Bài tập hàm số lượng giác ngược

Bài tập hàm số lượng giác ngược tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh...

QUÝ NGA : 0906150965 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC HỌ VÀ TÊN ……………………………………………… C©u 1 : Tập xác định của hàm số 3 4cot 2 os2x - 1 x y c + = là : A. \ ; 2 D R k k Z π   = ∈     B. \ ; 2 D R k k Z π π   = + ∈     C. Đáp án khác D. { } \ ;D R k k Z π = ∈ C©u 2 : Tập xác định của hàm số cot 2 os2 4 y x c x π   = − +  ÷   là : A. \ ; 4 2 D R k k Z π π   = − + ∈     B. \ ; 8 2 D R k k Z π π   = + ∈     C. \ ; 4 2 D R k k Z π π   = + ∈     D. Tất cả đều sai. C©u 3 : Tập xác định của hàm số ( ) cot 2y x= − là : A. \ ; 2 D R k k Z π π   = + ∈     B. \ 2 ; 2 D R k k Z π π   = + ∈     C. { } \ 2 ;D R k k Z π = − ∈ D. { } \ ;D R k k Z π π = + ∈ C©u 4 : Tập xác định của hàm số 6 tan3 4cot3y x x= − là A. \ ; 12 D R k k Z π   = ∈     B. \ ; 6 D R k k Z π   = ∈     C. \ ; 3 D R k k Z π   = ∈     D. \ ; 8 D R k k Z π   = ∈     C©u 5 : Tập xác định của hàm số 3sin 5 osx x y c − = là : A. \ ; 2 D R k k Z π π   = + ∈     B. { } \ 0D R= C. { } \ ;D R k k Z π π = + ∈ D. \ 2 ; 2 D R k k Z π π   = + ∈     C©u 6 : Tập xác định của hàm số tan 3 5sin 4 y x x π   = + −  ÷   là : A. \ ; 2 D R k k Z π π   = + ∈     B. \ ; 18 3 D R k k Z π π   = + ∈     C. \ ; 4 D R k k Z π π   = + ∈     D. \ ; 4 3 D R k k Z π π   = + ∈     C©u 7 : Tập xác định của hàm số 3tan 2 1 sin x y x − = + là : A. \ ; 2 D R k k Z π π   = + ∈     B. { } \ ;D R k k Z π = ∈ C. \ 2 ; 2 D R k k Z π π   = − + ∈     D. Đáp án khác C©u 8 : Tập xác định của hàm số siny x= là : 1 A. ( ) 0;D = +∞ B. [ ] 2 ; 2 ;D k k k Z π π π = + ∈ C. [ ) 0;D = +∞ D. ( ] ; ;D k k k Z π π π = + ∈ C©u 9 : Tập xác định của hàm số ( ) tan 1y x= + là : A. \ ; 2 D R k k Z π π   = + ∈     B. \ 2 ; 2 D R k k Z π π   = + ∈     C. \ 1 ; 2 D R k k Z π π   = − + + ∈     D. Đáp án khác C©u 10 : Tập xác định của hàm số 2 osx - 5 3sinx - 4 c y = là : A. \ ; 6 D R k k Z π π   = + ∈     B. \ ; 4 D R k k Z π π   = + ∈     C. \ 2 ; 3 D R k k Z π π   = + ∈     D. Tất cả đều sai 2 ®¸p ¸n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 3 4 Bài tập HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC NGƯỢC Bài 1: Tìm miền xác ñịnh hàm số: y = arccos(2sin x)  x −3 y = arcsin   − lg(4 − x)   y = cot g (π x) + arccos(2 x )  2x  y = arcsin   1+ x   x y = arccos  ln   10  y = arctg − x − ( ) Bài 2: Cho u = + v , y = 10v , x = arcsin y Hãy biểu diễn u hàm biến số x Bài 3: Chứng minh công thức sau: arcsin x + arccos x = π ; arc tgx + arccot gx = π 2 arcsin(− x) = − arcsin x ; arccos(− x) = π − arcsin x ; arc tg (− x) = − arc tgx  x   x  arcsin x = arctg  ( −1 ≤ x ≤ 1) ; arc tgx = arcsin    ( −∞ < x < +∞ ) 2 x x − +     sin ( arccos x ) = − x Từ ñây suy arccos x = arcsin ( ) − x ñược không? Tại sao? Bài 4: Tính:  arcsin   2arccos  π   sin  + arccos     12       tg  arcsin  −      x  sin  arctg  2    x +1  tg  arccos      2x +    5 1 tg  arcsin  13  2 cos 2arctg − 1 1  10 sin  arccos + arccos  4  ( ( ( ) ))      x  cos  arctg  − x2   cos ( arcsin x + arctgx ) 1  11 tg  arcsin + arccos  3  Bài tập Giải tích – Bộ môn Toán – Lý- Khoa Vật Lý, Trường ðại học Sư Phạm TPHCM Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác Lê Xuân Hiếu – 0966004478 lexuhi@yahoo.com.vn 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LƯNG GIÁC  0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 0 6  4  3  2  2 3  3 4  5 6   sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2  2 2  3 2  1 tan 0 3 3 1 3 || ,  3 1 3 3  0 cot || ,  3 1 3 3 0 3 3  1 3 || ,  www.VNMATH.com Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác Lê Xuân Hiếu – 0966004478 lexuhi@yahoo.com.vn 2  180 0 210 0 225 0 240 0 270 0 300 0 315 0 330 0 360 0  7 6  5 4  4 3  3 2  5 3  7 4  11 6  2 sin 0 1 2  2 2  3 2  1 3 2  2 2  1 2  0 cos 1 3 2  2 2  1 2  0 1 2 2 2 3 2 1 tan 0 3 3 1 3 || ,  3 1 3 3  0 cot || ,  3 1 3 3 0 3 3  1 3 || ,  A. Các hệ thức Lượng Giác Cơ Bản   22 sin cos 1 R     tan .cot 1 k ,k Z 2           1 tan k ,k Z cot 2           1 cot k ,k Z tan 2           2 2 1 1 tan k ,k Z 2 cos                2 2 1 1 cot k ,k Z sin         Hệ quả 22 sin 1 cos    22 cos 1 sin    1 tan cot   1 cot tan   www.VNMATH.com Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác Lê Xuân Hiếu – 0966004478 lexuhi@yahoo.com.vn 3 B. Giá Trò Các Cung Góc Liên Quan Đặc Biệt 1. Hai cung đối nhau (Tính đối xứng) 2. Hai cung bù nhau 3. Hai cung khác nhau 2 (Tính tuần hoàn) 4. Hai cung khác nhau  5. Hai cung phụ nhau (Tính tònh tiến) sin x cosx 2      cos x sinx 2      tan x cotx 2      cot x tanx 2      sin( x) sinx tan( x) cos( x) cos tanx cot( x) cotx x           cos( x) cosx tan( x sin( x) sinx ) tanx cot( x) cotx                sin(x 2 ) sinx cos(x 2 ) cosx tan(x 2 ) tanx cot(x 2 ) cotx             sinx sin(x k2 ) cosx cos(x k2 ) tanx tan(x k ) cotx cot(x k )               kZ sin( x) sinx    cos( x) cosx    tan( x) tanx   cot( x) cotx   www.VNMATH.com Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác Lê Xuân Hiếu – 0966004478 lexuhi@yahoo.com.vn 4 C. Bảng giá tri lượng giác 1. Tìm giá trò lượng giác theo bảng Như trên 2. Tìm giá trò lượng giác theo đường tròn lượng giác a. Theo trục sin cos sin O A www.VNMATH.com Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác Lê Xuân Hiếu – 0966004478 lexuhi@yahoo.com.vn 5 b. Theo trục cos cos sin O A www.VNMATH.com Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác Lê Xuân Hiếu – 0966004478 lexuhi@yahoo.com.vn 6 c. Theo trục tan cos sin tan O A www.VNMATH.com Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác Lê Xuân Hiếu – 0966004478 lexuhi@yahoo.com.vn 7 d. Theo trục cot cos sin cot O A www.VNMATH.com Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác Lê Xuân Hiếu – 0966004478 lexuhi@yahoo.com.vn 8 D. Công thức lượng giác 1. Công thức cộng Với mọi cung có số đo ,  ta có: 2. Công thức nhân đôi 3. Công thức nhân ba   cos a b cos cos sin sin         cos cos cos sin sin         sin sin cos cos sin          sin sin cos cos sin          tan tan tan 1 tan .tan             tan tan tan 1 tan .tan             1 tan tan cot tan tan             1 tan tan cot tan tan           sin2 2sin cos     1 sin cos sin 2     22 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin            2 2tan tan2 1 tan    3 sin3 3sin 4sin     3 cos3 4cos 3cos     www.VNMATH.com Bài tập hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác Lê Xuân Hiếu – 0966004478 Ôn tập hàm số lượng giác VD2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau: a y = + 2sinx b y = + cos x c y = sin 3x + Giải a Vì -1 ≤ sinx ≤ nên -2 ≤ 2sinx ≤ ≤ + 2sinx ≤ Vậy giá trị lớn hàm số 5, đạt sinx = ⇔ x= π + kπ , k ∈ Z Giá trị nhỏ hàm số 1, đạt sinx = -1 ⇔ x=- π + kπ , k ∈ Z 2 + cos x ≤ b Vì ≤ cos x ≤ nên ≤ + 3cos x ≤ ≤ 4 Vậy giá trị lớn hàm số , đạt cosx = ± ⇔ x = kπ , k ∈ Z Giá trị nhỏ hàm số , đạt cosx = π ⇔ x = + kπ , k ∈ Z c Vì -1 ≤ sin3x ≤ nên ≤ 2sin3x +5 ≤ ≤ 2sin3x + ≤ Vậy giá trị lớn hàm số , đạt sin3x = π π π ⇔ 3x = + kπ , k ∈ Z ⇔ x = + k , k ∈ Z Giá trị nhỏ hàm số , đạt sin3x = -1 π π π ⇔ 3x = - + kπ , k ∈ Z ⇔ x = - + k , k ∈ Z 2 Phương trình bậc sinx cosx Phương trình có dạng asinx + bcosx = c (1) Cách giải Chia hai vế phương trình (1) cho a + b ta a a +b 2 b sin x + (vì ( Đặt cos α = a +b a a +b a 2 a2 + b2 c cos x = )2 + ( a + b2 b a +b ; sin α = )2 = ) b a2 + b2 (2) Pt (2) trở thành: ⇔ cos α sinx + sin α cosx = sin(x + α ) = c a2 + b2 c a2 + b2 (3) Phương trình (3) phương trình lượng giác Chú ý: • Pt (1) có nghiệm ⇔ pt(3) có nghiệm ⇔ c a2 + b2 ≤1 ⇔ a2 + b2 ≥ c2 Vậy phương trình (1) có nghiệm a2 + b2 ≥ c2 • sinx ± cosx = sin(x ± π ) 4 Phương trình asin2x + bsinx cosx + ccos2x = d Cách giải Cách 1: (áp dụng công thức hạ bậc) asin2x + bsinx cosx + ccos2x = d ⇔ a − cos x sin x + cos x + b + c =d 2 ⇔ bsin2x + (c – a)cos2x = 2d – a – c Cách 2: Nếu cosx = không nghiệm phương trình ta chia hai vế phương trình cho cos2x ≠ ta phương trình bậc hai: a.tan2x + btanx + c = d.(1 + tan2x) ⇔ (a – d).tan2x + btanx + c – d = B Ví dụ tập VD1: Giải phương trình sau: a 2sinx – = b 2tanx – = c ( cotx – 3)(2cosx –1) = d 2sin2x – sin2x = Giải a 2sinx – = ⇔ 2sinx = π   x = + k 2π ⇔  x = π − π + k 2π  ⇔ sinx = π   x = + k 2π (k ∈ Z ) ⇔   x = 3π + k 2π  π ⇔ sinx = sin (k ∈ Z ) π   x = + k 2π (k ∈ Z ) Vậy nghiệm phương trình là:   x = 3π + k 2π  5 b 2tanx – = ⇔ 2tanx = ⇔ tanx = ⇔ x = arctan + k π (k∈ Z) 2 Vậy nghiệm phương trình là: x = arctan + k π (k∈ Z)  cot x − = (1) c ( cotx – 3)(2cosx –1) = ⇔  2 cos x − = (2) π π (1) ⇔ cotx = ⇔ cotx = ⇔ cotx = cot ⇔ x = + k π (k∈ Z) 6 π (2) ⇔ 2cosx =1 ⇔ cosx = ⇔ cosx = cos π   x = + k 2π ⇔ (k ∈ Z )  x = − π + k 2π  π   x = + kπ  π Vậy nghiệm phương trình là:  x = + k 2π   x = − π + k 2π  d 2sin2x – sin2x = ⇔ 2sin2x – 2sinx.cosx = (k ∈ Z ) ⇔ 2sinx(sinx – cosx) = sin x = ⇔ sin x − cos x =  x = kπ ⇔ sin x = cos x  x = kπ ⇔ sin x = sin( π − x)   x = kπ ⇔ (k ∈ Z )  x = π − x + k 2π   x = kπ ⇔ (k ∈ Z )  x = π + kπ   x = kπ (k ∈ Z ) Vậy nghiệm phương trình là:  π x = + kπ  Bài tập 1: Giải phương trình sau: a 4sinx – = b 3cotx + = c - tan(5x + 200) =0 d 2cos3x + = e sin(3x + 1)= π 2π π f cos(x + )= g (2cosx + )(tan(x +100) - ) = h sin2x.cos3x.(tan4x +1)= i 8sinx.cosx.cos2x = j sin2x +2cox = k tan(x +1) – 2008=0 l 3tan2x + tanx = m 4sin2x – sin22x = n - 2sin3x = p cot(x + π ) = q cos2(x – 300) = 4 r 8cos3x – = Bài tập 2*: Giải phương trình sau: a tan3x tanx = b cot2x cot(x + π sin x =0 ) = -1 c + cos x VD2: Giải phương trình sau: a 2sin2x – 5sinx – = b cot22x – 4cot2x +3 = c 2cos2x +3sinx - = d tan4x + 4tan2x - = Giải a 2sin2x – 5sinx – = Đặt t = sinx ( điều kiện -1 ≤ t ≤ 1) thay vào phương trình ta được: 2t – 5t -3 = Với t = - t = (loai ) ⇔ t = − (nhân)  ta π  x = − + k 2π  π (k ∈ Z ) sinx = - ⇔ sinx = sin(- ) ⇔   x = 7π + k 2π  π   x = − + k 2π (k ∈ Z ) Vậy nghiệm phương trình là:   x = 7π + k 2π  b cot22x – 4cot2x -3 = cot x = 2 x = arc cot + kπ ⇔ ⇔ (k ∈ Z ) cot x = 2 x = arc cot + kπ π arc cot + k 2 (k ∈ Z ) π arc cot + k 2 π   x = arc cot + k (k ∈ Z ) Vậy nghiệm phương trình là:   x = arc cot + k π  2  x = ⇔ x =  c 2cos2x +3sinx - = ⇔ 2(1 – sin2x) + 3sinx – = ⇔ – 2sin2x + 3sinx – = ⇔ 2sin2x – 3sinx + = sin x = ⇔ sin x =  π + k 2π (k ∈ Z ) π  x = + k 2π  π (k ∈ Z ) Với sinx Bài 1,2,3,4 tập chương giải tích lớp 11 tập hàm số lượng giác – Sách giáo khoa trang 17 Dethikiemtra.com hướng dẫn bạn giải cho đáp án Có nhiều bạn cho cách giải gắn gon bạn nên ôn lại lý thuyết phần cuối Bài 1:(trang 17 SGK Giải tích lớp 11) Bài Hãy xác định giá trị x đoạn [-π; 3π/2] để hàm số y = tanx ; a) Nhận giá trị ; b) Nhận giá trị ; c) Nhận giá trị dương ; d) Nhận giá trị âm Hướng dẫn giải Bài : a) Trục hoành cắt đoạn đồ thị y = tanx (ứng với x ∈ [-π; 3∏/2]) ba điểm có hoành độ – π ; ; π Do đoạn [-π; 3∏/2] có ba giá trị x để hàm số y = tanx nhận giá trị 0, x = – π; x = ; x = π b) Đường thẳng y = cắt đoạn đồ thị y = tanx (ứng với x ∈ [-π; 3∏/2]) ba điểm có hoành độ ∏/4;∏/4±∏ Do đoạn [-π; 3∏/2] có ba giá trị x để hàm số y = tanx nhận giá trị 1, x=-3π/4; x= π/4; x=5π/4 c) Phần phía trục hoành đoạn đồ thị y = tanx (ứng với x ∈ [-π; 3∏/2]) gồm điểm đồ thị có hoành độ truộc khoảng (-π; -π/2); (0;π/2);(π;3π/2) Vậy đoạn [-π; 3∏/2] , giá trị x để hàm số y = tanx nhận giá trị dương x ∈ (-π; -π/2) ∪ (0;π/2) ∪ (π;3π/2) d) Phần phía trục hoành đoạn đồ thị y = tanx (ứng với x ∈ [-π; 3∏/2]) gồm điểm đồ thị có hoành độ thuộc khoảng (-π/2;0); (π/2;π) Vậy đoạn [-π; 3∏/2] , giá trị x để hàm số y = tanx nhận giá trị dương x ∈ (-π/2;0) ∪ (π/2;π) —– Bài 2:(trang 17 SGK Giải tích lớp 11) Tìm tập xác định hàm số: Hướng dẫn giải Bài : a) Hàm số cho không xác định sinx = Từ đồ thị hàm số y = sinx suy giá trị x x = kπ Vậy hàm số cho có tập xác định R \{kπ, (k ∈ Z)} b) Vì -1 ≤ cosx ≤ 1, ∀x nên hàm số cho không xác định cosx = Từ đồ thị hàm số y = cosx suy giá trị x x = k2π Vậy hàm số cho có tập xác định R \{k2π, (k ∈ Z)} c) Hàm số cho không xác định x-π/3=π/2+kπ ⇔x=5π/6+kπ (k∈ Z) Hàm số cho có tập xác định R \{5π/6+kπ,(k∈ Z)} d) Hàm số cho không xác định x+ π/6= kπ ⇔x=- π/6 + kπ, (k∈ Z).Hàm số cho có tập xác định R\ {- π/6 + kπ, (k∈ Z)} ——Bài 3:(trang 17 SGK Giải tích lớp 11) Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, vẽ đồ thị hàm số y = |sinx| Hướng dẫn giải Bài : Ta có Mà sinx < ⇔ x ∈ (π + k2π , 2π + k2π), k ∈ Z nên lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị hàm số y = sinx khoảng giữ nguyên phần đồ thị hàm số y = sinx đoạn lại ta đồ thị hàm số y = IsinxI ——Bài 4:(trang 17 SGK Giải tích lớp 11) Chứng minh sin2(x + kπ) = sin 2x với số nguyên k Từ vẽ đồ thị hàm số y = sin2x Hướng dẫn giải Bài : Do sin (t + k2π) = sint, ∀k ∈ Z (tính tuần hoàn hàm số f(t) = sint), từ sin(2π + k2π) = sin2x => sin2(tx+ kπ) = sin2x, ∀k ∈ Z Do tính chất trên, để vẽ đồ thị hàm số y = sin2x, cần vẽ đồ thị hàm số đoạn có độ dài π (đoạn [-π/2;π/2] Chẳng hạn), lại tịnh tiến dọc theo trục hoành sang bên phải bên trái đoạn có độ dài π Với x0 ∈ [-π/2;π/2] x = 2x0 ∈ [-π ; π], điểm M(x ; y = sinx) thuộc đoạn đồ thị (C) hàm số y = sinx, (x ∈ [-π ; π]) điểm M’(x0 ; y0 = sin2x0) thuộc đoạn đồ thị (C’) hàm số y = sin2x, ( x ∈ [π/2;π/2]) (h.5) Chú ý rằng, x = 2x0 => sinx = sin2x0 hai điểm M’ , M có tung độ hoành độ M’ nửa hoành độ M Từ ta thấy suy (C’) từ (C) cách “co” (C) dọc theo trục hoành sau : với M(x ; y) ∈ (C) , gọi H hình chiếu vuông góc M xuống trục Oy M’ trung điểm đoạn HM M’ (x/2;y) ∈ (C’) (khi m vạch (C) M’ vạch (C’)) Trong thực hành, ta cần nối điểm đặc biệt (C’) (các điểm M’ ứng với điểm M (C) với hoành độ ∈ { 0; ±π/6;±π/3;±π/2}) ————————Ôn lại lý thuyết hàm số lượng giác Hàm số y = sin x hàm số y = cos x Hàm số y = sin x Hàm số y = cos x Tập xác định : (-∞ ; +∞ ) Tập xác định : (-∞ ; +∞ ) Tuần hoàn với chu kì 2π Tuần hoàn với chu kì 2π Tập giá trị : [-1 ; 1] Tập giá trị : [-1 ; 1] Đồ thị đường hình sin (h.1) Đồ thị đường hình sin (h.1) Đồng biến khoảng ( -π/2 + k2π; π/2 + k2π ) , nghịch Đồng biến khoảng (-π + k2 π ; k2 π) , nghịch biến biến khoảng ( π/2 ++ k2π; 3π/2+k2π) · k ∈ Z Là hàm số lẻ, đồ Hướng dẫn Giải 5,6,7 trang 18 SGK giải tích lớp 11 (Bài tập Hàm số lượng giác) Xem lại: Giải 1,2,3,4 trang 17 SGK giải tích lớp 11 Bài 5:(trang 18 SGK Giải tích lớp 11) Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, tìm giá trị x để cosx = 1/2 Hướng dẫn giải Bài 5: Cosx =1/2 phương trình xác định hoành độ giao điểm đường thẳng y =1/2 đồ thị y = cosx Từ đồ thị biết hàm số y = cosx, ta suy x =±π/3 + k2π, (k ∈ Z), (Các em học sinh nên ý tìm giao điểm đường thẳng cới đồ thị đoạn [-π ; π] thấy đoạn có giao điểm ứng với x=±π/3 sử dụng tính tuần hoàn để suy tất giá trị x x = ±π/3+k2π, (k ∈ Z)) Bài 6:(trang 18 SGK Giải tích lớp 11) Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, tìm khoảng giá trị x để hàm số nhận giá trị dương Hướng dẫn giải Bài 6: Bài Nhìn đồ thị y = sinx ta thấy đoạn [-π ; π] điểm nằm phía trục hoành đồ thị y = sinx điểm có hoành độ thuộc khoảng (0 ; π) Từ đố, tất khoảng giá trị x để hàm số nhận giá trị dương (0 + k2π ; π + k2π) hay (k2π ; π + k2π) k số nguyên tùy ý Bài 7:(trang 18 SGK Giải tích lớp 11) Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, tìm khoảng giá trị x để hàm số nhận giá trị âm Giải: Học sinh tự giải Xem hướng dẫn giải 1,2,3,4: http://dethikiemtra.com/lop-11/bai-tap-sgk-lop-11/giai-bai-1234-trang17-sgk-giai-tich-lop-11-bai-tap-ham-so-luong-giac-d1862.html