Bài tập thực hành XÁC SUẤT THỐNG KÊ Bộ môn Tốn - ĐẠI HỌC THĂNG LONG Học kì III, năm học 2008 - 2009 Bài Biến ngẫu nhiên 4.1 Hai loại biến ngẫu nhiên IV.1 Xác định trường hợp sau hàm phân phối xác suất X -1 p(x) 0.2 0.6 0.2 X 1/2 3/4 p(x) -1 X p(x) 0.25 0.35 0.5 X 0.1 0.7 0.8 p(x) 2/5 1/5 2/5 IV.2 Xét phân phối xác suất sau X p(x) 0.25 0.45 0.2 0.1 Tìm trung bình phương sai X IV.3 Tung hai xúc xắc, gọi X biến ngẫu nhiên tổng số chấm xuất hai mặt Xác định hàm phân phối xác suất X IV.4 Năm người phụ nữ người đàn ông xếp thứ tự dựa vào điểm thi Giả sử điểm hai người khác 10! trường hợp xếp thứ có khả xảy Gọi X thứ hạng cao đạt phụ nữ (chẳng hạn X = người đứng đầu nam người thứ hai nữ) Tính xác suất P (X = i) với i = 1, , 10 Bài Biến ngẫu nhiên IV.5 Gọi X chênh lệch số mặt sấp ngửa tung đồng xu n lần Cho biết giá trị có X IV.6 Trong tập trên, đống xu cân đối, n = 3, xác suất để X nhận giá trị có bao nhiêu? IV.7 Cho biến ngẫu nhiên X nhận giá trị 1, 2, 3, với khả Tìm kỳ vọng phương sai X IV.8 Một công ty bảo hiểm bán bảo hiểm nhân thọ với giá 20000 đô la số tiền khách hàng phải đóng hàng năm 300 đô la Những bảng thống kê bảo hiểm cho thấy, người mua bảo hiểm chết năm với xác suất 0.001 Gọi X biến ngẫu nhiên lợi nhuận công ty bảo hiểm bán năm Cho biết phân phối xác suất X Tìm lợi nhuận kỳ vọng bảo hiểm công ty Nếu khơng có giả thiết số tiền khách hàng phải đóng hàng năm 300 la số tiền công ty phải thu khách hàng năm để lợi nhuận kỳ vọng bảo hiểm lớn 0? IV.9 Giả sử hai người chơi nhiều lần trò chơi (trong lần chơi ln có người thắng người lại thua cuộc) Trò chơi kết thúc có người thắng i lần Các lần chơi độc lập với xác suất người A thắng lần chơi p Tìm trung bình số lần chơi hai người biết i = Chỉ giá trị lớn p = 0.5 IV.10 Thời gian sửa chữa máy tính cá nhân (đơn vị: giờ) biến ngẫu nhiên có hàm mật độ sau f (x) = 1/2, x 0, trường hợp lại ? Chi phí sửa chữa phụ thuộc vào thời gian theo cơng thức 40 + 30 x x thời gian sửa chữa máy Tìm chi phí kỳ vọng để sửa chữa máy tính cá nhân IV.11 Mười bóng chọn ngẫu nhiên từ bình có 17 bóng trắng 23 bóng đen Gọi X số bóng trắng lấy Tính EX Bộ mơn Tốn - ĐẠI HỌC THĂNG LONG 4.2 Một số loại biến ngẫu nhiên đặc biệt 4.2 Một số loại biến ngẫu nhiên đặc biệt R cung cấp số hàm tương ứng với biến ngẫu nhiên đặc biệt để tính hàm phân phối (P (X Ô x)), hm mt xỏc sut, hm phân vị (với xác suất p cho trước, xác định giỏ tr nh nht x cho P (X Ô x) ¡ p) mô phân phối Phân phối Nhị thức Khi - bình phương Mũ F Chuẩn Poisson Student (t) Đều Tên R binom chisq exp f norm pois t unif Tham số size, prob df rate df1, df2 mean, sd lambda df min, max Để có hàm mật độ, hàm phân phối (tích lũy), hàm phân vị hàm mô ta thêm vào trước tên phân phối chữ "d", "p", "q", "r" tương ứng Phân phối nhị thức dbinom(x, size, prob, ) pbinom(q, size, prob, lower.tail = TRUE, ) qbinom(p, size, prob, lower.tail = TRUE, ) rbinom(n, size, prob) Trong x, q véc tơ giá trị p vec tơ giá trị xác suất size số phép thử prob xác suất thành công phép thử lower.tail tham số kiểu logic, TRUE xác suất P (X Ô x), ngc li P (X n s phần tử mẫu cần lấy Giả sử ta có biến ngẫu nhiên nhị thức X ∼ B(10, 0.2) Tức là, hai tham số phân phối size 10 prob 0.2 Bộ mơn Tốn - ĐẠI HỌC THĂNG LONG ¡ x) Bài Biến ngẫu nhiên Chẳng hạn ta cần tính P (X = 5) > dbinom(5, 10, 0.2) [1] 0.02642412 Hay P (X = 3), P (X = 5), P (X = 7) > dbinom(c(3, 5, 7), 10, 0.2) [1] 0.201326592 0.026424115 0.000786432 Vậy ta có P (X = 3) = 0.201326592, P (X = 5) = 0.026424115, P (X = 7) = 0.000786432 Nếu ta mun tớnh xỏc sut P (1 Ô X Ô 8), ta làm sau > sum(dbinom(1:8, 10, 0.2)) [1] 0.8926216 Hoặc, > pbinom(8, 10, 0.2)-pbinom(0,10,0.2) [1] 0.8926216 Để tính xác suất P (X ¡ 8) ta có th dựng cụng thc P (X Ô 8) dùng tham số lower.tail với giá trị FALSE sau > 1-pbinom(8, 10, 0.2) [1] 4.1984e-06 > pbinom(8, 10, 0.2,lower.tail=F) [1] 4.1984e-06 Hàm phân vị qbinom dùng để tìm số x nhỏ cho P (X ¤ x) ¡ p p cho trước đoạn [0, 1] Đối với phân phối liên tục đây, x thỏa mãn công thức P (X ¤ x) = p > qbinom(0.5,10,0.2) [1] P (X Ô 2) gn vi 0.5 nht so vi P (X Ô 3), P (X Ô 4), Đối với X ∼ B(10, 0.2) ta lập bảng phân phối xác suất cho X minh họa đồ thị sau > XacSuat= dbinom(0:10, 10, 0.2) > round(XacSuat, 3) [1] 0.107 0.268 0.302 0.201 0.088 0.026 0.006 0.001 0.000 0.000 0.000 > data.frame(X= 0:10, p = round(XacSuat, 3)) Bộ mơn Tốn - ĐẠI HỌC THĂNG LONG 4.2 Một số loại biến ngẫu nhiên đặc biệt 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 p 0.107 0.268 0.302 0.201 0.088 0.026 0.006 0.001 0.000 0.000 0.000 p X 10 0.25 0.30 Phan phoi XS cua BNN nhi thuc n=10, p=0.2 10 X Phân phối Poisson Phân phối Poisson có tham số λ Các hàm xác suất, xác suất tích lũy, phân vị, mô phân phối Poisson R sau: dpois(x, lambda, ) ppois(q, lambda, lower.tail = TRUE, ) qpois(p, lambda, lower.tail = TRUE, ) rpois(n, lambda) Trong x véc tơ giá trị (số nguyên không âm) q vec tơ giá trị p vec tơ giá trị xác suất lambda giá trị trung bình biến ngẫu nhiên lower.tail tham số kiểu logic, TRUE xác suất P (X Ô x), ngc li P (X n s phn tử mẫu cần lấy Phân phối dunif(x, min=0, max=1, ) punif(q, min=0, max=1, lower.tail = TRUE, ) qunif(p, min=0, max=1, lower.tail = TRUE, ) runif(n, min=0, max=1) Trong Bộ mơn Tốn - ĐẠI HỌC THĂNG LONG ¡ x) Bài Biến ngẫu nhiên x, q p min, max lower.tail n véc tơ giá trị vec tơ giá trị xác suất cận (mặc định 0), cận (mặc định 1) phân phối tham số kiểu logic, nu TRUE xỏc sut l P (X Ô x), ngc lại P (X số phần tử mẫu cần lấy ¡ x) Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn có hai thma số trung bình (mean) độ lệch chuẩn (sd) dnorm(x, mean = 0, sd = 1, log = FALSE) pnorm(q, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE) qnorm(p, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE) rnorm(n, mean = 0, sd = 1) Trong x, q véc tơ giá trị p vec tơ giá trị xác suất mean giá trị trung bình (mặc định 0) sd giá trị độ lệch chuẩn (mặc định 1) lower.tail tham số kiểu logic, TRUE xác sut l P (X Ô x), ngc li P (X n số phần tử mẫu cần lấy ¡ x) Phân phối mũ Phân phối mũ có tham số λ (rate) nghịch đảo giá trị trung bình dexp(x, rate = 1, ) pexp(q, rate = 1, lower.tail = TRUE, ) qexp(p, rate = 1, lower.tail = TRUE, ) rexp(n, rate = 1) Trong x, q véc tơ giá trị p vec tơ giá trị xác suất rate giá trị λ lower.tail tham số kiểu logic, TRUE xác sut l P (X Ô x), ngc li P (X n số phần tử mẫu cần lấy Chi tiết hàm nói hàm phân phối không giới thiệu đây, bạn dùng help() để tìm hiểu IV.12 Màu mắt người xác định cặp gen, gen quy định màu mắt nâu trội so với gen quy định màu mắt xanh Điều có Bộ mơn Tốn - ĐẠI HỌC THĂNG LONG ¡ x) 4.2 Một số loại biến ngẫu nhiên đặc biệt nghĩa người có hai gen lặn có màu mắt xanh, có gen trội có màu mắt nâu Khi mơt cặp vợ chồng có con, cặp gen người nhận cách ngẫu nhiên gen cặp gen bố mẹ Nếu cặp vợ chồng có mắt màu nâu có đứa đầu mắt xanh xác suất để có hai số đứa họ có mắt xanh (cho biết gia đình khơng có đứa trẻ sinh đôi) IV.13 Một vệ tinh nhân tạo gồm phận hoạt động tốt phận điều kiện làm việc Nếu phận độc lập, điều kiện làm việc với xác suất 0.6 xác suất đệ vệ tinh hoạt động tốt bao nhiêu? IV.14 Một nguồn truyền tín hiệu truyền số Tuy nhiên theo thống kê, số nhận khơng xác với xác suất 0.2 Giả sử ta cần truyền tin nhắn gồm số nhị phân Để làm giảm sai sót người ta truyền 00000 thay cho 11111 thay cho Tín hiệu nhận giải mã có số khơng tin nhắn nhận trường hợp lại Tính xác suất tin nhắn sau giải mã khơng xác Cần có giả thiết gì? IV.15 Cho X biến ngẫu ngiên nhị thức với EX = 3, V X = 2.1 Tính P (X = 7), P (X ¡ 5), P (X ¡ 15) IV.16 Nếu bạn mua 50 vé xổ số hội trúng thưởng vé số 1/100 Tính xác suất để bạn trúng giải, giải, hai giải IV.17 Số lần người bị cảm lạnh năm tuân theo phân phối Poisson với trung bình λ = Tính xác suất để người khơng bị cảm lạnh, xác suất để người bị cảm lạnh không lần năm IV.18 Giả sử người có mặt bến xe buýt lúc 10 sáng, cho biết thời điểm xe buýt đỗ bến tuân theo phân phối 10h 10h30 Tính xác suất người phải đợi 15 phút Nếu lúc 10h15 xe buýt chưa tới bến, xác suất để người phải đợi thêm phút bao nhiêu? IV.19 Cho X biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với tham số µ = 8, σ = 25, tính ¡ 5) P (2 X 6) P (X 15) P (X Bộ mơn Tốn - ĐẠI HỌC THĂNG LONG Bài Biến ngẫu nhiên P (X ¡ 10) IV.20 Giả sử lượng mưa hàng năm (mm) địa phương tuân theo phân phối chuẩn với trung bình 1800, độ lệch chuẩn 100 Tính xác suất để có năm năm có lượng mưa khơng 1600 mm Giả thiết lượng mưa năm khác độc lập IV.21 Giả sử tuổi thọ đèn hình màu tivi tuân theo phân phối chuẩn với trung bình 8.2 năm độ lệch chuẩn 1.4 năm Tính xác suất để đèn hình màu có tuổi thọ 10 năm năm từ đên 10 năm IV.22 Chỉ số IQ người tuân theo phân phối chuẩn với trung bình 100 độ lệch chuẩn 14.2 Nhóm 10% người có số IQ cao có số IQ nằm phạm vi nào? IV.23 Số lần động đất địa phương có phân phối Poisson với tỷ lệ trận năm Xác suất có vụ động đất nửa năm năm 2010 bao nhiêu? Giả sử kiện xảy ra, xác suất khơng có động đất địa phương năm 2011 bao nhiêu? Mới có vụ động đất vào tháng năm 2010 Tính xác suất để năm khơng có vụ động đất IV.24 Giả sử số dặm (nghìn dặm) ôtô không sử dụng tuân theo phân phối mũ với tham số λ = 1/20 Một người mua ôtô cũ 10 nghìn dặm, xác suất để sử dụng để tiếp đựoc 20 nghìn dặm bao nhiêu? 4.3 Phân phối chọn mẫu Bộ mơn Tốn - ĐẠI HỌC THĂNG LONG ... pbinom(8, 10, 0.2)-pbinom(0,10,0.2) [1] 0.8926216 Để tính xác suất P (X ¡ 8) ta dùng cơng thức P (X Ô 8) hoc dựng tham s lower.tail với giá trị FALSE sau > 1-pbinom(8, 10, 0.2) [1] 4.1984e-06 > pbinom(8,... không sử dụng tuân theo phân phối mũ với tham số λ = 1/20 Một người mua ôtô cũ 10 nghìn dặm, xác suất để sử dụng để tiếp đựoc 20 nghìn dặm bao nhiêu? 4.3 Phân phối chọn mẫu Bộ mơn Tốn - ĐẠI HỌC... bóng trắng lấy Tính EX Bộ mơn Tốn - ĐẠI HỌC THĂNG LONG 4.2 Một số loại biến ngẫu nhiên đặc biệt 4.2 Một số loại biến ngẫu nhiên đặc biệt R cung cấp số hàm tương ứng với biến ngẫu nhiên đặc bit