Đang tải... (xem toàn văn)
Trong BD HSG Toán 9 bạn cần có nhiều đề để ôn luyện và rèn kĩ năng cho HS. Bạn muốn tìm tài liệu ôn thi cho HS dưới dạng các đề theo hệ thống. Bạn muốn tìm những đề thi có hệ thống và có hướng dẫn giải hãy đến với tài liệu đề thi sau. Gồm đủ 18 đề. (Đề 15)
ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017 – 2018 ĐỀ THI SÔ 15 Thời gian làm bài: 150 phút Câu (4 điểm) a) Cho a, b, c số thực thỏa mãn a + b + c = 2018 trị biểu thức A = a 2017 b b) Rút gọn biểu thức 2017 1 1 Tính giá a b c 2018 c 2017 52 2 1 32 Câu (3 điểm) Giải phương trình x x2 5 x2 x Câu (3 điểm) 3 Tìm số tự nhiên y để y 1 x y 1 x chia hết cho 6, biết x �N* Câu (5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AD, BF, CE cắt H a) Giả sử HB = 6cm; HF = 3cm; CE = 11 CH > HE Tính độ dài CH; EH b) Gọi I giao điểm EF AH Chứng minh IH HD AI AD c) Gọi K điểm nằm C D Kẻ AS vng góc HK S Chứng minh SK � phân giác DSI Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC, I điểm nằm tam giác Các tia AI, BI, CI cắt cạnh BC, AC, AB điểm D, E, F Chứng minh rằng: AI BI CI �6 ID IE IF Câu (2 điểm) Cho x, y, z > Chứng minh x2 z z y y x2 �0 yz x y xz === hết=== HƯỚNG DẪN Câu (4 điểm) a) Cho a, b, c số thực thỏa mãn a + b + c = 2018 trị biểu thức A = a 2017 b 2017 1 1 Tính giá a b c 2018 c 2017 Giải: 1 1 1 1 ta a b c 2018 a b c a bc 1 1 1 1 � 0 Ta có: a b c abc a b c abc ab abcc � 0 ab c a b c ab ab � 0 ab c a b c Thay a + b + c = 2018 vào �1 � � a b � � ab c a b c � � � a b ca cb c ab � a b � c a c b a c � � � � a b a c b c a b 0; c 2018 � � a b a c b c � �� �� a c 0; b 2018 � a b c 2018 � b c 0; a 2018 � 1 a 2017 b 2017 Ta có: A = 2017 2017 2017 2017 017 a b c a b 20182017 2017 2017 2016 2015 2015 2016 Mà a b a b a a b ab b nên A = 52 b)Rút gọn biểu thức A = Đặt a = a � a2 1 52 52 2 2 2 20182017 3 2 2 2 2 2 52 52 1 Vì a > nên a = 1 Và 2 Vậy 52 1 52 1 1 3 2 1 1 Câu (3 điểm) x2 (1) Giải phương trình x x 4x 4x2 �2 x � 2 � x � x � � ĐK: x � x2 4x �x � 1 1 2 � x2 � � x2 � 2x � 2x � � �x x � � � � � � x2 � x2� �x � �x � x2 Đặt y ta PT y y � y 1 y � y1 1; y2 x2 x2 1 � x x � x x � x x 1 � x1 2; x2 (TM) + y 1� x2 x2 � � 15 2 � x x 10 � x x 10 � �x � (vô nghiệm) + y 5� x2 � 2� Vậy S = {- 2; 1} Câu (3 điểm) Tìm số tự nhiên y dể y 1 x y 1 x chia hết cho 6, biết x �N* Gợi ý x3 x M3 , từ ta có hướng viết lại biểu thức y 1 x y 1 x dạng tổng , loại trừ hạng tử chia hết cho từ tìm điều kiện cho y 3 3 3 3 Giải: Ta có y 1 x y 1 x y x x y x x y x x y x y x x x 3 y x3 x xy y x3 x + Chỉ x3 – x chia hết chi + A chia hết cho xy y chia hết cho Dễ thấy xy y M2, A chia hết cho y = 3k hay y = 3k -1 Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC, I điểm nằm tam giác Các tia AI, BI, CI cắt cạnh BC, AC, AB điểm D, E, F Chứng minh rằng: AI BI CI �6 ID IE IF K A H F E + AH // BC suy I B D + Kẻ qua A đường thẳng song song với BC cắt BE K, cắt CF H C AF AH & AK // BC suy FB BC AE AK EC BC AF AE AH AK HK (1) FB EC BC BC BC AI AH AI AK + AH // CD suy & AK // BD suy ID CD ID BD AI AH AK AH AK HK Do đó: (2) ID CD BD CD BD BC AI AF AE + Từ (1) (2) suy (3) ID FB EC BI BF BD CI CE CD + Chứng minh tương tự ta được: (4) & (6) IE FA DC IF EA BD Do đó: + Cộng (3), (4), (5) vế theo vế ta AI BI CI AF AE BF BD CE CD ID IE IF FB EC FA DC EA BD �AF BF � �AE CE � �BD CD � � � � � � � �FB FA � �EC EA � �DC BD � Áp dụng bất đẳng thức với a, b hai số dương ta có a b a b �2 , dấu = xảy b a b a a = b �AF BF � �AE CE � �BD CD � Do � � � � � ��6 �FB FA � �EC EA � �DC BD � Vậy AI BI CI �6 Dấu = xảy BD = CD, EA = EC; FA = FB I trọng tâm tam ID IE IF giác ABC Chú ý: Có thể dùng diện tích để c/m Câu (5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AD, BF, CE cắt H c) Giả sử HB = 6cm; HF = 3cm; CE = 11 CH > HE Tính độ dài CH; EH d) Gọi I giao điểm EF AH Chứng minh IH HD AI AD c) Gọi K điểm nằm C D Kẻ AS vng góc HK S Chứng minh SK A � phân giác DSI S a) Chứng minh HBE F HCF (g.g) I HB HE � HC.HE HB.HF 18 Suy HC HF E M Đặt CH = x HE = 11 – x (với < x < 11) Ta có x 11 x 18 � x 11x 18 H L � x x � x 2; x Vì CH + EH = 11; CH > EH nên CH = 9; HE = AF AE nên AFE AB AC Suy � AFE � ABC b) Ta có cosA = C B ABC (c.g.c) D K � ABC � C/m tương tự ta CFD CBA (c.g.c) suy CFD � Mà � � CFD � BFD � 900 � EFB � BFD � Vậy FB phân giác Do � AFE CFD AFE EFB � góc EFD lại có FA FB nên FA phân giác ngồi tam giác FID Do theo t/c đường phân giác ngồi ta có: IH FI AI FI IH AI IH HD & � � HD FD AD FD HD AD AI AD (1) c) Kẻ qua H đường thẳng song song AS cắt SI L, cắt SD M Ta có SH ML nên cần c/m HM = HL HL HI MH HD (2) MH // SA � (3) SA AI SA AD HL MH � HL MH Từ (1) , (2), (3) suy � SA SA + Tam giác SMH có SH ML; HL HM nên tam giác LSM cân S => SK p/giác + Ta có: HL // SA � góc ISK Câu (2 điểm) x2 z z y y x2 �0 yz x y xz x2 z z y2 y x2 x2 z2 z2 y2 y2 x2 �0 � �0 yz x y xz y z yz x y x y xz xz Cho x, y, z > Chứng minh � x2 x2 � � y2 y2 � � z2 z2 � �� �� �� ��0 �y z x z � �x z x y � �x y y z � �1 � 2�1 � 2� 1 � � x2 � � y � � z � ��0 �y z x z � �x z x y � �x y y z � � x y � 2� yz � 2� zx � x2 � y � z � � y z x z � � x z x y � � � � � � � � � x y y z � x x y x y y y z y z z z x z x �0 � x x y y y z z z x �0 � x x y y y z z z x �0 � x x y y y z z z x �0 �x 2 2 2 � x x y y y y z z z z x x �0 y y z z x �0 (đúng) 2 ============= � �0 � � � ... 2017 b 2017 Ta có: A = 2017 2017 2017 2017 017 a b c a b 20182017 2017 2017 2016 2 015 2 015 2016 Mà a b a b a a b ab b nên A = 52 b)Rút gọn biểu thức A = Đặt... Chứng minh rằng: AI BI CI �6 ID IE IF K A H F E + AH // BC suy I B D + Kẻ qua A đường thẳng song song với BC cắt BE K, cắt CF H C AF AH & AK // BC suy FB BC AE AK EC BC AF AE AH AK HK ... EH nên CH = 9; HE = AF AE nên AFE AB AC Suy � AFE � ABC b) Ta có cosA = C B ABC (c.g.c) D K � ABC � C/m tương tự ta CFD CBA (c.g.c) suy CFD � Mà � � CFD � BFD � 90 0 � EFB �