Đang tải... (xem toàn văn)
TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG 1 BC Mặt khác : HM = KM = 2 Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông nên HK = HM = KM hay MKH là tam giác đều.. Từ trung điểm E của cạnh AC k[r]
(1)TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG BÀI TẬP NÂNG CAO HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Bài 1: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ đường cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên Tính độ dài đường cao hình thang cân đó Bài giải sơ lược: X A B Kẻ AH CD ; BK CD Đặt AH = AB = x HK = x AHD = BKC (cạnh huyền- góc nhọn) X 10 x Suy : DH = CK = D 10 x x 10 Vậy HC = HK + CK = x + = H 10cm C K Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ADC vuông A có đường cao AH 10 x 10 x x2 5x2 = 100 2 Ta có : AH2 = DH CH hay Giải phương trình trên ta x = và x = – (loại) Vậy : AH = Bài 2: Cho tam giác ABC cân A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài 15,6cm, đường cao ứng với cạnh bên dài 12cm Tính độ dài cạnh đáy BC A Giải: Đặt BC = 2x, từ tính chất tam giác cân ta suy CH = x 2 Áp dụng định lí Pitago tính AC = 15, x HAC Từ KBC BC KB AC AH hay 2x 12 15, 62 x 15, 15,6 K 12 Đưa phương trình 15,62 + x2 = 6,76x2 // C // B H Giải phương trình trên ta nghiệm dương x = 6,5 2x Vậy BC = 2.6,5 = 13(cm) Bài Tập : Cho ABC : A 90 Qua trung điểm I AC, dựng ID BC 2 Chứng minh : BD CD AB Giải: Hạ AH BC Ta có : HD = DC ( t/c đường trung bình) Ta có : BD2 – CD2 = ( BC - CD)2 – CD2 = BC2 + CD2 – 2BC.CD – CD2 = BC2 – BC.(2CD) = BC2 – BC.HC = BC2 – AC2 = AB2 ( Chú ý : AB2 = BC2 – AC2) Bài Tập : Cho ABC vuông A Đường cao AH, kẻ HE, HF vuông góc với EB AB FC AC AB, AC Chứng minh rằng: a) b) BC BE CF = AH3 A Giải: a) Trong AHB có HB2 = BE BA (1) ; F AHC có HC = CF CA (2 ) HB BE AB FC AC Từ (1) và (2) có : HC Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh (1) E B C H Tổ : Toán - Tin (2) Trong ABC TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG có :AB2 = BH BC và AC2 = HC BC suy HB AB HB AB HC AC HC AC (2) EB AB FC AC Từ (1) và (2) Ta có : BE BH EBH BA BC b) ABC AB AB BE BC BC (3) Thay AC CF BC Tương tự ta có ( 4) BH AB AC Từ (3) và (4) Ta có : BE CF = BC AB AC AB AC BC BC = AH3 Mà AB AC = BC AH nên BC BE CF = BC BC Bài 5: Cho hình vuông ABCD Qua A, vẽ cát tuyến Bất kì cắt cạnh BC, tia CD E và F 1 2 AD Chứng minh : AE AF Giải: Dựng điểm H thuộc tia CD cho BE = HD Ta có : ABE ADH ( c – g –c ) ) AE AH Áp dụng hệ thức lựơng cho AHF : HAF 90 ; AD HF 1 1 1 2 2 AD nên AE AF AD Ta có : AH AF Bài 6: Cho hình thoi ABCD có A 120 , tia Ax tạo với Ax 15o B Tia AB góc , cắt BC, CD M, N 1 2 Chứng minh: AM AN AB Giải: Từ A, dựng đường thẳng vuông góc với AN Cắt CD P, hạ AH CD Ta có : ABM ADP ( g – c – g) ) AM AP Áp dụng hệ thức lượng cho NAP : NAP 90 , AH NP 1 1 1 2 2 AH nên AM AN AH Ta có : AP AN AB Mà AH = sinD.AD = sin60 AD = Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh (1) (2) Tổ : Toán - Tin (3) TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG 1 2 AM AN AB AM AN AB Thay (2) và (1) Ta có : BÀI TẬP PHẦN HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG ( 2011-2012) Bài 1: Trong hình vẽ sau biết AB 9 , AC 6, , AN 3,6 ; AND 90 , DAN 34 Hãy tính (làm tròn đến số thập phân thứ tư ) a) CN b) ABN c) CAN d) AD Q Bài : Trong hình vẽ sau biết QPT 18 , PTQ 150 , QT 8 , TR 5 Hãy tính : a) PT b) Diện tích tam giac PQR Hướng dẫn : Từ T và R hạ các đường vuông góc với PQ P 150 18 T R Bài 3: Cho tam giác ABD vuông B, AB = cm, BD = cm Trên cạnh BD lấy điểm C cho BC = cm Từ D kẻ Dx // AB, nó cắt đường thẳng AC E a) Tính AD b) Tính các góc BAD, BAC c) Chứng minh AC là tia phân giác góc BAD d) Chứng minh tam giác ADE cân D Hướng dẫn câu c: Hạ CI AD Chứng minh : AB = CI Bài 4: Cho ABC có góc A = 200 ; B̂ = 300 ; AB = 60cm Đường cao kẻ từ C đến AB cắt AB P ( hình vẽ) Hãy tìm a) Tính AP ? ; BP ? b) CP ? 60 Bài 5: Cho ABC có A Kẻ BH AC và CK AB a) chứng minh KH = BC.CosA b) Trung điểm BC là M Chứng minh MKH là tam giác Hướng dẫn : AH KH BC AB ABC Câu a : Từ KH = BC.CosA AHK 600 Câu b: Vận dụng tính chất đường trung tuyến tam giác vuông và chú ý A µ Bài 6: Cho ABC ( A = 900 ) Từ trung điểm E cạnh AC kẻ EF BC Nối AF và BE a) Chứng minh AF = BE.cosC b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6 Tính diện tích tứ giác ABFE · c) AF và BE cắt O Tính sin AOB Hướng dẫn : Câu a : Tương tự cách giải bài Câu b: Sử dụng tính chất diện tích miền đa giác hình học · Câu c : Rất khó: Hạ AH, FK vuông góc với BE.Tính SABFE = SABE + SBFE Suy sin AOB µ Bài 7: Cho tam giác vuông ABC ( B = 900 ) Lấy điểm M trên cạnh AC Kẻ AH BM, CK BM Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh Tổ : Toán - Tin (4) TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG · MC BH.tg BAC = · BK a) Chứng minh : CK = BH.tgBAC b) Chứng minh : MA Hướng dẫn : Câu a : Tương tự cách giải bài Câu b: Tiếp tục vận dụng câu a lần Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có đ.chéo AC lớn đ.chéo BD Kẻ CH AD và CK AB a) Chứng minh CKH BCA · b) Chứng minh HK = AC.sin BAD · c) Tính diện tích tứ giác AKCH biết BAD = 60 , AB = cm và AD = cm Bài 9: Cho ABC , trực tâm H là trung điểm đường cao AD Chứng minh: tgB.tgC = A E H B D C ĐÁP ÁN Bài 1: Trong hình vẽ sau biết AB 9 , AC 6, , AN 3,6 ; AND 90 , DAN 34 Hãy tính (làm tròn đến số thập phân thứ tư ) a) CN Bài giải 2 2 a) CN AC AN 6, 3,6 5, 2915 3,6 sin ABN 0, b) ABN 23 34'41'' AN 3,6 cos CAN 0,5625 AC 6,4 c) CAN 55 46'16'' d) AN AD.cos A AD.cos34 AN 3,6 B AD 4,3426 cos34 0,8290 b) ABN c) CAN d) AD A 34 3,6 6,4 C N Q Bài : Trong hình vẽ sau biết QPT 18 , PTQ 150 , QT 8 , TR 5 Hãy tính : a) PT b) Diện tích tam giac PQR P Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh 18 D 150 T R Tổ : Toán - Tin (5) TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG Bài giải PQT 1800 1500 180 120 a) Xét PTQ, kẻ đường cao TK , ta có 0 TK TQ.sin Q 8.sin12 ; TK PT sin P PT sin18 PT sin18 8.sin120 ; PT b) Ta có 8.sin120 5,3825 cm sin180 PR PT TR 5,3825 10,3825 cm ; Kẻ đường cao RH, ta có RH PR.sin P 10,3825.sin18 3, 2084 0 Xét PTQ, ta có P 18 , Q 12 : PK PT cos P 5,3825.cos18 5,1191 ; QK QT cos Q 8.cos120 7,6085 PQ PK KQ 5,1191 7,6085 12,7276 1 S PQR PQ.RH 12,7276.3, 2084 20, 4176 cm Q 2 Diện tích tam giác PQR : H K P 18 150 R T Bài 3: Cho tam giác ABD vuông B, AB = cm, BD = cm Trên cạnh BD lấy điểm C cho BC = cm Từ D kẻ Dx // AB, nó cắt đường thẳng AC E E a) Tính AD b) Tính các góc BAD, BAC c) Chứng minh AC là tia phân giác góc BAD d) Chứng minh tam giác ADE cân D B Giải :a) Áp dụng định lí Pitago Ta có : AD AB BD 62 82 10cm b) Áp dụng tỉ số lượng giác Ta có : BD sin BAD BAD 5307 ' AD 10 BC tgBAC 0,5 BAC 26034' AB (*) CI AD ICD BAD ( g-g) c) Hạ Ta có : CI CD CD AB 6 CI 3cm AB AD AD 10 nên ABC AIC (CH-CGV) AI AB 6cm Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh 3cm A C I D Tổ : Toán - Tin (6) TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG CI tgCAI AI Suy : (**) BAC IAC Từ (*) và (**) Ta có : hay AC là tia phân giác BAD d) Mặt khác : BAC E ( cặp góc soletrong) nên E IAC hay ADE cân D Bài 4: Cho ABC có góc A = 200 ; B̂ = 300 ; AB = 60cm Đường cao kẻ từ C đến AB cắt AB B P ( hình vẽ) Hãy tìm a) Tính AP ? ; BP ? b) CP ? Hướng Dẫn a) Kẻ AH BC ; AHB H AH = AB SinB 60 P A C = 60.Sin30 = 60 = 30 AHC ( Ĥ = 1v) B AH = AC Cos400 60 30 AH AC = Cos 40 = 0,7660 = 39,164 APC có ( P̂ = 1v) P A C AP = AC.Cos 200 = 39,164 0,9397 = 36,802 PB = AB – AP = 60 – 36,802 = 23, 198 b) APC ( P̂ = 1v) CP = AC Sin200 = 39,164 0,342 = 13, 394 H 60 Bài 5: Cho ABC có A Kẻ BH AC và CK AB a) chứng minh KH = BC.CosA b) Trung điểm BC là M Chứng minh MKH là tam giác AKC ( g-g) Giải : a) AHB K AH AB AK AC và A chung B ABC AHK Suy : AH HK AH HK BC AB BC AB Mặt khác : A 60 Hay HK = cosA.BC H I HK cos600 BC BC b) Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh M Tổ : Toán - Tin C (7) TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG BC Mặt khác : HM = KM = ( Tính chất đường trung tuyến tam giác vuông) nên HK = HM = KM hay MKH là tam giác µ Bài 6: Cho ABC ( A = 900 ) Từ trung điểm E cạnh AC kẻ EF BC Nối AF và BE a) Chứng minh AF = BE.cosC b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6 Tính diện tích tứ giác ABFE · c) AF và BE cắt O Tính sin AOB Giải: a) CEF CBA ( g-g) B CF AC CE BC CEB ( c -g- c) nên CFA AF AC AF nên cos C BE BC BE F O Vậy AF = BE.cosC µ b) Vì ABC ( A = 900 ) nên AB = SinC BC = 0,6.10 = 6cm AC 8cm nên AE = EC = 4cm Mặt khác : EF = SinC EC = 0,6 = 2,4cm FC 3, 2cm ( Định lí Pitago) SABFE = SABC - SCFE A E B 1 AB AC EF FC 8 2, 3, = = 20,16 (cm2) c) Hạ AH BE; FK BE Ta có : SABFE = SABE + SBFE H AO SinAOB BE OF sinAOB BE = 1 sinAOB BE AO OF sin AOB BE AF 2 mà + BE = 52 ( Định lí Pitago) FEC ( g - g) + ABC AC BC FC EC và C chung nên ACF AF AC AC AF BE 52 BC 10 nên BE BC C F O K (1) A E C (2) BCE ( c-g-c) (3) Từ (1), (2) và (3) Ta có : SABFE 20,16 63 52 0,8 52 65 SinAOB = BE AF C H µ Bài 7: Cho tam giác vuông ABC ( B = 900 ) Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh M K B Tổ : Toán - Tin A (8) TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG Lấy điểm M trên cạnh AC Kẻ AH BM, CK BM · a) Chứng minh : CK = BH.tgBAC · MC BH.tg BAC = BK b) Chứng minh : MA BKC Giải: a) Ta có : AHB ( g - g) Vì K H 90 ; BCK ABH ( cùng phụ với CBK ) CK BC BC CK BH BH tgBAC BH AB AB · b) Từ câu a), ta có : CK = BH.tgBAC MC BH tg BAC MC CK AH mà MA AH Suy : MA BKC ( g - g) Mặt khác : AHB BK BC BC tgBAC AH AB = AH AB BK = BK ( 2) 2· MC BH.tg BAC = BK Thay (2) vào (1) Ta có : MA (1) Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có đ.chéo AC lớn đ.chéo BD Kẻ CH AD và CK AB a) Chứng minh CKH BCA · · b) Chứng minh HK = AC.sin BAD c) Tính diện tích tứ giác AKCH biết BAD = 60 , AB = cm và AD = cm GIẢI: DHC ( g - g) a) BKC K B Vì K H 90 ; D ( cùng A ) KC BC KC BC hay HC DC HC AB (*) Mặt khác : Xét tứ giác AKCH C B 0 Ta có : A HCK 180 ; A ABC 180 Suy : ABC HCK (**) Từ (*) và (**) Ta có : CKH BCA( c-g-c) b) HK CK CK HK AC AC sin KBC AC BC BC BAD KBC A D mà ( cặp góc đồng vị) nên HK AC sin BAD c) SAKCH = SABCH + SBKC BC AH BK CK CH 2 = Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh Tổ : Toán - Tin H (9) TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG BC AD CosA AB CosA BC SinA BC SinA AB 2 = + Cos600 Cos600 5 Sin600 5 4 Sin600 2 = 25 sin 600 cos600 26.2 =2 ( 10+4cos600).sin600 + Bài 9: Cho hai hình chữ nhật có kích thước và 5; và đặt cho các cạnh hình chữ nhật song song với Tính diện tích tứ giác? M N N M A A B B K O H L D C C D Q P Q P AH NQ CK NQ Giải: Ta có : SANCQ = SANQ + SCNQ = mà AH = CosOAH AO ; CK CosOCK CO ; OAH OCK + ( cặp góc soletrong) SANCQ CosOAH NQ AO OC CosOAH AC NQ = Ta chứng minh số đo OAH không đổi Thật : OAH 900 AOH 900 OCD OLC ( Tính chất góc ngoài đỉnh O) mà OLC 90 MQN OAH 900 OCD 900 MQN MQN OCD Suy : ( Cố định ) 1 SANCQ CosOAH AC NQ Cos MQN OCD AC NQ Vậy = = MN 30057 ' ; OCD NQ MQN 330 41' Và tgMQN = SANCQ Cos2 44' 34 52 20,9998 21 Vậy : = (cm2) Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh Tổ : Toán - Tin (10) TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG Bài 10: Cho ABC , trực tâm H là trung điểm đường cao AD Chứng minh: tgB.tgC = A AD BD tgB tgC cot gDBH BD ; HD Giải : AD BD AD nên tgB.tgC = BD HD HD E H mà AD = 2HD nên tgB.tgC = HD 2 HD B D C Bài tập 11: Cho ABC : B 60 ; C 80 Tính số đo góc tạo đường cao AH và trung tuyến AM Giải: MH Ta có : tg = AH A Mặt khác : BH - HC = ( BM + MH) - ( MC - MH ) = 2MH BH HC AH AH BH ; HC tgB tgC mà 1 AH tgB tgC nên MH = MH B M H C 1 AH tgB tgC tg AH tgB tgC Vậy 110 20 ' A Bài 10: Cho ABC , phân giác AD, đường cao CH và trung H tuyến BM gặp điểm Chứng minh : CosA = bCosB O Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh Tổ : Toán - Tin B D C (11) TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG 0 Bài 6: a) Cho tam giác DEF có ED = cm, D 40 , F 58 Kẻ đường cao EI tam giác đó Hãy tính: a) Đường cao EI b) Cạnh EF b) Giải tam giác vuông ABC, biết A 90 , AB = 5, BC = Giải: a) Áp dụng hệ thức lượng Ta có : + EI = sinD DE = sin 400.7 4,5 (cm) EI 4,5 5,3 + EF = SinF Sin58 (cm) 2 2 b) AC BC AB 4,9(cm) AB 440 25' BC B CosB 0 + C 90 B 45 35' E 7cm D 40 58 I Bài 1: Cho ABC : A 90 ; AB 5cm; BC 13cm Vẽ phân giác AD, đường cao AH a) Tính độ dài đoạn thẳng BD; DC KAH b) Từ H, kẻ HK AC Chứng minh : ABC c) Tính độ dài đoạn thẳng AK và KC ? Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh Tổ : Toán - Tin F (12) TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG Giải : B a) Áp dụng định lí Pitago, ta có : H AC BC AB 12cm D + Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có : BD CD BD CD BC 13 AB AC AB AC AB AC 17 13 14 13 BD 5 3 cm 12 9 cm 17 17 17 Suy : CD = 17 KAH ( g-g) b) ABC AB AC 60 AH 3 cm BC 13 17 c) Ta có : AH BC = AB AC KAH Từ ABC AB BC AB AH 131 38 AK 1 cm 10 cm AK AH BC 169 ; KC 169 A K C a) Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có : BH EH AB EA ' Vậy CosB = 0,25 B 75 3121'' B 37 45' AH 5.4 15 5,164 SinB 15 + nên AB = + Áp dụng công thức tính chiều dài đường phân giác Ta có : B AB BC Cos 5,164 x Cos37 45' 6 BD 5,164 x AB BC hay 5,164 BC x 5,164 cos37 45' 14,3115 SinB 2 AC = AB BC AB BC CosB 13,9475 Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh Tổ : Toán - Tin (13) TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG Giáo viên : Nguyễn Đình Huynh Tổ : Toán - Tin (14)