Hàm số liên tục

Tiết 68-69: HÀM SỐ LIÊN TỤC Tiết 68-69: HÀM SỐ LIÊN TỤC 1. 1. Hàm số liên tục tại một điểm Hàm số liên tục tại một điểm Bài toán: Cho hàm số (hình vẽ) 2 1 ( ) 1 víi víi x x f x x x  ≤ =  >  x y 1 a) Tính f(1) b) Tính c) So sánh: với f(1) 1 lim ( ) x f x → lim ( ) 1x f x → Giải: 2 1 ( ) 1 víi víi x x f x x x  ≤ =  >  2 1 1 1 1 1 1 * (1) 1 lim ( ) lim 1 lim ( ) 1 lim ( ) lim 1 lim ( ) (1) VËy: x x x x x x f f x x f x f x x f x f − − + + → → → → → → =  = =  ⇒ =  = =   = Định nghĩa: (SGK) 0 0 0 lim ( ) ( )liªn tôc t¹i x x f x f x f x → ⇔ = f liên tục tại x o f xác định tại x o tồn tại 0 lim ( ) x x f x → 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = f không liên tục tại x o Đ S Đ Đ S S H1: Xét tính liên tục của hàm số f(x)=|x| tại điểm x=0. Giải: x y 1 * f (0)=0 0 0 *lim ( ) lim 0 x x f x x → → = = Vậy, hàm số f(x)=|x| liên tục tại điểm x = 0. 0 lim ( ) (0) x f x f → ⇒ = H2: Xét tính liên tục của hàm số: 2 1 1 ( ) -1 1 víi víi x x f x x x  + ≤ =  >  tại điểm x = 1 Giải: f(1)=1+1=2 2 1 1 1 1 1 1 lim ( ) lim( 1) 2 lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim( 1) 0 x x x x x x f x x f x f x f x x − − − + + + → → → → → →  = + =  ⇒ ≠  = − =   1 lim ( ) ( ) 1 kh«ng tån t¹i Hµm sè kh«ng liªn tôc t¹i x f x y f x x → ⇒ ⇒ = = x y 2 1 2. 2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn: một đoạn: Định nghĩa: (SGK) [ ] ( ) ; ; lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) liªn tôc trªn liªn tôc trªn x a x b f a b f a b f x f a f x f b + − → →    ⇔ =   =   0 ( ; ) ( ; )liªn tôc trªn liªn tôc t¹i mäi f a b f x a b ⇔ ∈ Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số trên đoạn [-1 ; 1] 2 ( ) 1f x x= − y x 1 -1 2 1y x= − [...]... b1 x + b0 n liên tục trên tập xác định của nó Vớ d 1: Chng minh rng: a ) Hàm số f ( x) = x x + 3 liên tục trên Ă 3 x 1 b) Hàm số g ( x ) = 2 liên tục trên Ă x +1 2 x + 3x + 4 c) Hàm số h( x) = liên tục trên 2x +1 1 1 ; ữ ; + ữ 2 2 3 Vớ d 2: Cho hm s 2x 2x nếu x 1 f ( x) = x 1 5 nếu x = 1 Xột tớnh liờn tc ca hm s trờn tp xỏc nh ca nú Gii: 2 2x 2x Nếu x 1 thì f ( x) = là hàm phân thức... x ) = x sin x 2 cos x + 3 2 2 liên tục trên Ă x + x cos x + sin x b) Hàm số g ( x) = 2sin x + 3 liên tục trên Ă 3 (2 x + 1) sin x cos x c) Hàm số h( x) = x sin x liên tục tại mọi điểm x k , k  3 CNG C a x 2 nếu x 1 Cho hm s f ( x) = nếu x = 1 3 Giỏ tr ca a f(x) liờn tc ti x = 1 l : A a = 4 B a = 3 C a = 1 D a = 0 3 Tớnh cht ca hm s liờn tc: nh lý 2: f liên tục trên [a; b] f (a ) f (b) ... thuộc khoảng ( 0 ; ) Hng dn: + f liên tục trên Ă f liên tục trên [ 0 ; ] + f (0) f ( ) = 1.(1 ) < 0 2 Bi tp 53: Chng minh rng phng trỡnh x3 + x + 1 = 0 cú ớt nht mt nghim õm ln hn -1 Hng dn: + f liên tục trên Ă f liên tục trên [ 1 ; 0] + f (1) f (0) = ( 1).1 < 0 Vớ d: Chng minh phng trỡnh: 2x3 10x 7 = 0 cú ớt nht hai nghim Hng dn: + f liên tục trên Ă f liên tục trên [ 1 ; 0] ; [ 0; 3] + f (1)... x x0 x x0 = x0 + 1 = f ( x0 ) f liên tục trên (1; +) (1) lim + f ( x) = lim + x + 1 x ( 1) x ( 1) = 0 = f (1) T (1), (2) suy ra pcm (2) Nhn xột: hm s liờn tc trờn mt on hoc mt khong cú th l mt ng lin nột y y 1 x y -1 1 2 1 x x Nhn xột: f 1) f ; g liên tục tại x0 f g ; f g ; ( g ( x0 ) 0) g liên tục tại x0 f ( x) = an x n + an 1 x n 1 + + a1 x + a0 2) liên tục trên Ă n 1 an x + an 1 x + + a1... f(0) = -1; f(2) = 2 v -1 < -0,8 < 2 nờn theo nh lý v giỏ tr trung gian, ta suy ra pcm H qu: f liên tục trên [ a ; b ] c (a; b) : f (c) = 0 f (a ) f (b) < 0 í ngha hỡnh hc ca h qu: y f(b) O f(a) a c b x Vớ d: Chng minh phng trỡnh: x3 + 2x 5 = 0 cú ớt nht mt nghim Gii: + f liên tục trên Ă f liên tục trên [ 0 ; 2 ] + f (0) f (2) = 5.7 < 0 + Phương trình f ( x) = 0 có nghiệm trên ( 0 ; 2 ) Bi... 2 nó liên tục trên mỗi khoảng ( ;1) và ( 1; + ) Nu x=1 thỡ f(1)=5 v: 2 2x 2x 2 x( x 1) lim f ( x) = lim = lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 = lim 2 x = 2 x 1 lim f ( x) f (1) x 1 f gián đoạn tại x = 1 Kt lun: Hm s ó cho liờn tc trờn cỏc khong ( ;1) , ( 1; + ) v giỏn on ti x=1 nh lý 1: Cỏc hm s lng giỏc y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx liờn tc trờn tp xỏc nh ca chỳng Vớ d: Gii thớch vỡ sao: a ) Hàm số f... liên tục trên [ 1 ; 0] ; [ 0; 3] + f (1) f (0) = 1.(7) < 0 + f (0) f (3) = ( 7).17 < 0 Vớ d: Chng minh phng trỡnh sau luụn cú nghim vi mi giỏ tr ca tham s m: (1 m2) x5 3x 1 = 0 Hng dn: + f liên tục trên Ă f liên tục trên [ 1 ; 0] + f (1) = m + 1 > 0, m f (1) f (0) < 0, m f (0) = 1 < 0 2 1) Hm s f liờn tc trờn on [a ; b] , cú nghim trờn khong (a ; b) thỡ khụng suy ra c f(a).f(b) < 0 y f(b) > 0 f(a)...Gii: x ( 1;1) , lim f ( x) = lim 1 x x x0 2 x x0 = 1 x = f ( x0 ) 2 0 f liên tục trên khoảng ( 1;1) lim + f ( x) = lim + 1 x = 0 = f (1) 2 x ( 1) x ( 1) lim f ( x) = lim 1 x 2 = 0 = f (1) x 1 x 1 Vy, hm s ó cho liờn tc trờn on [-1 ; 1] Chỳ ý: Tớnh liờn tc ca hm s trờn cỏc... a b x 2) Hm s f xỏc nh trờn on [a ; b], cú f(a).f(b) < 0 thỡ khụng suy ra c phng trỡnh f(x) = 0 cú nghim trờn khong (a ; b) Gii thớch: Vỡ thiu gi thit f liờn tc trờn on [a ; b] Vớ d: (Bi tp 54) Cho hàm số 1 nếu x 0 f ( x) = x 1 nếu x = 0 a) Chng t f(-1).f(2) < 0 b) Chng t rng phng trỡnh f(x) = 0 khụng cú nghim thuc khong (-1 ; 2) CNG C Cho phng trỡnh: 2x4 5x2 + x + 1 = 0 (1) Trong cỏc mnh sau, . Tiết 68-69: HÀM SỐ LIÊN TỤC Tiết 68-69: HÀM SỐ LIÊN TỤC 1. 1. Hàm số liên tục tại một điểm Hàm số liên tục tại một điểm Bài toán: Cho hàm số (hình vẽ). Vậy, hàm số đã cho liên tục trên đoạn [-1 ; 1] Chú ý: Tính liên tục của hàm số trên các nửa khoảng được định nghĩa tương tự như tính liên tục của hàm số