Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Giáo viên : Phan Lệ ThuỷChuyên đề chứng minh đẳng thức, tính giá trị biểu thức lớp 9 Bài tập 1... Chứng minh rằng:xyz... Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi
Trang 1Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Giáo viên : Phan Lệ Thuỷ
Chuyên đề chứng minh đẳng thức, tính giá trị biểu thức lớp 9
Bài tập 1 Cho a + b + c = 0, a, b, c # 0 Chứng minh hằng đẳngthức:
c b a c b a
1 1 1 1 1 1
2 2
ca bc ab ca
bc ab c
b a c b a
VP c b a c b a abc
c b a c
b a bca
b abc
a abc
c c
b
2 1 1 1 2
1
1
Bài tập 2: Chứng minh rằng số: 2 3 5là số vô tỉ
HD.Giả sử: 2 3 5 a(a hữu tỉ ).Thế thì 2 3 a 5 Bình phơng hai vế ta đợc:
2 5 6 5 2 5 6
2
5
2
a a
tiếp tục BPHV ta có:
a
a
a a
a a
2
5 6 4 30 4
30 2 5 6
2 4
4
30
là số hữu tỉ,vô lí Vậy 2 3 5là số vô tỉ
Bài tập 3: a)Rút gọn biểu thức:
2 2
1
1 1
1
a a
b)Tính giá trị tổng:
2
2 2
1 1
1
1
2
2 3
1 2
1
1 +
2
2 4
1 3
1
1 +……+
2
2 100
1 99
1
2 2
2 2 2
2
2 2 2
2 2 2
2
) 1 (
1 2 )
1 ( )
1 (
) 1 ( ) 1 ( ) 1 (
1 1
1
a a
a a a a
a a
a
a a
a a a
a A
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
) 1 (
1 ) 1 ( )
1 (
1 ) 1 ( 2 ) 1 ( )
1 (
1 ) 1 ( 2 ) 1 ( )
1 (
1 2 2 )
1
(
a a
a a a
a
a a a
a a
a
a a a
a a
a
a a a
a
2
2
)
1
(
1
a
a
a
a
; Với a > 0 nên A > 0 và
) 1 ( 1 2
a a
a a
b) Từ câu a suy ra:
1 1 1 ) 1 (
1 1 ) 1 (
1 ) 1 ( ) 1 (
1 1
1 1
1
2 2 2
a a a
a a
a
a a a
a
a a a
a
100
1 99
1 1
4
1 3
1 1 3
1 2
1 1 2
1 1
1 1
B
99 , 99 100
1 100 100
1 99
1 4
1 3
1 3
1 2
1 2
1
1
1
Bài tập 4 Rút gọn biểu thức:
a) A =
n
n
1
4 3
1 3
2
1 2
1 1
b) B =
100 99 99 100
1
4 3 3 4
1 3
2 2 3
1 2
2
1
c) C =
100 99
1
4 3
1 3
2
1 2
1
1
HD.a) Ta hoán đổi vị trí hai số hạng ở mẫu rồi trục căn thức:
1
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1
làm tơng tự ta
1
1
1
3 4 1
2 3 1
1 2
A
1 1
3 4 2 3
1
Trang 2Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Giáo viên : Phan Lệ Thuỷ
b)
100 99 99 100
1
4 3 3 4
1 3
2 2 3
1 2
2
1
) 99 100 ( 99 100
1
) 3 4 ( 3 4
1 )
2 3 ( 2 3
1 )
1
2
(
2
1
) 99 100 ( 99 100
1
) 3 4 ( 3 4
1 )
2 3 ( 2 3
1 )
1
2
(
2
1
) 99 100 ( 99 100
) 99 100 (
) 3 4 ( 3 4
) 3 4 ( ) 2 3 ( 2 3
) 2 3 ( ) 1
2
(
1
2
)
1
2
(
99 100
) 99 100 (
3 4
) 3 4 ( 2 3
) 2 3 (
1
2
)
1
2
10
9 10
1 1 100
1 99
1
4
1 3
1 3
1 2
1
2
1
c)Trục căn thức rồi rút gọn
Bài tập 5 Cho các số dơng x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = 1.Tính giá trị của biểu thức:
2 2
1
1 1
x
z y x
2
2 2 1
1 1
y
x z
2
2 2
1
1 1
z
y x
z
HD Thay xy + yz + zx = 1 vào 1 + y2 ta đợc: xy + yz + zx + y2 = ( xy + y2 ) + ( yz + zx ) = y( x + y) + z( x + y ) = ( x + y ) ( y + z );
Tơng tự thay xy + yz + zx = 1 vào 1 + x2 ta đợc xy + yz + zx + x2 = ( z + x ) ( x + y );
xy + yz + zx = 1 vào 1 + z2 ta đợc xy + yz + zx + z2 = ( y + z ) ( z + x );
Thay tất cả vào biểu thức A rút gọn ta đợc kết quả: A 2xy 2yz 2xz
Bài tập 6: Cho các số dơng x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = 3.Tính giá trị của biểu thức:
2
2 2
3
3 3
3
x
z y x
yz B
2 2
3
3 3 3
y
x z
y
zx
2
2 2
3
3 3
3
z
y x
z
xy
HD Thay xy + yz + zx = 3 vào 3 + y2 ta đợc: xy + yz + zx + y2 = ( xy + y2 ) + ( yz + zx ) = y( x + y) + z( x + y ) = ( x + y ) ( y + z );
Tơng tự thay xy + yz + zx = 3 vào 3 + x2 ta đợc xy + yz + zx + x2 = ( z + x ) ( x + y );
xy + yz + zx = 3 vào 3 + z2 ta đợc xy + yz + zx + z2 = ( y + z ) ( z + x );
Thay tất cả vào biểu thức B rút gọn ta đợc kết quả: B = 3
Bài tập 7 Cho ba số thực a, b, c # 0 và ab ac bc Chứng minh rằng: 111 0
c b
HD ab ac bc ( ab) 2 ( ac bc) 2 abacbc 2 ac. bc
2 2 2
2
) (
2
2c ac bc c ac bc c ac bc abacbcc c
0 2
2
ac bc c c ab ac bc
ab , chia hai vế cho abc ta đợc: 111 0
c b
Bài tập 8 Cho xyz xy yz xz trong đó x, y, z là các số dơng Chứng minh rằng:xyz.
HD Nhân hai vế đẳng thức với 2 ta đợc:xyz xy yz xz 2 (xyz) 2 ( xy yz xz)
z y x x
z z
y y
Bài tập 9 Chứng minh rằng:
a)Nếu a > 1, với mọi nN ta đều có: n
n n
a a a
a a
1
b)Nếu a 0 ,b 0 thì ab a b ab 0;
b a b ab a b
a
n n
n
n n
n
n n
a a a
a a a
a a a a a
a a VT
1 1
1
b)Với a 0 ,b 0bình phơng hai vế ta đợc: abab2 ab 2 ab0ab0
Trang 3Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Giáo viên : Phan Lệ Thuỷ c) Lập phơng hai vế ta đợc: 3 2 3 2 3 ( ) 0 0
a
Bài tập 10: Chứng minh nếu 3 a 3b 3 c 3abc
thì với mọi n tự nhiên lẻ ta có: n an bn cn abc
Bài tập 11.Cho xbycz,yaxcz,zaxby và xyz# 0
Tính giá trị của biểu thức:
c b a
B
1
2 1
2 1
HD Cộng vế với vế ta đợc: xyz 2 (axbycz),
thay thích hợp ta đợc:
z
z y x c c
z cz z z y x
2 1
) 1 ( 2 ) (
tơng tự ta có;
x
z y x a y
z y x b
2 1
‚ 2
1 ; thay vào B ta đợc:
2 4 ) (
4 4
4 4
2
2 2
2 2
2
z y x
z y x z y x
z z
y x
y z
y x x z
z y x y
z y x x
z
y
x
B
Bài tập 12 Chứng minh rằng nếu
x
xt t
yt y
thì xyt, x y t = 1
HD Ta có:
x
t t
y y
x x
xt t
yt y
Cộng trừ vế với vế ta đợc:
t y
t y y t y
;
x t
x t t x t
y 1 1
;
y x
y x x y x
;
Nhân vế với vế ta đợc:
y x
y x x t
x t t y
t y x t t y y
) )(
)(
xyt
y x x t t y x
t t y y x
hoặc x y 0 ; y t 0 ; t x 0 xyt
Bài tập 13 Cho a, b, c đôi một khác nhau và thoả mãn abc2 a2 b2 c2
Tính giá trị biểu thức:
ab c
c ac b
b bc a
a P
2 2
2 2
2 2
2
a
bc ab ca ca ab bc ca bc ab ca
bc
ca bc ab c
c bc
ab ac b
b ca
ab bc a
a ab
c
c ac b
b bc
a
a
P
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(
2 2
2
c b a c b c
c b
a c b a b
b c
a b c
a
a
a
) )( ( ) )(
( ) )(
( ) )(
( ) )(
( ) )(
(
2 2
2 2
2 2
c a c b
c c
b b a
b b
a c a
a c
a c b
c b
c b a
b b
a
c
a
a
) )(
)(
(
) ( )
)(
)(
(
) ( )
)(
)(
(
)
2
b a c a c b
b a c c
a c b b a
c a b c
b b a
c
a
c b
a
) )(
)(
(
) ( )
)(
)(
(
) ( ) ( )
2
c b b a c a
b c a c c b a b c b a c
b b a c a
b a c a c b c
b
a
Trang 4Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Giáo viên : Phan Lệ Thuỷ
) )(
)(
(
) )(
)(
( )
)(
)(
(
) ( ) ( ) ( )
)(
)(
(
) )(
(
) )(
)(
(
) ( ) )(
( ) ( )
)(
)(
(
)
(
2
2 2
2 2 2 2
c b b a c a
c a b a c b c
b b a c a
c b c b a a c b c
b b a c
a
bc ac ab a
c
b
c b b a c a
c b bc c b c b a c b a c
b b a c a
b c c b a c a b c
b
a
Bài tập 14 Cho abc 0 và a,b,c # 0
Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
6
b a c
c a
c b
b c
b a
a A
bc c b a bc c b a c b a
c b a c
b
Biến đổi tơng tự ta có đợc: b2 c2 a2 2ca, (**),c2 a2 b2 2ab, (* * *);
2
6 2
6 2
6 2
6 2
6 2
abc
c b a ab
c ca
b bc
a ab
c ca
b bc
a
bc c b c b a c b a
c b a c
b
) ( 3 )
( 3 )
3 3
3 3
*)
*
*
* (*
, 3 3
3
Thay (*****) vào (****) ta đợc: 3( ) 3.3 9 3
3 3 3
abc
abc abc
c b a A
Bài tập 15 Cho a, b, c và x, y, z khác nhau và khác 0 thoả mãn: 0
z
c y
b x
a
và 1
c
z b
y a
x
Tính 2;(***)
2 2
2 2 2
c
z b
y a
x
2 2 2 2
2 2 2
ca
zx bc
yz ab
xy c
z b
y a
x c
z b
y a
x c
z b
y a
x
(*) 2
1 2
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
abc
zxb yza xyc ca
zx bc
yz ab
xy c
z b
y a
x ca
zx bc
yz ab
xy c
z
b
y
a
x
;
Ta lại có: 0 0 ayzbxzcxy 0 ; (**)
xyz
cxy bxz ayz z
c y
b x
a
; Thay (*), (**) vào (***) ta đợc: 2 1 2 0 1
2 2
2 2
2
abc c
z b
y a
x M
Bài tập 16 Cho các số dơng a, b, c và a ,b ,c
chứng minh rằng nếu: a b c abca b c thì
c
c b
b a
a
HD.Bình phơng hai vế ta đợc:
b c a c c b a c a b c b a a c c
b b
a c
b
a 2 2 2
b c a c c b a c a b a c c
b b
0 ) 2
( ) 2
( ) 2
0 ) (
) (
)
b c c b a c c a a b b
c c b a
c c a a
c
c b
b a
a c
c b
b c
c a
a
b
b
a
a
Bài tập 17:
a)Cho
1
1 1998
1
1997 2
1 1998
1
1
k k
1999 1998
Trang 5Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Giáo viên : Phan Lệ Thuỷ
b)Cho
1 199
1
1997 3
1 1998
2
1 1999
1
1
HD áp dụng BĐT:
b a ab ab
b a
1 198
1
1 1998
2
1996 3
2 1997
2
2 1998
1
2
k k
S
1999
1998 2 1 198
1
1999
1998
b) Tơng tự câu a
Bài tập 18.Tìm x, y sao cho xy z x y z.DDK: x 0 ,y 0 ,z 0 ,xy z 0
HD BPHV ta đợc: ( x y z z) 2 ( x y) 2 x y z z 2 x y z. z x y 2 xy
xy z
z
y
y z z xy xz yz z xy x
z y x y z z x y
z z x z
x y z
x
Bài tập 19 Cho 2 2006 2 2006 2006
HD 2 2006 2 2006 2 2006 2006 2 2006
a
(*) , 2006 2006
2006 2006
2006 2006
2006 2006
2006 2006
2006 2006
.
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
b a
b
a
a a
b b a
a b
b
a a a
a b
b
Làm tơng tự ta đợc: 2 2006 2 2006,(**)
a
Cộng vế với vế (*) và (**) ta đợc: 2ab 0vậy ab 0
Bài tập 20 Chứng minh rằng nếu x y z 0thì 1 1 1 0
z x z x y x y z
x y z 0 ( x z) 2 ( y) 2 x z 2 xz y x z y 2 xz
x y z 0 ( y z) 2 ( x) 2 y z 2 yz x y z x 2 yz
Thay các kết quả ta đợc:
0 2
2 2
2 2
1 2
1 2
1 1
1 1
z y x xyz
z zxy
y xyz
x xy
zx yz
z y x y x z
x
z
y
Bài tập 21.Tính giá trị biểu thức M x4 y4 z y4 z4 x z4 x4 y xyz với x,y,z > 0 thoả mãn x yz xyz 4
Bài tập 22 Cho các số a, b, c khác nhau đôi một là:
b
a c a
c b c
b
Tính giá trị biểu thức
a
c c
b b
a
c b a
c b a b
a c
a c c b b a b
a c a
c b
c
b
a
2 ,
2 ,
2 2
) (
2
8
8 2
2
2 1
1
c b a
c b a a
b c
a b
c a
c a c
c b b
b a a
c c
b b
a
M
Trang 6Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Giáo viên : Phan Lệ Thuỷ
Chuyên đề chứng minh đẳng thức, tính giá trị biểu thức lớp 9
Bài tập 1. Cho a + b + c = 0, a, b, c # 0 Chứng minh hằng đẳngthức:
c b a c b a
1 1 1 1 1 1
2 2
Bài tập 2: Chứng minh rằng số: 2 3 5là số vô tỉ
Bài tập 3: a)Rút gọn biểu thức:
2 2
1
1 1 1
a a
b)Tính giá trị tổng:
2
2 2
1 1
1
1
2
2 3
1 2
1
1 +
2
2 4
1 3
1
100
1 99
1
Bài tập 4. Rút gọn biểu thức:
a) A =
n
n
1
4 3
1 3 2
1 2
1 1
b) B =
100 99 99 100
1
4 3 3 4
1 3
2 2 3
1 2
2
1
c) C =
100 99
1
4 3
1 3
2
1 2
1
1
Bài tập 5. Cho các số dơng x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = 1.Tính giá trị của biểu thức:
2 2
1
1 1
x
z y x
2
2 2 1
1 1
y
x z
2
2 2
1
1 1
z
y x
z
Bài tập 6: Cho các số dơng x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = 3.Tính giá trị của biểu thức:
2
2 2
3
3 3
3
x
z y x
yz B
2 2
3
3 3 3
y
x z
y
zx
2
2 2
3
3 3
3
z
y x
z
xy
Bài tập 7 Cho ba số thực a, b, c # 0 và ab ac bc Chứng minh rằng: 1 11 0
c b
Bài tập 8. Cho xyz xy yz xz trong đó x, y, z là các số dơng Chứng minh rằng:xyz.
Bài tập 9. Chứng minh rằng:
a)Nếu a > 1, với mọi nN ta đều có: n
n n
a a a
a a
1
b)Nếu a 0 ,b 0 thì ab a b ab0;
b a b ab a b
a
Bài tập 10.Cho xbycz,yaxcz,zaxby và xyz# 0
Tính giá trị của biểu thức:
c b a
B
1
2 1
2 1
Trang 7
Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Giáo viên : Phan Lệ Thuỷ
Bài tập 11. Chứng minh rằng nếu
x
xt t
yt y
thì xyt, x y t = 1
Bài tập 12. Cho a, b, c đôi một khác nhau và thoả mãn abc2 a2 b2 c2
Tính giá trị biểu thức:
ab c
c ac b
b bc a
a P
2 2
2 2
2 2
2
Bài tập 13 Cho abc 0 và a,b,c # 0
Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
6
b a c
c a
c b
b c
b a
a A
Bài tập 14. Cho a, b, c và x, y, z khác nhau và khác 0 thoả mãn: 0
z
c y
b x
a
và 1
c
z b
y a
x
Tính 2;(***)
2 2
2 2 2
c
z b
y a
x
Bài tập 15. Cho các số dơng a, b, c và a ,b ,c
chứng minh rằng nếu: a b c abca b c thì
c
c b
b a
a
Bài tập 16:
a)Cho
1
1 1998
1
1997 2
1 1998
1
1
k k
1999
1998
b)Cho
1 199
1
1997 3
1 1998
2
1 1999
1
1
HD áp dụng BĐT:
b a ab ab
b a
Bài tập 17.Tìm x, y sao cho xy z x y z.DDK: x 0 ,y 0 ,z 0 ,x y z 0
Bài tập 18. Cho 2 2006 2 2006 2006
Bài tập 19. Chứng minh rằng nếu x y z 0thì 1 1 1 0
z x z x y x y z
Bài tập 20 Cho các số a, b, c khác nhau đôi một là:
b
a c a
c b c
b
Tính giá trị biểu thức
a
c c
b b
a
9