Bài tập nâng cao phần hệ thức lượng trong tam giác vuông

Chúng tôi Sưu tầm và tổng hợp, chúng tôi mong rằng đây là một tài liệu thuchwj sự hữu ích giúp bạn trong việc chuẩn bị hài, học bài, thi cử, công việc và chúc bạn thành công hơn, đạt điểm cao hơn. Cảm ơn các bạn rất nhiều vì đã theo dõi tài liệu của chúng tôi

TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG BÀI TẬP NÂNG CAO HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Bài 1: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ đường cao, đường chéo vng góc với cạnh bên Tính độ dài đường cao hình thang cân Bài giải sơ lƣợc: A X B Kẻ AH  CD ; BK  CD Đặt AH = AB = x  HK = x  AHD =  BKC (cạnh huyền- góc nhọn) Suy : DH = CK = 10  x X 10  x x  10 Vậy HC = HK + CK = x + = 2 D H C K 10cm Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ADC vng A có đường cao AH 10  x 10  x  5x = 100 2 Giải phương trình ta x = x = – (loại) Ta có : AH2 = DH CH hay x  Vậy : AH = Bài 2: Cho tam giác ABC cân A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài 15,6cm, đường cao ứng với cạnh bên dài 12cm Tính độ dài cạnh đáy BC A Giải: Đặt BC = 2x, từ tính chất tam giác cân ta suy CH = x Áp dụng định lí Pitago tính AC = 15, 62  x Từ  KBC  HAC  BC KB hay  AC AH 2x 15,  x  12 15, 15,6 K 12 Đưa phương trình 15,62 + x2 = 6,76x2 // C // B Giải phương trình ta nghiệm dương x = 6,5 H 2x Vậy BC = 2.6,5 = 13(cm) Bài Tập : Cho ABC : A  90 Qua trung điểm I AC, dựng ID  BC Chứng minh : BD2  CD2  AB2 B Giải: Hạ AH  BC Ta có : HD = DC ( t/c đường trung bình) H Ta có : BD2 – CD2 = ( BC - CD)2 – CD2 = BC2 + CD2 – 2BC.CD – CD2 D = BC2 – BC.(2CD) = BC2 – BC.HC = BC2 – AC2 = AB2 C ( Chú ý : AB2 = BC2 – AC2) A I Bài Tập : Cho  ABC vuông A Đường cao AH, kẻ HE, HF vng góc với EB  AB   AB, AC Chứng minh rằng: a) b) BC BE CF = AH3  FC  AC  Giải: a) Trong AHB có HB = BE BA (1) ; AHC có HC = CF CA (2 ) HB BE AB  Từ (1) (2) có : (1) HC FC AC A F E B H Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh Tổ : Toán - Tin C TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG 2 ABC có :AB = BH BC AC = HC BC suy HB AB  HB   AB  (2)      HC AC  HC   AC  Trong EB  AB  Từ (1) (2) Ta có :   FC  AC  BE BH b) ABC EBH   BA BC AB AB3 Thay BH  (3)  BE  BC BC AC Tương tự ta có CF  ( 4) BC AB AC Từ (3) (4) Ta có : BE CF = BC AB3 AC  AB  AC  Mà AB AC = BC AH nên BC BE CF =   BC    = AH 2 BC BC  BC  Bài 5: Cho hình vng ABCD Qua A, vẽ cát tuyến Bất kì cắt cạnh BC, tia CD E F Chứng minh : A B 1   2 AE AF AD E Giải: Dựng điểm H thuộc tia CD cho BE = HD Ta có : ABE  ADH ( c – g –c ) )AE  AH H Áp dụng hệ thức lựơng cho AHF : HAF  900 ; AD  HF 1 1 1 nên     2 2 AH AE AF AF AD AD Bài 6: Cho hình thoi ABCD có A  1200 , tia Ax tạo với D F C A Ta có : B M Tia AB góc BAx  15 , cắt BC, CD M, N o H 1 Chứng minh:   2 AM AN AB C Giải: Từ A, dựng đường thẳng vng góc với AN Cắt CD P, hạ AH  CD Ta có : ABM  ADP ( g – c – g) )AM  AP N Áp dụng hệ thức lượng cho NAP : NAP  900 , AH  NP 1 1 1 nên (1)     2 2 AM AN AH AP AN AH Mà AH2 = sinD.AD = sin600.AD = (2) AB 1 1    Thay (2) (1) Ta có :   2 2 AM AN AB AM AN   AB     Ta có : Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh Tổ : Toán - Tin P D TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG BÀI TẬP PHẦN HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC VNG ( 2011-2012) Bài 1: Trong hình vẽ sau biết AB  , AC  6,4 , AN  3,6 ; AND  900 , DAN  340 Hãy tính (làm tròn đến số thập phân thứ tư ) a) CN b) ABN c) CAN Bài : Trong hình vẽ sau biết QPT  180 , PTQ  1500 , QT  , TR  Hãy tính : a) PT b) Diện tích tam giac PQR Hƣớng dẫn : Từ T R hạ đƣờng vng góc với PQ d) AD Q P 18  150 T R Bài 3: Cho tam giác ABD vuông B, AB = cm, BD = cm Trên cạnh BD lấy điểm C cho BC = cm Từ D kẻ Dx // AB, cắt đường thẳng AC E a) Tính AD b) Tính góc BAD, BAC c) Chứng minh AC tia phân giác góc BAD d) Chứng minh tam giác ADE cân D Hƣớng dẫn câu c: Hạ CI  AD Chứng minh : AB = CI Bài 4: Cho  ABC có góc A = 200 ; Bˆ = 300 ; AB = 60cm Đường cao kẻ từ C đến AB cắt AB P ( hình vẽ) Hãy tìm a) Tính AP ? ; BP ? b) CP ? Bài 5: Cho ABC có A  60 Kẻ BH  AC CK  AB a) chứng minh KH = BC.CosA b) Trung điểm BC M Chứng minh MKH tam giác Hƣớng dẫn : Câu a : Từ KH = BC.CosA  KH  BC  AH  ABC AB AHK Câu b: Vận dụng tính chất đường trung tuyến tam giác vuông ý A  600 Bài 6: Cho ABC ( A = 900 ) Từ trung điểm E cạnh AC kẻ EF  BC Nối AF BE a) Chứng minh AF = BE.cosC b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6 Tính diện tích tứ giác ABFE c) AF BE cắt O Tính sin AOB Hƣớng dẫn : Câu a : Tương tự cách giải Câu b: Sử dụng tính chất diện tích miền đa giác hình học Câu c : Rất khó: Hạ AH, FK vng góc với BE.Tính SABFE = SABE + SBFE Suy sin AOB Bài 7: Cho tam giác vuông ABC ( B = 900 ) Lấy điểm M cạnh AC Kẻ AH  BM, CK  BM a) Chứng minh : CK BH.tgBAC b) Chứng minh : MC MA BH.tg BAC BK Hƣớng dẫn : Câu a : Tương tự cách giải Câu b: Tiếp tục vận dụng câu a lần Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có đ.chéo AC lớn đ.chéo BD Kẻ CH  AD CK  AB Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh Tổ : Tốn - Tin TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG a) Chứng minh CKH BCA b) Chứng minh HK AC.sin BAD c) Tính diện tích tứ giác AKCH biết BAD 600 , AB = cm AD = cm Bài 9: Cho ABC , trực tâm H trung điểm đường cao AD Chứng minh: tgB.tgC = A E H B D C ĐÁP ÁN Bài 1: Trong hình vẽ sau biết AB  , AC  6,4 , AN  3,6 ; AND  900 , DAN  340 Hãy tính (làm tròn đến số thập phân thứ tư ) a) CN Bài giải b) ABN a) CN  AC  AN  6,42  3,62  5,2915 3,6  0,  ABN  23034'41'' b) sin ABN  AN 3,6   0,5625  CAN  55046'16'' c) cos CAN  AC 6, d) AN  AD.cos A  AD.cos340 AN 3,6   4,3426  AD  B cos34 0,8290 c) CAN d) AD A 34  3,6 6,4 C N D Q Bài : Trong hình vẽ sau biết QPT  180 , PTQ  1500 , QT  , TR  Hãy tính : a) PT b) Diện tích tam giac PQR P 18  150 T R Bài giải a) Xét PTQ, kẻ đường cao TK , ta có PQT  1800  1500  180  120 TK  TQ.sin Q  8.sin120 ; TK  PT sin P  PT sin180  PT sin180  8.sin120 ; 8.sin120  5,3825  cm   PT  sin180 Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh Tổ : Tốn - Tin TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG b) Ta có PR  PT  TR  5,3825   10,3825  cm  ; Kẻ đường cao RH, ta có RH  PR.sin P  10,3825.sin180  3,2084 Xét PTQ, ta có P  180 , Q  120 : PK  PT cos P  5,3825.cos180  5,1191; QK  QT cos Q  8.cos120  7,6085  PQ  PK  KQ  5,1191  7,6085  12,7276 1 Diện tích tam giác PQR : S PQR  PQ.RH  12,7276.3, 2084  20, 4176  cm2  Q 2 H K P 18  150 R T Bài 3: Cho tam giác ABD vuông B, AB = cm, BD = cm Trên cạnh BD lấy điểm C cho BC = cm Từ D kẻ Dx // AB, cắt đường thẳng AC E a) Tính AD b) Tính góc BAD, BAC E c) Chứng minh AC tia phân giác góc BAD d) Chứng minh tam giác ADE cân D B Giải :a) Áp dụng định lí Pitago Ta có : 3cm C AD  AB2  BD2  62  82  10cm b) Áp dụng tỉ số lượng giác Ta có : BD A sin BAD    BAD  5307' I AD 10 BC tgBAC    0,5  BAC  26034' (*) AB c) Hạ CI  AD Ta có : ICD BAD ( g-g) CI CD CD  AB     CI    3cm AB AD AD 10 nên ABC  AIC (CH-CGV)  AI  AB  6cm CI  Suy : tgCAI  (**) AI Từ (*) (**) Ta có : BAC  IAC hay AC tia phân giác BAD d) Mặt khác : BAC  E ( cặp góc soletrong) nên E  IAC hay ADE cân D D Bài 4: Cho  ABC có góc A = 200 ; Bˆ = 300 ; AB = 60cm Đường cao kẻ từ C đến AB cắt B AB P ( hình vẽ) Hãy tìm a) Tính AP ? ; BP ? b) CP ? Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh Hƣớng Dẫn A 60 P Tổ : Toán - Tin TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG a) Kẻ AH  BC ;  AHB  H  AH = AB SinB = 60.Sin300 = 60  AHC ( Hˆ = 1v) = 30 B AH = AC Cos400 60 AH 30 = = 39,164 0,7660 Cos 40  APC có ( Pˆ = 1v) P  AC = A C AP = AC.Cos 20 = 39,164 0,9397 = 36,802 H PB = AB – AP = 60 – 36,802 = 23, 198 b)  APC ( Pˆ = 1v) CP = AC Sin200 = 39,164 0,342 = 13, 394 Bài 5: Cho ABC có A  600 Kẻ BH  AC CK  AB a) chứng minh KH = BC.CosA b) Trung điểm BC M Chứng minh MKH tam giác Giải : a) AHB AKC ( g-g) K AH AB A chung   AK AC B Suy : AHK ABC AH HK AH   HK   BC Mặt khác :  M AB BC AB 60  Hay HK = cosA.BC A H I b)  HK  cos600  BC  BC Mặt khác : HM = KM = BC ( Tính chất đường trung tuyến tam giác vuông) nên HK = HM = KM hay MKH tam giác Bài 6: Cho ABC ( A = 900 ) Từ trung điểm E cạnh AC kẻ EF  BC Nối AF BE a) Chứng minh AF = BE.cosC b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6 Tính diện tích tứ giác ABFE c) AF BE cắt O Tính sin AOB Giải: a) CEF CBA ( g-g) C B CF AC  CE BC nên CFA CEB ( c -g- c) AF AC AF   nên  cos C BE BC BE  F Vậy AF = BE.cosC Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh O A E Tổ : Tốn - Tin C TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG b) Vì ABC ( A = 900 ) nên AB = SinC BC = 0,6.10 = 6cm  AC  8cm nên AE = EC = 4cm Mặt khác : EF = SinC EC = 0,6 = 2,4cm B  FC  3, 2cm ( Định lí Pitago) SABFE = SABC - SCFE 1   AB  AC  EF  FC      2,  3,  = 20,16 (cm ) 2 c) Hạ AH  BE; FK  BE = H Ta có : SABFE = SABE + SBFE F O =   AO  SinAOB  BE  OF  sinAOB  BE  1  sinAOB  BE  AO  OF  sin AOB  BE  AF (1) 2 mà + BE = 52 ( Định lí Pitago) (2) + ABC FEC ( g - g) AC BC C chung nên ACF BCE ( c-g-c)   FC EC AF AC AC nên (3)  AF    BE   52 BE BC BC 10 K A E C Từ (1), (2) (3) Ta có : SinAOB =  SABFE  20,16 63   BE  AF 52  0,8  52 65 C Bài 7: Cho tam giác vuông ABC ( B = 900 ) Lấy điểm M cạnh AC Kẻ AH  BM, CK  BM a) Chứng minh : CK BH.tgBAC H M MC BH.tg BAC MA BK Giải: a) Ta có : AHB BKC ( g - g) Vì K  H  90 ; BCK  ABH ( phụ với CBK ) CK BC BC    CK  BH   BH  tgBAC BH AB AB b) Từ câu a), ta có : CK BH.tgBAC b) Chứng minh : MC CK MC BH tg BAC   Suy : MA AH MA AH BKC ( g - g) Mặt khác : AHB BK BC BC tgBAC    = = ( 2) AH AB AH AB  BK BK MC BH.tg BAC Thay (2) vào (1) Ta có : MA BK mà Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh K B A (1) Tổ : Toán - Tin TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có đ.chéo AC lớn đ.chéo BD Kẻ CH  AD CK  AB a) Chứng minh CKH BCA b) Chứng minh HK AC.sin BAD c) Tính diện tích tứ giác AKCH biết BAD 600 , AB = cm AD = cm GIẢI: K a) BKC DHC ( g - g) Vì K  H  900 ; D  B ( A ) KC BC KC BC  hay  HC DC HC AB (*) Mặt khác : Xét tứ giác AKCH Ta có : A  HCK  1800 ; A  ABC  1800 Suy : ABC  HCK (**) Từ (*) (**) Ta có : CKH BCA( c-g-c) C B HK CK CK   HK  AC   AC  sin KBC AC BC BC A mà BAD  KBC ( cặp góc đồng vị) nên HK  AC  sin BAD BC  AH BK  CK c) SAKCH = SABCH + SBKC =  CH  2 BC  AD  CosA  AB CosA  BC  SinA  BC =  SinA  AB + 2 0    Cos60 Cos60   Sin600    Sin60  = 2 25  sin 60  cos600 =2 ( 10+4cos600).sin600 +  26.2 b)  D H Bài 9: Cho hai hình chữ nhật có kích thước 5; đặt cho cạnh hình chữ nhật song song với Tính diện tích tứ giác? M N A B K O H L D C Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh Q P Tổ : Tốn - Tin TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG N M A B C D Q P   AH  NQ  CK  NQ  mà AH = CosOAH  AO ; CK  CosOCK  CO ; + OAH  OCK ( cặp góc soletrong) Giải: Ta có : SANCQ = SANQ + SCNQ =  SANCQ   CosOAH  NQ   AO  OC  =  CosOAH  AC  NQ 2 Ta chứng minh số đo OAH không đổi Thật : OAH  900  AOH  900  OCD  OLC  mà OLC  900  MQN   ( Tính chất góc ngồi đỉnh O)  Suy : OAH  900  OCD  900  MQN  MQN  OCD ( Cố định )   1 Vậy SANCQ =  CosOAH  AC  NQ =  Cos MQN  OCD  AC  NQ 2 MN Và tgMQN =   MQN  30057 ' ; OCD  330 41' NQ Vậy : SANCQ =  Cos20 44' 34  52  20,9998  21 (cm2) Bài 10: Cho ABC , trực tâm H trung điểm đường cao AD Chứng minh: tgB.tgC = A AD BD Giải : tgB  ; tgC  cot gDBH  BD HD AD BD AD nên tgB.tgC =   BD HD HD mà AD = 2HD nên tgB.tgC =  E H  HD 2 HD B D C Bài tập 11: Cho ABC : B  600 ; C  800 Tính số đo góc tạo đường cao AH trung tuyến AM Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh Tổ : Toán - Tin TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG Giải: Ta có : tg  = MH AH A Mặt khác : BH - HC = ( BM + MH) - ( MC - MH ) = 2MH BH  HC AH AH mà BH  ; HC  tgB tgC  MH   1  AH      tgB tgC  nên MH =  1  AH    tgB tgC   1      Vậy tg    AH  tgB tgC  B M H C    110 20' Bài 10: Cho ABC , phân giác AD, đường cao CH trung tuyến BM gặp điểm Chứng minh : CosA = bCosB A H O B Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh 10 D Tổ : Toán - Tin C TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG Bài 6: a) Cho tam giác DEF có ED = cm, D  40 , F  58 Kẻ đường cao EI tam giác Hãy tính: a) Đường cao EI b) Cạnh EF b) Giải tam giác vuông ABC, biết A  900 , AB = 5, BC = E Giải: a) Áp dụng hệ thức lượng Ta có : + EI = sinD DE = sin 400.7  4,5 (cm) EI 4,5 7cm + EF =   5,3 (cm) SinF Sin580 0 b) AC  BC  AB  72  52  4,9(cm) AB CosB    B  440 25' BC + C  900  B  45035' D 40 58 I F Bài 1: Cho ABC : A  900 ; AB  5cm; BC  13cm Vẽ phân giác AD, đường cao AH a) Tính độ dài đoạn thẳng BD; DC b) Từ H, kẻ HK  AC Chứng minh : ABC KAH c) Tính độ dài đoạn thẳng AK KC ? Giải : B a) Áp dụng định lí Pitago, ta có : H AC  BC  AB2  12cm D + Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có : BD CD BD CD BC 13      AB AC AB AC AB  AC 17 13 13 14 Suy : BD    cm CD = 12  cm 17 17 17 17 b) ABC KAH ( g-g) AB  AC 60 c) Ta có : AH BC = AB AC  AH    cm BC 13 17 Từ ABC KAH AB BC AB  AH 131 38    AK  1 cm ; KC  10 cm AK AH BC 169 169 Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh 11 A K C Tổ : Toán - Tin TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG a) Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có : BH EH   AB EA ' Vậy CosB = 0,25  B  7503121''  B  370 45' 15 AH 5.4 nên AB =   5,164 SinB 15 + Áp dụng cơng thức tính chiều dài đường phân giác Ta có : B AB  BC  Cos  5,164  x  Cos370 45' BD  hay  AB  BC 5,164  x  5,164  BC  x   14,3115  5,164  cos370 45' + SinB  AC = AB2  BC  AB  BC  CosB  13,9475 Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh 12 Tổ : Tốn - Tin ... LƢỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG ( 2011-2012) Bài 1: Trong hình vẽ sau biết AB  , AC  6,4 , AN  3,6 ; AND  900 , DAN  340 Hãy tính (làm tròn đến số thập phân thứ tư ) a) CN b) ABN c) CAN Bài : Trong. .. 3,6 6,4 C N D Q Bài : Trong hình vẽ sau biết QPT  180 , PTQ  1500 , QT  , TR  Hãy tính : a) PT b) Diện tích tam giac PQR P 18  150 T R Bài giải a) Xét PTQ, kẻ đường cao TK , ta có PQT ... Bài 6: a) Cho tam giác DEF có ED = cm, D  40 , F  58 Kẻ đường cao EI tam giác Hãy tính: a) Đường cao EI b) Cạnh EF b) Giải tam giác vuông ABC, biết A  900 , AB = 5, BC = E Giải: a) Áp dụng