1.1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1.1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực...

Ngày 24/08/2008 TiÕt 1-2 §1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I/ Mục tiêu : 1/Kiến thức : HiÓu được định nghĩa và các định lý về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và mối quan hệ này với đạo hàm. 2/Kỹ năng : Biết cách xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên một khoảng dựa vào dấu đạo hàm. 3/ Tư duy thái độ : Tập trung tiếp thu, suy nghĩ phát biểu xây dựng bài. II/ Chuẩn bị : 1/ Giáo viên: giáo án, dụng cụ vẽ. 2/ Học sinh : đọc trước bài giảng. III/ Phương pháp : Đàm thoại, gợi mở, đặt vấn đề. IV/ Tiến trình bài học : 1/ æ n định lớp : kiểm tra sĩ số, làm quen cán sự lớp 2/ Kiểm tra kiến thức cũ(5p) Câu hỏi 1 : N êu định nghĩa đạo hàm của hàm số tại điểm x 0. Câu hỏi 2 : Nêu định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến ở lớp 10 , từ đó nhận xét dấu. tỷ số 12 12 )()( xx xfxf − − trong các trường hợp. GV : Cho HS nhận xét và hoàn chỉnh. GV : Nêu mối liên hệ giữa tỷ số đó với đạo hàm của hàm số y = f(x) tại 1 điểm x ∈ K đồng thời đặt vấn đề xét tính đơn điệu của hàm số trên 1 khoảng, đoạn, nöa khoảng bằng ứng dụng của đạo hàm. 3/ Bài mới. HĐTP1 : Giới thiệu điều kiện cần của tính đơn điệu. HĐ của giáo viên HĐ của học sinh Ghi bảng Giới thiệu điều kiện cần để hàm số đơn điệu trên 1 khoảng I - HS theo dõi , tập trung Nghe giảng I/ Điều kiện cần để hàm số đơn điệu trên khoảng I a/ Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng I thì f / (x) ≥ 0 với ∀ x ∈ I b/ Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng I thì f / (x) ≤ 0 với ∀ x ∈ I HĐTP 2 : Giới thiệu định lí điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên khoảng I Giới thiệu định lí về đk đủ của tính đơn điệu -Nêu chú ý về trường hợp hàm số đơn điệu trên doạn , na khoảng ,nhấn mạnh giả thuyết hàm số f(x) liên tục trên đoạn ,nöa khoảng - Nhắc lại định lí ở sách khoa HS tập trung lắng nghe, ghi chép II/ Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên khoảng I 1/ Định lí : SGK trang 5 2/ chú ý : Định lí trên vẫn đúng Trên đoạn ,nöa khoảng nếu hàm số liên tục trên đó Chẳng hạn f(x)liên tục trên [a;b] Và f / (x)>0 với ∀ x ∈ (a;b) => f(x) Trường THPT Trực Ninh B Giáo viên Phạm Đức Phi Giới thiệu việc biểu diển chiều biến thiên bằng bảng Ghi bảng biến thiên đồng biến trên [a;b] -bảng biến thiên SGK trang 5 HOẠT ĐỘNG 2: Củng cố định lí -Nêu ví dụ -Hướng dẫn các bước xét chiều biến thiên của hàm số Gọi HS lên bảng giải -nhận xét và hoàn thiện Nêu ví dụ 2 Yêu cầu HS lên bảng thực hiện các bước Gọi 1 HS nhận xét bài làm - Nhận xét đánh giá ,hoàn thiện Ghi chép và thực hiện các bước giải Ghi ví dụ thực hiện giải - lên bảng thực hiện - Nhận xét Ví dụ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số y = x 4 – 2x 2 + 1 Giải - TXĐ D = R - y / = 4x 3 – 4x - y / = 0 <=>[ 1 0 ±= = x x - bảng biến thiên x - ∞ -1 0 1 + ∞ y / - 0 + 0 - 0 + y 0 1 0 Hàm số đồng biến trên các khoảng (- 1;0) và (1 ; + ∞ ) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ∞ ;-1) và (0;1) Ví dụ 2: Xét chiều biến thiên của hàm số y = x + x 1 Bài giải : ( HS tự làm) - Bài tậpvề nhà 1 , 2 (SGK) Tiết 2 Nêu ví dụ 3 - yêu cầu học sinh thực hiện các bước giải - Nhận xét , hoàn thiện bài giải - Do hàm số liên tục trên R nên Hàm số liên tục trên (- ∞ ;2/3] và[2/3; + ∞ ) -Kết luận Ghi chép thực hiện bài giải - TXĐ - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT TÍNH BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Chuyên đề Chủ đề 1.1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) xác định K , với K khoảng, nửa khoảng đoạn • Hàm số y = f ( x ) đồng biến (tăng) K ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) • Hàm số y = f ( x ) nghịch biến (giảm) K ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm khoảng K • Nếu hàm số đồng biến khoảng K f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K • Nếu hàm số nghịch biến khoảng K f ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ K Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm khoảng K • Nếu f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ K hàm số đồng biến khoảng K • Nếu f ′ ( x ) < 0, ∀x ∈ K hàm số nghịch biến khoảng K • Nếu f ′ ( x ) = 0, ∀x ∈ K hàm số không đổi khoảng K Chú ý Nếu K đoạn nửa khoảng phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn nửa khoảng đó” Chẳng hạn: Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [ a; b ] có đạo hàm f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ K khoảng ( a; b ) hàm số đồng biến đoạn [ a; b ] Nếu f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K ( f ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ K ) f ′ ( x ) = số điểm hữu hạn K hàm số đồng biến khoảng K ( nghịch biến khoảng K ) B KỸ NĂNG CƠ BẢN Lập bảng xét dấu biểu thức P ( x ) Bước Tìm nghiệm biểu thức P( x ) , giá trị x làm biểu thức P( x ) không xác định Bước Sắp xếp giá trị x tìm theo thứ tự từ nhỏ đến lớn Bước Sử dụng máy tính tìm dấu P( x ) khoảng bảng xét dấu Xét tính đơn điệu hàm số y = f ( x ) tập xác định Bước Tìm tập xác định D Bước Tính đạo hàm y ′ = f ′( x ) Bước Tìm nghiệm f ′( x ) giá trị x làm cho f ′( x ) không xác định Bước Lập bảng biến thiên Bước Kết luận Tìm điều kiện tham số m để hàm số y = f ( x ) đồng biến, nghịch biến khoảng ( a; b ) cho trước Cho hàm số y = f ( x, m) có tập xác định D, khoảng (a; b) ⊂ D : Hàm số nghịch biến (a; b) ⇔ y ' < 0, ∀x ∈ (a; b) Hàm số đồng biến (a; b) ⇔ y ' > 0, ∀x ∈ (a; b) http://megabook.vn/ Chú ý: Riêng hàm số đa thức : Hàm số nghịch biến (a; b) ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ (a; b) Hàm số đồng biến (a; b) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) * Nhắc lại số kiến thức liên quan: Cho tam thức g ( x ) = ax + bx + c (a ≠ 0) a > a) g ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ∆ ≤ a < c) g ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ∆ ≤ a < b) g ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ∆ > a < d) g ( x ) < 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ∆ < Chú ý: Nếu gặp tốn tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng (a; b) : Bước 1: Đưa bất phương trình f ′( x ) > (hoặc f ′( x ) < ), ∀x ∈ (a; b) dạng g ( x ) > h(m) (hoặc g ( x ) < h(m) ), ∀x ∈ (a; b) Bước 2: Lập bảng biến thiên hàm số g ( x) (a; b) Bước 3: Từ bảng biến thiên điều kiện thích hợp ta suy giá trị cần tìm tham số m Sử dụng tính đơn điệu cửa hàm số để giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình: Đưa phương trình, bất phương trình dạng f ( x) = m f ( x) ≥ g (m) , lập bảng biến thiên f ( x) , dựa vào BBT suy kết luận C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu x +1 Khẳng định khẳng đinh đúng? 1− x A Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) ∪ (1; +∞ ) Cho hàm số y = B Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) ∪ (1; +∞ ) Câu C Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) , (1; +∞ ) D Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) , (1; +∞ ) Cho hàm số y = − x3 + 3x − x + Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số nghịch biến ℝ B Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) , (1; +∞ ) C Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) nghịch biến khoảng (1; +∞ ) D Hàm số đồng biến ℝ Câu Cho hàm số y = − x + x + 10 khoảng sau: ( ) (I): −∞; − ; ( ) ( ) (II): − 2; ; (III): 0; ; Hỏi hàm số đồng biến khoảng nào? A Chỉ (I) B (I) (II) C (II) (III) Câu D (I) (III) 3x −1 Khẳng định sau khẳng định đúng? −4 + x A Hàm số nghịch biến ℝ B Hàm số nghịch biến khoảng xác định C Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; ) , ( 2; +∞ ) Cho hàm số y = http://megabook.vn/ D Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; − ) , ( −2; +∞ ) Câu Câu Hỏi hàm số sau nghịch biến ℝ ? A h( x) = x − x + B g ( x ) = x + x + 10 x + 4 C f ( x) = − x + x3 − x D k ( x ) = x + 10 x − cos x x2 − 3x + Hỏi hàm số y = nghịch biến khoảng ? x +1 A (−∞; −4) , (2; +∞) B ( −4; ) C ( −∞; −1) , ( −1; +∞ ) Câu Hỏi hàm số y = A (5; +∞) Câu Câu D ( −4; −1) ( −1; ) x3 − x + x − nghịch biến khoảng nào? B ( 2;3) C ( −∞;1) x − 3x + x3 − đồng biến khoảng nào? A (−∞; 0), (1;3) B (1;3) C ℝ D (1;5 ) Hỏi hàm số y = D (−∞;1) Cho hàm số y = ax3 + bx + cx + d Hỏi hàm số đồng biến ℝ nào?  a = b = 0, c > A   a > 0; b − 3ac ≤  a = b = 0, c > C  a b ac < 0; − ≤   a = b = 0, c > B   a > 0; b − 3ac ≥ a = b = c = D  a b ac < 0; − <  Câu 10 Cho hàm số y = x3 + x − x + 15 Khẳng định sau khẳng định sai? A Hàm số nghịch biến khoảng ( −3;1) B Hàm số đồng biến ℝ C Hàm số đồng biến ( −9; −5 ) D Hàm số đồng biến khoảng ( 5; +∞ ) Câu 11 Cho hàm số y = 3x − x Khẳng định sau khẳng định sai? A Hàm số đồng biến khoảng ( 0; ) B Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;0 ) ; ( 2;3) C Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; ) ; ( 2;3) D Hàm số nghịch biến khoảng ( 2;3 ) Câu 12 Cho hàm số y = x + sin x, x ∈ [ 0; π ] Hỏi hàm số đồng biến khoảng nào?  7π A  0;  12   11π  ;π      12   7π 11π B  ;  12 12    ...Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . 5 Chương 1 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa : Giả sử K là một khoảng , một đoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số f xác định trên K được gọi là • Đồng biến trên K nếu với mọi ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 , , x x K x x f x f x ∈ < ⇒ < ; • Nghịch biến trên K nếu với mọi ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 , , x x K x x f x f x ∈ < ⇒ > . 2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu : Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I • Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì ( ) ' 0 f x ≥ với mọi x I ∈ ; • Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì ( ) ' 0 f x ≤ với mọi x I ∈ . 3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu : Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn , f là hàm số liên tục trên I và có đạo hàm tại mọi điểm trong của I ( tức là điểm thuộc I nhưng không phải đầu mút của I ) .Khi đó : • Nếu ( ) ' 0 f x > với mọi x I ∈ thì hàm số f đồng biến trên khoảng I ; • Nếu ( ) ' 0 f x < với mọi x I ∈ thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I ; • Nếu ( ) ' 0 f x = với mọi x I ∈ thì hàm số f không đổi trên khoảng I . Chú ý : • Nếu hàm số f liên tục trên ; a b     và có đạo hàm ( ) ' 0 f x > trên khoảng ( ) ; a b thì hàm số f đồng biến trên ; a b     . • Nếu hàm số f liên tục trên ; a b     và có đạo hàm ( ) ' 0 f x < trên khoảng ( ) ; a b thì hàm số f nghịch biến trên ; a b     . • Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn ; a b     . * Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng ( ) ; a b thì nó đồng biến trên đoạn ; a b     . Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . 6 * Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng ( ) ; a b thì nó nghịch biến trên đoạn ; a b     . * Nếu hàm số f không đổi trên khoảng ( ) ; a b thì không đổi trên đoạn ; a b     . 4. Định lý mở rộng Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I . • Nếu '( ) 0 f x ≥ với x I ∀ ∈ và '( ) 0 f x = chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I ; • Nếu '( ) 0 f x ≤ với x I ∀ ∈ và '( ) 0 f x = chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I . 1.2 DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1 : Xét chiều biến thiên của hàm số . Xét chiều biến thiên của hàm số ( ) y f x = ta thực hiện các bước sau: • Tìm tập xác định D của hàm số . • Tính đạo hàm ( ) ' ' y f x = . • Tìm các giá trị của x thuộc D để ( ) ' 0 f x = hoặc ( ) ' f x không xác định ( ta gọi đó là điểm tới hạn hàm số ). • Xét dấu ( ) ' ' y f x = trên từng khoảng x thuộc D . • Dựa vào bảng xét dấu và điều kiện đủ suy ra Chuyờn KHO ST HM S Luyn thi i hc 2012 DNG 1: XẫT TNH NG BIN- NGHCH BIN CA HM S Bi 1: Xột tớnh ng bin v nghch bin ca cỏc hm s sau: x +1 a) f ( x ) = x - x b) f ( x ) = ( x ẻ ( -1;2 ) ) x2 + Bi gii: a) TX: D = \ {1} c) f ( x ) = x + - x - x2 + 2x =0 (1 - x) ộx = ị y = f / ( x) = ởx = ị y = Bng bin thiờn: Ta cú: f / ( x) = x 0 f/(x) x đ-Ơ lim y = -Ơ, lim- y = +Ơ x đ1+ f(x) lim y = -Ơ, lim y = +Ơ x đ+Ơ x đ1 Kt lun: Hm s ng bin trờn cỏc khong: ( 0;1) , (1;2 ) Hm s nghch bin trờn cỏc khong: ( -Ơ;0 ) , ( 2; +Ơ ) b) TX: D = x + - ( x + 1) x x + 1) - x ( x + 1) ( 1- x x + / Ta cú : f ( x) = = = 2 2 x +1 ( x + 1) x + ( x + 1) x + ị f ( x) = x = ị y = Lp bng bin thiờn: x -1 f/(x) + _ f(x) Kt lun: Hm s ng bin trờn khong: ( -1;1) Hm s nghch bin trờn khong: (1;2 ) c) iu kin: - x -2 Ê x Ê Hay TX: D = [ -2;2] Giỏo viờn: Lấ B BO Trang T Toỏn THPT Phong in Chuyờn KHO ST HM S Ta cú: f ( x) = / x - x2 Luyn thi i hc 2012 - x2 - x = - x2 f / ( x) = - x - x = - x = x ỡ0 Ê x Ê ỡ0 Ê x Ê ịx= 2 ợ4 - x = x ợx = Lp bng bin thiờn: x f'(x) -2 + + _ 2 f(x) -2 Kt lun: ) Hm s nghch bin trờn khong: ( 2;2 ) ( Hm s ng bin trờn khong: -2; Bi 2: Cho hm s y = sin x + cos x ộ pự ộp ự a) Chng minh rng hm s ng bin trờn ờ0; ỳ v nghch bin trờn ;p ỳ 3ỷ ở3 ỷ b) Chng minh rng vi mi m ẻ ( -1;1) , phng trỡnh sin x + cos x = m (*) cú nghim nht thuc on [ 0;p ] Bi gii: a) Hm s liờn tc trờn [ 0;p ] v y / = 2sin x cos x - sin x = sin x ( cos x - 1) , x ẻ ( 0;p ) Vỡ x ẻ ( 0;p ) ị sin x > nờn trờn ( 0;p ) : y / = cos x = Lp bng bin thiờn: x p y' + p x = , x ẻ ( 0;p ) p _ y -1 ộp ự ộ pự Kt lun: Hm s ng bin trờn ờ0; ỳ v nghch bin trờn ;p ỳ 3ỷ ở3 ỷ b) Ta cú: ộ pự ổp "x ẻ ờ0; ỳ , ta cú y ( ) Ê y Ê y ỗ ữ Ê y Ê nờn phng trỡnh (*) khụng cú nghim vi ố3ứ 3ỷ m ẻ ( -1;1) Giỏo viờn: Lấ B BO Trang T Toỏn THPT Phong in Chuyờn KHO ST HM S Luyn thi i hc 2012 ộp ự ổp "x ẻ ;p ỳ , ta cú y ( p ) Ê y Ê y ỗ ữ -1 Ê y Ê Theo nh lý v giỏ tr trung gian ca ở3 ỷ ố3ứ 5ử ổ ổp hm s liờn tc m ẻ ( -1;1) è ỗ -1; ữ , tn ti mt s thc c ẻ ỗ ;p ữ cho y ( c ) = 4ứ ố ố3 ứ ộp ự S c l nghim ca phng trỡnh sin x + cos x = m v vỡ hm s nghch bin trờn ;p ỳ ở3 ỷ nờn trờn on ny, phng trỡnh (*) cú nghim nht Kt lun: Phng trỡnh ó cho cú nghim nht thuc on [ 0;p ] DNG 2: HM S N IU TRấN D è Phng phỏp: S dng iu kin cn v ca tớnh n iu: ã Hm s y = f ( x ) ng bin trờn D f / ( x ) 0, "x ẻ D ã Hm s y = f ( x ) nghch bin trờn D f / ( x ) Ê 0, "x ẻ D Lu ý: Du = ch xóy ti hu hn im Bi 1: Tỡm m hm s y = x + m cos x ng bin trờn Bi gii: TX: D = Ta cú: y / = - m sin x hm s ng bin trờn y / 0, "x ẻ Cỏch 1: y / = - m sin x 0, "x ẻ m sin x Ê 1, "x ẻ (1) * Vi m = thỡ (1) luụn ỳng 1 * Vi m > thỡ (1) sin x Ê , "x ẻ < m Ê m m 1 * Vi m < thỡ (1) sin x , "x ẻ Ê -1 -1 Ê m < m m Kt lun: Cỏc giỏ tr m tha y.c.b.t l -1 Ê m Ê Cỏch 2: y / = - m sin x 0, "x ẻ y / = {1 - m;1 + m} ỡ1 - m -1 Ê m Ê ợ1 + m Kt lun: Cỏc giỏ tr m tha y.c.b.t l -1 Ê m Ê Bi 2: Tỡm m cỏc hm s sau õy n iu trờn cỏc khong ó ch ra: a) y = f ( x ) = - x + x + ( m + 1) x - 3m + nghch bin trờn m+2 b) y = f ( x ) = x - ( m + ) x + ( m - ) x + m - nghch bin trờn Bi gii: a) TX: D = Ta cú: y / = - x + x + m + cú D / = m + v a = -1 < Hm s y = f ( x ) nghch bin trờn ch y / Ê 0, "x ẻ Giỏo viờn: Lấ B BO Trang T Toỏn THPT Phong in Chuyờn KHO ST HM S Luyn thi i hc 2012 ỡa < y.c.b.t / D / Ê 2m + Ê m Ê ợD Ê Kt lun: Vy cỏc giỏ tr m cn tỡm l m Ê - b) TX: D = Ta cú: y / = ( m + ) x - ( m + ) x + m - cú D / = m + v a = -1 < Hm s y = f ( x ) nghch bin trờn ch y / Ê 0, "x ẻ TH 1: m = -2 lỳc ú y / = -10 < 0, "x ẻ suy hm s y = f ( x ) nghch bin trờn TH 2: Xột m -2 Lỳc ú: ỡa < ùỡm + < y.c.b.t / m < -2 + < 10 m ) ( D Ê ù ợ ợ Kt lun: Vy cỏc giỏ tr m cn tỡm l m Ê -2 Chỳ ý: 1) Nu y / = ax + bx + c thỡ: ộ ỡa = b = ộ ỡa = b = ờớ ờớ ợc ợc Ê * y / 0, "x ẻ * y / Ê 0, "x ẻ ờ ỡa > ỡa < ờớ ờớ ờở ợD Ê ởờ ợD Ê 2) Hm s ng bin ( hoc nghch bin ) trờn D thỡ hm s phi xỏc nh trờn D mx + Bi 3: Tỡm m hm s y = nghch bin trờn ( -Ơ;1) x+m Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Chuyên đề: Hàm số A Tóm tắt lí thuyết I KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) Định lý 1: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm K a) Nếu hàm số f (x) đồng biến K f '(x)  với x  K b) Nếu hàm số f (x) nghịch biến K f '(x)  với x  K  [ f(x) đồng biến K]  [ f '(x)  với x  K ]  [ f(x) nghịch biến K]  [ f '(x)  với x  K ] [ f '(x)  với x  K ]  [ f(x) không đổi K] 2) Định lý 2: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm K a) Nếu f '  x   với x  K hàm số f (x) đồng biến K b) Nếu f '  x   với x  K hàm số f (x) nghịch biến K c) Nếu f '  x   với x  K hàm số f (x) không đổi K  [ f '(x)  với x  K ]  [ f(x) đồng biến K]  [ f '(x)  với x  K ]  [ f(x) nghịch biến K] 3) Định lý 3: (Định lý mở rộng) Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm K a) Nếu f '  x   với x  K f '  x   số điểm hữu hạn thuộc K hàm số f (x) đồng biến K b) Nếu f '  x   với x  K f '  x   số điểm hữu hạn thuộc K hàm số f (x) nghịch biến K 4) Định lý 4: Cho hàm số bậc ba y  f  x   ax  bx  cx  d  a   , ta có f '  x   3ax  2bx  c a) Hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d  a   đồng biến R  f '  x   3ax  2bx  c  x  R b) Hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d  a   nghịch biến R  f '  x   3ax  2bx  c  x  R NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 NHẮC LẠI Định lý: Cho tam thức bậc hai f ( x) ax bx c (a 0) ta có:  f ( x) x  f ( x) x a 0 a B Phương pháp giải toán Dạng : Định giá trị tham số để hàm số đơn điệu tập hợp X cho trước PHƯƠNG PHÁP B1 Tập xác định: D ? B2 Tính y ' ? B3 Lập luận: y đồng biến X y' 0, x X y nghịch biến X y' 0, x X Chú ý quan trọng: Trong điều kiện dấu xảy phương trình y' có hữu hạn nghiệm, phương trình y ' có vô hạn nghiệm điều kiện dấu CÁC VÍ DỤ Ví dụ Cho hàm số y  (m  m) x  2mx  3x  Tìm m để hàm số đồng biến R Bài giải: ♦ Tập xác định: D  R ♦ Đạo hàm: y '  (m  m) x  4mx  ♣ Hàm số đồng biến R  y '  x  R m  m  ♥ Trường hợp 1: Xét m2  m    + Với m  , ta có y '   0, x  R , suy m  thỏa + Với m  , ta có y '  x    x   , suy m  không thỏa NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 m  , đó: m  ♥ Trường hợp 2: Xét m2  m     '  m2  3m  ♣ y '  x  R    m  m  3  m     3  m  m   m  ♦ Từ hai trường hợp trên, ta có giá trị m cần tìm 3  m   Ví dụ Cho hàm số y  x  3mx  3(m2  1)x  2m  Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng 1;  Bài giải ♦ Tập xác định: D  R ♦ Đạo hàm: y '  3x  6mx  3(m  1) ♣ Hàm số nghịch biến khoảng 1;   y '  x  1;  Ta có  '  9m2  9(m2  1)   0, m Suy y ' có hai nghiệm phân biệt x1  m  1; x2  m  ( x1  x2 ) x  m   Do đó: y '  x  1;   x1    x2      1 m  m   x    ♦ Vậy giá trị m cần tìm  m   Bài tập tương tự Cho hàm số y  x   2m  1 x  6m  m  1 x  Tìm m để hàm số đồng biến khoảng  2;   Đáp số: m Ví dụ Cho hàm số y  x  3x  mx  Tìm m để hàm số đồng biến khoảng  0;   Bài giải ♦ Tập xác định: D  R ♦ Đạo hàm: y '  3x  x  m ♣ Hàm số đồng biến khoảng  0;    y '  , x   0;   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 (có dấu bằng) SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168  3x  x  m  , x   0;    x  x  m , x   0;   (*) ♣ Xét hàm số f ( x) 3x x , x   0;   , ta có: f '( x) 6x ; f '( x) x Bảng biến thiên: x f '( x ) f ( x) ♣ Từ BBT ta suy ra: (*) ♦ Vậy giá trị m cần tìm m m 3  Bài tập tương tự Cho hàm số y   x  3x  3mx  Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng  0;   Đáp số: m Ví dụ Cho hàm số y  mx  7m  xm Tìm m để hàm số đồng biến khoảng xác định Bài giải ♦ Tập xác định: D  R \ m ♦ Đạo hàm: y '  m  7m   x  m Dấu y ' dấu biểu thức m  7m  ♣ Hàm số đồng biến khoảng xác định y '  , x  D (không có dấu bằng) m2  7m   m ♦ Vậy giá trị m cần tìm m  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số Chuyên đề ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT 1 TÍNH BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Chủ đề 1.1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x) xác định K , với K khoảng, nửa khoảng đoạn • Hàm số y = f ( x) đồng biến (tăng) K ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) • Hàm số y = f ( x) nghịch biến (giảm) K ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm khoảng K • Nếu hàm số đồng biến khoảng K f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K • Nếu hàm số nghịch biến khoảng K f ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ K Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm khoảng K • Nếu f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ K hàm số đồng biến khoảng K • Nếu f ′ ( x ) < 0, ∀x ∈ K hàm số nghịch biến khoảng K • Nếu f ′ ( x ) = 0, ∀x ∈ K hàm số không đổi khoảng K  Chú ý  Nếu K đoạn nửa khoảng phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y = f ( x) liên tục đoạn nửa khoảng đó” Chẳng hạn: Nếu hàm số y = f ( x) liên tục đoạn  [ a; b] có đạo hàm f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ K khoảng ( a; b ) hàm số đồng biến đoạn [ a; b] Nếu f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K ( f ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ K ) f ′ ( x ) = số điểm hữu hạn K hàm số đồng biến khoảng K ( nghịch biến khoảng K ) B KỸ NĂNG CƠ BẢN Lập bảng xét dấu biểu thức P ( x ) Bước Tìm nghiệm biểu thức P ( x ) , giá trị x làm biểu thức P ( x ) không xác định Bước Sắp xếp giá trị x tìm theo thứ tự từ nhỏ đến lớn Bước Sử dụng máy tính tìm dấu P ( x ) khoảng bảng xét dấu Xét tính đơn điệu hàm số y = f ( x ) tập xác định Bước Tìm tập xác định D Bước Tính đạo hàm y ′ = f ′( x) Bước Tìm nghiệm f ′( x) giá trị x làm cho f ′( x) không xác định Bước Lập bảng biến thiên Bước Kết luận Tìm điều kiện tham số m để hàm số y = f ( x ) đồng biến, nghịch biến khoảng ( a; b ) cho trước Cho hàm số y = f ( x, m) có tập xác định D, khoảng (a; b) ⊂ D :  Hàm số nghịch biến (a; b) ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ (a; b)  Hàm số đồng biến (a; b) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) a1 x + b1 : cx + d Hàm số nghịch biến (a; b) ⇔ y ' < 0, ∀x ∈ (a; b) Hàm số đồng biến (a; b) ⇔ y ' > 0, ∀x ∈ (a; b)  Chú ý: Riêng hàm số y =   * Nhắc lại số kiến thức liên quan: Cho tam thức g ( x) = ax + bx + c (a ≠ 0) a > a) g ( x) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔  ∆ ≤ a < c) g ( x) ≤ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔  ∆ ≤ a < b) g ( x) > 0, ∀x ∈ ¡ ⇔  ∆ > a < d) g ( x) < 0, ∀x ∈ ¡ ⇔  ∆ <  Chú ý: Nếu gặp toán tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng (a; b) :  Bước 1: Đưa bất phương trình f ′( x) ≥ (hoặc f ′( x) ≤ ), ∀x ∈ ( a; b) dạng g ( x) ≥ h(m) (hoặc g ( x) ≤ h( m) ), ∀x ∈ (a; b)  Bước 2: Lập bảng biến thiên hàm số g ( x) (a; b)  Bước 3: Từ bảng biến thiên điều kiện thích hợp ta suy giá trị cần tìm tham số m Sử dụng tính đơn điệu cửa hàm số để giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình: Đưa phương trình, bất phương trình dạng f ( x ) = m f ( x ) ≥ g (m) , lập bảng biến thiên f ( x) , dựa vào BBT suy kết luận C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM x +1 Khẳng định khẳng đinh đúng? 1− x A Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) ∪ ( 1; +∞ ) Câu Cho hàm số y = B Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) ∪ ( 1; +∞ ) C Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) ( 1; +∞ ) D Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) ( 1; +∞ ) Câu Cho hàm số y = − x + x − 3x + Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số nghịch biến ¡ B Hàm số nghịch biến khoảng ( ... π π A Hàm số giảm  − ;   2  π π B Hàm số tăng  − ;   2  π π C Hàm số không đổi  − ;   2  π  D Hàm số giảm  − ;0   Câu 20 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y =... khẳng định đúng? −4 + x A Hàm số nghịch biến ℝ B Hàm số nghịch biến khoảng xác định C Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; ) , ( 2; +∞ ) Cho hàm số y = http://megabook.vn/ D Hàm số nghịch biến khoảng... 0; − <  Câu 10 Cho hàm số y = x3 + x − x + 15 Khẳng định sau khẳng định sai? A Hàm số nghịch biến khoảng ( −3;1) B Hàm số đồng biến ℝ C Hàm số đồng biến ( −9; −5 ) D Hàm số đồng biến khoảng