Chứng minh tỉ lệ thức

Phòng giáo dục huyện vĩnh bảo Trờng thcs dũng tiến Nhằm phát triển t duy linh hoạt sáng tạo cho học sinh trong giờ học toán Ngời thực hiện : Nguyễn Thành Ph - ơng Trình độ: Đại học Toán Chức vụ : Hiệu tr ởng Đơn vị : Trờng T.H.C.S Dũng Tiến vĩnh bảo tháng 01 năm 2009 đề tài : "chứng minh tỉ lệ thức bằng nhiều cách khác nhau " nhằm phát triển t duy linh hoạt sáng tạo cho học sinh Nguyễn Thành Phơng A- cơ sở chọn đề tài 1- cơ sở lý luận. Trong việc đổi mới , cải tiến phơng pháp dạy học việc phát huy tính tích cực , chủ động học tập của học sinh có ý nghĩa quan trọng . Bởi vì xét cho cùng , công việc giáo dục phải đợc tiến hành trên cơ sở tự nhận thức , tự hành động . Giáo dục phải đợc thông qua hành động và bằng hành động của bản thân cho nên việc khơi dậy , phát triển ý thức , t duy linh hoạt sáng tạo của ngời học là đờng phát triển tối u giáo dục . Để đáp ứng yêu cầu đó , hiện nay trong giáo dục có nhiều hình thức và phơng pháp dạy học đã đợc nhiều giáo viên áp dụng để phát triển t duy linh hoạt , sáng tạo cho học sinh nh dạy học nêu vấn đề , dạy học theo nhóm , dạy học kiến tạo , dạy học tìm tòi lời giải . ở trờng phổ thông thì dạy toán là dạy hoạt đông toán học .Đối với học sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Giải bài tập toán học ở trờng phổ thông là một phơng tiện rất có hiêụ quả và không thể thay thế đợc trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức , phát triển t duy , hình thành kĩ năng kĩ xảo ứng dụng toán học vào các môn học khác và vào thực tiễn . Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học toán ở tr- ờng phổ thông . Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lợng dạy và học toán . Chúng ta chỉ có thể thông qua hoạt động dạy học giải một số bài toán cụ thể mà dầndần truyền cho học sinh cách thức , kinh nghiệm đề tài : "chứng minh tỉ lệ thức bằng nhiều cách khác nhau " nhằm phát triển t duy linh hoạt sáng tạo cho học sinh Nguyễn Thành Phơng giải toán , hăng say với các bài toán tiến tới nghệ thuật trong việc tìm tòi lời giải. Mặt khác hoạt động dạy toán là một hoạt động đầy tính sáng tạo bản thân nó đòi hỏi và làm bộc lộ ra những nét tính cách và ý chí chúng ta muốn hình thành ở học sinh Không ở đâu mà các sai lầm thiếu sót dù nhỏ về suy luận về tính toán do thiếu cẩn thận lại thể hiện một các rõ ràng và tức khắc bằng ở đây ; không ở đâu mà học sinh thấy đợc sai lầm của mình (hoặc của bạn ) và tìm thấy cách sửa sai lầm của mình (hoặc của bạn ) bằng ở đây; không ở đâu mà học sinh có điều kiện để so sánh con đờng tối u để đi đến chân lý bằng ở đây; không ở đâu mà để giải quyết vấn đề lại phải cần cù , nhẫn nại , khắc phục khó khăn , phải lập luận có căn cứ chính xác bằng ở đây. Và chính trong hoạt động dạy và học giải bài tập toán đã thể hiện rõ đợc mục đích đó. ơ Trong dạy và học giải bài tập toán , thì một trong những phơng pháp đó là tìm ra các lời giải khác nhau cho một bài toán , bởi khi học Trang 3 và giải toán việc tìm thêm những lời giải khác nhau của một bài toán nhiều khi mang đến những điều thú vị cho ngừơi học , từ đó mà thêm yêu thích môn học , hăng say học tập bộ môn toán hơn . ơ G.Polya nhà toán học đồng thời là nhà s phạm ngời Mỹ đã từng nói " Ngay khi một lời giải mà ta đã tìm đợc là đã tốt rồi thì tìm đợc một lời giải khác vẫn có lợi , thật là sung sớng khi thấy rằng kết quả tìm ra đợc xác nhận bằng hai lí luận khác nhau . Có đợc chứng cớ rồi , chúng ta còn muốn tìm thêm chứng cớ nữa cũng nh chúng ta muốn sờ vào một vật mà chúng ta đã trông thâý " . đề tài : "chứng minh tỉ lệ thức bằng nhiều cách khác nhau " nhằm phát triển t duy linh hoạt sáng tạo cho học sinh Nguyễn Thành Phơng Chính vì lẽ đó mà Tôi chọn đề tài " Phát huy tính tích cực của học sinh lớp 7 qua việc chứng minh tỷ lệ thức theo nhiều cách" . 2- cơ sở thực tiễn. Học về tỷ lệ thức có rất nhiều lợi ích : Từ một tỷ lệ thức có thể chuyển thành đẳng thức giữa hai tích . Trong một tỷ lệ thức biết 3 số hạng có thể tìm đợc số hạng thứ 4 Trong dãy tỷ số nếu biết đợc quan hệ giữa các số hạng có thể tính đợc các số hạng đó . Trang 4 Trong chơng II khi học về đại lợng tỷ lệ thuận , đại lợng tỷ lệ nghịch ta thấy tỷ lệ thức là một phơng tiện quan trọng giúp ta giải toán . Trong hình học để học đợc định lí Ta lét , tam giác đồng dạng ( lớp 8) thì không thể thiếu kiến thức về tỉ lệ thức . Trong chơng trình cấp II không có chuyên đề về chứng minh đẳng thức nhng khi nhất là khi học sinh giỏi , học sinh rất hay gặp bài toán chứng minh đẳng thức . Học sinh biết cách chứng minh tỉ lệ thức , từ đó hình dung ra đợc các phơng pháp chứng minh đẳng thức nói chung . [ Khi dạy về phần tỉ lệ thức Tôi thấy học sinh rất hứng thú học đặc biệt là phần chứng minh tỷ lệ thức với nhiều cách làm đa thức, mức độ áp dụng kiến thức vừa phải nhng lại đòi hỏi sự linh hoạt, chính xác và đó là một trong những lý do để học sinh thấy hứng thú. đề tài : "chứng minh tỉ lệ thức bằng nhiều cách khác nhau " nhằm phát triển t duy linh hoạt sáng tạo cho học sinh Nguyễn Thành Phơng Nó vừa phù hợp với khả năng , lại vừa phát huy đợc tính linh động , sáng tạo , vận dụng một cách hợp lý , chính xác của học sinh . Từ thực tế trong quá trình dạy học tôi đã rút ra một số cách chứng minh tỉ lệ thức xin đợc đa ra để các đồng chí và các bạn tham khảo b- nội dung Trang 5 i. Các vấn đề có liên quan tới bàI toán chứng minh và phơng pháp dạy . 1. Thuật ngữ chứng minh đợc hiểu. Chứng minh: là thao tác lôgic dùng để lập luận tính chân thực của phán đoán nào đó nhờ các phán đoán chân thực khác có liên hệ hữu cơ với phán đoán ấy . Chứng minh bao gồm 3 thành phần liên hệ chạt chẽ với nhau : luận đề , luận cứ và luận chứng . Luận đề là những phán đoán cần chứng minh tính chân thực của chúng và trả lời câu hỏi Cần chứng minh cái gì ? Luận cứ : là các luận điểm khoa học hay thực tế chân thực dùng để chứng minh luận đề. Trả lời câu hỏi Dùng cái gì để chứng minh ? Luận chứng là mối liên hệ logic giữa luận cứ và luận đề . đây là quá trình chuyển từ những cáI đã biết thành những cáI cha biết theo một trình tự lôgic có tính quy tắc . Có hai hình thức chứng minh : Chứng minh trực tiếp và chứng minh gián tiếp . Chứng minh trực tiếp là từ các luận cứ chứng tỏ tính chân thực của luận đề. Chứng minh gián tiếp thì tính chân thực đợc rút ra trên cơ sở tính giả dối của phản luận đề . Có hai hình thức chứng minh gián tiếp là chứng minh phản chứng và chứng minh phân liệt . đề tài : "chứng minh tỉ lệ thức bằng nhiều cách khác nhau " nhằm phát triển t duy linh hoạt sáng tạo cho học sinh Nguyễn Thành Phơng Với trình độ học sinh lớp 7 các em đang bớc đầu hình thành và tập suy luận logic chứng minh để chứng minh một định lý , một khẳng định trong hình học , trong đại số với việc chứng minh tỉ lệ thức , Trang 6 thẳng thức , bất đẳng thức. Giáo viên cần cho học sinh thấy loại toán chứng minh là từ những dữ kiện đã cho cùng với những điều đã có và bằng lập luận chứng tỏ khẳng định nào đó đúng . 2. Phơng pháp chung để tìm lời giải bài toán chứng minh . Trong qúa trình dạy về các bàI toán chứng minh đẳng thức , tỉ lệ thức tôi thờng hớng học sinh theo các bớc 4 bớc a. Tìm hiểu nội dung bài toán - Xác định bài toán cần chứng minh gì? (luận đề ) - Đã có cái gì làm cơ sở để chứng minh ( luận cứ) b. Xây dựng chơng trình giải : - Bạn dã gặp bài toán này lần nào cha ? hay gặp ở một dạng hơI khác ? có làm tơng tự đợc không ? - Những điều đã cho của bài toán có liên quan gì tới cái cần chứng minh ? để tìm mối liên quan này cần trả lời câu hỏi : - Định lý , tính chất nào có liên quan đến diều đã cho hoặc cần chứng minh ? - Từ những điều kiện đã cho và những điều có sãn đúng có thể suy ngay ra điều cần chứng minh không? - biến đổi cái cần chứng minh xem nó có liên quan nh thế nào đến các điêù kiện ? có sử dụng đợc các điều kiện đó không? đề tài : "chứng minh tỉ lệ thức bằng nhiều cách khác nhau " nhằm phát triển t duy linh hoạt sáng tạo cho học sinh Trang 7 Nguyễn Thành Phơng - Nếu không! Hãy xét kĩ cái cần chứng minh (hoặc cái đã cho ) nhớ tới những bài toán có liên quan xem có thể sử dụng nó không? có áp dụng đợc kết quả của nó không? có cần đa thêm yếu tố phụ để sử dụng đợc nó không ? hoặc có thể nghĩ ra một bàI toán có liên quan và dễ hơn không? một bàI toán tổng quát ? một trờng hợp riêng ? một bàI chứng minh tơng tự ? bạn có thể chứng minh một phần bàI toán không? Bạn có thể từ các giữ kiện rút ra những yếu tố nào có ích? Bạn có thể nghĩ ra những điều kiện khác giúp bạn chứng minh đợc ? có thể biến đổi đồng thời cả những giữ kiện và cái cần chứng minh sao cho chúng gần nhau hơn khổng? - Bạn đã sử mọi giữ kiện hay cha? đã sử dụng toàn bộ điều kiện hay cha? đã để ý đến mọi định lý tính chất có liên quan hay cha? c . Thực hiện chơng trình giải : Trình bày các bớc giải theo một trình tự hợp lý , lôgic theo hớng đã xây dựng - Từ những dữ kiện bài cho và nhng khangr định đúng đã có suy ra điêù phải chứng minh. - Biến đổi cái cần chứng minh (hoặc một phần của nó) có sử dụng dữ kiện bài cho - Biến đổi đồng thời cả cái cần chứng minh và dữ kiện Hãy kiểm tra lại từng bớc đã đúng cha? Chú ý các sai lầm thờng gặp trong tính toán, biến đổi, và đặc biệt trong dùng dấu <=> , => đề tài : "chứng minh tỉ lệ thức bằng nhiều cách khác nhau " nhằm phát triển t duy linh hoạt sáng tạo cho học sinh Nguyễn Thành Phơng d . kiểm tra và nghiên cứu lời giải - Kiểm tra lại toàn bộ quá trình lập luận Xét xem có sai lầm không ? mỗi khẳng định đa ra có đúng , có căn cứ không? - Còn cách CM nào khác không ? hãy chứng minh? cách nào là tối u nhất ? - Có thể sử dụng kết quả hay phơng pháp đó cho bài toán khác đợc không ? *. Yêu cầu lời giải bài toán chứng minh là - Lời giải phải không có sai lầm - Lập luận phải có căn cứ chính xác - sử dụng các giữ kiện bài cho - lời giải phải đầy đủ ngoài ra yêu cầu lời giải phải ngắn gọn , đơn giản , cách trình bày rõ ràng chặt chẽ . 3. Hình thức thực hiện . Việc thực hiện lời giải một bài toán theo nhiều cách khách nhau không ai phủ nhận vai trò của nó trong việc phát triển t duy linh hoạt, và giáo dục tháI độ cho học sinh . tuy nhiên việc thực hiện nó mất khá nhiều thừi gian nhất là lại tổ chức trên lớp . Chính vì vậy mà một số phơng pháp và hình thức tôI thờng làm là nêu ra vấn đề Trang 8 cho học sinh thảo luận cách CM sau đo yêu cầu học sinh chứng minh ? và hỏi em nào còn cách chứng minh khác ? cho học sinh trình bày và giáo viên lu ý sửa sai cho học sinh và có thể hỏi thêm bằng câu Dựa vào đâu mà có điều đó? đề tài : "chứng minh tỉ lệ thức bằng nhiều cách khác nhau " nhằm phát triển t duy linh hoạt sáng tạo cho học sinh Nguyễn Thành Phơng Trờng hợp học sinh không tìm ra đợc cách khác giáo viên có thể gợi ý, định hớng cho học sinh. Một phơng pháp mà phù hợp cho việc giải, CM một bài toán theo các cách khác nhau là tổ chức hoạt động nhóm dới hình thức thi giã các nhóm . Nhóm nào tìm ra nhiều cách giải đúng nhất nhóm đó thắng. II . Kiến thức 1. Cần cho học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản về tỉ lệ thức . 1- Định nghĩa : Tỉ lệ thức là đẳng thức của 2 tỉ số bằng nhau Dạng tổng quát : d c b a = hoặc a : b= c :d Các số hạng a,d gọi là ngoại tỉ . Các số hạng b,c gọi là nội tỉ . Trang 9 [...]... bc ( b,d 0 ) a c = b d Tính chất hoán vị : Từ tỉ lệ thức ( a,b,c,d 0 ) Ta có thể suy ra ba tỉ lệ thức khác d c = , b a a b = c d ; b d = a c Để dễ nhớ có thể cho học sinh phát biểu bằng lời cách suy ra 3 tỉ lệ thức đó - Đổi chỗ các trung tỷ cho nhau - Đổi chỗ các ngoại tỉ cho nhau - Đổi chỗ trung tỉ và ngoại tỉ cho nhau đề tài : "chứng minh tỉ lệ thức bằng nhằm phát triển t duy linh hoạt Trang... Học sinh nắm chắc đợc các kiến thức cơ bản của tỷ lệ thức và vận dụng các kiến thức đó một cách nhuần nhuyễn - Học sinh nắm đợc phơng pháp chứng minh tỷ lệ thức từ đó các em nắm đợc và vận dụng chứng minh một đẳng thức nói chung không sợ không lúng túng trong việc trình bày bài chứng minh - Khi gặp bài toán dạng tìm gía trị một số, một biểu thức đại số khi cho một tỉ lệ thức có liên quan các em cũng... Tỷ lệ thức này có thể suy ra từ tính chất của tỷ lệ thức 5a 3b = 5c 3d Do đó học sinh có thể nhận ra ngay cách làm : Từ tỷ lệ thức đã cho ta đổi chỗ các trung tỷ và nhân cả hai số hạng của mỗi tỷ số với cùng một số rồi sử dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta suy ra đợc tỷ lệ thức (2)đổi chỗ các trung tỷ của tỷ lệ thức (2) ta suy ra đợc tỷ lệ thức cần chứng minh Từ thí dụ đó cho học sinh chứng minh. .. các ngoại tỉ của tỉ lệ thức này ta sẽ ra đợc tỉ lệ thức cần chứng minh Cách 3 : a c Đặt b = d = k => a = kb ; c = kd Ta có : a b kb b b(k 1) = k 1 (1) = = b b b c d kd d d (k 1) = k 1 = = d d d Từ (1) và (2) suy ra (2) a b c d = d b Nhận xét: Trong cách này để chứng minh a b c d = ta chứng d b minh tỷ số ở hai vế bằng một tỷ số thứ 3 Để làm đợc điều đó ta đặt giá trị chung của tỷ lệ thức đã cho... k 0 I I I Một s ố v í dụ Sau đây tôi xin đa ra các cách chứng minh tỉ lệ thức thông qua một số thí dụ Ta bắt đầu từ những thí dụ đơn giản Trang 11 đề tài : "chứng minh tỉ lệ thức bằng nhằm phát triển t duy linh hoạt nhiều cách khác nhau " sáng tạo cho học sinh Nguyễn Thành Phơng Thí dụ 1 : Cho tỉ lệ thức a c = b d 1 với a,b,c,d 0 Chứng minh rằng : a b c d = b d Cách 1 : Từ a c = b d => ad = bc... có thể chứng minh đợc a c Bài 6: Cho b = d Chứng minh rằng Bài 7 : 7a 2 + 3ab 7c 2 + 3cd = 11a 2 8b 2 11c 2 8d 2 a c Cho định thức b = d (b,d 0) Chứng minh rằng (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d) a c Bài 8 : Chứng minh rằng ta có tỷ lệ thức b = d nếu có ( a + b +c + d ) ( a- b - c +d ) = ( a + b - c- d ) ( a - b + c - d ) giả thiết các tỷ lệ thức đều có nghĩa Thí dụ 5: a +b c +d Cho a b = c d Chứng minh rằng... b 2 + c 2 Chứng minh rằng 4 số a,b,c,d lập thành 1 tỷ lệ thức Bài 11 : Cho a + d = b + c và a 2 + d 2 = b 2 + c 2 Chứng minh rằng 4 số a,b,c,d lập thành 1 tỷ lệ thức ax +by Bài 12 : Cho biểu thức M = cx + dy ( c,d 0 ) Chứng minh rằng nếu giá trị của M không phụ thuộc vào xy thì 4 số a,b,c,d lập thành tỷ lệ thức Bài 13: Cho a 2 + b 2 ab = c 2 + d 2 cd với a,b,c,d 0; c d a c a d Chứng minh rằng... bản của tỉ số Nên a b c d = b d d ( a-b ) = ( c-d ) b a c = b d ad = bc a b c d = b d ta chứng minh d( a-b ) = ( c-d ) do đó để chứng minh b Cách 2 : a c a b a b = => = = b d c d c d c d a b = b d a b Vậy d = c d => b hay a b c d = d b Nhận xét : Trong cách này sau khi hoán vị các trung tỉ ta áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau sẽ xuất hiện tỉ lệ thức đề tài : "chứng minh tỉ lệ thức bằng... c = b d => a c 1 = 1 b d => a b c d = b b d d a b c d = d b => Nhận xét : Trong cách này từ tỷ lệ thức đã cho ta biến đổi dần thành tỷ lệ thức cần chứng minh dựa vào tính chất của đẳng thức thêm (bớt ) vào 2 vế của đẳng thức cùng một số rồi biến đổi ra một đẳng thức đúng đề tài : "chứng minh tỉ lệ thức bằng nhằm phát triển t duy linh hoạt Trang 13 nhiều cách khác nhau " sáng tạo cho học sinh Nguyễn... đó lập thành tỷ lệ thức" Từ đó cho chúng ta một phơng pháp chung thờng dùng để chứng minh các số lập thành tỷ lệ thức cho học sinh làm tiếp các bài toán có yêu cầu tơng tự nhng đòi hỏi phải sử dụng tới nhiều kiến thức khác nhau , cần có sự biến đổi một cách linh hoạt , hợp lý Bài 9: bd Cho a = b + c ; c = c d ( b 0; d 0 ) a c Chứng minh b = d Trang 21 đề tài : "chứng minh tỉ lệ thức bằng nhiều cách . luận đề . Có hai hình thức chứng minh gián tiếp là chứng minh phản chứng và chứng minh phân liệt . đề tài : " ;chứng minh tỉ lệ thức bằng nhiều cách. hình thức chứng minh : Chứng minh trực tiếp và chứng minh gián tiếp . Chứng minh trực tiếp là từ các luận cứ chứng tỏ tính chân thực của luận đề. Chứng minh