Bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn cho học sinh trung học cơ sở thông qua dạy học nội dung phương trình và hệ phương trình

Biện pháp 4: Làm rõ quá trình vận dụng phương trình và hệ phương trình vào thực tiễn trong dạy học toán; trên cơ sở đó, bồi dưỡng các thành tố của năng lực mô hình hóa toán học các bài t

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––––

PHẠM VIỆT HÀ

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC

CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2016

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

-

PHẠM VIỆT HÀ

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC

CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Chuyên ngành: LL và PPDH bộ môn Toán

Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Đào Thái Lai

THÁI NGUYÊN - 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu trong đề tài này là trung thực và chưa công bố trong bất kì công trình nào trước đây Những số liệu, nhận xét đánh giá được tác giả thu thập từ các nguồn khác nhau có trích dẫn nguồn tài liệu tham khảo Nếu có phát hiện bất kì gian lận nào tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng, cũng như kết quả luận văn của mình

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2016

Tác giả luận văn

Phạm Việt Hà

và hệ phương trình” với sự giúp đỡ tận tình của PGS TS Đào Thái Lai

Để hoàn thành được đề tài này, trước hết tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo - PGS TS Đào Thái Lai người đã đồng hành, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình tôi nghiên cứu và thực hiện luận văn Sau nữa, tôi xin gửi lời cảm

ơn đến các thầy cô giáo trong khoa toán trường Đại học sư phạm Thái Nguyên đã có những góp ý, nhận xét giúp tôi có sự điều chỉnh để đề tài đạt hiệu quả cao hơn

Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng đề tài không tránh khỏi những sai sót, tôi mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn để đề tài được hoàn thiện

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2016

Tác giả luận văn

Phạm Việt Hà

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT iv

DANH MỤC CÁC BẢNG v

MỞ ĐẦU v

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu, nội dung nghiên cứu 2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

5 Phương pháp nghiên cứu 3

6 Giả thuyết khoa học 3

7 Những đóng góp của luận văn 3

8 Cấu trúc của luận văn 4

PHẦN NỘI DUNG 5

Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Toán học với đời sống thực tiễn của con người 5

1.1.1 Toán học với đời sống thường nhật của con người 5

1.1.2 Toán học và các môn khoa học khác 6

1.2 Năng lực mô hình hóa các bài toán thực tiễn của học sinh trung học cơ sở 7

1.2.1 Nguồn gốc của năng lực 7

1.2.2 Quan niệm về năng lực 8

1.2.3 Phương pháp mô hình hóa 9

1.3 Vấn đề ứng dụng toán học vào đời sống thực tiễn và vấn đề mô hình hóa các bài toán thực tiễn cho học sinh THCS 18

1.3.1 Vấn đề ứng dụng toán học vào đời sống thực tiễn và vấn đề mô hình hóa các bài toán thực tiễn trên thế giới và trong khu vực 19

1.3.2 Vấn đề ứng dụng toán học vào đời sống thực tiễn và vấn đề mô hình

hóa các bài toán thực tiễn trong nước 21

1.4 Thực trạng dạy học mô hình hóa toán học ở trường THCS thông qua dạy học nội dung phương trình và hệ phương trình 24

1.4.1 Học sinh 24

1.4.2 Giáo viên 25

1.5 Kết luận chương 1 26

Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN BỒI DƯỠNG CHO HỌC SINH NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN 27

2.1 Các định hướng cho việc xác định các biện pháp sư phạm 27

2.2 Một số biện pháp sư phạm góp phần bồi dưỡng cho học sinh năng lực mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn 27

2.2.1 Biện pháp 1 Gợi động cơ bên trong của hoạt động mô hình hóa tình huống thực tiễn cho học sinh qua dạy học phương trình - hệ phương trình 28 2.2.2 Biện pháp 2: Rèn luyện cho học sinh kĩ năng xây dựng mô hình toán học cho các tình huống thực tiễn 36

2.2.3 Biện pháp 3: Tổ chức cho học sinh khai thác các chức năng của mô hình, đồng thời kiểm tra và điều chình mô hình toán học 47

2.2.4 Biện pháp 4: Làm rõ quá trình vận dụng phương trình và hệ phương trình vào thực tiễn trong dạy học toán; trên cơ sở đó, bồi dưỡng các thành tố của năng lực mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn 59

2.2.5 Biện pháp 5: Rèn luyện cho học sinh quen dần với việc tự đặt ra các bài toán để giải quyết một số tình huống đơn giản trong thực tiễn 63

2.3 Thiết kế, lựa chọn hệ thống bài toán có nội dung thực tiễn chủ đề phương trình - hệ phương trình 68

2.4 Tận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn gắn với cuộc sống thường ngày của học sinh 81

2.5 Kết luận chương 2 83

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 85

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 85

3.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm 85

3.3 Đối tượng thực nghiệm sư phạm 85

3.4 Tổ chức thực nghiệp sư phạm 86

3.5 Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 86

3.5.1 Phân tích định lượng 87

3.5.2 Phân tích định tính 93

3.6 Kết luận chương 3 93

KẾT LUẬN 95

TÀI LIỆU THAM KHẢO 957 PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

HS

GV THCS

TN

ĐC BTTT

Học sinh Giáo viên Trung học cơ sở Thực nghiệm Đối chứng Bài toán thực tiễn

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1 Bảng thống kê về mức độ cần thiết của môn Toán trong cuộc sống 25

Bảng 1.2 Bảng thống kê về tình hình sử dụng mô hình hóa toán học trong trường THCS 25

Bảng 2.1 Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.7 38

Bảng 2.2 Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán 2.16 49

Bảng 2.3 Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán 2.17 50

Bảng 2.4 Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.17 51

Bảng 2.5 Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.18 52

Bảng 2.6 Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.18 53

Bảng 2.7 Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.19 54

Bảng 2.8 Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.20 55

Bảng 2.9 Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.23 58

Bảng 2.10 Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.32 71

Bảng 2.11 Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.33 71

Bảng 2.12 Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.34 72

Bảng 2.13 Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.35 73

Bảng 2.14 Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.38 75

Bảng 2.15 Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong 2.39 76

Bảng 2.16 Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.41 77

Bảng 2.17 Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.42 78

Bảng 2.18 Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.43 79

Bảng 2.19 Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.44 80

Bảng 3.1 Nội dung các tiết dạy thực nghiệm sư phạm 85

Bảng 3.2 Kết quả kiểm tra chất lượng học kì I năm học 2015 - 2016của hai lớp 9A và 9B 86

Bảng 3.3 Thời gian dạy thực nghiệm sư phạm 86

Bảng 3.4 Bảng phân bố tần số kết quả kiểm tra 45 phút của HShai lớp 9A và lớp 9B trường THCS Yên Thọ 91

Bảng 3.5 Bảng kết quả xử lý số liệu thống kê của HS hai lớp 9A và lớp 9B trường THCS Yên Thọ 91

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong những năm cuối thế kỉ 20 đầu thế kỉ 21, tình hình kinh tế thế giới có hai đặc điểm nổi bật đó là: kinh tế thế giới đang dần chuyển sang giai đoạn kinh tế tri thức và xu hướng toàn cầu hóa của nền kinh tế Nguyên nhân dẫn đến các đặc điểm trên chính là các thành tựu về khoa học - công nghệ đặc biệt là thành tựu của công nghệ thông tin Trước tình hình đó ngành giáo dục với nhiệm vụ chuẩn bị lực lượng lao động cho xã hội đòi hỏi cũng phải đổi mới để đáp ứng tình hình xã hội Giáo dục trong những năm gần đây đang tập trung đổi mới hướng tới một nền giáo dục tiến bộ, hiện đại bắt kịp với xu hướng chung của thế giới Một trong những định hướng quan trọng hiện nay là tổ chức hoạt động giáo dục gắn liền với thực tiễn Điều này được cụ thể và quy định trong luật giáo dục của nước ta (năm 2005) tại chương 1, điều 3,

khoản 2: “Hoạt động giáo dục phải thực hiện theo nguyên lí học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lí luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và xã hội” Vì vậy với việc dạy học nói chung

và dạy học môn toán nói riêng việc vận dụng kiến thức vào thực tiễn là cấp thiết và

mang tính thời sự

Trong các giai đoạn của quá trình vận dụng toán học vào thực tiễn thì bước lập

mô hình toán học chiếm một vị trí đặc biệt quan trọng bởi các phương pháp toán học chỉ có thể thực hiện trên các mô hình toán học Rõ ràng nếu không thiết lập được mô hình toán học của bài toán thực tiễn thì không thể giải được các bài toán thực tiễn

Tuy nhiên qua khảo sát việc dạy môn toán ở một số trường trung học cơ sở tại địa phương thì việc quan tâm bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học các bài toán

có nội dung thực tiễn cho học sinh của giáo viên còn nhiều hạn chế Giáo viên chủ yếu quan tâm tới việc cho học sinh đi tìm lời giải của các bài toán thuần túy mặc dù ý thức được việc xây dựng mô hình toán học cho các bài toán thực tiễn là hết sức quan trọng Một trong những nguyên nhân dẫn đến tình trạng trên là giáo viên chưa chủ động xây dựng tuần tự các hoạt động cụ thể trong dạy học mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn cho học sinh Nguyên nhân sâu xa hơn nữa có thể là họ thiếu các tài liệu định hướng việc bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn

cho học sinh Chính vì thế, tôi nhận thấy rằng rất cần có những nghiên cứu để đề xuất các biện pháp cụ thể nhằm phát triển năng lực mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn cho học sinh

Đã có nhiều nghiên cứu về mô hình hóa toán học (của các tác giả trong nước

và nước ngoài), tuy nhiên trong khuôn khổ luận văn thạc sĩ tôi muốn vận dụng các kết quả nghiên cứu đi trước vào phần dạy học phương trình và hệ phương trình ở trung học cơ sở Rất nhiều những vấn đề quan trọng của đời sống thực tiễn thuộc về những bài toán của phương trình - hệ phương trình Phương trình và hệ phương trình có mối liên hệ mật thiết với đời sống thực tiễn Nội dung nổi bật trong lý thuyết về phương trình - hệ phương trình là giải bài toán bằng cách lập phương trình (hệ phương trình),

nó đóng một vị trí quan trọng trong nhiều lĩnh vực như: nông nghiệp, giao thông vận tải, kinh tế… Do vậy các kiến thức về phương trình và hệ phương trình đã được đưa vào ngay chương trình môn toán ở trường trung học cơ cở Cho đến nay, các tri thức này được trình bày một cách có hệ thống Cụ thể là phương trình được trình bày trong chương III (SGK lớp 8 - phần đại số) và chương IV (SGK lớp 9 - phần đại số), hệ phương trình được trình bày trong chương III (SGK lớp 9 - phần đại số)

Vì những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu sau:“Bồi dưỡng năng lực

mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn cho học sinh trung học cơ sở thông qua dạy học nội dung phương trình và hệ phương trình”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm bồi dưỡng năng lực mô hình hóa các bài toán thực tiễn cho học sinh khi dạy học nội dung phương trình - hệ phương trình ở THCS

3 Nhiệm vụ nghiên cứu, nội dung nghiên cứu

- Tìm hiểu cơ sở lí luận về vấn đề mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn

- Tìm hiểu chương trình giáo dục bộ môn toán ở bậc THCS, nội dung sách giáo khoa toán lớp 8 và lớp 9; yêu cầu về mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phương trình và hệ phương trình trong chương trình toán THCS; xây dựng các tình huống có thể giúp học sinh phát triển năng lực mô hình hóa tình huống thực tiễn khi học chủ đề phương trình và hệ phương trình

- Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn cho học sinh trong dạy học chủ đề phương trình và hệ phương trình

- Thử nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp

đã đề xuất

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Hoạt động dạy học nhằm phát triển năng lực mô hình hóa các tình huống thực tiễn cho học sinh khi dạy học chủ đề phương trình và hệ phương trình ở trường THCS

- Phạm vi nghiên cứu: Phần dạy học phương trình và hệ phương trình ở các lớp 8, 9 trường THCS

5 Phương pháp nghiên cứu

Đề tài sử dụng một số phương pháp nghiên cứu sau:

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: tập hợp, đọc, nghiên cứu, phân tích, tổng hợp, hệ thống các nguồn tài liệu, các đề tài nghiên cứu, các giáo trình tham khảo liên quan tới đề tài, các vấn đề đổi mới phương pháp dạy học ở trường THCS

- Phương pháp điều tra, quan sát: Dự giờ, điều tra, phỏng vấn, trao đổi với một

số giáo viên dạy môn toán ở trường THCS

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thử nghiệm sư phạm tại một số trường THCS để xem xét tính khả thi và hiệu quả của nội dung nghiên cứu

6 Giả thuyết khoa học

Trên cơ sở lí luận và thực tiễn, xác định một số thành tố cơ bản của năng lực

mô hình hóa các bài toán thực tiễn cho học sinh THCS Trên cơ sở đó, nếu đề xuất được một số biện pháp sư phạm thích hợp trong dạy học các bài toán thực tiễn khi dạy học nội dung phương trình và hệ phương trình sẽ góp phần tạo hứng thú học tập cho học sinh và phát huy tối đa, tối ưu năng lực mô hình hóa toán học của học sinh

7 Những đóng góp của luận văn

7.1 Về mặt lí luận

- Đưa ra quan niệm về năng lực mô hình hóa toán học của học sinh THCS, trên

cơ sở phân tích hoạt động mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn Luận văn cũng

đã mô tả hoạt động này đối với học sinh trung học phổ thông trong dạy học toán đồng

thời xác định các thành tố của năng lực mô hình hóa toán học làm cơ sở cho việc hình thành và phát triển năng lực này ở người học

- Đề xuất được một số biện pháp sư phạm khả thi nhằm phát triển năng lực mô

hình hóa toán học cho học sinh qua dạy học phương trình và hệ phương trình

7.2 Về mặt thực tiễn

- Hệ thống các biện pháp sư phạm có thể giúp giáo viên phổ thông nhận thức

và hành động trong thực tiễn giảng dạy, theo hướng tăng cường xây dựng mô hình hóa toán học cho học sinh

- Hệ thống các bài tập, ví dụ trong luận văn là tư liệu tốt cho giáo viên THCS

tham khảo, vận dụng vào thực tiễn dạy học

8 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn gồm có 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2: Một số biện pháp sư phạm góp phần bồi dưỡng cho học sinh năng lực mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

PHẦN NỘI DUNG Chương 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Toán học với đời sống thực tiễn của con người

1.1.1 Toán học với đời sống thường nhật của con người

Trong cuộc sống thường ngày chúng ta luôn phải đối mặt với cuộc sống, chúng ta phải mua bán, tính toán lỗ lãi, trong đầu luôn thường trực một vấn đề: làm sao để có lợi cho mình nhất Đặc biệt, trước khi làm một việc gì đó quan trọng, chúng

ta đều phải đưa ra những phán đoán Trong cuộc sống hiện đại ngày nay, một cuộc sống đa chiều nhiều biến động, chúng ta càng cần phải tính toán; có thể nói: chỉ có khi đi ngủ mới không để phép tính trong đầu

Khi tác động vào thiên nhiên để tạo ra của cải cho mình, con người bắt gặp những “hình ảnh” của toán học: mặt hồ yên ả là hình ảnh của mặt phẳng; những đóa hoa hướng dương hình tròn, có số cánh được bố trí theo các số hạng của dãy Fi-bô-

na-xi; những con ong xây tổ theo những hình lục giác đều,… Galilê nói: “Thiên nhiên cũng nói bằng ngôn ngữ toán: chữ cái của thứ ngôn ngữ đó là hình tròn, hình tam giác và các hình toán học khác” [26] Thiên nhiên quả là hấp dẫn con người, lôi

kéo họ vào khám phá và cải tạo thế giới Trong lao động tạo ra của cải cho xã hội, con người đã phải tính toán đến vấn đề tiêu thụ để thu lãi về là lớn nhất Bởi vậy, họ phải tính toán đến chất lượng sản phẩm, nguồn nguyên liệu, Tất cả những vấn đề đó đều liên quan đến toán học

Khác với các động vật, con người được thừa hưởng nền văn minh của các xã hội trước đó, những kinh nghiệm và tri thức đã được tích lũy và lưu trữ trong sách vở, trong đó có tri thức toán học Con người phải đến trường để lĩnh hội và phát triển vốn tri thức của xã hội truyền lại và đặc biệt là vận dụng vốn tri thức đó vào đời sống thực tiễn của bản thân mình Đời sống thực tiễn của con người rất đa dạng và phong phú: học tập, lao động sản xuất, chiến đấu bảo vệ tổ quốc Không phải khi nào cũng cho phép chúng ta ngồi trong một phòng học đầy đủ các phương tiện để giải quyết các vấn đề được đặt ra Chẳng hạn, cần xác định chiều cao của một toà nhà mà không có dụng cụ đo hay xác định khoảng cách giữa vị trí của ta và mục tiêu của địch,… Gặp

những trường hợp như vậy, con người đã phải nỗ lực sáng tạo, sử dụng phương pháp toán học, lợi dụng thiên nhiên để hoàn thành nhiệm vụ

Tóm lại, quá trình sản xuất vào đời sống ngày càng được tự động hóa thì xã hội ngày càng trở nên nhân tạo và vai trò của toán học ngày càng lớn Dĩ nhiên không phải hiện tượng xã hội nào cũng có thể được mô phỏng qua mô hình toán học, nhưng không gì có thể ngăn cản sự tò mò, sáng tạo và khát khao chinh phục những vùng đất

mới của các nhà toán học Hàng ngàn năm trước nhà triết học Socrates đã nói: “Hãy

đo, hãy đo, dù không phải lúc nào cũng đo được” Các nhà toán học một cách ý thức

hay vô thức hình như đang đi theo lời kêu gọi đó Họ trở thành một lực lượng đông đảo, có đóng góp lan tỏa rộng rãi khắp trong đời sống Toán học ngày nay đã trở thành một nghề nghiệp, đảm bảo việc làm cho hàng chục vạn người làm toán trên toàn thế giới, góp phần phát triển và ổn định xã hội

1.1.2 Toán học và các môn khoa học khác

Toán học nghiên cứu những mối quan hệ số lượng và hình dạng không gian của thế giới khách quan Quan hệ bằng nhau, lớn hơn, nhỏ hơn của hai đại lượng là mối quan hệ cơ bản thường gặp trong thực tiễn khoa học và đời sống… Điều đó nói lên vai trò của toán học được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học, văn học…

Cơ học và vật lí không thể phát triển được nếu không có toán học Nhưng điều đáng chú ý nhất trong giai đoạn cách mạng khoa học kĩ thuật là bên cạnh những ứng dụng của toán học vào kĩ thuật và sản xuất thông qua vật lí và cơ học thì những ứng dụng thông qua điều kiện học tăng lên không ngừng và ngày càng quan trọng

Một lĩnh vực không thể không nhắc đến trong cuộc sống đã chịu sự xâm nhập của phương pháp toán học và điều khiển học là y học - ngành khoa học có lịch sử rất lâu đời và cũng tích lũy được nhiều kinh nghiệm phong phú Trải qua hàng ngàn năm,

y học đã biết đến hàng triệu căn bệnh khác nhau và có những phương pháp chữa trị bệnh khác nhau Ngày nay nhờ các trang thiết bị máy móc hiện đại và phương pháp tính toán, việc sử dụng các phương pháp thống kê toán học và máy tính điện tử có thể giúp con người khai thác triệt để các kinh nghiệm và đoán bệnh một cách chính xác, hiệu quả

Một lĩnh vực khác mà vai trò của toán học có nhiều kết quả đáng kể là kinh tế học Đó là những ứng dụng hàng ngày thông qua vấn đề tổ chức và quản lí sản xuất

Ai cũng biết không phải chỉ cần có kĩ thuật cao, máy móc hiện đại là sản xuất tốt mà điều quan trọng ở đây là phải biết tổ chức và quản lí sản xuất một cách khoa học để phát huy một cách hiệu quả các kĩ thuật và máy móc ấy Đứng trước một vấn đề tổ chức sản xuất người ta có thể đưa ra nhiều phương án giải quyết khác nhau và đương nhiên bao giờ cũng chọn phương án tốt nhất Bài toán về “sự lựa chọn” ấy đã được một số nhà khoa học chú ý nghiên cứu tỉ mỉ, chi tiết Kết quả là đã ra đời một môn khoa học về các vấn đề đó gọi là vận trù học

Tóm lại, toán học có vai trò to lớn với sự phát triển của các ngành khoa học, kĩ thuật khác, là điều kiện thiết yếu để phát triển lực lượng sản xuất Còn một đặc điểm rất quan trọng của tình hình khoa học hiện nay là: song song với việc phân hóa theo chuyên môn, đang hình thành một xu hướng tổng hợp, thống nhất các khoa học còn lại Nổi bật một nét mới là các khoa học ngày càng ‘‘toán học hóa’’ có nghĩa là ngày càng được sư dụng rộng rãi hơn các phương pháp toán học

1.2 Năng lực mô hình hóa các bài toán thực tiễn của học sinh trung học cơ

sở

1.2.1 Nguồn gốc của năng lực

Từ cuối thế kỉ XIX đến nay đã có nhiều ý kiến khác nhau về bản chất và nguồn gốc của năng lực, tài năng Hiện nay đã có xu hướng thống nhất trên một số quan điểm cơ bản, quan trọng về lí luận cũng như thực tiễn:

+ Một là, những yếu tố bẩm sinh, di truyền là điều kiện cần thiết ban đầu cho

sự phát triên năng lực Đó là điều kiện cần nhưng chưa đủ (động vật bậc cao sống với người hàng ngàn năm vẫn không có năng lực như con người vì chúng không có các tư chất bẩm sinh di truyền làm tiền đề cho sự phát triển năng lực)

+ Hai là, năng lực của con người có nguồn gốc xã hội, lịch sử Con người từ khi sinh ra đã có sẵn các tố chất nhất định cho sự phát triển các năng lực tương ứng, nhưng nếu không có môi trường xã hội thì cũng không phát triển được Xã hội đã được các thế hệ trước cải tạo, xây dựng và để lại các dấu ấn đó cho các thế hệ sau trong môi trường văn hóa - xã hội

+ Ba là, năng lực có nguồn gốc từ hoạt động và là sản phẩm của các hoạt động Sống trong môi trường xã hội tự nhiên do các thế hệ trước tạo ra và chịu sự tác động của nó, con người ở thế hệ sau không chỉ đơn giản sử dụng hay thích ứng với các thành tựu của các thế hệ trước để lại, mà còn cải tạo chúng và tạo ra kết quả “vật chất” mới hoàn thiện hơn cho các hoạt động tiếp theo

1.2.2 Quan niệm về năng lực

Khi phát triển chương trình giáo dục, đa số các nước không chỉ chú trọng đến kiến thức, kĩ năng mà còn quan tâm đến phát triển năng lực cho học sinh Tiếp cận năng lực trong phát triển chương trình giáo dục các trình độ đã trở thành xu hướng của thời đại Cần có một cách hiểu thống nhất về khái niệm năng lực Theo đó năng lực là khả năng huy động tổng hợp các kiến thưc, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… để thực hiện thành công một loại việc nào trong một bối cảnh nhất định

Trong giáo dục, người ta xem xét các năng lực chung và các năng lực đặc thù môn học

* Năng lực chung là năng lực cần thiết cho nhiều ngành hoạt động khác nhau như năng lực phán xét tư duy lao động, năng lực khái quát hoá, năng lực tưởng tưởng Năng lực chung bao gồm các các nhóm sau:

- Nhóm các năng lực phát triển cá nhân: năng lực và tự học, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo, năng lực thẩm mĩ, năng lực thể chất

- Nhóm các năng lực xã hội: Năng lực giao tiếp và năng lực hợp tác

- Nhóm các năng lực công cụ: năng lực tính toán, năng lực sử dụng công nghệ thông tin

- Năng lực giải quyết vấn đề: Đây là một trong những năng lực mà môn toán

có nhiều thuận lợi để phát triển…

- Năng lực mô hình hóa toán học: năng lực này thể hiện ở việc học sinh có thể phân tích tình huống thực tế, đề xuất các yếu tố không bản chất, đi tới một mô hình toán học…

- Năng lực biểu diễn toán học

- Năng lực giao tiếp (qua nói hoặc viết)

- Năng lực sử dụng các công cụ, phương tiện học toán

Từ quan niệm năng lực trên, có thể hình dung rằng dạy học nhằm phát triển năng lực sẽ làm đổi mới việc xác định mục đích dạy học, phương pháp và hình thức dạy học và cả phương pháp đánh giá

Theo Xavier Roegeiers [62], để phát triển năng lực người học, cần chú trọng hơn tới việc tổ chức hệ thống các tình huống học tập, trong đó học sinh buộc phải hoạt động trong tìm hiểu tình huống, phát hiện và giải quyết vấn đề, khi giải quyết vấn đề học sinh buộc phải huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và nhiều phẩm chất khác, phải tìm kiếm thông tin, tương tác với môi trường học tập, giáo tiếp với giáo viên, với bạn học và những người khác để giải quyết vấn đề, nhờ đó phát triển được năng lực mong muốn

1.2.3 Phương pháp mô hình hóa

Phương pháp mô hình hóa là phương pháp nhận thức khoa học mà con người dùng phương tiện là mô hình để nghiên cứu các sự vật và hiện tượng

1.2.3.1 Quan niệm về mô hình

Quan niệm về mô hình có thể được hiểu như sau:

Hai hệ thống A và B được gọi là đẳng cấu với nhau khi tồn tại một song ánh từ

A lên B sao cho bảo toàn các mối quan hệ

Do A và B là đẳng cấu, nên khi nghiên cứu B, phát hiện được các thuộc tính nào đó thì cũng rút ra được kết luận rằng A cũng có các thuộc tính như thế Trong nhiều trường hợp, vì A là khá phức tạp, người ta tìm cách nghiên cứu B đơn giản hơn, nhưng đẳng cấu về toán học với A Lúc này B được gọi là một mô hình của A

1.2.3.2 Các đặc trưng của mô hình

- Mô hình là vật đại diện, vật trung gian cho sự nghiên cứu, nên mô hình phải bảo lưu được các mối quan hệ cơ bản của vật gốc (tính chất nào là cơ bản do con người quan niệm) Bởi vậy, mô hình phải đồng cấu hay đẳng cấu với vật gốc Mô

hình đẳng cấu (đồng cấu) với vật gốc theo nghĩa: đồng nhất hoàn toàn về mặt cấu trúc (đồng nhất những tính chất và những mối quan hệ chủ yếu) Tính chất này cho phép con người xây dựng những mô hình đơn giản hơn vật gốc Iu M Xviregiev cho rằng:

“Mô hình bao giờ cũng “nghèo nàn” hơn hiện thực mà nó mô tả” và ông khẳng định rằng: “Mô hình có thể là thô thiển và chưa hoàn thiện, song nó phải xét đến mọi khía cạnh chính của thực tế, những khía cạnh mà chúng ta quan tâm tới” [27, tr.28] Tuy

nhiên, không phải bao giờ mô hình cũng đơn giản hơn vật gốc Ngày nay, với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, con người sử dụng nhiều phương tiện hiện đại để mô tả đối tượng nghiên cứu, cho nên nó có thể phức tạp hơn vật gốc

- Đứng về mặt nhận thức, mô hình là sản phẩm của quá trình tư duy, nó ra đời nhờ quá trình trừu tượng hóa của ít nhiều các đối tượng cụ thể Trong quá trình trừu tượng hóa, con người đã vứt bỏ những dấu hiệu không bản chất, chỉ giữ lại những thuộc tính bản chất; hay nói cách khác, đối tượng nghiên cứu đã được lí tưởng hóa Bởi vậy, mô hình mang tính lí tưởng, tính chất này cho phép con người sáng tạo ra trên đó những yếu tố chưa hề có trong thực tiễn Điều này đã làm cho phương pháp

mô hình hóa có tính chất cách mạng, có tính phát triển Do đó, quá trình xây dựng mô hình là một quá trình nhận thức khoa học tích cực [59, tr 177]

- Mô hình không thể thay thế hoàn toàn vật gốc Một mô hình chỉ phản ánh đến một mức độ nào đó, một vài mặt nào đó của vật gốc Để nghiên cứu các sự vật hiện tượng phức tạp, người ta dùng nhiều mô hình để mô tả chúng Tuy nhiên việc lắp ráp chúng lại để có một sự đánh giá tổng quát về đối tượng ban đầu không phải là một việc đơn giản

- Thực tiễn cuộc sống luôn luôn vận động và biến đổi, bởi vậy mô hình không phải là cái bất biến Phát triển từ mô hình ở mức độ thấp lên mức độ cao hơn đòi hỏi phải phát hiện được tính quy luật chung của các nhóm mô hình của các quá trình cụ thể, trong đó mô hình tổng quát hơn phải tương thích với các mô hình cụ thể trước

đó Một mô hình có thể là chưa thành công về nhiều phương diện nhưng nó vẫn có vai trò quan trọng trong việc phán đoán tình huống thực tiễn

Đặc điểm quan trọng của mô hình toán học là sử dụng ngôn ngữ toán học để

mô tả các hiện thực khách quan; chính điều này đã làm cho nó ưu việt hơn các mô

hình của các khoa học khác Tác giả Nguyễn Cảnh Toàn cũng cho rằng: “Mô hình

toán học khác các mô hình trong các khoa học khác ở chỗ nó bỏ qua các thuộc tính

về “chất” mà chỉ cần một ngôn ngữ nào đó chính xác diễn tả đúng những quan hệ số lượng cơ bản, từ đó có thể suy ra quan hệ số lượng khác” [54, tr.98] Vì “chất liệu”

của mô hình toán là ngôn ngữ toán học nên chúng rất đa dạng và phong phú: có thể là biểu thức giải tích, phương trình, bảng, biểu đồ, đồ thị, hình vẽ,…

1.2.3.3 Các cấp độ của mô hình hóa toán học

Các tình huống và bài tập mô hình hóa cần được sắp xếp từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Việc học sinh tự mình giải quyết được một bài toán có ý nghĩa rất lớn về mặt tâm lí Ngược lại, việc thất bại ngay từ bài toán đầu tiên dễ làm cho học sinh mất nhuệ khí, dễ gây tâm trạng bất lợi cho quá trình tổ chức hoạt động tiếp theo

Do đó, trong khi thiết kế hệ thống các tình huống và bài tập mô hình hóa, giáo viên cần chú ý đến các mức độ mô hình hóa Sau đây là cách đánh giá mức độ mô hình hóa dựa theo Ludwig và Xu (2010) [64]:

- Cấp độ 0: Học sinh không hiểu tình huống và không thể vẽ, phác thảo hay viết bất cứ cái gì cụ thể về vấn đề

- Cấp độ 1: Học sinh chỉ hiểu tình huống thực tiễn nhưng không cấu trúc và đơn giản tình huống hoặc không thể tìm sự kết nối đến một ý tưởng toán học nào

- Cấp độ 2: Sau khi tìm hiểu vấn đề thực tiễn, học sinh tìm mô hình thật qua cấu trúc và đơn giản hóa, nhưng không biết chuyển đổi thành một vấn đề toán học Ở cấp độ này, học sinh cần đạt được hai kĩ năng mô hình hóa đầu tiên

- Cấp độ 3: Học sinh có thể tìm ra không chỉ mô hình thật, mà còn phiên dịch

nó thành vấn đề toán học, nhưng không thể làm việc với nó một cách rõ ràng trong thế giới toán học

- Cấp độ 4: Học sinh có thể thiết lập vấn đề toán học từ tình huống thực tiễn, làm việc với bài toán với kiến thức toán học và có kết quả cụ thể

- Cấp độ 5: Học sinh có thể trải nghiệm quá trình mô hình hóa toán học và kiểm nghiệm lời giải bài toán trong mối quan hệ với tình huống đã cho

1.2.3.4 Quá trình mô hình hóa

Quá trình mô hình hóa toán học gồm 4 giai đoạn chủ yếu sau đây:

* Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng thực tiễn, phác thảo tình huống và phát hiện các yếu tố (tham số) quan trọng có ảnh hưởng đến vấn đề thực tiễn

* Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán sử dụng ngôn ngữ Toán học Từ đó thiết lập mô hình Toán học tương ứng

* Giai đoạn 3: Áp dụng các phương pháp và công cụ Toán học phù hợp để mô hình hóa bài toán và phân tích mô hình đó

* Giai đoạn 4: Thông báo kết quả, đối chiếu mô hình với thực tiễn và đưa ra kết luận

Quá trình mô hình hóa là được xem là khép kín và nó được dùng để mô tả các tình huống được nảy sinh từ thực tiễn, kết quả của nó được dùng để giải thích và cải thiện các vấn đề trong thực tiễn Có thể minh họa quá trình trên bằng sơ đồ khép kín như sau:

Sơ đồ 1.1: Quá trình mô hình hóa toán học trong dạy học toán

Để vận dụng linh hoạt quá trình trên, trong quá trình dạy học toán, giáo viên cần giúp HS nắm được các yêu cầu cụ thể của từng bước sau đây trong quá trình mô hình hóa các bài toán:

- Bước 1 (Toán học hóa): Hiểu vấn đề thực tiễn, xây dựng các giả thuyết

để đơn giản hóa vấn đề, mô tả và diễn đạt vấn đề bằng các công cụ và ngôn ngữ toán học

- Bước 2 (Giải bài toán): Sử dụng các công cụ và phương pháp toán học thích hợp để giải quyết vấn đề hay bài toán đã được toán học hóa

- Bước 3 (Thông hiểu): Hiểu ý nghĩa lời giải của bài toán đối với tình huống trong thực tiễn (bài toán ban đầu)

- Bước 4 (Đối chiếu): Xem xét lại các giả thuyết, tìm hiểu các hạn chế của mô hình toán học cũng như lời giải của bài toán, xem lại các công cụ và phương pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu thực tiễn để cải tiến mô hình đã xây dựng

1.2.3.5 Hoạt động mô hình hóa

Hoạt động mô hình hóa là hoạt động chuyển một vấn đề thực tế về một vấn đề trong nội tại bản thân toán học để sử dụng công cụ của khoa học này nghiên cứu giải quyết Hoạt động này có thể phân chia thành hai dạng: dạng thứ nhất là hoạt động của các nhà khoa học; dạng thứ hai là hoạt động của những người có học vấn phổ thông

- Đối với các nhà khoa học, người ta quan tâm đến việc mô tả quy luật của tự nhiên, của xã hội bằng công cụ toán học để mang lại những ứng dụng thiết thực trong khoa học và đời sống Quá trình xây dựng mô hình toán học cho các vấn đề thực tế này là một vấn đề vô cùng phức tạp; nó xuất phát từ thực tiễn cuộc sống muôn hình muôn vẻ Mô hình toán học có thể có nhiều cấp độ, có thể mô tả một lớp rộng rãi các đối tượng của hiện thực khách quan, cũng có thể phân chia thành nhiều lớp các mô hình riêng biệt và các lớp mô hình này cũng có thể có nhiều mức độ khác nhau Cuối cùng là mô hình toán học của các quá trình cụ thể Trong sự suy diễn ở trên là đi từ

mô hình toán học tổng quát đến mô hình toán học riêng biệt cụ thể Tuy nhiên, trên thực tế quá trình xây dựng mô hình đi ngược lại với sự suy diễn đó Quá trình xây dựng mô hình toán học không phải là quá trình hình thức hoá mà nó chứa đựng những giả định (giai đoạn trực giác), các tính toán dựa trên những giả định và so sánh với thông tin thu nhận được Tuy phức tạp nhưng người ta cũng hình dung ra được các giai đoạn phải thực hiện trong quá trình này Theo A A Dorođnhixưn [1, tr.24], quá trình mô hình hóa của các nhà khoa học có thể phân thành các giai đoạn sau:

1) Nhận biết các dạng liên hệ (người);

2) Xây dựng mô hình toán học (người);

3) Giải bài toán trên mô hình (máy);

4) So sánh kết quả đã giải với thông tin thu được, xác định những điều không

phù hợp (máy);

5) Phân tích các nguyên nhân có thể gây nên sự không phù hợp (người);

6) Xây dựng mô hình toán học mới Sau đó quá trình lặp lại từ 2 đến 6, số lần lặp lại tuỳ thuộc vào tư duy sắc bén của con người Nếu kết quả phù hợp thì có thể chấp nhận mô hình, ngược lại thì phải quay về bước 1

- Đối với người có học vấn bậc THCS, hoạt động mô hình hóa các bài toán thực tiễn xảy ra khi họ đối mặt với các tình huống có ảnh hưởng trực tiếp đến cuộc sống cá nhân Họ phải nỗ lực chuyển những tình huống này về dạng toán học thực tiễn để giải quyết, phục vụ cho hoạt động thực tiễn của bản thân mình Khác với dạng hoạt động thứ nhất là hoạt động nghiên cứu thì hoạt động dạng thứ hai lại thiên về việc vận dụng toán học vào trong các tình huống đơn giản, phổ biến thường xảy ra trong cuộc sống Cụ thể là trước tình huống đối mặt trong cuộc sống, họ phải liên tưởng tới những tri thức toán học phù hợp để từ đó đặt ra được bài toán và tìm cách giải quyết nhằm thỏa mãn nhu cầu của mình

1.2.3.6 Khái niệm về năng lực mô hình hóa toán học

Năng lực là đặc điểm tâm lí cá nhân của con người, đáp ứng được yêu cầu của mọi hoạt động và là điều kiện tốt để hoàn thành tốt công việc của mình Hệ thống các năng lực cùng với phẩm chất của con người cụ thể hình thành nên nhân cách của con người Như đã trình bày ở mục 1.1, xu hướng tăng cường tính thực tiễn trong dạy học toán ở trường THCS đóng vai trò rất quan trọng trong việc hình thành và phát triển năng lực cho HS Liên hệ thực tiễn giúp học sinh học tập toán một cách tích cực, chủ động và

có ý nghĩa hơn Để thực hiện được mục tiêu đó, người giáo viên dạy toán cần có năng lực vận dụng những khái niệm toán học ở trường phổ thông để thiết kế và mô tả các mô hình toán học trong cuộc sống Khả năng xây dựng mô hình toán học từ tình huống thực tiễn được coi là cơ sở của việc “toán học hóa các tình huống thực tiễn”;

Hoạt động thiết lập mô hình toán học của tình huống thực tế là hoạt động của chủ thể tiến hành tổ chức lại các dữ kiện toán học thu được sau khi mã hoá các thông tin toán học có được từ tình huống thực tế để lập nên thành bài toán toán học cần thiết Các dữ kiện này đang tồn tại một cách riêng rẽ, đơn lẻ và phải được liên hệ, phối hợp với nhau một cách thành công Chẳng hạn với bài toán thực tế lập phương trình, đây chính là khâu thiết kế lập phương trình từ các dữ kiện toán học

đã xây dựng được

Năng lực thiết lập mô hình toán học của tình huống thực tế (gọi tắt là năng lực thiết lập mô hình) được sử dụng giúp chủ thể thực hiện các hoạt động này Trong năng lực thiết lập mô hình toán học của tình huống thực tế có hai yếu tố sau đây:

a) Năng lực nhận thức được những quan hệ toán học giữa các đối tượng tham gia tình huống thực tế

Để tổ chức lại các dữ kiện toán học, cần phải nhận thấy được những mối quan

hệ toán học giữa chúng Những mối quan hệ này chỉ có thể thấy được khi chủ thể đã nhận thức được đầy đủ và tổng quan các mối quan hệ toán học (như các quan hệ, tương quan hàm ) giữa các đối tượng, các yếu tố tham gia trong tình huống thực tế

b) Tính linh hoạt của tư duy trong các hoạt động liên hệ giữa các yếu tố thực tế

và các yếu tố toán học

Khi giải quyết một bài toán thực tế, thường chủ thể không thể xét cùng lúc tất

cả các dữ kiện trong bài toán Xuất phát từ một nhóm các dữ kiện, huy động được các kiến thức toán học phù hợp, sẽ có được mô hình toán học của nhóm này, sau đó quay trở lại xét tiếp nhóm các dữ kiện khác của bài toán, tiếp tục mô hình hoá toán học chúng Từ các bước như vậy mà hình thành mô hình toán học đầy đủ của cả bài toán thực tế Tuy nhiên, có trường hợp ở một bước nào đó không thành công và phải quay trở lại, tiến hành lại các bước Chẳng hạn khi giải một bài toán thực tế bằng cách lập phương trình, xuất phát từ một nhóm dữ kiện nào đó là một đại lượng đã được biểu thị dưới dạng các biểu thức chứa ẩn sau khi đã chọn một đại lượng làm ẩn, có khi ở những bước tiếp theo lại bế tắc, không thể thiết lập được phương trình và phải quay lại, xem xét một nhóm dữ kiện khác phải thực hiện lại cả việc chọn ẩn số

Như vậy, để thực hiện có hiệu quả hoạt động thiết lập mô hình toán học của một tình huống thực tế, cần phải đến sự linh hoạt của tư duy trong các hoạt động di chuyển giữa các yếu tố thực tế và các yếu tố toán học và yếu tố này trở thành một thuộc tính tâm lí cần thiết có mặt trong năng lực thiết lập mô hình toán học của tình huống thực tế

Các yếu tố trong a), b) không tác động một cách độc lập mà đan xen nhau, hỗ trợ nhau trong hoạt động thiết lập bài toán toán học, cùng tổng hợp thành năng lực thiết lập mô hình toán học của tình huống thực tế

1.2.3.7 Các thành tố đặc trưng của năng lực mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn của học sinh THCS

Xuất phát từ mục đích của luận văn là bồi dưỡng năng lực mô hình hoá toán học các bài toán thực tiễn cho học sinh THCS nên việc xác định các thành tố của nó

là một vấn đề quan trọng Chúng tôi đã dựa vào các cơ sở:

1) Các quan điểm của các nhà khoa học liên quan đến vấn đề nghiên cứu

2) Quá trình vận dụng tri thức toán học của con người vào đời sống thực tiễn 3) Năng lực toán học của học sinh THCS

Trong những căn cứ được dẫn ra ở trên, ít nhiều chúng tôi đã được tiếp cận, ở đây, xin bàn luận cụ thể về căn cứ thứ nhất là các quan điểm của các nhà khoa học về vấn đề này

- Một điều cần được khẳng định ngay là năng lực mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn của học sinh THCS phụ thuộc hoàn toàn vào trình độ toán học và vốn hiểu biết của họ về thế giới đang sống Trình độ toán học của mỗi học sinh phụ thuộc vào năng lục toán học của mỗi cá nhân đó Năng lực mô hình hóa là vấn đề phức tạp, còn nhiều quan điểm khác nhau về thành phần cấu trúc của nó, tuy nhiên chung quy lại đó là các đặc điểm tâm lí giúp tâm lí giúp người học có khả năng lĩnh hội và sáng tạo các tri thức toán học Phần lớn các nhà khoa học trước đây, xem xét vấn đề năng lực mô hình hóa thiên về mặt trí tuệ Trọng tâm của luận văn không phải nghiên cứu

về năng lực toán học học của học sinh THCS mà chỉ xem xét nó như là một điều kiện cần để phát triển năng lực mô hình hóa các bài toán thực tiễn cho người học Lứa tuổi học sinh THCS là từ 12 đến 15 tuổi, theo J Piaget tốc độ liên tưởng kết nối các ý tưởng cao dẫn đến sự thay đổi nhanh về cấu trúc nhận thức, do đó các em phát triển nhanh về mặt trí tuệ Hơn nữa, trẻ càng lớn trẻ càng trải nghiệm trong cuộc sống, khả năng phát hiện ra các mối quan hệ định tính của hiện thực khách quan càng phát triển Mặt khác, càng lớn hệ thống tri thức hóa toán học của học sinh càng được trang bị đầy đủ hơn, ngôn ngữ toán học phong phú hơn Do đối tượng học sinh mà luận văn

quan tâm nghiên cứu dàn trải tất cả lớp của bậc THCS nên dù có cố gắng đến mấy thì việc xác định các thành tố của năng lực này cũng chỉ có tính chất tương đối

Theo tác giả Phan Đình Diệu, “con người rút ra được các tri thức chủ yếu là thông qua việc nghiên cứu trên những mô hình” [57] Rất nhiều các tác giả khác như

Hans Freudenthal, Pollak, Nguyễn Cảnh Toàn,… đều cho rằng quá trình vận dụng tri thức toán học vào thực tiễn chủ yếu tuân thủ theo quy trình:

Thế giới thực mô hình toán học xử lí mô hình thế giới thực

Và theo tác giả Thái Duy Tuyên [60, tr 179 – 180], quá trình mô hình hóa nói chung gồm 3 giai đoạn: 1) Xây dựng mô hình; 2) Nghiên cứu trên mô hình; 3) Xử lí kết quả và điều chình mô hình Xin nhắc lại quan điểm của A A Dorođhixưn, về quá trình xây dựng mô hình toán học của các nhà khoa học chia làm 6 giai đoạn (như đã dẫn ở mục 1.2.2) là quá trình có thể lặp đi lặp lại nhiều lần và có sự điều chỉnh nhất định Các quan điểm của các tác giả Thái Duy Tuyên và A A Dorođhixưn tuy hình thức có vẻ khác nhau, nhưng kì thực không mâu thuẫn nhau Quá trình mô hình hóa

mà tác giả Thái Duy Tuyên đưa ra là mô hình hóa nói chung, còn quá trình mô hình hóa do A A Dorođhixưn đưa ra là quá trình mô hình hóa sử dụng công cụ toán học của các nhà toán học Hoạt động mô hình hóa các bài toán thực tiễn của học sinh THCS trong dạy học toán không phải là hoạt động vừa được mô tả ở trên nhưng có nhiều điểm tương đồng Bởi vậy, các quan điểm trên là các tư liệu tham khảo đã được đối chiếu trong khi xác định các thành tố của năng lực mô hình hóa các bài toán thực tiễn của học sinh mà luận văn quan tâm

Dựa vào các luận điểm của các nhà khoa học mà chúng tôi đã phân tích ở trên, quan niệm về hoạt động mô hình hóa các bài toán thực tiễn nêu ra ở mục…., chúng tôi cho rằng các thành tố của năng lực mô hình hóa các bài toán thực tiễn của học sinh THCS bao gồm:

1) Năng lực thu nhận thông tin toán học từ tình huống thực tiễn:

- Khả năng quan sát tình huống thực tiễn;

- Khả năng liên tưởng, kết nối các ý tưởng toán học với các yếu tố thực tiễn;

- Khả năng ước tính, dự đoán các kết quả của tình huống

2) Năng lực định hướng đến các yếu tố trung tâm của tình huống:

- Khả năng xác định yếu tố trung tâm của tình huống;

- Khả năng xác lập mối quan hệ giữa các yếu tố;

- Khả năng loại bỏ những gì không bản chất;

- Khả năng đặt ra bài toán có nội dung thực tiễn

3) Năng lực xây dựng mô hình hóa toán hoc:

- Khả năng phát hiện ra quy luật của tình huống thực tiễn;

- Khả năng biểu diễn các yếu tố (đại lượng) thực tiễn bằng kí hiệu, khái niệm toán học;

- Khả năng biểu đạt các mối quan hệ bằng các mệnh đề toán học, ccá biểu thức chứa biến;

- Khả năng biểu đạt các mối quanhệ bằng đồ thị, biểu đồ,…;

- Khả năng khái quát hóa các tình huống thực tiễn theo quan điểm của toán học

4) Năng lực làm việc với mô hình toán học:

- Khả năng giải toán trên mô hình;

- Khả năng biểu đạt mô hình toán học theo dụng ý riêng;

- Khả năng dung mô hình phán đoán tình huống thực tiễn

5) Năng lực kiểm tra, đánh giá điều chỉnh mô hình:

- Khả năng kiểm tra, đối chiếu kết quả;

- Khả năng phê phán, phát hiện giới hạn của mô hình;

- Khả năng vận dụng suy luận có lí và việc đưa ra ccá mô hình cho tình huống thực tiễn và biết so sánh tìm ra mô hình hợp lí (điều chỉnh mô hình toán học)

1.3 Vấn đề ứng dụng toán học vào đời sống thực tiễn và vấn đề mô hình hóa các bài toán thực tiễn cho học sinh THCS

Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn, tuy nhiên có tính trừu tượng cao độ, chính nhờ có đặc điểm này mà toán học có tính độc lập tương đối Tính trừu tượng cao độ của toán học chỉ che lấp chứ không làm mất đi nguồn gốc thực tiễn của nó, đồng thời càng tăng thêm sức mạnh ứng dụng của nó trong đời sống thực tiễn Sự hình thành và phát triển của toán học được thể hiện qua hai xu hướng chính: toán học lý thuyết (toán học thuần túy) và toán học ứng dụng Sự phân chia đó cũng chỉ có tính chất

tương đối, vì suy cho cùng, mọi lý thuyết của nó dù xa hay gần, cuối cùng cũng trở về phản ánh, ứng dụng vào trong thực tiễn Lý thuyết càng trừu tượng thì ứng dụng của

nó càng lớn, Newton cho rằng: “không có gì gần thực tiễn hơn là một lí thuyết đẹp”

[28, tr.291] Dạy học toán nói chung, dạy học toán ở bậc THCS nói riêng, theo một nghĩa nào đó là phản ánh sự hình thành và phát triển của khoa học toán học nên trong

cơ cấu chương trình không thể bỏ qua một trong hai nội dung các xu hướng nói trên

1.3.1 Vấn đề ứng dụng toán học vào đời sống thực tiễn và vấn đề mô hình hóa các bài toán thực tiễn trên thế giới và trong khu vực

Hiện nay, chúng ta đang sống trong thời kì công nghiệp hóa - hiện đại hóa Các trào lưu dạy học trên thế giới hầu hết phụ thuộc rất nhiều vào một số quốc gia có nền kinh tế xã hội phát triển, có đông đảo các nhà khoa học tầm cỡ Những quốc gia khác chịu ảnh hưởng, tùy theo thể chế chính trị hay các mối quan hệ khác

Nhìn trên một bình diện chung, giáo dục toán học từ thuở xa xưa, tư tưởng coi tri thức về lý thuyết là trí tuệ; những kỹ năng thực hành ứng dụng chỉ là những thao tác thể hiện vẫn tồn tại trong dạy học toán, thậm chí nhiều khi còn thái quá dẫn đến hậu quả không lường trước được Chẳng hạn, trường phái Bourbaki (tập thể các nhà toán học Pháp) vào thập kỷ 80 đã chủ trương hiện đại hóa chương trình toán học phổ

thông, theo tinh thần “tập hợp, cấu trúc, ánh xạ”, không chú trọng các tri thức thực

hành ứng dụng; kết quả sản phẩm mà họ đào tạo ra là những học sinh mắc bệnh hình thức nặng [54] Xu thế chung dạy học toán ở bậc trung học hiện nay là chú trọng phát triển tư duy, coi trọng tính hệ thống của tri thức và gắn chặt tri thức truyền thụ với đời

sống thực tiễn Điều khẳng định của các tác giả R Courant và H Robbins: “ Việc thiết lập lại mối liên hệ giữa tri thức thuần túy và tri thức ứng dụng, sự cân bằng lành mạnh giữa tính khái quát trừu tượng và tính cụ thể phong phú là nhiệm vụ của toán học trong một tương lai gần” [46, tr.10], đang dần trở thành hiện thực Sau sự thất bại

của nhóm Bourbaki, giáo dục toán học thế giới đã cảnh tỉnh và đã có những sự điều chỉnh nhất định Ở Anh, năm 1989, bộ môn Toán trong chương trình quốc gia xác định 14 lĩnh vực kiến thức, trong lần sửa đổi năm 1991, giảm xuống còn 5 lĩnh vực:

1) Ứng dụng toán học;

2) Số;

3) Đại số;

Xô (cũ) trước đó cũng có xu hướng hiện đại hóa chương trình nhưng đến giữa thập kỷ

80, các nước đó đã điều chỉnh lại [10, tr.2] Trong những năm đầu của thế kỷ XXI (chính xác hơn là bắt đầu từ năm 1997), các nước trong tổ chức OECD đã đưa ra chương trình đánh giá quốc tế PISA cho học sinh phổ thông ở lứa tuổi 15 Ý tưởng của PISA là tìm câu trả lời cho câu hỏi: Cái gì có thể coi là đầu ra - kết quả cuối cùng trong nhà trường của một xã hội hiện đại? Phạm vi đánh giá năng lực học sinh của PISA có liên quan đến khả năng phân tích, suy luận kết nối ý tưởng một cách có hiệu quả khi học sinh đặt câu hỏi, lập công thức, giải quyết vấn đề trong các tình huống Đánh giá của PISA tập trung vào vấn đề thực tế, chuyển những tình huống dạng này

về vấn đề điển hình có thể gặp phải trong lớp học Chẳng hạn, khi mua bán, tham gia giao thông, khi giải quyết những công việc liên quan đến chính trị, xã hội,… mà ở đó trình độ toán học nhất định sẽ tạo điều kiện thuận lợi để giải quyết vấn đề Khi bàn

đến năng lực toán học phổ thông, PISA cho rằng: “Năng lực toán học phổ thông là khả năng cá nhân có thể nhận dạng và hiểu vai trò của toán học trong thế giới để đưa ra những lời xét đoán, để sử dụng và đưa vào toán học trên cái cách mà thấy được sự cần thiết của cuộc sống cá nhân đó như là một công dân biết suy nghĩ, biết xem xét” [65] Rõ ràng trong cách định nghĩa về năng lực toán học phổ thông của

PISA, không thấy bàn đến các kiến thức cơ bản và các kỹ năng cần thiết, nhưng để sử dụng toán học trong nhiều tình huống khác nhau, chúng ta nhất thiết phải cần các yếu

tố đó Thuật ngữ “thế giới” trong định nghĩa của PISA, được hiểu bao gồm: thiên nhiên, xã hội và văn hóa mà con người sống trong đó Cụm từ “để sử dụng và đưa vào…” được hiểu bao gồm cách giải quyết vấn đề toán học và cũng muốn nói đến sự liên quan rộng hơn đến con người qua kết nối, liên hệ,… thậm chí cả thưởng thức

toán học Do đó, cách hiểu về năng lực toán học của PISA bao gồm cách sử dụng thực tiễn của toán học theo nghĩa hẹp cũng như việc học tập sau này và các yếu tố mĩ học và giải trí của toán học Quan điểm của PISA rất chú trọng việc vận dụng toán học vào đời sống thực tiễn khi xét về năng lực toán học của học sinh phổ thông PISA cho rằng: quá trình học sinh sử dụng toán học để giải quyết vấn đề thế giới thực được nhắc đến như là sự “toán học hóa”

1.3.2 Vấn đề ứng dụng toán học vào đời sống thực tiễn và vấn đề mô hình hóa các bài toán thực tiễn trong nước

Tăng cường liên hệ với thực tiễn trong dạy học nói chung và trong dạy học bộ môn toán nói riêng ở trường phổ thông luôn được coi là vấn đề quan trọng cần thiết Tuy nhiên, theo các nhà toán học và các nhà làm khoa học Giáo dục cũng như trong thực tế vì nhiều lí do khác nhau, trong một thời gian dài trước đây cũng như hiện nay, việc tăng cường liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học toán cho học sinh vẫn chưa được đánh giá đúng mức và chưa đáp ứng được những yêu cầu cần thiết

Các tác giả Phạm Văn Hoàn, Trần Thúc Trình (1975) thì cho rằng: Giảng dạy

toán “còn thiên về sách vở, hướng việc dạy toán về việc giải nhiều loại nhiều bài tập

mà hầu hết không có nội dung thực tiễn”, “Hậu quả tai hại là đa số học sinh tốt nghiệp lớp 7 và lớp 10 còn rất bỡ ngỡ trước nhiều công tác cần đến toán học ở hợp tác xã ở công trường, xí nghiệp” [24] Tác giả Trần Kiều cũng có nhận xét: “Do nhiều nguyên nhân, việc dạy và học toán trong nhà trường hiện nay ở nước ta đang rơi vào tình trạng quá coi nhẹ thực hành và ứng dụng Toán học vào cuộc sống” [29,

tr 3 - 4] “Thực tế dạy học đã chỉ ra đây là một trong những thiếu sót quan trọng nhất của giáo dục phổ thông nước ta” [30, tr 1- 2] Theo Nguyễn Cảnh Toàn (1998)

khi nhận xét về tình hình dạy và học Toán hiện nay ở nước ta thì một số vấn đề quan trọng - một yếu kém cơ bản là trong thực tế dạy toán ở trường phổ thông, các giáo viên không thường xuyên rèn luyện cho học sinh thực hiện những ứng dụng của toán học vào thực tiễn Học sinh bây giờ thường phải đi tìm những mắt xích suy diễn phức tạp trong các bài toán khó Họ được rèn rèn luyện thêm về tư duy kĩ thuật khi phải tìm ra những thủ thuật để đi giải những bài toán không mẫu mực Những khía cạnh nhân văn trong thực tế cuộc sống đời thường hay bị bỏ qua Chẳng hạn, trong toán học có chứng minh thuận, chứng minh đảo thì trong cuộc sống ta thường khuyên bảo

nhau: “nghĩ đi rồi phải nghĩ lại”, “có qua có lại”, “sống phải có trước có sau”; trong toán học khi biện luận phải xét cho hết mọi trường hợp có thể xảy ra thì trong đời sống thực tiễn người ta hay khuyên nhau: “nghĩ cho hết nước, hết cái”, trong toán học có “biện luận tham số” thì trong cuộc sống đời thường ta thường bảo nhau cần phải “thức thời” mà thời là một tham số quan trọng trong cuộc sống [56, tr 252]

Theo ông thì đây là kiểu “Dạy và học toán tách rời cuộc sống đời thường” Giáo sư còn cho rằng trong dạy học toán hiện nay có biểu hiện: “không gắn lí luận với thực tiễn; không làm cho học sinh nắm rõ bản chất của khái niệm, bệnh hình thức rất rõ;

do hình thức mà học sinh chóng quên, vận dụng khó nhuần nhuyễn…” [55, tr 27 -

28] Trong tạp chí tia sáng 12/2001 Giáo sư Hoàng Tụy có ý kiến nhận xét: trong dạy

học toán ở nước ta hiện nay có tình trạng “chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải những bài tập oái oăm, giả tạo, chẳng giúp ích gì mấy để phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh xa rời thực tế, mệt mỏi và chán nản” [59, tr 35 - 40]

Mới đây nhất, trong hội thảo về “Triết lí giáo dục Việt Nam” do Học viện quản lí

giáo dục tổ chức, TS Nguyễn Tùng Lâm cho rằng: “thiếu sót của giáo dục chúng ta trong nhiều năm qua là đã xa rời mục tiêu chất lượng, không thực hiện phương châm

“Học đi đôi với hành”…[2, tr.21] Vấn đề này theo IA.I Perrelman thì học sinh

“đang học toán chỉ giới hạn trong phạm vi bốn bức tường của lớp học, thành thử không để ý đến những tương quan Toán học quen thuộc trong thế giới những sự vật hiện tượng xung quanh, không biết ứng dụng những kiến thực toán học đã thu nhận được vào thực tiễn” [26, tr 5]

Trước bối cảnh đó, ngành Giáo dục và Đào tạo đã có một cuộc cách mạng là thay chương trình bậc trung học cơ sở, bắt đầu triển khai từ năm 2000, với định hướng: giảm nhẹ tính chặt chẽ của lí thuyết, tăng cường ứng dụng thực tiễn, coi trọng hoạt động thực tiễn chiếm lĩnh tri thức của người học Các nhà khoa học biên soạn sách giáo khoa nói chung, sách giáo khoa bộ môn toán nói riêng đã cụ thể hóa tư tưởng định hướng trên trong các giáo trình bộ môn Chẳng hạn, trong sách giáo khoa cấp THCS đã quán triệt các quan điểm sau: sát thực, trực quan, nhẹ nhàng và đổi mới Nhiều tác giả cũng đã đề cập đến vấn đề “toán học hóa” trong dạy học toán ở bậc trung học và xem đây là một yếu tố quan trọng cấp thành vốn văn hóa toán học, một

mắt xích quan trọng trong quá trình vận dụng toán học vào thực tiễn, rất cần thiết cho người lao động trong xã hội hiện nay Trong một số tài liệu khác, kể cả sách giáo khoa phổ thông cũng dùng mô hình toán học mô tả các tình huống thực tiễn Ngành giáo dục đang cố gắng trong sự chỉ đạo về đường lối, nhưng thực trạng dạy học toán

ở các trường trung học Việt Nam, trong những năm gần đây vẫn chưa có những chuyển biến mạnh mẽ Qua tìm hiểu các cán bộ quản lí giáo dục, các chuyên gia cho thấy thực trạng dạy học toán vẫn còn tồn tại, chưa thực sự chú trọng mảng tri thức thực hành ứng dụng trong dạy học toán Những năng lực, kĩ năng thực hành ứng dụng quan trọng của người lao động, không được chú ý rèn luyện, nhất là năng lực mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn Biểu hiện rõ nhất là phần lớn các thầy cô chưa có

ý thức trong việc bồi dưỡng phương pháp mô hình hóa cho học sinh thông qua dạy học toán Như vậy có thể nói giáo dục toán học trung học chưa làm đúng vai trò của

nó vì cái đích cuối cùng của quá trình học tập là năng lực phản ánh khả năng đối phó với một tình huống cụ thể

Quan điểm hoạt động hóa người học của các nhà khoa học giáo dục và các nhà

sư phạm thể hiện trong sách giáo khoa không được các giáo viên đứng lớp thực hiện một cách nghiêm túc Nhiều giáo viên thực hiện chỉ dẫn của sách giáo khoa về tổ chức các hoạt động cho học sinh một cách miễn cưỡng Tình trạng “thầy đọc trò chép” ở một số nơi còn tái diễn, các hoạt động ngoài trời còn chưa được chú trọng

Theo tác giả Trần Kiều: “Thực tế dạy học đang chỉ ra đây là một trong những thiếu sót quan trọng nhất của giáo dục phổ thông nước ta” [29] Và thực trạng đó vẫn còn

tồn tại cho đến tận bây giờ Giáo viên mới chỉ dạy cho học sinh những gì có trong sách giáo khoa mà không có cơ hội quan sát và tự thao tác các hoạt động, nhất là các hoạt động phản ánh quy trình vận dụng tri thức toán họcvào đời sống thực tiễn Mạch toán ứng dụng trong sách giáo khoa được thiết kế một cách có hệ thống nhằm trang bị cho người học các tri thức như phương trình - hệ phương trình có nhiều ứng dụng trong thực tế Tuy nhiên, trong thực tế dạy học, giáo viên chưa thực sự chú trọng tới vai trò của nó Tư tưởng của sách giáo khoa có nhiều hướng tăng cường vận dụng vào thực tiễn; tuy nhiên các bài toán có nội dung chưa nhiều dẫn đến học sinh ít có cơ hội được bồi dưỡng năng lực mô hình hóa các bài toán thực tiễn chúng ta chủ trương

tránh tình trạng “quá tải” trong nội dung lý thuyết của chương trình nhằm cho học sinh có điều kiện rèn luyện một số năng lực quan trọng khác

Qua xâm nhập thực tế dạy học và sau một số tháng dạy học ở trường THCS, thông qua dự giờ và tham gia rút kinh nghiệm giờ dạy và trao đổi với giáo viên bộ môn Chúng tôi cũng nhận thấy rằng, hiện nay việc tăng cường liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học toán ở trường trung học hầu như các giáo viên chưa quan tâm Các lí lẽ mà giáo viên đưa ra là không đủ thời gian, do nhận thức của học sinh, Vì thế mà việc xây đựng mô hình các bài toán thực tiễn càng khó khăn

Với các vấn đề đã trình bày ở trên, chúng tôi có thể đánh giá một cách tổng quan rằng: việc vận dụng toán học vào đời sống thực tiễn trong dạy học ở các trường Trung học đã khó, việc xây dựng mô hình cho các bài toán thực tiễn đó lại càng khó hơn Đặc biệt là việc bồi dưỡng năng lực mô hình hóa các bài toán thực tiễn cho học sinh còn có nhiều rào cản, cụ thể là:

- Học sinh chưa có hứng thú với hoạt động mô hình hóa các bài toán thực tiễn Nguyên nhân dẫn đến thực trạng này là trình độ toán học của các em còn hạn chế, những tình huống trong dạy học chưa tực sự hấp dẫn

- Học sinh chưa có kĩ năng tự đặt ra các bài toán cho chính mình khi đối mặt với các tình huống trong cuộc sống

- Học sinh chưa có những hiểu biết nhất định về thế giới mà họ đang chung sống, nhất là những mối quan hệ định tính của sự vật và hiện tượng; khó khăn trong việc dùng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học để chuyển tình huống thực tiễn về dạng toán học Từ đó xây dựng được mô hình của các bài toán thực tiễn đó

- Giáo viên chưa có kế hoạch cụ thể về việc bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn cho học sinh; cụ thể là chưa xác định được nội dung cũng như cách thức phù hợp để bồi dưỡng năng lực cho người học thông qua dạy học toán

1.4 Thực trạng dạy học mô hình hóa toán học ở trường THCS thông qua dạy học nội dung phương trình và hệ phương trình

1.4.1 Học sinh

Dựa vào phiếu điều tra 2 dành cho HS (xem phần phụ lục 2), chúng tôi đã tiến hành điều tra 120 học sinh ở lớp 8 và 9 trường THCS Yên Thọ (huyện Ý Yên - Nam

Định) và trường THCS Yên Thành (huyện Ý Yên - Nam Định) vào tháng 1 năm

2016 Kết quả thu được thể hiện qua bảng 1.1, 1.2 dưới đây:

Bảng 1.1 Bảng thống kê về mức độ cần thiết của môn Toán trong cuộc sống

Bảng 1.2 Bảng thống kê về nhu cầu muốn biết về những ứng dụng thực tiễn của

toán học trong cuộc sống

Nhu cầu biết về ứng dụng thực

Dựa vào bảng thống kê trên, chúng ta thấy rằng đa số HS nhận thức được tầm quan trọng của môn toán (có đến 80,2 % HS cho rằng toán học rất cần thiết trong cuộc sống và có đến 17,6 % HS cho rằng nó cần thiết cho cuộc sống) Tuy nhiên nhu cầu muốn biết về ứng dụng thực tiễn của môn toán còn chưa nhiều Vì thế việc sử dụng mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn còn hạn chế

1.4.2 Giáo viên

Thông qua trao đổi, tìm hiểu một số giáo viên dạy toán (20 GV) thuộc các trường THCS Yên Thọ - Ý Yên, Yên Thành - Ý Yên, Yên Phương - Ý Yên Thuộc tỉnh Nam Định về việc hiểu biết và sử dụng mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn Kết quả thu được như sau:

- Tìm hiểu ứng dụng toán học trong thực tiến: Hầu hết các GV điều tra ở trên

có quan tâm đến việc khai thác các bài toán thực tiễn, điều này thể hiện ở hai cấp độ như sau:

+ Một số ít GV quan tâm và chủ động tìm hiểu về vấn đề ứng dụng toán học vào thực tiễn (6 GV = 30%)

+ Số GV còn lại quan tâm nhưng không chủ động tìm hiểu mà chủ yếu sử dụng các bài tập có sẵn trong SGK, SBT (14 GV = 70%)

- Về việc sử dụng mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn cho học sinh:

Qua trao đổi với các GV trên thì 100% các thầy cô đều cho rằng nếu sử dụng

mô hình hóa các bài toán thực tiễn thì có thể làm cho học sinh tích cực hơn trong việc học môn toán Tuy nhiên việc tìm hiểu, khai thác vài trò và chức năng của mô hình còn nhiều hạn chế Chúng tôi cho rằng hạn chế trên có thể do những nguyên nhân chính sau:

+ Khối lượng kiến thức yêu cầu ở mỗi tiết học khá nặng và độ khó tang dần theo cấp học khiến GV vất vả trong việc hoàn thành bài giảng trên lớp

+ Do yêu cầu vận dụng toán học vào thực tiễn không được đặt ra một cách thường xuyên và cụ thể trong quá trình đánh giá

+ Do áp lực thi cử và bệnh thành tích trong giáo dục nên dẫn đến cách dạy và học phổ biến hiện này là “thi gì học nấy”

+ Khả năng liên hệ kiến thức toán học vào thực tiễn của GV toán còn nhiều hạn chế Nguyên nhân chủ yếu là vì bản thân học trong quá trình học tập ở các cấp trường cũng như quá trình đào tạo tại các trường sư phạm ít khi được học tập cũng như đào tạo một cách có hệ thống về phương pháp mô hình hóa

1.5 Kết luận chương 1

Chương 1 đã làm nổi bật vai trò to lớn của toán học đối với hoạt động thực tiễn của con người qua hoạt động “mô hình hóa” Luận văn đã phân tích cốt lõi của hoạt động này là việc mô tả tình huống thực tiễn bằng ngôn ngữ toán học, một hoạt động rất cần thiết cho người lao động trong xã hội hiện đại Trong chương này, chúng tôi cũng đã đưa ra quan niệm về tình huống thực tiễn, năng lực mô hình hóa tình huống thực tiễn của học sinh trung học, bài toán có nội dung thực tiễn, là cơ sở cho việc thực hiện nhiệm vụ trong chương 2 và chương 3

Chương 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN BỒI DƯỠNG CHO HỌC SINH NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN

Nội dung chính của chương là xây dựng các biện pháp sư phạm khả thi nhằm góp phần phát triển năng lực mô hình hóa các bài toán thực tiễn cho học sinh Trung học sơ sở thông qua dạy học phương trình và hệ phương trình Tuy nhiên, trước hết một vấn đề quan trọng là phải xác định được các định hướng, là cơ sở cho việc đưa ra

và thực hiện các biện pháp sư phạm

2.1 Các định hướng cho việc xác định các biện pháp sư phạm

Định hướng 1: Các biện pháp sư phạm tập trung vào tổ chức các hoạt động học tập của học sinh trong lĩnh hội các tri thức, kĩ năng toán học và vậ dụng các kiến,

kĩ năng vào giải quyết các tình huống thực tiễn

Định hướng 2: Các biện pháp phải thể hiện rõ tư tưởng phát triển năng lực mô hình hóa toán học

Định hướng 3: Xây dựng các biện pháp sư phạm dựa trên nền tảng vốn văn hóa toàn diện của người học Gắn tới nội dung học các môn học khác trong chương trình THCS như Vật lí, Hóa học, Sinh học; do đó cần phải quán triệt tinh thần liên môn trong dạy học Giáo viên dạy toán phải biết khả năng mỗi học sinh của mình trong các môn học mà họ được thiết kế các tình huống và trong dạy học các vấn đề liên quan một cách phù hợp Ngoài ra, cần phối hợp với các giáo viên bộ môn khác, tạo điều kiện cho người học quan sát những tình huống điển hình, tạo điều kiện cho học sinh kết nối các yếu tố thực tiễn với các ý tưởng của toán học Vấn đề này cần được lồng ghép trong việc trình bày chi tiết các biện pháp sư phạm

Định hướng 4: Các biện pháp sư phạm phải khả thi và góp phần nâng cao chất lượng học toán chủ đề phương trình - hệ phương trình

2.2 Một số biện pháp sư phạm góp phần bồi dưỡng cho học sinh năng lực mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn

Căn cứ vào những định hướng đã được xác định trong 2.1 để đề xuất một số biện pháp sư phạm góp phần bồi dưỡng cho học sinh năng lực mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn Các giải pháp này được thực hiện trong dạy học, các tình

huống khai thác chủ yếu là các tình huống dạy học, phụ thuộc nội dung kiến thức của bài nên không gắn trực tiếp từng thành tố của năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn trong từng tình huống điển hình Tuy vậy, mỗi biện pháp được xây dựng ở mức

độ khác nhau với mỗi tình huống điển hình và có mức độ tác động riêng đến mỗi thành tố của năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn

2.2.1 Biện pháp 1 Gợi động cơ bên trong của hoạt động mô hình hóa tình huống thực tiễn cho học sinh qua dạy học phương trình - hệ phương trình

2.2.1.1 Mục đích của biện pháp

Biện pháp 2.2.1 nhằm khắc họa và thúc đẩy hoạt động mô hình hóa các bài toán thực tiễn ở học sinh, hoạt động này có tác dụng hình thành và phát triển năng lực

mô hình hóa các bài toán thực tiễn cho học sinh

2.2.1.2 Cơ sở và vai trò của biện pháp

Năng lực này, kĩ năng này cũng gắn với một hoạt động cụ thể về việc hình thành và phát triển năng lực thông qua sự tham gia của chủ thể và hoạt động tương thích với nó Năng lực mô hình hóa các bài toán thực tiễn được hình thành và phát triển thông qua hoạt động toán học của học sinh Bởi vậy, để bồi dưỡng năng lực này, không có con đường nào khác là tổ chức cho học sinh tham gia hoạt động theo sơ đồ Theo quan điểm của tác giả Nguyễn Bá Kim thì động cơ là một trong bốn trụ cột của phương pháp dạy hoc [31, tr 123], là chất “xúc tác” cho phản ứng hoạt động Do đó, việc khêu gợi động cơ có ý thức tham gia hoạt động là vấn đề được đặt ra hàng đầu trong quá trình hình thành và phát triển năng lực mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn cho học sinh Đối với học sinh THCS, các em đang ở độ tuổi phát triển, việc gợi động cơ bên ngoài cho hoạt động này có phần kém hiệu lực Vì vậy, luận văn chủ trương gợi động cơ bên trong (động cơ xuất phát từ đối tượng) của hoạt động mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn qua dạy học nội dung phương trình và hệ phương trình

2.2.1.3 Hướng dẫn thực hiện biện pháp

a) Làm cho học sinh thấy được tính hữu ích của hoạt động mô hình hóa các bài toán thực tiễn thông qua dạy học toán

Thứ nhất, trong dạy học toán, ngoài những ứng dụng trực tiếp vào đời sống thực tiễn, cần nhấn mạnh các ứng dụng có tính chất gián tiếp của toán học (thông qua

quá trình toán học hóa) Chính qua những ứng dụng này, làm cho học sinh thấy được vai trò to lớn của toán học đối với các khoa học khác và thực tiễn đời sống Chẳng hạn, với mô hình cho bài toán kinh tế, người ta đã xây dựng được quy hoạch sản xuất, mang lại năng suất lao động cao Trong các buổi ngoại khóa, nên giới thiệu cho học sinh một số thông tin khác về ứng dụng về ứng dụng của toán học vào trong thực tiễn

và trong các khoa học khác trong đó nổi trội là vấn đề mô hình hóa Chẳng hạn, người

ta xây dựng mô hình toán học để dự báo cho hoạt động sóng thần ở vùng Đông Nam

Á [52, tr106 - 107], căn cứ vào mô hình của hoạt động của núi lửa cùng Iceland để quyết định tạm hoãn các chuyến bay tới Châu Âu trong tháng 4 năm 2010, Các mô hình cơ học của Newton, các mô hình tăng trưởng kinh tế của trường phái Keynes [15], các mô hình vật lí ngẫu nhiên: mô hình Maxwell - Bolzman (M - B); mô hình Bore - Eistein (B- E); mô hình Femi - Drac (F - D) [51] ghi công vai trò to lớn của toán Từ những hoạt động như trên trong dạy học toán, giúp học sinh nhận thức ra được tính hữu ích của hoạt động toán học hóa và đó là điều kiện làm nảy sinh ra nhu cầu hoạt động này ở người học

Thứ hai, tận dụng các cơ hội có thể để khai thác nguồn gốc thực tiễn của tri thức toán học Trong quá trình môn toán trường THCS, các giá trị tri thức có nguồn gốc thực tiễn thường là các khái niệm, các định lí toán học Khai thác nguồn gốc thực tiễn của các tri thức này sẽ khêu gợi được động cơ trực tiếp cho việc tiếp thu các tri thức toán học cần truyền thụ Chẳng hạn, khi dạy học các khái niệm về phương trình bậc hai một ẩn cần chú ý việc hình thành khái niệm này từ các tình huống thực tiễn Khai thác những vấn đề này, học sinh thấy được vai trò to lớn của toán học trong thực tiễn đời sống

b) Thiết kế các tình huống có dụng ý sư phạm hấp dẫn cả về hình thức thể hiện bên ngoài và về nội dung toán học bên trong, tạo nên hứng thứ đam mê cho học sinh trong hoạt động mô hình hóa các bài toán thực tiễn Theo tác giả Bùi Huy Ngọc

“Động cơ chính là sức hấp dẫn, lôi cuốn của đối tượng mà cá nhân nhận thấy cần chiếm lĩnh để thỏa mãn nhu cầu hay ham muốn của mình” và ông cũng cho rằng:

“Khác với động cơ trong kĩ thuật hay năng lượng sinh học đơn thuần, động cơ tâm lí luôn là vecto được xuất phát từ đối tượng và hướng về phía cá nhân” [42, tr 370]

Do đó, trong dạy học các tri thức toán học liên quan đến thực tiễn, cần có phương án

là cho đối tượng nhận thức trở nên hấp dẫn Chúng tôi không phủ nhận ý kiến sau đây

của giáo dục Max - Planck: “Quan niệm cho rằng học sinh chỉ có thể thích toán nếu việc giảng dạy toán chỉ tập trung vào các bài toán thực tiễn là hoàn toàn sai” [17]

Đúng vậy, toán học còn có rất nhiều điều thú vị hơn nữa, trong phạm vi lí thuyết của

nó Tuy nhiên, nếu giáo viên chú ý lựa chọn những bài toán hàm chứa trong đó nhưng

mô hình toán học hấp dẫn thì sựu hứng thú của học sinh sẽ được tăng gấp bội Theo quan điểm của các tác giả Đào Tam - Lê Hiển Dương, đối tượng của hoạt động được sinh thành trong quá trình hoạt động và thông qua hoạt động của chủ thể Cần quan niệm đối tượng hoạt động không chỉ là các vật chất cụ thể mà có thể là các quan hệ trừu tượng cần được hình dung Bởi vậy, trong quá việc dạy học ở đây không chỉ là tìm câu trả lời cho một vấn đề cụ thể mà còn phải hướng dẫn học sinh hoạt động “bóc trần” đối tượng đó, hấp dẫn họ trong việc khai thác các chủ đề vận dụng toán học Để thực hiện được vấn đề này, cần xây dựng những tình huống thực tiễn có vấn đề, theo nghĩa cả về “bên trong” lẫn “bên ngoài”, đã và trong bài giảng, cho học sinh tập luyện hoạt động mô hình hóa Tình huống có vấn đề theo nghĩa “bên ngoài” là tình huống hấp dẫn ngay từ đầu đối với người học vì tính hữu ích của nó Tình huống có vấn đề theo nghĩa “bên trong”, nó trở thành một tình huống có vấn đề trong nội tại bản thân toán học Các ví dụ minh họa cho vấn đề này được chúng tôi lồng ghép trong các biện pháp 2.2.2 và biện pháp 2.2.3 Ở đây, xin được chỉ dẫn ra một vài tình huống dạng như vậy

Ví dụ 2.1 Nhà bạn Nam có một mảnh vườn trồng rau bắp cải Vườn được đánh

thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây bắp cải Nam tính rằng: nếu tăng thêm 8 luống rau, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì số cây toàn vườn ít đi 54 cây Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số rau toàn vườn sẽ tăng thêm 32 cây Hỏi vườn nhà bạn Nam trồng bao nhiêu cây rau bắp cải?

Tình huống trên có thể đưa vào trong giờ luyện tập, sau bài Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (lớp 9) Đây là một tình huống được đánh giá là có vấn đề

theo nghĩa cả “bên trong” lẫn “bên ngoài” Thực vậy, nó là một tình huống có thực, gắn với cuộc sống con người Nếu như giáo viên khéo léo chuyển giao cho người học thì các em sẽ có cảm giác như mình là “người trong cuộc”, giải quyết được tình