Bài tập hàm số lượng giác

Ôn tập hàm số lượng giác VD2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau: a y = + 2sinx b y = + cos x c y = sin 3x + Giải a Vì -1 ≤ sinx ≤ nên -2 ≤ 2sinx ≤ ≤ + 2sinx ≤ Vậy giá trị lớn hàm số 5, đạt sinx = ⇔ x= π + kπ , k ∈ Z Giá trị nhỏ hàm số 1, đạt sinx = -1 ⇔ x=- π + kπ , k ∈ Z 2 + cos x ≤ b Vì ≤ cos x ≤ nên ≤ + 3cos x ≤ ≤ 4 Vậy giá trị lớn hàm số , đạt cosx = ± ⇔ x = kπ , k ∈ Z Giá trị nhỏ hàm số , đạt cosx = π ⇔ x = + kπ , k ∈ Z c Vì -1 ≤ sin3x ≤ nên ≤ 2sin3x +5 ≤ ≤ 2sin3x + ≤ Vậy giá trị lớn hàm số , đạt sin3x = π π π ⇔ 3x = + kπ , k ∈ Z ⇔ x = + k , k ∈ Z Giá trị nhỏ hàm số , đạt sin3x = -1 π π π ⇔ 3x = - + kπ , k ∈ Z ⇔ x = - + k , k ∈ Z 2 Phương trình bậc sinx cosx Phương trình có dạng asinx + bcosx = c (1) Cách giải Chia hai vế phương trình (1) cho a + b ta a a +b 2 b sin x + (vì ( Đặt cos α = a +b a a +b a 2 a2 + b2 c cos x = )2 + ( a + b2 b a +b ; sin α = )2 = ) b a2 + b2 (2) Pt (2) trở thành: ⇔ cos α sinx + sin α cosx = sin(x + α ) = c a2 + b2 c a2 + b2 (3) Phương trình (3) phương trình lượng giác Chú ý: • Pt (1) có nghiệm ⇔ pt(3) có nghiệm ⇔ c a2 + b2 ≤1 ⇔ a2 + b2 ≥ c2 Vậy phương trình (1) có nghiệm a2 + b2 ≥ c2 • sinx ± cosx = sin(x ± π ) 4 Phương trình asin2x + bsinx cosx + ccos2x = d Cách giải Cách 1: (áp dụng công thức hạ bậc) asin2x + bsinx cosx + ccos2x = d ⇔ a − cos x sin x + cos x + b + c =d 2 ⇔ bsin2x + (c – a)cos2x = 2d – a – c Cách 2: Nếu cosx = không nghiệm phương trình ta chia hai vế phương trình cho cos2x ≠ ta phương trình bậc hai: a.tan2x + btanx + c = d.(1 + tan2x) ⇔ (a – d).tan2x + btanx + c – d = B Ví dụ tập VD1: Giải phương trình sau: a 2sinx – = b 2tanx – = c ( cotx – 3)(2cosx –1) = d 2sin2x – sin2x = Giải a 2sinx – = ⇔ 2sinx = π   x = + k 2π ⇔  x = π − π + k 2π  ⇔ sinx = π   x = + k 2π (k ∈ Z ) ⇔   x = 3π + k 2π  π ⇔ sinx = sin (k ∈ Z ) π   x = + k 2π (k ∈ Z ) Vậy nghiệm phương trình là:   x = 3π + k 2π  5 b 2tanx – = ⇔ 2tanx = ⇔ tanx = ⇔ x = arctan + k π (k∈ Z) 2 Vậy nghiệm phương trình là: x = arctan + k π (k∈ Z)  cot x − = (1) c ( cotx – 3)(2cosx –1) = ⇔  2 cos x − = (2) π π (1) ⇔ cotx = ⇔ cotx = ⇔ cotx = cot ⇔ x = + k π (k∈ Z) 6 π (2) ⇔ 2cosx =1 ⇔ cosx = ⇔ cosx = cos π   x = + k 2π ⇔ (k ∈ Z )  x = − π + k 2π  π   x = + kπ  π Vậy nghiệm phương trình là:  x = + k 2π   x = − π + k 2π  d 2sin2x – sin2x = ⇔ 2sin2x – 2sinx.cosx = (k ∈ Z ) ⇔ 2sinx(sinx – cosx) = sin x = ⇔ sin x − cos x =  x = kπ ⇔ sin x = cos x  x = kπ ⇔ sin x = sin( π − x)   x = kπ ⇔ (k ∈ Z )  x = π − x + k 2π   x = kπ ⇔ (k ∈ Z )  x = π + kπ   x = kπ (k ∈ Z ) Vậy nghiệm phương trình là:  π x = + kπ  Bài tập 1: Giải phương trình sau: a 4sinx – = b 3cotx + = c - tan(5x + 200) =0 d 2cos3x + = e sin(3x + 1)= π 2π π f cos(x + )= g (2cosx + )(tan(x +100) - ) = h sin2x.cos3x.(tan4x +1)= i 8sinx.cosx.cos2x = j sin2x +2cox = k tan(x +1) – 2008=0 l 3tan2x + tanx = m 4sin2x – sin22x = n - 2sin3x = p cot(x + π ) = q cos2(x – 300) = 4 r 8cos3x – = Bài tập 2*: Giải phương trình sau: a tan3x tanx = b cot2x cot(x + π sin x =0 ) = -1 c + cos x VD2: Giải phương trình sau: a 2sin2x – 5sinx – = b cot22x – 4cot2x +3 = c 2cos2x +3sinx - = d tan4x + 4tan2x - = Giải a 2sin2x – 5sinx – = Đặt t = sinx ( điều kiện -1 ≤ t ≤ 1) thay vào phương trình ta được: 2t – 5t -3 = Với t = - t = (loai ) ⇔ t = − (nhân)  ta π  x = − + k 2π  π (k ∈ Z ) sinx = - ⇔ sinx = sin(- ) ⇔   x = 7π + k 2π  π   x = − + k 2π (k ∈ Z ) Vậy nghiệm phương trình là:   x = 7π + k 2π  b cot22x – 4cot2x -3 = cot x = 2 x = arc cot + kπ ⇔ ⇔ (k ∈ Z ) cot x = 2 x = arc cot + kπ π arc cot + k 2 (k ∈ Z ) π arc cot + k 2 π   x = arc cot + k (k ∈ Z ) Vậy nghiệm phương trình là:   x = arc cot + k π  2  x = ⇔ x =  c 2cos2x +3sinx - = ⇔ 2(1 – sin2x) + 3sinx – = ⇔ – 2sin2x + 3sinx – = ⇔ 2sin2x – 3sinx + = sin x = ⇔ sin x =  π + k 2π (k ∈ Z ) π  x = + k 2π  π (k ∈ Z ) Với sinx = ⇔ sinx = sin ⇔   x = 5π + k 2π  π  x = + k 2π   5π Vậy nghiệm pt là:  x = + k 2π (k ∈ Z )   x = π + k 2π  Với sinx = ⇔ x = d tan4x + 4tan2x - =  tan x = π ⇔ ⇔ tan x = ±1 ⇔ x = ± + kπ (k ∈ Z )  tan x = −5(loai ) π Vậy nghiệm pt là: x = ± + kπ (k ∈ Z ) Bài tập 3: Giải phương trình sau: a 3cos2x - 5cosx + = b 4sin2x – 4sinx – = c cot2x – 4cotx + = d tan2x + (1 - )tanx - = e 5cos2x + 7sinx – = f tan4x – 4tan2x + = g sin3x + 3sin2x + 2sinx = h cos2x + 9cosx + = i sin22x – 2cos2x + = j 4cos42x – 7cos22x + = VD3: Giải phương trình sau: a sinx + cosx = b cos3x – sin3x = c 3sin2x + 4cos2x = d sinx – cosx = Giải a sinx + cosx = 2 Chia hai vế pt cho + 12 = ta sinx + cosx = 2 π π ⇔ cos sinx + sin cosx = 6 π ⇔ sin(x + ) = π π ⇔ x + = + k2 π π ⇔ x = + k2 π Vậy ngiệm phương trình là: x = π + k2 π b cos3x – sin3x = Chia hai vế pt cho 12 + (−1) = ta cos3x - sin3x = 2 π π ⇔ cos cos3x - sin sin3x = 4 π ⇔ cos(3x + ) = π π ) = cos 4 π = + k 2π π = − + k 2π ⇔ cos(3x + π  3 x + ⇔ 3 x + π  2π  x = k ⇔ (k ∈ Z )  x = − π + k 2π  2π  x = k (k ∈ Z ) Vậy ngiệm phương trình là:   x = − π + k 2π  c 3sin2x + 4cos2x = Chia hai vế pt cho 32 + = ta sin2x + cos2x = 5 Kí hiệu α cung mà sin α = , cos α = ta sin2x cos α + sin α cos2x = ⇔ sin(2x + α ) = π + k2 π π α ⇔ x = - + kπ ⇔ 2x + α = Vậy ngiệm phương trình là: x = π α - + k π (với sin α = , cos α = ) d sinx – cosx = Ta có 2 + (-1)2 = ... cos α sinx + sin α cosx = sin(x + α ) = c a2 + b2 c a2 + b2 (3) Phương trình (3) phương trình lượng giác Chú ý: • Pt (1) có nghiệm ⇔ pt(3) có nghiệm ⇔ c a2 + b2 ≤1 ⇔ a2 + b2 ≥ c2 Vậy phương trình... = kπ ⇔ (k ∈ Z )  x = π + kπ   x = kπ (k ∈ Z ) Vậy nghiệm phương trình là:  π x = + kπ  Bài tập 1: Giải phương trình sau: a 4sinx – = b 3cotx + = c - tan(5x + 200) =0 d 2cos3x + = e sin(3x... 3tan2x + tanx = m 4sin2x – sin22x = n - 2sin3x = p cot(x + π ) = q cos2(x – 300) = 4 r 8cos3x – = Bài tập 2*: Giải phương trình sau: a tan3x tanx = b cot2x cot(x + π sin x =0 ) = -1 c + cos x VD2: