Đây là một số ứng dụng của toán trong kinh tế. Toán đóng một vai trò rất quan trọng, có thể nói lả không thể thiếu, trong bộ môn kinh tế. Vai trò này có xu hướng tăng dần theo thời gian, mặc dù vẫn còn sự phê bình, chống đối việc dùng toán làm một phương pháp chính để phân tích, thông hiểu một hệ thống nhân văn phức tạp như hệ thống kinh tế. Nói chung, toán đã giúp kinh tế, nhất là kinh tế lý thuyết, tiến triển rất nhiều. Dĩ nhiên, toán hoá đã và đang làm thay đổi bản chất và phạm vi của bộ môn kinh tế. Toán cũng ảnh hưởng rất lớn đến sự truyền đạt ý niệm và đề xuất kinh tế, không những giữa các nhà kinh tế với nhau, mà còn giữa các nhà kinh tế và dân chúng, và giữa các nhà kinh tế và các nhà làm chinh sách.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH – MARKETING KHOA KINH TẾ - LUẬT NGÀNH TIỂU LUẬN HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP TRÌNH BÀY CÁC ỨNG DỤNG TỐN CHO CÁC MƠ HÌNH KINH TẾ SVTH: Lớp: GVHD : Bình Dương, tháng năm MỤC LỤC GIỚI THIỆU Phát triển kinh tế mục tiêu tất nước giới Để đạt mục tiêu địi hỏi nước phải có kết hợp hài hịa việc phát triển tất ngành khác Trong q trình phát triển kinh tế tốn học yếu tố có ứng dụng quan trọng Việc ứng dụng tốt mơ hình kinh tế vào kinh tế đòi hỏi nước phải có sở tốn học vững Bằng chứng mơ hình kinh tế từ trước đến mơ hình IS LM ,mơ hình tăng trưởng SOLOW dấu ấn tốn học Ngày vai trị tốn học thể qua nhiều khía cạnh khác từ giảng dạy nghiên cứu đến sách kinh tế Nhiều người cho toán học phần tương ứng lý thuyết kinh tế lượng ngành có mục đích phân giải tượng kinh tế phương pháp thống kê Trên bình diện sách kinh tế mơ hình kinh tế toán kinh tế lượng viện nghiên cứu quan phủ sử dụng rộng rãi thường xuyên việc đánh giá du báo ảnh hưởng chu trình, xu hướng kinh tế hay sách kinh tế cơng Do nói ngày tốn học có vai trò quan trọng tất lĩnh vực đặc biệt lĩnh vực kinh tế dựa vào tốn học tiến hành phân tích dự báo biến động nhiều lĩnh vực khác giá tài Sau xẽ xem xét tầm quan trọng toán học kinh tế úng dụng so mơ hình tăng trưòng phát triển kinh tế PHẦN NỘI DUNG 1.1 Mô hình cân đối liên ngành (input - output ) Leontief 1.1.1 Bài toán Đề cập đến việc xác định mức tổng cầu sản phẩm ngành sản suất tổng thể kinh tế Ở khái niệm ngành xem xét theo nghĩa ngành tuý sản xuất 1.1.2 Mô hình Mô hình nhằm xác định đầu ngành n ngành cho vừa đủ để thỏa mãn tồn nhu cầu loại sản phẩm Giả sử mơ hình ta có: • Mỗi ngành chi sản xuất mặt hàng • Mỗi ngành sử dụng tỷ lệ cố định đầu vào cho sản xuất đầu • Mọi đầu vào thay đổi k lần đầu thay đổi k lần Ta ký hiệu hệ số a hệ số đầu vào kinh tế n - ngành, xếp ma trận: Với aij, đơn vị tiền ngành thứ i dùng để sản xuất đơn vị tiền cho ngành thứ j, cột thứ j cho biết yêu cầu đầu vào n ngành để sản xuất lượng hàng hóa đầu ngành thử j tri giá đơn vị tiền Bên cạnh n ngành, mơ hình cịn có ngành khác gọi ngành mở Ngành xác định cách độc lập yêu cầu cuối (yêu cầu không đầu vào) hàng hóa ngành Bản thán lại cung ứng đâu vào thiết yếu (ví du lao động, dịch vụ, ) cho n ngành Những đầu vào thiết yếu ngành mở cung cấp không sàn xuất ngành số n ngành kể Khi ta có giá đầu vào riêng (không bao gồm giá đầu vào thiết yếu) để sản xuất đơn vị tiến cho ngành thứ j, Để hợp lý mặt kinh tế ta giả sử Vậy giá trị đầu vào thiết yếu để sản xuất lượng hàng thứ j trị giá đơn vị tiền 1.1.3 Phương pháp giải Gọi lượng đầu n ngành X₁, X₂, ,Xn yêu cầu cuối cho đầu ngành thứ i Giả sử ngành thứ i sản xuất lượng đầu ; vừa đủ để đáp ứng điều kiện đầu vào Của n ngành đáp ứng yêu cầu cuối ngành mở Khi đó, ta Có: Trong đó, diễn tả yêu cầu đầu vào ngành thứ j đổi với ngành thứ i Nếu viết dạng ma trận ta có (In - A) X = D, In, ma trận đơn vị cấp n, A ma trận hệ số đầu vào, X vécto cột lượng đầu ra, D vecto cột biểu thị yêu cầu cuối Với giả thiết X = (In – A)-1 1.1.4 Ví dụ Trong mơ hình input- Output mở biết ma trận đầu vào Tìm mức sản lượng ngành, ngành mở yêu cầu ngành phải cung cấp cho sản phẩm trị giá tương ứng (70,100,30) Gọi I3 ma trận đơn vi cấp 3, A ma trận đầu vào D nhu cầu cuối với X vectơ dạng cột Ta có: Giải hệ phương trình phương pháp Cramer, ta có: Vậy đầu ba ngành 150,200,150 1.2 Mô hình IS- LM 1.2.1 Bài tốn Mơ hình IS – LM dùng để phân tích trạng thái cân kinh tế hai thị trường: thị trường hàng hóa thị trường tiền tệ 1.2.2 Mơ hình Phương trình IS: Phương trình LM: Hệ IS-LM: Giải hệ ta mức thu nhập lãi suất cân 1.2.3 Phương pháp giải Khi có mặt thị trường tiền tệ, mức đầu tư I phụ thuộc vào lãi suất r Giả sử Xét mơ hình cân thu nhập tiêu dùng dạng Thay (6), (7) vào (5), ta Phương trình (8) biểu diễn mối quan hệ lãi suất thu nhập thị trường hàng hóa cân gọi phương trình IS Trong thị trường tiền tệ, lượng cầu tiền L phụ thuộc vào thu nhập Y lãi suất r Giả sử lượng cung tiền cố định Mo Điều kiện cân tiền tệ Phương trình (9) biểu diễn điều kiện cân thị trường tiền tệ gọi phương trình LM Mơ hình IS – LM mơ hình gộp IS LM thành hệ Từ mơ hình ta xác định mức thu nhập Y lãi suất r đảm bảo cân hai thị trường: hàng hóa tiền tệ Chẳng hạn, giải hệ gồm phương trình (8) (9): ta tìm 1.2.4 Ví dụ Cho a) Lập phương trình IS b) Lập phương trình LM c) Tìm mức thu nhập lãi suất cân hai thị trường hàng hóa tiền tệ Ta có Vậy phương trình IS b) Phương trình LM có dạng c) Mức thu nhập Y lãi suất r cân nghiệm hệ phương trình Vậy 1.3 Mô hình cân thu nhập quốc dân 1.3.1 Bài toán Xác định mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng mức thuế cân Mơ hình Xét mơ hình cho dạng Trong - Y tổng thu nhập quốc dân, - C tiêu dùng dân cư, - T thuế, - I0 mức đầu tư cố định theo kế hoạch, - G0 mức chi tiêu cố định phủ Phương pháp giải Xem Y, C, T biến số, a, b, d, t I 0, G0 số cho trước, biến đổi (3) ta có hệ phương trình ba ẩn Giải hệ (4), ta tìm mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng mức thuế cân Ví dụ Cho tổng thu nhập quốc dân Y, mức tiêu dùng C mức thuế T xác định Trong 500 I0 = 500 mức đầu tư cố định; Go = 20 mức chi tiêu cố định Hãy xác định mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng mức thuế cân Ta có Vậy 1.4 Áp dụng tích phân tính thặng dư nhà sản xuất (PS) thặng dư người tiêu dùng (CS) 1.4.1 Bài tốn Lợi ích thị trường người mua người bán 1.4.2 Mô hình Thặng dư người tiêu dùng Thặng dư nhà sản xuất 1.4.3 Phương pháp giải Giải phương trình 1.4.4 Ví dụ Một xí nghiệp độc quyền có hàm tổng chi phí sản xuất sản phẩm X sau: TC = 1/6Q2 + 70Q + 18.000 Hàm số cầu thị trường s.phẩm X P = -1/4Q + 310 Tính CS PS tổn thất vơ ích độc quyền - Thặng dư người tiêu dùng (CS) đồ thị phần diện tích đường cầu đường giá => CSĐQ = Sa = (310-238)*288/2 = 10.368 đvt (S tam giá) - Thặng dư người sản xuất (PS) đồ thị phần diện tích đường cung đường giá => PSĐQ = Sbef = [(238-70)+(238-166)]*288/2 = 34.560 đvt (S hình thang) - Tổn thất vơ ích (DWL) độc quyền gây từ việc làm giảm sản lượng diện tích hình c d DWL = Scd = (238-166)*(411,4-288)/2 = 4442,4 đvt (S tam giá) Vậy, tình trạng độc quyền, thặng dư tiêu dùng 10.368 đvt thặng dư sản xuất 34.560 đvt Thế độc quyền gây khoản tổn thất vơ ích 4442,4 đvt 1.5 Xác định quỹ vốn lao động để tối đa hóa doanh thu, lợi nhuận 1.5.1 Bài toán Xét trường hợp doanh nghiệp cạnh tranh tuý sản xuất loại sản phẩm Mục tiêu doanh nghiệp thu lợi nhuận tối đa sở sử dụng hợp lý yếu tố đầu vào lao động tư (với giả thiết yếu tố khác giữ nguyên) Mọi doanh nghiệp cạnh tranh túy phải chấp nhận giá thị trường, kể giá đầu vào giá đầu Gọi p giá thị trường loại sản phẩm doanh nghiệp sản xuất, wL wK giá thuê lao động giá thuê tư bản, hàm sản xuất Q = f(K,L) ta biểu diễn tổng lợi nhuận dạng hàm số hai biến số K, L 1.5.2 Mơ hình Trong pQ = pf(K,L) tổng doanh thu, tổng chi phí, C0 chi phí cố định (không phụ thuộc vào K L) 1.5.3 Phương pháp giải Điều kiện cần cực trị trƣờng hợp là: Dưới giác độ kinh tế điều kiện (1.3) có nghĩa sau: Điều kiện cần để thu lợi nhuận tối đa là: doanh nghiệp phải sử dụng yếu tố đầu vào mức mà giá trị tiền sản phẩm vật cận biên yếu tố giá yếu tố Điều kiện đủ để hàm lợi nhuận đạt cực đại là: Và Do p2 > nên điều kiện tương đương với điều kiện Và 1.5.4 Ví dụ Giả sử hàm lợi nhuận công ty sản phẩm là: đó: Π lợi nhuận, R doanh thu, C chi phí, L lượng lao động, w tiền lương lao động, K tiền vốn, r lãi suất tiền vốn, P đơn giá bán Giả sử Q hàm sản xuất Cobb-Douglas dạng: , w = 1, r = 0,02, P = Khi đó, ta có: u cầu: Tìm L, K cho Π đạt giá trị lớn Bài giải: Điều kiện cần để hàm đạt cực trị (L, K) là: Ta có ma trận Hesse: Vì ; Π đạt cực đại toàn cục (K, L) = (2500, 50) 10 1.6 Xác định cấu sản phẩm để tối thiểu hóa chi phí, tối đa hóa doanh thu, lợi nhuận 1.6.1 Điều kiện cạnh tranh hồn hảo 1.6.1.1 Bài tốn Giả sử doanh nghiệp sản xuất n loại hàng hóa bán điều kiện cạnh tranh hoàn hảo với mức giá P1, P2,…, Pn Hàm chi phí C = C (Q1 Q2,… Qn) với Qi(i=1,n) mức sản lượng thứ i mà doanh nghiệp sản xuất Tìm mức sản lượng Q1, Q2,…, Qn mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại 1.6.1.2 Mô hình 1.6.1.3 Phương pháp giải Gọi Q1, Q2,…, Qn mức sản lượng cần tìm Doanh thu: Chi phí: C = C(Q1, Q2,…, Qn ) Lợi nhuận: Bài toán trở thành tìm Q1, Q2,…, Qn để hàm π đạt cực đại 1.6.1.4 Ví dụ Giả sử hàm tổng chi phí doanh nghiệp cạnh tranh : Và giá sản phẩm p1 = 60, p2 = 34 Hãy xác định mức sản lượng tối ưu (cho lợi nhuận tối đa) Giải: Hàm tổng lợi nhuận là: Điều kiện cần để đạt lợi nhuận tối đa : Ta lại có với Q1, Q2 Suy l ợi nhu ận s ẽ l ớn nh ất n ếu doanh nghi ệp s ản xu ất n v ị s ản ph ẩm th ứ nh ất n v ị s ản ph ẩm th ứ hai 11 1.6.2 Điều kiện cạnh tranh độc quyền 1.6.2.1 Bài toán Giả sử doanh nghiệp sản xuất n loại hàng hóa bán điều kiện độc quyền với mức giá P1, P2,…, Pn Hàm chi phí C = C (Q Q2,… Qn) với Qi(i=1,n) mức sản lượng thứ i mà doanh nghiệp sản xuất Tìm mức sản lượng Q 1, Q2, …, Qn mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại 1.6.2.2 Mô hình 1.6.2.3 Phương pháp giải Xét trường hợp doanh nghiệp độc quyền sản xuất hai loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp TC = TC(Q1,Q2) Doanh nghiệp độc quyền định giá sản phẩm vào chi phí sản xuất cầu thị trường Giả sử cầu thị trường : Hàm lợi nhuận có dạng: Căn vào cầu thị trường ta biểu diễn tổng lợi nhuận theo Q1 Q2 : Theo phương pháp tìm cực trị hàm biến số ta xác định mức sản lượng để đạt cực đại, từ suy giá tối ưu 1.6.2.4 Ví dụ Giả sử doanh nghiệp độc quyền sản xuất hai loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp : Giả sử cầu hàng hoá : Hãy xác định mức sản lượng giá tối ưu cho sản phẩm Giải : Hàm lợi nhuận trường hợp : 12 Gi ải toán c ực tr ị ta xác đị nh đượ c m ức s ản l ượng cho l ợi nhu ận t ối đa : Giá bán để đạ t đượ c l ợi nhu ận t ối đa 1.7 Tối đa hóa lợi ích điều kiện ràng buộc ngân sách dành cho chi tiêu 1.7.1 Bài toán Chọn (x,y) để hàm lợi ích U = U(x,y) đạt cực đại điều kiện 1.7.2 Mô hình 1.7.3 Phương pháp giải Điều kiện cần để túi hàng (x,y) đạt lợi ích tối đa Từ điều kiện (3,3) để xác đinh (x,y) ta giải hệ phương trình Gọi nghiệm hệ phương trình (3.4), giá trị tương ứng nhân tử Lagrăng xác định theo cơng thức 1.7.4 Ví dụ Cho hàm lợi ích tiêu dùng chủ thể có dạng sau: Cho biết x, y khối lượng hàng hóa Cho p,q giá hàng hóa tương ứng, M ngân sách tiêu dùng Xác định phương án tiêu dùng có lợi cho chủ thể Giải: Phương án tiêu dùng có lợi cho chủ thể đó: Ta có: 13 Mặt khác: Yêu c ầu: xác đị nh ph ương án tiêu dùng có l ợi nh ất cho ch ủ th ể Tìm x, y để TU t ối ưu v ới ều ki ện ràng bu ộc L ập hàm Lagrange: Tìm đạ o hàm riêng: Tìm ểm d ừng: V ậy ểm d ừng T ại ểm d ừng ta xét hàm vi phân toàn ph ần c ấp hai: Đặt V ới dx, dy th ỏa mãn ph ương trình sau: V ậy ph ương án tiêu dùng t ối ưu nh ất t ại 1.8 Tối đa hóa sản luợng điều kiện ràng buộc ngân sách dành cho sản xuất 1.8.1 Bài toán Với Q = f(K,L) hàm sản xuất, toán đặt sau: Ch ọn (K,L) để hàm số (4.1), đạt cực đại, với điều kiện w KK + wLL = B (4.2), (wL, wK giá lao động giá tư bản) 1.8.2 Mô hình 1.8.3 Phương pháp giải Giả thiết, hàm sản xuất có đạo hàm riêng liên tục cấp c ấp hai miền K, L: K > 0, L > Ta ký hiệu: Điều kiện cần để Q đạt cực đại: Suy ra, tương tự tốn tối đa hố lợi ích, 14 ều ki ện c ần để Q đạt c ực đại, v ới ều kiên (4.2) là: Đi ều ki ện đủ để Q đạt c ực đại, v ới ều ki ện (4.2) , : V ới gi ả thi ết tho ả mãn v ới m ọi k > L > 0, t h ệ ph ương trình ều ki ện c ần (4.3) ta xác đị nh đượ c hàm c ầu y ếu t ố (hàm c ầu Marshall): 1.8.4 Ví dụ Một cơng ty có hàm sản xuất K, L lần l ượt v ốn lao động Bi ết giá đơn vị vốn pk = 120 giá đơn vị lao động pL = 60 Nếu doanh nghiệp chi số tiền 3000 Tính mức s d ụng v ốn lao động để tối ưu hóa sản lượng Giải: Hàm Lagrange: Thay vào (3), ta được: Điều kiện: Vi phân tồn phần cấp 1: Đặt Vậy tối đa hóa sản lượng K=12, L=26, λ=0,1 15 PHẦN KẾT LUẬN Đây số ứng dụng toán kinh tế Tốn đóng vai trị r ất quan trọng, nói lả khơng thể thiếu, mơn kinh tế Vai trị có xu hướng tăng dần theo thời gian, phê bình, chống đối việc dùng tốn làm phương pháp để phân tích, thơng hiểu hệ thống nhân văn phức tạp hệ thống kinh tế Nói chung, toán giúp kinh tế, kinh tế lý thuyết, tiến triển nhiều Dĩ nhiên, toán hoá làm thay đổi chất phạm vi mơn kinh tế Tốn ảnh hưởng lớn đến truyền đạt ý niệm đề xuất kinh tế, nhà kinh t ế v ới nhau, mà nhà kinh tế dân chúng, gi ữa nhà kinh t ế nhà làm chinh sách 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO https://www.academia.edu/32887725/_B%C3%80I_T%E1%BA%ACP_ %C4%90%C3%81P_%C3%81N_M%C3%94_H%C3%8CNH_TO %C3%81N_KINH_T%E1%BA%BE Tài liệu mơn học tốn cao cấp Tài liệu mơn học tốn ứng dụng kinh tế trường đại học kinh tế - đại học Đà Nẵng 17 ... Điều kiện: Vi phân toàn phần cấp 1: Đặt Vậy tối đa hóa sản lượng K=12, L=26, λ=0,1 15 PHẦN KẾT LUẬN Đây số ứng dụng toán kinh tế Tốn đóng vai trị r ất quan trọng, nói lả khơng thể thiếu, mơn