Trong BD HSG Toán 9 bạn cần có nhiều đề để ôn luyện và rèn kĩ năng cho HS. Bạn muốn tìm tài liệu ôn thi cho HS dưới dạng các đề theo hệ thống. Bạn muốn tìm những đề thi có hệ thống và có hướng dẫn giải hãy đến với tài liệu đề thi sau. Gồm đủ 18 đề. (Đề 16)
ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017 – 2018 ĐỀ THI SÔ 16 Thời gian làm bài: 150 phút Câu (4 điểm) 2 a) Giải phương trình: x − 16 + x − 25 = b) Tính giá trị biểu thức A = ( x3 − 3x − 3) 2017 (3 điểm) x = − + 2− (2 điểm) Câu (4 điểm) a) Cho biết x = by + cz; y = ax + cz; z = ax + by Chứng minh rằng: 1 + + =2 1+ a 1+ b 1+ c (2 điểm) b) Cho a, b, c > abc = Tìm giá trị lớn biểu thức P = ab bc ca + 5 + (2 điểm) a + b + ab b + c + bc c + a + ca Câu (4 điểm) a) Cho số nguyên n không chia hết cho Chứng minh giá trị biểu thức 4n + 3n + chia hết cho (2 điểm) b) Chứng minh giá trị biểu thức n – n chia hết cho 60 với số nguyên n (2 điểm) Câu (5 điểm) Cho đoạn thẳng AB = a , M điểm nằm A B Vẽ hai hình vng AMCD BMEF phía bờ AB Gọi H giao điểm AE BC a) Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng (3 điểm) b) Gọi Q giao điểm AC DF Chứng minh điểm M di chuyển khoảng cách từ điểm Q đến đường thẳng AB không đổi (2 điểm) Câu (3 điểm) Gọi M , N trung điểm cạnh AD BC hình chữ nhật ABCD Trên tia đối tia DC lấy điểm P Giao điểm AC đường thẳng PM Q · · Chứng minh : QNM = MNP ==== hết === Câu (4 điểm) 2 a)Giải phương trình: x − 16 + x − 25 = x − 16 + x − 25 = ⇔ x − 16 + 25 − x = Áp dụng bất đẳng thức a + b ≥ a + b , xảy dấu đẳng thức ⇔ ab ≥ cho vế trái PT ta có: x − 16 + 25 − x ≥ x − 16 + 25 − x = = VP x − 16 ≥ x ≥ 16 ⇔ ⇔ 16 ≤ x ≤ 25 Dấu “=” xảy 25 − x ≥ x ≤ 25 ⇔ 16 ≤ x ≤ 25 ⇔ ≤ x ≤ −5 ≤ x ≤ 4≤ x≤5 4≤ x ≤5⇔ ⇔ x ≥ v x ≤ −4 −5 ≤ x ≤ − Nghiệm PT là: ≤ x ≤ ; −5 ≤ x ≤ −4 b)Tính giá trị biểu thức A = ( x3 − 3x − 3) 2017 x = − + 2− a = − 3 = 2− + 2+ = a + b = − + ⇒ 2− Giải: Đặt b = ab = 2− Ta có: x3 = ( a + b ) = a + b3 + 3ab ( a + b ) = + 3x Suy x3 − 3x = Do đó: A = ( x3 − 3x − 3) = ( − 3) = Câu (4 điểm) c) Cho biết x = by + cz; y = ax + cz; z = ax + by Chứng minh rằng: 2017 2017 1 + + =2 1+ a 1+ b 1+ c Giải: + Ta có: x + y = ax + by + 2cz = z + 2cz => x + y – z = 2cz x+ y−z x+ y−z x+ y+z ⇒ c +1 = +1 = 2z 2z 2z 2z ⇒ = (1) c +1 x + y + z ⇒c= + y + z = 2ax + by + cz => y + z – x = 2ax ⇒ a = ⇒ y+z−x x+ y+ z ⇒ a +1 = 2x 2x 2x = (2) a +1 x + y + z + z + x = 2by + ax + cz = 2by + y => z + x – y = 2by z+x− y z+x− y x+ y+z ⇒ b +1 = +1 = 2y 2y 2y 2y ⇒ = (3) b +1 x + y + z ⇒b= + Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta 2( x + y + z) 1 2x 2y 2z + + = + + = =2 a +1 b +1 c +1 x + y + z x + y + z x + y + z x+ y+z ab bc ca + 5 + ≤ với a, b, c > abc = b) Chứng minh 5 a + b + ab b + c + bc c + a + ca Ta có: a5 + b5 ≥ a3b2 + a 2b3 ⇔ a5 − a3b + b5 − a 2b3 ≥ ⇔ a3 a − b − b3 a − b ≥ ( ( )( ) ( ) ) ⇔ a − b a − b3 ≥ ⇔ ( a − b ) ( a + b ) ( a + ab + b ) ≥ (bđt đúng) Dấu xảy a = b Ta có a5 + b5 ≥ a3b2 + a 2b3 ⇒ a5 + b5 + ab ≥ a3b + a 2b3 + ab ab ab abc abc c ≤ = = = = 2 a + b + ab a b + a b + ab a b + ab + a b + ab + abc ab ( a + b + c ) a + b + c ab c ≤ Vậy 5 a + b + ab a + b + c ⇒ Tương tự bc a ca b ≤ ≤ ; 5 b + c + bc a + b + c c + a + ca a + b + c Cộng vế theo vế => đpcm Câu (3 điểm) a)Cho số nguyên n không chia hết cho Chứng minh giá trị biểu thức 4n + 3n + chia hết cho Giải: + Vì n khơng chia hết cho nên n = 6k + n = 6k – (Với k thuộc Z) + Nếu n = 6k + 4n + 3n + = ( 6k + 1) + ( 6k + 1) + ( ) = 36k + 12k + + 18k + + = 4.36k + 4.12k + + 18k + = 144k + 66k + 12 = 24k + 11k + M6 ( ) + Nếu n = 6k – 4n + 3n + = ( 6k − 1) + ( 6k − 1) + = ( 24k − 5k + 1) M6 + Vậy ……………………… b) Chứng minh giá trị biểu thức n6 – n2 chia hết cho 60 với số nguyên n Ta có: 60 = 2 2 2 + B = n − n = n ( n − 1) ( n + 1) = ( n − 1) n ( n + 1) ( n + 1) + Ta có ( n − 1) n ( n + 1) M3 ⇒ B M3 + Nếu n chẳn n2 chia hết cho ⇒ B M4 n lẻ thi n – n + số chẵn ⇒ ( n − 1) ( n + 1) M4 ⇒ B M4 + n2 có chữ số tận 0; 1; 4; 5; 6; + Nếu n2 có chữ số tận n M5 n2 có chữ số tận n − 1M5 n2 có chữ số tận n + 1M5 Suy ⇒ B M5 + Vì 3, 4, đơi nguyên tố nên B chia hết cho 60 Câu (2 điểm) x 2y Cho x, y hai số dương thỏa mãn + x + + y = Chứng minh xy ≤ x 2y + = ⇔ x ( 1+ y) + y ( 1+ x) = ( 1+ x) ( 1+ y ) 1+ x 1+ y ⇔ x + xy + y + xy = + y + x + xy ⇔ y + xy = ⇔ y = − xy ⇔ xy = − y y y y − y2 = 2 1− y − y +1 Ta có: xy = xy = ( − y ) −4 y + y = = ( 1 Dấu “=” xảy y = ; x = 2 ) = − ( y − 1) 8 === hết=== ≤ )( ( ) 2 b) Cho a, b hai số thực thỏa mãn a + a + 2017 b + b + 2017 = 2017 Tính giá trị biểu thức P = a + b + 20172 Giải (a+ (a+ )( a + 2017 ) ( a − ) a + 2017 ) ( b + a + 2017 b + b + 2017 = 2017 ⇔ ( ) ( )( ) ( ) ( )( b + 2017 ) ⇔ a − a + 2017 b2 − b + 2017 = 2017 a − a + 2017 b − b + 2017 ( )( ⇔ ( −2017 ) ( −2017 ) = 2017 a − a + 2017 b − )( ( ) ⇔ a − a + 2017 b − b + 2017 = 2017 ⇔ ab − a b + 2017 − b a + 2017 + a + 2017 b + 2017 = 2017 (1) Mặt khác từ giả thiết (a+ )( )( b + 2017 b − b + 2017 = 2017 a − a + 2017 b − b + 2017 ) a + 2017 b + b + 2017 = 2017 ⇒ ab + a b + 2017 + b a + 2017 + a + 2017 b + 2017 = 2017 Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta 2a b + 2017 + 2b a + 2017 = ⇔ a b + 2017 + b a + 2017 = (2) ) ) ... x − 16 + x − 25 = x − 16 + x − 25 = ⇔ x − 16 + 25 − x = Áp dụng bất đẳng thức a + b ≥ a + b , xảy dấu đẳng thức ⇔ ab ≥ cho vế trái PT ta có: x − 16 + 25 − x ≥ x − 16 + 25 − x = = VP x − 16 ≥... PT ta có: x − 16 + 25 − x ≥ x − 16 + 25 − x = = VP x − 16 ≥ x ≥ 16 ⇔ ⇔ 16 ≤ x ≤ 25 Dấu “=” xảy 25 − x ≥ x ≤ 25 ⇔ 16 ≤ x ≤ 25 ⇔ ≤ x ≤ −5 ≤ x ≤ 4≤ x≤5 4≤ x ≤5⇔ ⇔ x ≥ v x ≤ −4... n + 1) ( n + 1) + Ta có ( n − 1) n ( n + 1) M3 ⇒ B M3 + Nếu n chẳn n2 chia hết cho ⇒ B M4 n lẻ thi n – n + số chẵn ⇒ ( n − 1) ( n + 1) M4 ⇒ B M4 + n2 có chữ số tận 0; 1; 4; 5; 6; + Nếu n2 có