DAN 340 Hãy tính (làm tròn đến số thập phân thứ tư ) a) CN b) ABN c) CAN Bài : Trong. .. 3,6 6,4 C N D Q Bài : Trong hình vẽ sau biết QPT 180 , PTQ 1500 , QT , TR Hãy tính : a) PT b) Diện tích tam giac PQR P 18 150 T R Bài giải a) Xét PTQ, kẻ đường cao TK , ta có PQT ... Bài 6: a) Cho tam giác DEF có ED = cm, D 40 , F 58 Kẻ đường cao EI tam giác Hãy tính: a) Đường cao EI b) Cạnh EF b) Giải tam giác vuông ABC, biết A 900 , AB = 5, BC = E Giải: a) Áp dụng