tiểu luận toán ứng dụng trong kinh tế

Ngày nay vai trò của toán học được thể hiện qua nhiều khía cạnh khác nhau từ giảng dạy nghiên cứu đến chính sách kinh tế. Nhiều người cho rằng toán học là phần tương ứng lý thuyết của kinh tế lượng một ngành có mục đích phân giải các hiện tượng kinh tế bằng các phương pháp thống kê. Trên bình diện chính sách kinh tế thì các mô hình kinh tế toán và kinh tế lượng được các viện nghiên cứu và các cơ quan chính phủ sử dụng rộng rãi và thường xuyên trong việc đánh giá và du báo ảnh hưởng của các chu trình, xu hướng kinh tế hay các chính sách kinh tế công.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH – MARKETING KHOA KINH TẾ - LUẬT TIỂU LUẬN HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP TIỂU LUẬN MƠN TỐN CAO CẤP SV: SOUTHAMMAVONG LINA Lớp: 16DBH3 GVHD : Phạm Thị Thu Hiền Tp Hồ Chí Minh tháng năm 2020 MỤC LỤC PHẦN GIỚI THIỆU PHẦN NỘI DUNG 2.1 Mơ hình cân đối liên ngành (input - output ) Leontief 2.1.1 Giới thiệu mơ hình 2.1.2 Giải mơ hình 2.1.3 Ví dụ 2.2 Mô hình IS – LM .5 2.2.1 Giới thiệu mô hình 2.2.2 Giải mơ hình 2.2.3 Ví dụ 2.3 Mơ hình cân thu nhập quốc dân 2.3.1 Giới thiệu mơ hình 2.3.2 Giải mơ hình 2.3.3 Ví dụ 2.4 Áp dùng tích phân tính thặng dư nhà sản xuất (PS) thặng dư người tiêu dùng (CS) 2.4.1 Giới thiệu mơ hình 2.4.2 Ví dụ 10 2.5 Xác định quỹ vốn lao động để tối đa hóa lợi nhuận 11 2.5.1 Giới thiệu mơ hình .11 2.5.2 Ví dụ 11 2.6 Xác định cấu sản phẩm để tối thiểu hóa chi phí, tối đa hóa doanh thu, lợi nhuận 12 2.6.1 Giới thiệu mơ hình 12 2.6.2 Phương pháp giải .13 2.6.3 Ví dụ 14 2.7 Tối đa hóa lợi ích điều kiện ràng buộc ngân sách dành cho chi tiêu 14 2.7.1 Giới thiệu Mơ hình 14 2.7.2 Giải pháp mơ hình .15 2.7.3 Ví dụ 16 2.8 Tối đa háo sản lượng điều kiện ràng buộc ngân sách dành cho sản xuất 17 2.8.1 Giới thiệu mơ hình 17 2.8.2 Ví dụ 17 PHẦN KẾT LUẬN 19 PHẦN GIỚI THIỆU Phát triển kinh tế mục tiêu tất nước giới Để đạt mục tiêu địi hỏi nước phải có kết hợp hài hịa việc phát triển tất ngành khác Trong trình phát triển kinh tế tốn học yếu tố có ứng dụng quan trọng Việc ứng dụng tốt mơ hình kinh tế vào kinh tế địi hỏi nước phải có sở toán học vững Bằng chứng mơ hình kinh tế từ trước đến mơ hình ISLM ,mơ hình tăng trưởng SOLOW dấu ấn tốn học Ngày vai trị tốn học thể qua nhiều khía cạnh khác từ giảng dạy nghiên cứu đến sách kinh tế Nhiều người cho toán học phần tương ứng lý thuyết kinh tế lượng ngành có mục đích phân giải tượng kinh tế phương pháp thống kê Trên bình diện sách kinh tế mơ hình kinh tế tốn kinh tế lượng viện nghiên cứu quan phủ sử dụng rộng rãi thường xuyên việc đánh giá du báo ảnh hưởng chu trình, xu hướng kinh tế hay sách kinh tế công PHẦN NỘI DUNG 1.1 Mơ hình cân đối liên ngành (input - output ) Leontief 1.1.1 Giới thiệu mơ hình Trong kinh tế đại, việc sản xuất loại sản phẩm hàng hóa (output) địi hỏi phải sử dụng loại hàng hóa khác để làm nguyên liệu đầu vào (input) trình sản xuất việc xác định tổng cầu sản phẩm ngành sản xuất tổng thể kinh tế quan trọng , bao gồm : -Cầu trung gian từ phía nhà sản xuất sử dụng loại sản phẩm cho q trình sản xuất -Cầu cuối từ phía người sử dụng sản phẩm để tiêu dùng xuất , bao gồm hộ gia đình, Nhà nước, tổ chức xuất Xét kinh tế có n ngành sản xuất, ngành 1,2, ,n Để thuận tiện cho việc tính chi phí cho yếu tố sản xuất , ta phải biểu diễn lượng cầu tất loại hàng hóa dạng giá trị, tức tiền Tổng cầu sản phẩm hàng hóa ngành i (i=1),2, ,n) kí hiệu xác định : giá trị sản phẩm ngành i mà ngành k cần sử dụng cho trình sản xuất ( giá trị cầu trung gian ) giá trị sản phẩm ngành i dành cho nhu cầu tiêu dùng xuất ( giá trị cầu cuối ) Tuy nhiên thực tế, ta thường khơng có thơng tin giá trị cầu trung gian ,nhưng người ta lại chủ động việc xác định tỉ phần chi phí đầu vào sản xuất Kí hiệu tỉ phần chi phí đầu vào ngành k sản phẩm ngành i tính cơng thức : ( i , k =1,2, ,n ) Chú ý rằng: 0, , giả thiết cố định ngành sản xuất i, (k=1,2, ,n ) Người ta cịn gọi hệ số chi phí đầu vào ma trận A=()n gọi ma trận hệ số chi phí đầu vào ( hay ma trận hệ số kĩ thuật ) Giả sử =0,3 có nghĩa để sản xuất đồng giá trị sản phẩm , ngành k 0,3 đồng để mua sản phẩm ngành i phục vụ cho trình sản xuất Đặt : X= Ta gọi X ma trận tổng cầu b ma trận cấu cuối Khi , từ đẳng thức (*), thay có : Hay biếu diễn dạng ma trận : Tức 1.1.2 Giải mơ hình Từ (**) , ta có đây, I ma trận đơn vị cấp n , ( I-A ) không suy biến thì: (***) Cơng thức (***) gọi thức tính ma trận tổng cầu Ma trận (I-A) gọi ma trận Leontief Như vây, biết ma trận hệ số kĩ thuật A ma trận cầu cuối xác định giá trị tổng cầu ngành sản xuất 1.1.3 Ví dụ Giả sử kinh tế có hai ngành sản xuất : ngành ngành có ma trận hệ số kĩ thuật : A= Cho biết giá trị cầu cuối sản phẩm ngành ngành thứ tự 10, 20 tỷ đồng Hãy xác định giá trị tổng cầu ngành Bải giải: Kí hiệu: ma trận tổng cầu Với: giá trị tổng cầu ngành giá trị tổng cầu ngành Theo giả thiết ma trận cầu cuối b có dạng Theo cơng thức tính ma trận tổng cầu (***), ta có: Vậy ma trận tổng cầu là: Hay: Giá trị tổng cầu ngành x1 = 25 tỷ đồng Giá trị tổng cầu ngành x2 = tỷ đồng 1.2 Mơ hình IS – LM 1.2.1 Giới thiệu mơ hình Trong mơ hình IS-LM để phân tích trạng thái cân kinh tế , xem xét hai thị trường hàng hóa tiền tệ Một yếu tố quan trọng ảnh hưởng tới hai thị trường lãi suất r Mục tiêu phải xác định mức thu nhập quốc dân lãi suất trạng thái cân Xét thị trường hàng hóa dịch vụ với yếu tố gồm chi tiêu phủ G  G0 Chi tiêu hộ gia định C=aY+b () (hoặc C=a(1-t )Y+b) ( t – thuế suất thu nhập ), đầu tư I=k-lr ( k ,1 ) phương trình cân thị trường hàng hóa dịch vụ : (Phương trình đường IS ) Xét thị trường tiền tệ với yếu tố : Lượng cầu tiền L = L(Y,r) = mY-nr (m,n lượng cung tiền M=(được định trước) Phương trình cân thị trường tiền tệ có dạng: (Phương trình đường LM) 1.2.2 Giải mơ hình Để xác định mức thu nhập quốc dân lãi suất cân thiết lập hệ gồm phương trình ẩn Y r (mơ hình IS-LM) Giải hệ quy tắc Cramer, có: Vậy mức thu nhập quốc dân lãi suất cân là: 1.2.3 Ví dụ Xét mơ hình IS-LM với : C = 0,6Y +35 a) Sử dụng quy tắc Cramer, xác định mức thu nhập quốc dân lài suất cân b) Tính G0=70; M0=1500 (nghìn tỷ VNĐ) Giải a)Phương trình đường IS: Y = C + I + G0 = 0,6 Y+ 35 + 65 – r + G0 ↔ 0,4Y + r = 100 + G0 Phương trình đường LM: L = M0 ↔ 5Y-50r =M0 Chúng ta xác định thu nhập quốc dân lãi suất cân từ hệ phương trình ẩn Y r Vậy mức thu nhập quốc dân lãi suất cân là: b) Với G0 = 70; M0 = 1500, có: 1.3 Mơ hình cân thu nhập quốc dân 1.3.1 Giới thiệu mơ hình Xét mơ hình cân bẳng thu nhập quốc dân dạng đơn giản với kí hiệu: Y tổng thu nhập quốc dân , G chi tiêu phủ ,I đầu tư C tiêu dùng hộ gia đình Ở đây, giả thiết tiêu phủ đầu tư cố định G =và I=, tiêu hộ gia định có dạng tuyến tính: C = aY+b (0 < a < 1, b > 0) Mơ hình cân thu nhập quốc dân có dạng hệ phương trình tuyến tính gồm phương trình ẩn Y C: Tiếp theo ,xét mơ hình trường hợp thu nhập chịu thuế với thuế suất t% ( thường biểu diễn dạng thập phân ), thu nhập sau là: Và hàm chi tiêu có dạng: Ngồi ra, xem xét mơ hinh với ảnh hưởng yếu tố xuất X nhập N Khi đó,mơ hình có dạng: Chú ý: Hai yếu tố xuất (X) nhập khầu (N) cho dạng hàm thu nhập Y giá trị cố định cho trước Chúng ta vấn biển đổi đưa mơ hình hệ gồm phương trình, ẩn Y C 1.3.2 Giải mơ hình Giải hệ (*) bẳng quy tắc Cramer, xác dịnh mức thu nhập cân mức tiêu dùng cân kinh tế Vậy mức thu nhập quốc dân chi tiêu cân là: 1.3.3 Ví dụ Cho: C = 0,80Yd + 250; G = G0; Yd = (1- t ).Y (t thuế suất thu nhập) a) Sử dụng quy tắc Cramer, xác định mức thu nhập quốc dân chi tiêu cân b) Tình mức thu nhập quốc dân tiêu cân với I0=150, G0 =500 (đơn vị: tỉ VND ) t =0,15 (15%) Giải : Đầu tiên ta xác định mơ hình cân bằng: a) Vậy mức thu nhập quốc dân chi tiêu cân là: b)Với I0 = 150; G0 = 500, t=0,15 ta có 1.4 Áp dùng tích phân tính thặng dư nhà sản xuất (PS) thặng dư người tiêu dùng (CS) 1.4.1 Giới thiệu mơ hình Trong mơ hình thị trường , hàm cầu QD = D(P) ho biết lượng hàng hóa QD mà người mua lòng mua mức giá P (ở QD lượng cầu toàn thị trường) Khi biểu diễn đồ thị mối liện hệ giá lượng cầu , nhà kinh tế thường sử dụng trục tung để biểu diễn giá P trục hoành biểu diễn lượng Q Với cách biểu diễn đường cầu đồ thị hàm cầu đảo P=(QD ( hàm ngược hàm cầu QD =D(P)) Giả điểm cân thị trường (P0.Q0) hàng hóa bán với giá P0 thị trường Khi người mua lẽ lòng trả giá P1 > P0 hưởng khoản lợi P1 - P0 đơn vị hàng hóa mua theo giá thị Tổng số hưởng lợi tất người tiêu dùng diện tích tam giác cong AEP0 Các nhà kinh tế gọi thặng dư người tiêu dùng ( Consumers’ Surplus ) Thặng dư người tiêu dùng tính theo công thức : Hàm cung QS = S(P) thị trường cho biết lượng hàng hóa QS mà nhà sản xuất lòng bán mức giá P Đường cung thị hàm cung đảo P= (QS) Nếu hàng hóa bán thị trường mức giá cân P0 nhà sản xuất lễlẽ lòng bán mức giá P1 < P0 hướng khoản lợi P1 - P0 đơn vị hàng hóa bán theo giá thị trường Tổng số hưởng lợi tất nhà sản xuất diện tích tạm giác cong AEP0 Các nhà kinh tế gọi thặng dư nhà sản xuất (Producers’ Surplus ) Thặng dư nhà sản xuất tính theo cơng thức: 1.4.2 Ví dụ Cho biết hàm cầu hàm cung loại sản phẩm: 1)Tìm điểm cân thị trường 2)Tính thặng dư nhà sản xuất thặng dư người tiêu dùng Giải a)Sản lượng cân Q0 nghiệm dương phương trình: b)Thặng dư nhà sản xuất: Thặng dư người tiêu dùng: 1.5 Xác định quỹ vốn lao động để tối đa hóa lợi nhuận 1.5.1 Giới thiệu mơ hình Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q = f (K,L),trong K > vốn, L > lao động Giá bán đơn vị sản phẩm P >0 , giá đơn vị vốn lao đồng PK, PL.Xác định K , L để doanh nghiệp lợi nhuận cực đại Ta có : Hàm doanh thu doanh nghiệp TR=P.Q=P.f(K,L) Hàm chi phí doanh nghiệp TC =PK.K + PL.L Hàm lợi nhuận doanh nghiệp: = Pf(K,L)- PK.K - PL.L Mô hình tốn: Ta cần tìm (K,L) cho max← = Pf(K,L)- PK.K - PL.L 1.5.2 Ví dụ Cho hàm sản xuất doanh nghiệp biết giá thuê đơn vị vốn K 0.03, giá thuê đơn vị lao động 2, giá sản phẩm Hãy xác định mức sử dụng K, L để hãng thu lợi nhuận tối đa Giải Lợi nhuận hãng = Tổng doanh thu – Tổng chi phí Khi đó, tốn trở thành: Tìm mức sử dụng K L cho: Ta có: Bên cạnh đó, ta tính được: Do đó: Ta được: Vậy lợi nhuận doanh nghiệp đạt tối đa 1.6 Xác định cấu sản phẩm để tối thiểu hóa chi phí, tối đa hóa doanh thu, lợi nhuận 1.6.1 Giới thiệu mơ hình Giả sử doanh nghiệp sản xuất n loại hàng hóa bán điều kiện cạnh tranh hồn hảo với mức giá P1, P2,…, Pn Hàm chi phí C = C (Q1 Q2,… Qn) với 10 Qi(i=1,n) mức sản lượng thứ i mà doanh nghiệp sản xuất Tìm mức sản lượng Q1, Q2,…, Qn mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại Giả sử doanh nghiệp sản xuất n loại hàng hóa bán điều kiện độc quyền với mức giá P1, P2,…, Pn Hàm chi phí C = C (Q1 Q2,… Qn) với Qi(i=1,n) mức sản lượng thứ i mà doanh nghiệp sản xuất Tìm mức sản lượng Q 1, Q2,…, Qn mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại 1.6.2 Phương pháp giải Gọi Q1, Q2,…, Qn mức sản lượng cần tìm Doanh thu: Chi phí: C = C(Q1, Q2,…, Qn ) Lợi nhuận: Xét trường hợp doanh nghiệp độc quyền sản xuất hai loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp TC = TC(Q1,Q2) Doanh nghiệp độc quyền định giá sản phẩm vào chi phí sản xuất cầu thị trường Giả sử cầu thị trường : Hàm lợi nhuận có dạng: Căn vào cầu thị trường ta biểu diễn tổng lợi nhuận theo Q1 Q2 : Theo phương pháp tìm cực trị hàm biến số ta xác định mức sản lượng để đạt cực đại, từ suy giá tối ưu 11 1.6.3 Ví dụ Giả sử hàm tổng chi phí doanh nghiệp cạnh tranh : Và giá sản phẩm p1 = 60, p2 = 34 Hãy xác định mức sản lượng tối ưu ( cho lợi nhuận tối đa ) Giải: Hàm tổng lợi nhuận là: Điều kiện cần để đạt lợi nhuận tối đa : Ta lại có với Q1, Q2 Suy lợi nhuận lớn doanh nghiệp sản xuất đơn vị sản phẩm thứ đơn vị sản phẩm thứ hai 1.7 Tối đa hóa lợi ích điều kiện ràng buộc ngân sách dành cho chi tiêu 1.7.1 Giới thiệu Mơ hình Một gia định dùng số tiền M đề mua hai loại sản phẩm có đơn giá Hàm lợi ích cảu gia định ứng với hai sản phẩm : TU = TU() xác định số lượng sản phẩm ,sao cho làm lợi ích đạt giá trị cao nhật Mơ hình hóa: Tủ u cầu , ta có mơ hình toán : Xác định số lượng sản phẩm cho : TU = TU()max Thỏa điểu kiện : +=M 1.7.2 Giải pháp mơ hình Tìm cục trị hàm số: 12 W=f()=f(x)với điều kiện : g()=g(x)=b Lập hàm phụ Lagrange Điều kiện cần :Giá sử hàm f g có đạo hàm riêng liên tục lân cận điểm ()và điểm đạo hàm riêng g khác Nếu W=f(x) với điều kiện g (x)=b đạt cực trị tồn giá trị nhân từ lagrange cho nghiệm hệ phương trình: ( i=1,2, ,n ) Điều kiện đủ : Giả sử hàm f g có đạo hàm riêng cấp hai liên tục điểm điểm điểm dùng hàm số Lagrange Lập trận : Trong ; (i,j,k=1,2, ,n) Các định thức cấp k (k=2,3, ,n )là i) ii) Nếu (với hàm W=f(x) với điểu kiện g(x)=b đạt giá trí đại điểm Nếu với hàm W=f(x) với điều kiện g(x)=b đạt giá trị cực tiểu điểm 1.7.3 Ví dụ Giả sử hàm lợi ích đối sản phẩm U(x,y)=Inx+Iny X lượng hàng thứ ,y lượng hàng thứ hai Giasuwr người tiêu dùng có thu nhập f phải dùng hết để mua hai sản phẩm , đơn giá hai mạt hàng Bài toán đạt cần tìm X Y để cực đại hóa U với ràng buộc ( điều kiện toán ): I ; I Hàm Lagrange toán : L=Inx+Iny+(IĐiều kiện cấp 1: 13 Hesian bao: = = Vậy U đạt cục đại toàn cục với ràng buộc g(x,y)=I x== y = = U=In + In = In 1.8 Tối đa háo sản lượng điều kiện ràng buộc ngân sách dành cho sản xuất 1.8.1 Giới thiệu mơ hình Sản xuất – cực đại sản lương Đặt vấn đề : Doanh nghiệp có hàm sản xuất Q=f() đơn giá yếu tố đầu vào cho tổng kính phí doanh nghiệp đùng để mua yếu tố đầu vào xác định mức sử dừng yếu tố đầu vào cho doanh nghiệp sản xuất nhiều Mơ hình hóa : Ta có tổng chí phí yếu tố đầu vào : Khi mơ hình tốn : Tìm mức sử dụng yếu tố đầu vào cho Q=f(max Thỏa điển kiện : = 14 1.8.2 Ví dụ Gọi tạo độ vecto x sở B = () x= Vậy tạo độ vecto X =( 1,2,-1 ) sơ B : 15 PHẦN KẾT LUẬN Đây số ứng dụng toán kinh tế Tốn đóng vai trị quan trọng, nói lả khơng thể thiếu, mơn kinh tế Vai trị có xu hướng tăng dần theo thời gian, cịn phê bình, chống đối việc dùng tốn làm phương pháp để phân tích, thơng hiểu hệ thống nhân văn phức tạp hệ thống kinh tế Nói chung, tốn giúp kinh tế, kinh tế lý thuyết, tiến triển nhiều Dĩ nhiên, toán hoá làm thay đổi chất phạm vi mơn kinh tế Tốn ảnh hưởng lớn đến truyền đạt ý niệm đề xuất kinh tế, nhà kinh tế với nhau, mà nhà kinh tế dân chúng, nhà kinh tế nhà làm chinh sách 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO https://www.academia.edu/32887725/_B%C3%80I_T%E1%BA%ACP_ %C4%90%C3%81P_%C3%81N_M%C3%94_H%C3%8CNH_TO %C3%81N_KINH_T%E1%BA%BE Tài liệu mơn học tốn cao cấp Tài liệu mơn học toán ứng dụng kinh tế trường đại học kinh tế - đại học Đà Nẵng 17 18