bài giảng quy hoạch thực nghiệm

Cơ sở nhóm các yếu tố vào trong từng tập hợp - Nhóm các yếu tố theo đặc tính ảnh h ưởng của chúng - Nhóm các yếu tố theo khả năng điều chỉnh trong thực nghiệm - Nhóm các yếu tố theo khả

NỘI DUNG MÔN HỌC QUY HOẠCH THỰC NGHIỆM

CHƯƠNG 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.3.1 Nguyên tắc không lấy toàn bộ trạng thái đầu vào

1.3.2 Nguyên tắc phức tạp dần mô hình toán học

1.3.3 Nguyên tắc đối chứng với nhiễu

1.3.4 Nguyên tắc ngẫu nhiên hóa (sử dụng tối ưu không gian các yếu tố)

1.3.5 Nguyên tắc tối ưu của quy hoạch thực nghiệm

1.4.1 Chọn thông số nghiên cứu

1.4.2 Lập kế hoạch thực nghiệm

1.4.3 Tiến hành thí nghiệm nhận thông tin

1.4.4 Xây dựng và kiểm tra mô hình thực nghiệm

1.4.5 Tối ưu hóa hàm mục tiêu

- Xác định tọa độ điểm cực trị

- Chuyển phương trình bề mặt về dạng chính tắc

- Xác định (kiểm tra) điểm cực trị thuộc loại n ào (cực đại, cực tiểu hay không)?

- Kiểm chứng bằng thực nghiệm

1.5 Ứng dụng của QHTN trong các ng ành công nghệ

1.5.1 Thiết lập các mô tả thống kê

- Xác định các yếu tố ảnh hưởng

- Xác định cấu trúc hệ thực hiện quá tr ình hóa lý

- Xác định các hàm toán mô tả hệ

- Xác định các tham số mô tả thống k ê

- Kiểm tra sự tương hợp của mô tả

1.5.2 Các phương pháp kế hoạch hóa thực nghiệm chủ yếu

- Kế hoạch bậc một hai mức tối ưu

1.6.3 Các dạng mô hình toán của đối tượng công nghệ hóa học

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP LỰA CHỌN CÁC YẾU TỐ ẢNH H ƯỞNG

2.1 Lựa chọn các yếu tố vào (yếu tố độc lập)

2.1.1 Thông tin tiên nghiệm

2.1.2 Kết quả nghiên cứu lý thuyết

2.1.3 Ý kiến chuyên gia

2.1.4 Các thực nghiệm thăm dò, sàng lọc

- Thực nghiệm thăm dò đơn yếu tố

- Thực nghiệm thăm dò đa yếu tố

2.2 Phương pháp chuyên gia

2.2.1 Nội dung phương pháp

2.2.2 Ví dụ

2.3 Các thực nghiệm sàng lọc theo phương án bão hòa

2.4 Các thực nghiệm sàng lọc theo phương án cân đối ngẫu nhiên (phương án siêu bão hòa)

2.4.1 Xây dựng kế hoạch thực nghiệm

2.4.2 Xây dựng biểu đồ sàng lọc

2.4.3 Phân chia tuần tự các yếu tố

2.4.4 Ví dụ 2.2

2.5 Nhóm các yếu tố vào và chọn mục tiêu đánh giá

2.5.1 Cơ sở nhóm các yếu tố vào trong từng tập hợp

- Nhóm các yếu tố theo đặc tính ảnh h ưởng của chúng

- Nhóm các yếu tố theo khả năng điều chỉnh trong thực nghiệm

- Nhóm các yếu tố theo khả năng cho phép về số lượng yếu tố vào của mỗi kế hoạch

- Phân nhóm các yếu tố kết hợp với chọn miền quy hoạch

2.5.2 Chọn mục tiêu đánh giá (các yếu tố ra)

2.6 Ảnh hưởng của các tiên đề của phân tích hồi quy đến sự lựa chọn các yếu tố

độc lập

2.6.1 Tiên đề về tính ổn định của trường nhiễu

2.6.2 Tiên đề về tính bất tương quan của nhiễu

2.6.3 Tiên đề về sai số điều chỉnh yếu tố v ào

2.6.1 Tiên đề về tính độc lập tuyến tính của các yếu tố ảnh h ưởng

CHƯƠNG 3 TÓM TẮT MỘT SỐ KẾT QUẢ V À KHÁI NIỆM CỦA XÁC

SUẤT THỐNG KÊ

3.1 Biến ngẫu nhiên

3.2 Bảng phân phối xác suất và hàm xác suất

3.3 Hàm phân phối xác suất

3.6 Một số phân phối thường gặp (trong quy hoạch thực nghiệm)

3.6.1 Phân phối Poa-xông

3.6.2 Phân phối chuẩn

3.6.3 Phân phối Khi bình phương

3.6.4 Phân phối Student

3.6.5 Phân phối Fisher-Snedecor

3.7 Các đặc trưng mẫu

3.7.1 Kỳ vọng mẫu

3.7.2 Phương sai mẫu thực nghiệm

3.7.3 Phương sai mẫu hiệu chỉnh (điều chỉnh) mẫu thực nghiệm

3.7.4 Phương sai tái hiện (tái sinh)

3.7.5 Phương sai dư

3.7.6 Ước lượng tham số

3.7.7 Ước lượng khoảng

3.8 Kiểm định giả thuyết

3.9 Kiểm định thống kê

3.10 Sai số đo

CHƯƠNG 4 CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH H ỒI QUY TƯƠNG QUAN

4.1 Hồi quy tuyến tính một thông số

4.2 Hồi quy Parabol

4.3 Hồi quy hàm số mũ

4.4 Đánh giá tính mật thiết của liên hệ phi tuyến

4.5 Phương pháp hồi quy nhiều biến

4.6 Phân tích hồi quy dưới dạng ma trận

4.7 Lập phương trình hồi quy bằng phương pháp Bradon

CHƯƠNG 5 QUY HOẠCH TRỰC GIAO

5.1 Quy hoạch trực giao và tính chất

5.3 Kế hoạch thực nghiệm bậc 1 hai mức tối ưu

5.3.1 Kế hoạch bậc 1 hai mức tối ưu toàn phần (Kế hoạch 2k)

5.3.1 Kế hoạch bậc 1 hai mức tối ưu riêng phần (Kế hoạch 2k-p)

5.3.3 Các ưu điểm của kế hoạch bậc một hai mức tối ưu

5.3.4 Tối ưu hóa bằng phương pháp leo dốc theo mặt đáp trị (Bề mặt biểu diễn)5.3.5 Dấu hiệu vùng hầu như ổn định (Vùng dừng)

5.5.1 Mô tả vùng phi tuyến (vùng hầu như ổn định)

5.5.2 Các kế hoạch bậc hai trực giao

5.5.3 Các kế hoạch bậc hai tâm xoay

5.5.4 Các ví dụ

CHƯƠNG 6 CÁC KẾ HOẠCH THỰC NGHIỆM ĐẶC BIỆT

6.1 Phương pháp đơn hình để kế hoạch hóa thực nghiệm v à tối ưu hóa

6.2 Kế hoạch hóa tiến hóa các thực nghiệm

6.3 Kế hoạch thực nghiệm khi nghi ên cứu biểu đồ thành phần-tính chất

6.3.1 Phương pháp mạng đơn hình

6.3.2 Kế hoạch mạnh đơn hình Scheffe

6.3.3 Kế hoạch trung tâm đơn hình

6.3.4 Kế hoạch thực nghiệm khi nghi ên cứu một phần biểu đồ

6.3.5 Kế hoạch tối ưu D

6.3.6 Kế hoạch với sự cực tiểu hóa sai số có tính hệ thống

6.3.7 Kế hoạch hóa thực nghiệm khi nghi ên cứu quan hệ phụ thuộc của tính chất v ào

tỷ lệ các cấu tử

CHƯƠNG 7 TỐI ƯU HÓA THỰC NGHIỆM

7.1 Quy hoạch thực nghiệm tìm cực trị

7.1.1 Đặt bài toán

7.1.2 Phương pháp leo dốc Box-Wilson

7.1.3 Phương pháp đơn hình đều tìm cực trị

7.1.4 Quy hoạch thực nghiệm giải bài toán nhiều mục tiêu

7.2 Các phương pháp tối ưu hóa

7.3 Tối ưu hóa nhờ hàm nguyện vọng

7.4 Phương pháp nghiên c ứu bề mặt đáp trị

7.4.1 Tối ưu hóa bằng phương pháp leo dốc theo mặt đáp trị (Bề mặt biểu d iễn)7.4.2 Tối ưu hóa bằng phương pháp nghiên cứu bề mặt biểu diễn (mặt đáp trị)

CHƯƠNG 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1 Mở đầu (9)

- Trong thực tế ta thường gặp các bài toán nghiên cứu tính chất hoặc chất l ượng củamột hệ thống, hoặc hiệu quả hoạt động của một đối tượng phụ thuộc vào một số cácyếu tố liên quan, chẳng hạn như:

+ Chất lượng thép thường phụ thuộc vào nguyên liệu, các nguyên tố hóa học, thờigian nấu luyện, nhiệt độ,…

+ Sản lượng các sản phẩm và chất lượng các sản phẩm phụ thuộc v ào các yếu tốsản xuất, các nguồn lực, thiết bị , máy móc, vật liệu,…

+ Sự phụ thuộc của biến dạng v ào ứng suất của các kim loại

+ Mòn của chi tiết máy phụ thuộc v ào chế độ làm việc của vật liệu, chất lượng bềmặt

- Trong các bài toán kể trên, nếu có đầy đủ các thông tin t hì ta có thể xây dựng các

mô hình giải tích cho hệ thống và việc khảo sát dáng điệu của hệ thống hoặc t ìm cựctrị được tiến hành theo các phương pháp đ ã biết

- Trong phần này ta sẽ xét phương pháp mô hình hóa trong điều kiện thiếu thông tin,dùng thực nghiệm để xây dựng mô hình và sau đó tìm cách tối ưu nó

Quy hoạch thực nghiệm và phương pháp xử lý thực nghiệm là một phương pháp toánhọc được sử dụng rộng rãi trong học tập và nghiên cứu, bao gồm các lĩnh vực:

+ Lý thuyết quy hoạch và phương pháp thực nghiệm

+ Lý thuyết hệ thống

+ Lý thuyết thống kê

+ Lý thuyết tối ưu hóa và ứng dụng

Nhằm chọn một chiến lược tối ưu, trong điều kiện chưa hiểu biết một cách toàndiện một quá trình nào đó tác động vào quá trình tiến hành thực nghiệm, đồng thờiphải thu được:

+ Các số liệu cần thiết

+ Số lượng thí nghiệm ít nhất

+ Độ tin cậy đặt ra trước

+ Công thức toán học đơn giản nhất

+ Đạt kết quả với hiệu quả kinh tế, kỹ thuật cao nhất

- Công việc của quy hoạch thực nghiệm l à đi xây dựng mô hình hồi quy dạng:

y=f(x1, x2,…,xn, a1, a2,…am)

Trong đó: a1, a2,…,am là các tham số

x1, x2,…,xn là các biến số (thông số ảnh hưởng đến quá trình)

Dựa vào các kết quả thực nghiệm ta xác định đ ược các tham số a1, a2,…,am ta gọi

đó là đi nhận dạng mô hình thống kê đó Phương trình nhận được gọi là phương

trình hồi quy thực nghiệm của hệ thống t ương ứng với bộ thí nghiệm đã cho

Phương trình hồi quy thực nghiệm phụ thuộc v ào bộ n thí nghiệm, phương pháp

nhận dạng mô hình thống kê Như vậy cần phải có chiến l ược tác động vào cácyếu tố vào, xây dựng bộ n thí nghiệm sao cho mô h ình thu được:

- Đạt độ tin cậy đặt ra

- Đủ thông tin cần thiết

- Thuận tiện xử lý thông tin và tìm cực trị

- Dễ dàng sử dụng các công cụ tính toán hiện có

1.2 Những khái niệm cơ bản của QHTN (13)

1.3 Các nguyên tắc cơ bản của QHTN (18)

1.3.1 Nguyên tắc không lấy toàn bộ trạng thái đầu vào

1.3.2 Nguyên tắc phức tạp dần mô hình toán học

1.3.3 Nguyên tắc đối chứng với nhiễu

1.3.4 Nguyên tắc ngẫu nhiên hóa (sử dụng tối ưu không gian các yếu tố)

1.3.5 Nguyên tắc tối ưu của quy hoạch thực nghiệm

1.4 Thuật toán (các bước) của QHTN (21)

1.4.1 Chọn thông số nghiên cứu

1.4.2 Lập kế hoạch thực nghiệm

1.4.3 Tiến hành thí nghiệm nhận thông tin

1.4.4 Xây dựng và kiểm tra mô hình thực nghiệm

1.4.5 Tối ưu hóa hàm mục tiêu

- Xác định tọa độ điểm cực trị

- Chuyển phương trình bề mặt về dạng chính tắc

- Xác định (kiểm tra) điểm cực trị thuộc loại n ào (cực đại, cực tiểu hay không)?

- Kiểm chứng bằng thực nghiệm

1.5 Ứng dụng của QHTN trong các ngành công nghệ (25)

1.5.1 Thiết lập các mô tả thống kê

- Xác định các yếu tố ảnh hưởng

- Xác định cấu trúc hệ thực hiện quá trình hóa lý

- Xác định các hàm toán mô tả hệ

- Xác định các tham số mô tả thống kê

- Kiểm tra sự tương hợp của mô tả

1.5.2 Các phương pháp kế hoạch hóa thực nghiệm chủ yếu

- Kế hoạch bậc một hai mức tối ưu

- Một nguyên bản có thể có nhiều mô hình tùy thuộc vào chủ thể cần giải quyết

1.6.2 Mô hình toán

- Một mô hình toán là biểu diễn toán học những mặt chủ yếu của 1 nguyên bảntheo một nhiệm vụ nào đó, trong phạm vi giới hạn với 1 độ chính xác vừa đủ và trong

1 dạng thích hợp cho sự vận dụng

- Một mô hình toán của một nguyên bản phải có 4 điều kiện:

+ Chỉ mô tả những mặt chính mà chủ thể quan tâm

+ Mô tả trong phạm vi giới hạn

+ Độ chính xác vừa đủ

+ Khả năng vận dụng mô hình đã được lập trong điều kiện cụ thể

1.6.3 Các dạng mô hình toán của đối tượng công nghệ hóa học

- Xét mô hìmh thống kê thực nghiệm trong hoá học, công nghệ hóa học người

ta xây dựng quan hệ giữa các đại lượng trên cơ sở thiết lập các quan hệ trên việc xử

lý thống kê những giá trị thực nghiệm

- Để xác lập mô tả thống kê của đối tượng công nghệ hóa học cần thực hiệnnhững bước sau:

+ Xác định số các yếu tố độc lập ảnh hưởng lên hệ, tức là số yếu tố ảnh hưởng(k) lên 1 hay nhiều hàm mục tiêu

+ Xác định cấu trúc của hệ sẽ được mô hình hoá

+ Xác định các hàm toán mô tả các quá trình xảy ra trong hệ, và đó thường làhàm nhiều biến và được biểu diễn : y = f( x1,x2,…,xk)

+ Xác định các thông số mô hình theo số liệu thực nghiệm

+ Kiểm tra sự tương thích của mô hình

1.7 Tối ưu hóa

- Để đánh giá điểm tối ưu cần chọn chuẩn tối ưu (là các tiêu chuẩn công nghệ)

1.7.2 Cách biểu diễn bài toán tối ưu

- Giả sử một hệ thống công nghệ được biểu diễn dưới dạng sau:

Y = F(x1,x2, xk)

Trong đó: (x1,x2,…,xk) là vectơ các thông số đầu vào

Hàm mục tiêu : I = I (x1,x2,…xk)Bài toán được biểu diễn Iopt= opt I (x1,x2,…xk) =I (x1opt, x2opt,…xkopt)

hoặc Iopt= max I ( x1,x2,…xk) : đối với bài toán max

Iopt= min I (x1,x2,…xk) : đối với bài toán min

Iopt: hiệu quả tối ưu

(x1opt,x2opt,…xk)nghiệm tối ưu hoặc phương án tối ưu

1.7.3 Thành phần cơ bản của bài toán tối ưu

1.7.3.1 Hàm mục tiêu

- Là hàm phụ thuộc

- Được lập ra trên cơ sở tiêu chuẩn tối ưu đã được lựa chọn

→ Hàm mục tiêu là hàm thể hiện kết quả mà người thực hiện phải đạt được là tiêu

chuẩn tối ưu ở dạng hàm, phụ thuộc vào yếu tố đầu vào, giá trị của nó cho phép đánhgiá chất lượng của 1 nghiên cứu

1.7.3.2 Quan hệ giữa các đại lượng

- Các biểu thức toán học mô tả các mối quan hệ giữa tiêu chuẩn tối ưu hoá(hàm mục tiêu) và các thông số ảnh hưởng (thông số cần tối ưu) đến giá trị tiêu chuẩntối ưu hoá này

- Các quan hệ này thường được biểu diễn bằng phương trình cơ bản hoặc môhình thống kê thực nghiệm (phương trình hồi qui)

- Quan hệ giữa các yếu tố ảnh hưởng với nhau được biểu diễn bằng đẳng thứchoặc bất đẳng thức

1.7.3.3 Các điều kiện ràng buộc

- Để bài toán công nghệ có ý nghĩa thực tế , các biểu thức mô tả điều kiện ràngbuộc bao gồm:

- Điều kiện biên

- Điều kiện ban đầu

1.7.4 Các bước giải bài toán tối ưu:

1 Đặt vấn đề công nghệ: xem xét công nghệ cần được giải quyết là công nghệ gì và

chọn ra những yếu tố ảnh hưởng chính Chỉ ra được hàm mục tiêu Y : Y→MAX,hoặc Y→MIN

2 Xây dựng mối quan hệ giữa các yếu tố ảnh hưởng và hàm mục tiêu theo qui luật biết trước hoặc mô hình thống kê thực nghiệm.

3 Tìm thuật giải: là phương pháp để tìm nghiệm tối ưu của các bài toán công nghệ

trên cơ sở các mô tả toán học tương thích đã được thiết lập Đa số dẫn đến tìm cực trịcủa các hàm mục tiêu

4 Phân tích và đánh giá kết quả thu được

- Nếu phù hợp → kiểm chứng bằng thực nghiệm

- Nếu không phù hợp→ xem lại từng bước hoặc làm lại từ việc đặt vấn đề

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP LỰA CHỌN CÁC YẾU TỐ ẢNH H ƯỞNG

2.1 Lựa chọn các yếu tố vào (yếu tố độc lập) (53)

2.1.1 Thông tin tiên nghiệm

2.1.2 Kết quả nghiên cứu lý thuyết

2.1.3 Ý kiến chuyên gia

2.1.4 Các thực nghiệm thăm dò, sàng lọc

- Thực nghiệm thăm dò đơn yếu tố

- Thực nghiệm thăm dò đa yếu tố

2.2 Phương pháp chuyên gia (56)

2.2.1 Nội dung phương pháp

2.2.2 Ví dụ

2.3 Các thực nghiệm sàng lọc theo phương án bão hòa (60)

2.4 Các thực nghiệm sàng lọc theo phương án cân đối ngẫu nhiên (phương án siêu bão hòa) (64)

2.4.1 Xây dựng kế hoạch thực nghiệm

2.4.2 Xây dựng biểu đồ sàng lọc

2.4.3 Phân chia tuần tự các yếu tố

2.4.4 Ví dụ 2.2

2.5 Nhóm các yếu tố vào và chọn mục tiêu đánh giá (75)

2.5.1 Cơ sở nhóm các yếu tố vào trong từng tập hợp

- Nhóm các yếu tố theo đặc tính ảnh h ưởng của chúng

- Nhóm các yếu tố theo khả năng điều chỉnh trong thực nghiệm

- Nhóm các yếu tố theo khả năng cho phép về số l ượng yếu tố vào của mỗi kế hoạch

- Phân nhóm các yếu tố kết hợp với chọn miền quy hoạch

2.5.2 Chọn mục tiêu đánh giá (các yếu tố ra)

2.6 Ảnh hưởng của các tiên đề của phân tích hồi quy đến sự lựa chọn các yếu tố

độc lập (80)

2.6.1 Tiên đề về tính ổn định của trường nhiễu

2.6.2 Tiên đề về tính bất tương quan của nhiễu

2.6.3 Tiên đề về sai số điều chỉnh yếu tố v ào

2.6.4 Tiên đề về tính độc lập tuyến tính của các yếu tố ảnh h ưởng

CHƯƠNG 3 TÓM TẮT MỘT SỐ KẾT QUẢ V À KHÁI NIỆM CỦA XÁC

SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG 3.1 Biến ngẫu nhiên (BNN)

+ Định nghĩa: Là đại lượng phụ thuộc vào kết cục (kết quả) của một phép thử ngẫu

nhiên nào đó (giá trị của nó mang lại một cách ngẫu nhi ên, sự xuất hiện không được

biết trước)

Ký hiệu: X, Y, …

x, y,…là giá trị của BNN đó

VD: Nhiệt độ của một phản ứng hóa học trong một khoảng thời gian nào đó là mộtbiến ngẫu nhiên Giá trị của nó nhận giá trị trong khoảng [t,T] n ào đó

+ Phân loại: BNN rời rạc và BNN liên tục.

- BNN rời rạc: tập giá trị của nó l à một tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm đ ược cácphần tử (số cuộc điện thoại trong một đơn vị thời gian, số tai nạn giao thông, số lao

động của một công ty,…)

- BNN liên tục: tập giá trị của nó lấp kín một khoảng tr ên trục số (huyết áp củabệnh nhân, độ dài của chi tiết máy, nhiệt độ, áp suất,…)

3.2 Bảng phân phối xác suất và hàm xác suất

-Đối với BNN rời rạc, mỗi giá trị của nó đ ược gắn với một xác suất đặc tr ưngcho khả năng BNN nhận giá trị đó, Pi=P(X=xi)

3.3 Hàm phân phối xác suất: F(x)

F(x) được xác định như sau:

DX=E(x-EX)2 ; (x-EX) là độ lệch của biến X so với trung b ình của nó.

Phương sai chính là trung b ình của bình phương độ lệch đó Phương sai đặc trưng cho

độ phân tán của BNN quanh trị trung b ình của nó Phương sai càng lớn thì độ bấtđịnh của biến tương ứng càng lớn

3.6 Một số phân phối thường gặp (trong quy hoạch thực nghiệm)

3.6.1 Phân phối Poa-xông:

Biến ngẫu nhiên X được gọi là tuân theo luật phân phối Poa-xông (X~P(λ)) nếuhàm xác suất của nó có dạng:

3.6.2 Phân phối chuẩn (Phân phối Gauss-Đức)

X~N(a, δ2) nếu hàm mật độ f(x) có dạng:

2 2

( ) / 2 1

Trong thống kê người ta thường gặp bài toán sau:

Cho n BNN độc lập, Xi (i=1,n), mỗi Xi có phân phối chuẩn dạng Xi Є N(0,1)

( )

2 ( ) 2

3.6.4 Phân phối Student

Cho U, V là hai biến NN độc lập, UЄN(0,1), V là BNN có phân phối khi bình

phương X2(n bậc tự do), xét biến

( ) U

T n

V n

n

n r

3.6.5 Phân phối Fisher-Snedecor

Cho Z1 và Z2 là hai biến NN độc lập có phân phối khi bình phương với n1 và n2

bậc tự do, Z1ЄX2(n1), Z2ЄX2(n2) Xét BNN:

F=(Z1/n1)/(Z2/n2) là PP Fisher-Snedecor với n1, n2 bậc tự do Ký hiệu F(n1, n2)

f(x)= 0 nếu x≤0 và

1 2 2

1 2 2

Mẫu dạng 1: (x1, x2,…,xn)

1

1 n i

n là số lần đo hay quan sát

xi là số đo của đại lượng x ở lần đo thứ i

1

1 ( ) 1

1

1

1 ( ) 1

3.7.4 Phương sai tái hiện (tái sinh)

- Phương sai tái hiện của một thí nghiệm: giả sử thí nghiệm đ ược lặp đi lặp lại

m lần với giá trị thu được là y1, y2,…,ym Khi đó:

2 2

Ví dụ: Tính phương sai tái hiện của một cuộc thí nghiệm tương ứng với những số liệu

thực nghiệm thu được ở bảng sau :

Từ bảng số liệu ta thấy i = 1,2,3; u = 1,2,3…,8; m = 3; N = 8

Để tính phương sai tái hiện của một cuộc thí nghiệm ta lập bảng sau:

Từ kết quả ở bảng 2, ta tính phương sai tái hiện của cuộc thí nghiệm:

1

1 144

8 8

- Là hiệu giữa giá trị thực nghiệm thu đ ược với giá trị tính theo ph ương trình hồiquy của các thông số tối ưu.

2 2

là giá trị trung bình thực nghiệm tại thí nghiệm thứ u

yulà giá trị thực nghiệm trong điều kiện không l àm thí nghiệm lặp

3.7.6 Độ lệch chuẩn (SD)

- Là tham số dùng để xác định độ phân tán của biến ngẫu nhiên có cùng đơn vịvới nó

- Giả sử S2 và 2

1 là phương sai và phương sai điều chỉnh mẫu ngẫu nhiên của

X, khi đó S và S1 được gọi là độ lệch tiêu chuẩn điều chỉnh mẫu thực nghiệm của X

3.7.7 Sai số chuẩn (SE)

- Là tỷ lệ giữa độ lệch chuẩn trung bình mẫu với căn bậc hai của dung lượngmẫu:

- Là thông số thống kê quan trọng để đánh giá mức độ phân tán của mẫu chính

nó biểu thị sai số của số trung bình Sai số ở đây do sự chênh lệch cơ học có hệ thốngcủa số liệu mà phương thức chọn mẫu là một trong những nguyên nhân chính gâynên

- Mục đích chính SE là xác định mức độ phân tán của giá trị trung bình mẫu vàgiới hạn tin cậy của mẫu thực nghiệm

3.7.8 Ý nghĩa của phương sai, độ lệch chuẩn, sai số chuẩn

- Phương sai, độ lệch chuẩn, sai số chuẩn giúp cho ta nhận biết được mức độ

đồng đều của giá trị thực nghiệm

- Nếu phương sai, độ lệch chuẩn, sai số chuẩn nhỏ thì các giá trị thực nghiệmtương đối đồng đều và tập trung xung quanh giá trị trung bình

3.7.9 Ước lượng tham số

Cho BNN X có luật phân phối xác suất đã biết nhưng chưa biết tham số θ nào

đó Ta phải xác định θ dựa trên thông tin thu được từ một mẫu quan sát (x1, x2,…,xn)

của X Quá trình xác định θ chưa biết là quá trình ước lượng tham số

Giá trị tìm được  gọi là ước lượng của . là một giá trị số được gọi là ước

lượng điểm

Để đánh giá một ước lượng là tốt hay không người ta phải so sánh nó với θ thậtnhưng θ thật lại chưa biết nên phải đưa ra các tiêu chuẩn để đánh giá chất lượng của

thống kê  như một xấp xỉ tốt nhất của θ

Các tính chất của ước lượng điểm:

-Ước lượng không chệch: Thống k ê  được gọi là ước lượng không chệch của

θ nếu E()=θ Suy ra E(-θ)=0

-Ước lượng vững: Thống kê  được gọi là ước lượng vững của θ nếu (x1,

x2,…,xn) khi n dần tới vô cùng (xác suất) bằng θ

-Ước lượng hiệu quả: : Thống kê  được gọi là ước lượng hiệu quả của θ nếu

nó là ước lượng không chệch với phương sai bé nhất

3.7.10 Ước lượng khoảng

-Nếu dựa vào thống kê người ta xác định được θ1 và θ2, sao cho với một xácsuất cho trước tham số θ rơi vào khoảng đó thì (θ1, θ2) gọi là khoảng tin cậy với độtin cậy đã cho:

P(θ1< θ< θ2)=1-α

α là mức ý nghĩa

(1- α ) là độ tin cậy

(θ2- θ1): độ dài khoảng tin cậy

- Ước lượng điểm có một nhược điểm là không biết được độ chính xác cũng

như xác suất để ước lượng đó chính xác Nhất l à khi kích thước mẫu nhỏ, sự sai lệch

của ước lượng so với giá trị thật khá l ớn

- Giả sử một phép đo với sai số tin cậy như sau:



| = ∆X = e

Độ tin cậy P là xác suất để kết quả các lần đo rơi vào khoảng tin cậy

( X - e < X < X +e ), tức là P( X - e < X < X +e ) = P=1- α và độ tin cậy thường cho

trước 0,95; 0,99; 0,999;

3.8 Kiểm định giả thuyết

Việc xác định đúng, sai của một giả thuyết đ ược gọi là kiểm định Gọi giảthuyết là Ho thì đối thuyết sẽ là H1 Chấp nhận Ho tức là bác bỏ H1 Hai sai lầm cóthể mắc phải:

Sai lầm loại 1: bác bỏ một giả thuyết đúng.

Sai lầm loại 2: Chấp nhận một giả thuyết sai.

Ta có thống kê Ki, K=K(x1, x2, …, xn) Gi ả thiết K có phân phối xác định khi Ho

đúng và gọi α là xác suất để xảy ra sai lầm loại 1

Chúng ta càng muốn xác suất để xảy ra hai sai lầm tr ên càng bé càng tốt Trongthực tế không thể làm giảm được cả hai xác suất đó vì α tăng thì β giảm và ngược lại.

Thông thường sai lầm loại một dễ kiểm soát v à dễ tính hơn nên người ta hay

chọn trước α như là ngưỡng để xác định xác suất phạm sai lầm loại một luôn luônnhỏ hơn một α đủ bé đó

α= 0,1; 0,05; 0,01; 0,001;…phụ thuộc yêu cầu thực tế và nhà nghiên cứu α là

mức ý nghĩa của quy tắc kiểm định

- BNN y phụ thuộc vào mẫu là một thống kê Mỗi thống kê cho bởi một hàm củamẫu (x1, x2,…,xn); y=g(x1, x2,…,xn) Tùy theo dạng của g mà ta có các thống

kê khác nhau Các thống kê có thể tuân theo một luật phân phối với một bậc tự

do nào đó (dựa vào các định lý về xác suất và thống kê) Để kiểm tra ta tra

bảng

- VD: Xét hai mẫu ON1=(x1, x2, …,xn)

ON2=(x1, x2,…, xn)2

2 2 1

1 2 2

* Các bước kiểm định giả thiết:

Bước 1: Chọn một thống kê liên quan đến Ho: g(x1, x2,…,xn)

Bước 2: Dựa vào các định lý thống kê để biết thống kê đó tuân theo luật phân phối

nào

Bước 3: Chọn mức ý nghĩa α Tra bảng ta sẽ được gα

Bước 4: Dựa vào mẫu tính g

3.9.1 Kiểm tra sự đồng nhất của các ph ương sai (kiểm tra độ hội tụ của các giá trị

thí nghiệm) Phương pháp này chỉ áp dụng trong phương án thí nghiệm songsong (Sử dụng phân phối Cochran)

N là số thí nghiệm trong một cuộc thí nghiệm

f = m-1 là độ tự do ứng với thí nghiệm có phương sai tái hiện lớn nhất

m là số lần lặp của thí nghiệm có phương sai tái hiện lớn nhất

Gb được tìm thấy ở bảng với mức ý nghĩa đã chọn, là điểm gặp nhau giữa hàngbiểu thị số thí nghiệm N và cột biểu thị bậc tự do f

* Các bước tiến hành kiểm tra

- Xác định đại lượng trung bình từ các kết quả của các thí nghiệm song song

- Xác định các phương sai thực nghiệm ( 2

Su ) tại mỗi điểm thí nghiệmtheo công thức (2.9)

max Su là giá trị cực đại của phương sai thực nghiệm thứ u

N là số thí nghiệm trong một cuộc thí nghiệm

- Tra bảng Gb với mức ý nghĩa α đã chọn, số thí nghiệm N và độ tự do f=m-1của điểm thực nghiệm có phương sai tái hiện lớn nhất

- So sánh Gtn và Gb

+ Nếu Gtn < Gb : giả thiết được chấp nhận

+ Nếu Gtn > Gb : giả thiết không được chấp nhận

- Ví dụ: Xác định sự bằng nhau của hai ph ương sai

Giả sử ta có hai mẫu lấy ra từ hai tập gốc

ON1: (x1, x2,…,xn) O N1: (y1, y2,…,yn)

Từ đây ta tính được hai đặc trưng mẫu:

2 1

2

1

1 1

1

( ) 1

N i i

2

2

1 2

1

( ) 1

N i i

2 1 2

Suy ra F có phân phối Fisher với bậc tự do của tử l à : N1-1 và của mẫu N2-1

- Chọn mức ý nghĩa α, tra bảng ta tính được Fα

- Dựa vào mẫu tính được: 2

2 1

s F s

1 2

0, 42

0, 2917 0, 26 0, 36 0, 4 0, 42

m

m

s G

- Mục đích của kiểm tra này là xem các hệ số bjtrong phương trình hồi qui cókhác 0 với một độ tin cậy nào đó hay không.

- Để kiểm tra ý nghĩa của các hệ số trong phương trình hồi qui ta phải sử dụngchuẩn Student (t)

* Các bước tiến hành kiểm tra:

- Tính chuẩn ttntheo công thức: ttn= tj= | j|

bj

b S

bjlà hệ số ứng với yếu tố thứ j trong PTHQ; j = 0,1,2,…

Sbjđộ lệch quân phương của hệ số bj

- Tra bảng tb (P,f)ứng với mức ý nghĩa P chọn trước và f; f là bậc tự do ứng với

phương sai tái hiện của từng phương án mà người nghiên cứu đã chọn

- So sánh tjvà tb

+ Nếu tj> tbhệ số bjcó ý nghĩa và được giữ lại trong PTHQ

+ Nếu tj< tbhệ số bjkhông có ý nghĩa và loại khỏi PTHQ Các hệ số cònlại được tính lại theo phương phápbình phương tối thiểu cho tới khi tất cảchúng đều có nghĩa

 thì mô hình không tương hợp ( không tương thích)

Khi đó ta phải: kiểm tra lại công việc tính toán, kiểm tra lại mô h ình, chọn lại

hàm hồi quy ở mức (bậc) cao hơn

- Dạng PTHQ là do người nghiên cứu tự chọn và các hệ số trong PTHQ đượcxác định dựa trên các số kiệu thực nghiệm Vì vậy cần phải xem xét mô tả toán học

đó có phù hợp với thực nghiệm hay không, và người ta dùng phân phối Fisher (F) với

một mức ý nghĩa nào đó

* Các bước tiến hành kiểm tra:

- Viết PTHQ với các hệ số có nghĩa

- Tính Ftntheo công thức:

2 2

tt th

S Ftn S



Trong đó: Stt là phương sai tương thích

Sthlà phương sai tái hiện (tái sinh) với phương án thí nghiệm tại tâm hoặc với phương

án thí nghiệm song song (lặp)

- Fbtra bảng fb (P, f1,f2)tức là ứng với mức ý nghĩa P đã chọn và bậc tự do f1, f2

- Tiêu chuẩn kiểm định (so sánh Ftnvà Fb)

+ Nếu Ftn< Fbthì PTHQ vừa lập phù hợp với thực nghiệm

+ Nếu Ftn> Fbthì PTHQ vừa lập không phù hợp với thực nghiệm và

làm tiếp các công việc sau:

* Kiểm tra lại công việc tính toán

* Xem lại mô hình nghiên cứu đã đúng chưa

* Chọn mô tả toán học (PTHQ) ở mức cao hơn.

3.10 Sai số đo

- Trong thực nghiệm, những giá trị nhận được là giá trị gần đúng của một giátrị thực Δx = x – a gọi là sai số đo

Với : a là giá trị thực của một vật

x là kết quả quan sát được

Δx là độ lệch giữa a và x

3.10.1 Sai số thô

- Là sai số phạm phải do phá vỡ những điều kiện căn bản của phép đo, hay sơsuất của người thực hiện dẫn đến các lần đo có kết quả khác nhau nhiều Khi pháthiện sai số thô cần thực hiện lại công việc (nếu điều kiện c ho phép)

- Cách khử sai số thô :

+ Kiểm tra các điều kiện cơ bản có bị vi phạm hay không

+ Sử dụng một phương pháp đánh giá (phương pháp toán học loại bỏ sai

số thô với độ tin cậy và hiệu quả nhất định), để loại bỏ hoặc giữ lại những kếtquả không bình thường

3.10.2 Sai số hệ thống

- Là sai số không làm thay đổi trong một loạt phép đo, mà thay đổi theo mộtquy luật nhất định

- Nguyên nhân gây sai số: do không điều chỉnh chính xác dụng cụ đo, hoặc một

đại lượng luôn thay đổi theo một quy luật nào đó, như nhiệt độ…Các sai số này có

thể phát hiện, đo đạc tìm được nguyên nhân và hiệu chỉnh được Thông thường cáckết quả thực nghiệm đều xem nh ư đã phát hiện sai số hệ thống và đã loại bỏ

- Để khắc phục người ta đặt một hệ số hiệu chỉnh ứng với mỗi nguyên nhân

3.10.3 Sai số ngẫu nhiên

- Sai số ngẫu nhiên của phép đo là đại lượng ngẫu nhiên đặc trưng bằng luậtphân phối thể hiện mối quan hệ giữa các giá trị có thể có của sai số và xác suất để sai

số ngẫu nhiên nhận các giá trị ấy

- Là sai số còn lại sau khi đã khử sai số thô và sai số hệ thống

- Sai số ngẫu nhiên do nhiều yếu tố gây ra, tác dụng rất nhỏ, không thể táchriêng ra, vì thế không loại trừ được Nhưng có thể tìm ra quy luật, tính được ảnh

hưởng của chúng đến kết quả thực nghiệm Việc xác định ảnh hưởng của chúng dựa

vào các hiểu biết về quy luật phân phối các đại l ượng ngẫu nhiên

CHƯƠNG 4 CÁC PHƯƠ NG PHÁP PHÂN TÍCH H ỒI QUY TƯƠNGQUAN

4.1 Hồi quy tuyến tính một thông số (33)

4.2 Hồi quy Parabol (37)

4.3 Hồi quy hàm số mũ

4.4 Đánh giá tính mật thiết của liên hệ phi tuyến (38)

4.5 Phương pháp hồi quy nhiều biến (39)

4.6 Phân tích hồi quy dưới dạng ma trận (43)

4.7 Lập phương trình hồi quy bằng phương pháp Bradon (47)

4.8 Các ví dụ (48)

4.9 Phương pháp bình phương cực tiểu (nhỏ nhất)

Phương pháp bình phương cực tiểu là một phương pháp rất cơ bản và hiệu lực

để xử lý các số liệu thực nghiệm v à xây dựng mô hình thống kê cho một lớp khá rộng

lớn các đối tượng nghiên cứu thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau Lời giải của ph ươngpháp BPCT là một mô hình toán học biểu diễn một cách gần đúng đối t ượng thực

4.9.1 Đặt bài toán

Giả sử ta cần nghiên cứu một đại lượng y trong một hệ thống n ào đó Thông

thường, trong hệ ấy một mặt y ph ụ thuộc vào các biến số độc lập x1, x2,…,xk có thểđiều khiển được, mặt khác y còn bị ảnh hưởng của các tác động ngẫu nhi ên  thườngxuyên và không điều khiển được (x1, x2,…,xk) là các biến vào hay các nhân tố,

BNN  gọi là nhiễu y gọi là hàm mục tiêu hay biến ra

Vấn đề là phải tìm mối quan hệ giữa y và (x1, x2,…,xk) Thông thư ờng thì ít nhiều có

trước một thông tin tiên nghiệm về hệ thống đang xét Bởi vậy ng ười ta thường giả

thiết mối quan hệ giữa y và (x1, x2,…,xk) có dạng:

( , , , k; , , , m)

y f x x x    

Trong đó: dạng của hàm f đã biết nhưng còn m tham số θ1, θ2,…, θm chưa biết

Hàm số y



được gọi là mô hình thống kê của hệ thống thực ta đang nghi ên cứu vàđược gọi là phương trình hồi quy thực nghiệm Để giải quyết bài toán này người tadùng phương pháp bình phương cực tiểu Ưu điểm của phương pháp này là không

cần biết tới luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhi ên y Theo phương pháp BPCT,bài toán dẫn về việc xác định các tham số θ1, θ2,…, θm sao cho tổng bình phương

các sai số là nhỏ nhất

2 1

Bản chất: Tìm một đường thẳng d sao cho: Tổng b ình phương các độ lệch giữa tung

độ của đường thí nghiệm với đường thẳng đó là bé nhất

Dựa vào điều kiện cần của cực trị:

y y Y

N

y y Y

b b B

y là ước lượng trúng của y j

Cần kiểm tra lại các giả thiết:

Tại mỗi điểm thí nghiệm thứ I (i=1,N) ta lặp lại n (m) lần đo đ ược n (m) giá trị của

yi1, yi2,…,yin(m) Ta coi đó là một mẫu và tính được:

2 2

Nếu G G thì bác bỏ H0

(2) Kiểm định sự phù hợp của y vừa tìm được

a Xem số biến có bằng k không?

Giả sử hàm y là tuyến tính, xem xét xem những biến n ào ảnh hưởng trực tiếp đến

y, tức là ta xem xét xem những θj nào bằng không

Giả thiết H0: θj=0 Đối thiết H1: θj≠0

Chọn thống kê

Chọn mức ý nghĩa α tra bảng Student ta được tα.

Tính tbj dựa vào mẫu, 2 2  1

Chọn α tra bảng tìm Fα Tính Fdựa vào mẫu

Nếu F F thì công nhận H0, tức là mô hình phù hợp

Nếu F F thì bác bỏ H0, tức là mô hình không phù hợp Phải giả thiết lại mô hình

Có thể không phải tuyến tính mà là bậc hai, bậc 3

Trong trường hợp không có điều kiện tiến hành lặp lại thí nghiệm thì có thể sosánh phương sai dư 2

y

y y s

y du

S F S

 bậc tử N-1, bậc mẫu N-k-1, nếu F càng nhỏ hơn

Fα thì phương sai tái sinh càng chính xác

Thí dụ:

Tìm mô hình biểu diễn sự phụ thuộc giữa y v à hai biến x1, x2 trên cơ sở bảng quan sát

sau: (Thí nghiệm lặp lại n=6)

(1) 9 10 (1) 10 11

2, 32

0, 464 5

5

2, 50

0, 5 5

7

2, 40

0, 480 5

9

2,82

0, 564 5



2 2 2

1 1 (1)

( 1)( 2) ( )

N

i T

N

i i i