1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

chứng minh đẳng thức lớp 9 - giỏi

7 2,7K 15
Tài liệu đã được kiểm tra trùng lặp

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 7
Dung lượng 436 KB

Nội dung

Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Giáo viên : Phan Lệ ThuỷChuyên đề chứng minh đẳng thức, tính giá trị biểu thức lớp 9 Bài tập 1... Chứng minh rằng:xyz... Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi

Trang 1

Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Giáo viên : Phan Lệ Thuỷ

Chuyên đề chứng minh đẳng thức, tính giá trị biểu thức lớp 9

Bài tập 1 Cho a + b + c = 0, a, b, c # 0 Chứng minh hằng đẳngthức:

c b a c b a

1 1 1 1 1 1

2 2

ca bc ab ca

bc ab c

b a c b a

VP c b a c b a abc

c b a c

b a bca

b abc

a abc

c c

b

  

2 1 1 1 2

1

1

Bài tập 2: Chứng minh rằng số: 2 3 5là số vô tỉ

HD.Giả sử: 2  3  5 a(a hữu tỉ ).Thế thì 2  3 a 5 Bình phơng hai vế ta đợc:

2 5 6 5 2 5 6

2

5

2

a a

tiếp tục BPHV ta có:

a

a

a a

a a

2

5 6 4 30 4

30 2 5 6

2 4

4

30

 là số hữu tỉ,vô lí Vậy 2 3 5là số vô tỉ

Bài tập 3: a)Rút gọn biểu thức:

 2 2

1

1 1

1

a a

b)Tính giá trị tổng:

2

2 2

1 1

1

1  

2

2 3

1 2

1

1   +

2

2 4

1 3

1

1   +……+

2

2 100

1 99

1

2 2

2 2 2

2

2 2 2

2 2 2

2

) 1 (

1 2 )

1 ( )

1 (

) 1 ( ) 1 ( ) 1 (

1 1

1

a a

a a a a

a a

a

a a

a a a

a A

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

) 1 (

1 ) 1 ( )

1 (

1 ) 1 ( 2 ) 1 ( )

1 (

1 ) 1 ( 2 ) 1 ( )

1 (

1 2 2 )

1

(

a a

a a a

a

a a a

a a

a

a a a

a a

a

a a a

a

2

2

)

1

(

1

a

a

a

a

; Với a > 0 nên A > 0 và

) 1 ( 1 2

a a

a a

b) Từ câu a suy ra:

1 1 1 ) 1 (

1 1 ) 1 (

1 ) 1 ( ) 1 (

1 1

1 1

1

2 2 2

a a a

a a

a

a a a

a

a a a

a

100

1 99

1 1

4

1 3

1 1 3

1 2

1 1 2

1 1

1 1

B

99 , 99 100

1 100 100

1 99

1 4

1 3

1 3

1 2

1 2

1

1

1

Bài tập 4 Rút gọn biểu thức:

a) A =

n

n 

1

4 3

1 3

2

1 2

1 1

b) B =

100 99 99 100

1

4 3 3 4

1 3

2 2 3

1 2

2

1

 c) C =

100 99

1

4 3

1 3

2

1 2

1

1

HD.a) Ta hoán đổi vị trí hai số hạng ở mẫu rồi trục căn thức:

1

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1

làm tơng tự ta

1

1

1

3 4 1

2 3 1

1 2

A

1 1

3 4 2 3

1

Trang 2

Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Giáo viên : Phan Lệ Thuỷ

b)

100 99 99 100

1

4 3 3 4

1 3

2 2 3

1 2

2

1

) 99 100 ( 99 100

1

) 3 4 ( 3 4

1 )

2 3 ( 2 3

1 )

1

2

(

2

1

) 99 100 ( 99 100

1

) 3 4 ( 3 4

1 )

2 3 ( 2 3

1 )

1

2

(

2

1

) 99 100 ( 99 100

) 99 100 (

) 3 4 ( 3 4

) 3 4 ( ) 2 3 ( 2 3

) 2 3 ( ) 1

2

(

1

2

)

1

2

(

99 100

) 99 100 (

3 4

) 3 4 ( 2 3

) 2 3 (

1

2

)

1

2

10

9 10

1 1 100

1 99

1

4

1 3

1 3

1 2

1

2

1

c)Trục căn thức rồi rút gọn

Bài tập 5 Cho các số dơng x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = 1.Tính giá trị của biểu thức:

   

2 2

1

1 1

x

z y x

 2

2 2 1

1 1

y

x z

2

2 2

1

1 1

z

y x

z

HD Thay xy + yz + zx = 1 vào 1 + y2 ta đợc: xy + yz + zx + y2 = ( xy + y2 ) + ( yz + zx ) = y( x + y) + z( x + y ) = ( x + y ) ( y + z );

Tơng tự thay xy + yz + zx = 1 vào 1 + x2 ta đợc xy + yz + zx + x2 = ( z + x ) ( x + y );

xy + yz + zx = 1 vào 1 + z2 ta đợc xy + yz + zx + z2 = ( y + z ) ( z + x );

Thay tất cả vào biểu thức A rút gọn ta đợc kết quả: A 2xy 2yz 2xz

Bài tập 6: Cho các số dơng x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = 3.Tính giá trị của biểu thức:

2

2 2

3

3 3

3

x

z y x

yz B

2 2

3

3 3 3

y

x z

y

zx

2

2 2

3

3 3

3

z

y x

z

xy

HD Thay xy + yz + zx = 3 vào 3 + y2 ta đợc: xy + yz + zx + y2 = ( xy + y2 ) + ( yz + zx ) = y( x + y) + z( x + y ) = ( x + y ) ( y + z );

Tơng tự thay xy + yz + zx = 3 vào 3 + x2 ta đợc xy + yz + zx + x2 = ( z + x ) ( x + y );

xy + yz + zx = 3 vào 3 + z2 ta đợc xy + yz + zx + z2 = ( y + z ) ( z + x );

Thay tất cả vào biểu thức B rút gọn ta đợc kết quả: B = 3

Bài tập 7 Cho ba số thực a, b, c # 0 và abacbc Chứng minh rằng: 111 0

c b

HD abacbc ( ab) 2  ( acbc) 2  abacbc 2 ac. bc

2 2 2

2

) (

2

2cac bc cac bccac bcabacbccc

0 2

2

ac bc c c ab ac bc

ab , chia hai vế cho abc ta đợc: 111 0

c b

Bài tập 8 Cho xyzxyyzxz trong đó x, y, z là các số dơng Chứng minh rằng:xyz.

HD Nhân hai vế đẳng thức với 2 ta đợc:xyzxyyzxz 2 (xyz)  2 ( xyyzxz)

z y x x

z z

y y

Bài tập 9 Chứng minh rằng:

a)Nếu a > 1, với mọi nN ta đều có: n

n n

a a a

a a

1

b)Nếu a 0 ,b 0 thì ababab 0;

b a b ab a b

a

n n

n

n n

n

n n

a a a

a a a

a a a a a

a a VT

1 1

1

b)Với a 0 ,b 0bình phơng hai vế ta đợc: abab2 ab 2 ab0ab0

Trang 3

Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Giáo viên : Phan Lệ Thuỷ c) Lập phơng hai vế ta đợc: 3 2 3 2 3 ( ) 0   0

a

Bài tập 10: Chứng minh nếu 3 a 3b 3 c 3abc

thì với mọi n tự nhiên lẻ ta có: n an bn cn abc

Bài tập 11.Cho xbycz,yaxcz,zaxbyxyz# 0

Tính giá trị của biểu thức:

c b a

B

1

2 1

2 1

HD Cộng vế với vế ta đợc: xyz 2 (axbycz),

thay thích hợp ta đợc:

z

z y x c c

z cz z z y x

2 1

) 1 ( 2 ) (

tơng tự ta có;

x

z y x a y

z y x b

2 1

‚ 2

1         ; thay vào B ta đợc:

2 4 ) (

4 4

4 4

2

2 2

2 2

2

z y x

z y x z y x

z z

y x

y z

y x x z

z y x y

z y x x

z

y

x

B

Bài tập 12 Chứng minh rằng nếu

x

xt t

yt y

thì xyt, x y t = 1

HD Ta có:

x

t t

y y

x x

xt t

yt y

Cộng trừ vế với vế ta đợc:

t y

t y y t y

;

x t

x t t x t

y   1  1  

;

y x

y x x y x

;

Nhân vế với vế ta đợc:

y x

y x x t

x t t y

t y x t t y y

) )(

)(

xyt

y x x t t y x

t t y y x

hoặc xy  0 ; yt  0 ; tx  0  xyt

Bài tập 13 Cho a, b, c đôi một khác nhau và thoả mãn abc2 a2 b2 c2

Tính giá trị biểu thức:

ab c

c ac b

b bc a

a P

2 2

2 2

2 2

2

a

bc ab ca ca ab bc ca bc ab ca

bc

ca bc ab c

c bc

ab ac b

b ca

ab bc a

a ab

c

c ac b

b bc

a

a

P

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2 2

2

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

2 2

2

c b a c b c

c b

a c b a b

b c

a b c

a

a

a

) )( ( ) )(

( ) )(

( ) )(

( ) )(

( ) )(

(

2 2

2 2

2 2

c a c b

c c

b b a

b b

a c a

a c

a c b

c b

c b a

b b

a

c

a

a

) )(

)(

(

) ( )

)(

)(

(

) ( )

)(

)(

(

)

2

b a c a c b

b a c c

a c b b a

c a b c

b b a

c

a

c b

a

) )(

)(

(

) ( )

)(

)(

(

) ( ) ( )

2

c b b a c a

b c a c c b a b c b a c

b b a c a

b a c a c b c

b

a

Trang 4

Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Giáo viên : Phan Lệ Thuỷ

) )(

)(

(

) )(

)(

( )

)(

)(

(

) ( ) ( ) ( )

)(

)(

(

) )(

(

) )(

)(

(

) ( ) )(

( ) ( )

)(

)(

(

)

(

2

2 2

2 2 2 2

c b b a c a

c a b a c b c

b b a c a

c b c b a a c b c

b b a c

a

bc ac ab a

c

b

c b b a c a

c b bc c b c b a c b a c

b b a c a

b c c b a c a b c

b

a

Bài tập 14 Cho abc 0 và a,b,c # 0

Chứng minh rằng:

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

6

b a c

c a

c b

b c

b a

a A

bc c b a bc c b a c b a

c b a c

b

Biến đổi tơng tự ta có đợc: b2  c2  a2  2ca, (**),c2  a2  b2  2ab, (* * *);

2

6 2

6 2

6 2

6 2

6 2

abc

c b a ab

c ca

b bc

a ab

c ca

b bc

a

bc c b c b a c b a

c b a c

b

) ( 3 )

( 3 )

3 3

3 3

*)

*

*

* (*

, 3 3

3

Thay (*****) vào (****) ta đợc: 3( ) 3.3 9 3

3 3 3

abc

abc abc

c b a A

Bài tập 15 Cho a, b, c và x, y, z khác nhau và khác 0 thoả mãn:    0

z

c y

b x

a

và    1

c

z b

y a

x

Tính 2;(***)

2 2

2 2 2

c

z b

y a

x

2 2 2 2

2 2 2

ca

zx bc

yz ab

xy c

z b

y a

x c

z b

y a

x c

z b

y a

x

(*) 2

1 2

1 1

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2

abc

zxb yza xyc ca

zx bc

yz ab

xy c

z b

y a

x ca

zx bc

yz ab

xy c

z

b

y

a

x

;

Ta lại có:    0     0  ayzbxzcxy 0 ; (**)

xyz

cxy bxz ayz z

c y

b x

a

; Thay (*), (**) vào (***) ta đợc: 2 1 2 0 1

2 2

2 2

2

abc c

z b

y a

x M

Bài tập 16 Cho các số dơng a, b, c và a ,b ,c

chứng minh rằng nếu: a  b  c  abca b c thì

c

c b

b a

a

HD.Bình phơng hai vế ta đợc:

b c a c c b a c a b c b a a c c

b b

a c

b

a      2    2    2                    

b c a c c b a c a b a c c

b b

0 ) 2

( ) 2

( ) 2

0 ) (

) (

)

b c c b a c c a a b b

c c b a

c c a a

c

c b

b a

a c

c b

b c

c a

a

b

b

a

a

Bài tập 17:

a)Cho

1

1 1998

1

1997 2

1 1998

1

1

k k

1999 1998

Trang 5

Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Giáo viên : Phan Lệ Thuỷ

b)Cho

1 199

1

1997 3

1 1998

2

1 1999

1

1

HD áp dụng BĐT:

b a ab ab

b a

1 198

1

1 1998

2

1996 3

2 1997

2

2 1998

1

2

k k

S

1999

1998 2 1 198

1

1999

1998

b) Tơng tự câu a

Bài tập 18.Tìm x, y sao cho xyzxyz.DDK: x 0 ,y 0 ,z 0 ,xyz 0

HD BPHV ta đợc: ( x y z z) 2 ( x y) 2 x y z z 2 x y z. z x y 2 xy

xy z

z

y

y z z xy xz yz z xy x

z y x y z z x y

z z x z

x y z

x

Bài tập 19 Cho  2 2006 2 2006 2006

HD  2 2006 2 2006 2 2006 2006 2 2006

a

(*) , 2006 2006

2006 2006

2006 2006

2006 2006

2006 2006

2006 2006

.

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

b a

b

a

a a

b b a

a b

b

a a a

a b

b

Làm tơng tự ta đợc: 2 2006 2 2006,(**)

a

Cộng vế với vế (*) và (**) ta đợc: 2ab 0vậy ab 0

Bài tập 20 Chứng minh rằng nếu xyz  0thì 1 1 1  0

z x z x y x y z

x y z 0 ( x z) 2 ( y) 2 x z 2 xz y x z y 2 xz

x y z 0 ( y z) 2 ( x) 2 y z 2 yz x y z x 2 yz

Thay các kết quả ta đợc:

0 2

2 2

2 2

1 2

1 2

1 1

1 1

z y x xyz

z zxy

y xyz

x xy

zx yz

z y x y x z

x

z

y

Bài tập 21.Tính giá trị biểu thức Mx4  y4  z  y4  z4  x z4  x4  y xyz với x,y,z > 0 thoả mãn xyzxyz  4

Bài tập 22 Cho các số a, b, c khác nhau đôi một là:

b

a c a

c b c

b

Tính giá trị biểu thức 

a

c c

b b

a

c b a

c b a b

a c

a c c b b a b

a c a

c b

c

b

a

2 ,

2 ,

2 2

) (

2

8

8 2

2

2 1

1

 

 

 

c b a

c b a a

b c

a b

c a

c a c

c b b

b a a

c c

b b

a

M

Trang 6

Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Giáo viên : Phan Lệ Thuỷ

Chuyên đề chứng minh đẳng thức, tính giá trị biểu thức lớp 9

Bài tập 1. Cho a + b + c = 0, a, b, c # 0 Chứng minh hằng đẳngthức:

c b a c b a

1 1 1 1 1 1

2 2

Bài tập 2: Chứng minh rằng số: 2 3 5là số vô tỉ

Bài tập 3: a)Rút gọn biểu thức:

 2 2

1

1 1 1

a a

b)Tính giá trị tổng:

2

2 2

1 1

1

1  

2

2 3

1 2

1

1   +

2

2 4

1 3

1

100

1 99

1

Bài tập 4. Rút gọn biểu thức:

a) A =

n

n 

1

4 3

1 3 2

1 2

1 1

b) B =

100 99 99 100

1

4 3 3 4

1 3

2 2 3

1 2

2

1

 c) C =

100 99

1

4 3

1 3

2

1 2

1

1

Bài tập 5. Cho các số dơng x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = 1.Tính giá trị của biểu thức:

2 2

1

1 1

x

z y x

 2

2 2 1

1 1

y

x z

2

2 2

1

1 1

z

y x

z

Bài tập 6: Cho các số dơng x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = 3.Tính giá trị của biểu thức:

2

2 2

3

3 3

3

x

z y x

yz B

2 2

3

3 3 3

y

x z

y

zx

2

2 2

3

3 3

3

z

y x

z

xy

Bài tập 7 Cho ba số thực a, b, c # 0 và abacbc Chứng minh rằng: 1 11 0

c b

Bài tập 8. Cho xyzxyyzxz trong đó x, y, z là các số dơng Chứng minh rằng:xyz.

Bài tập 9. Chứng minh rằng:

a)Nếu a > 1, với mọi nN ta đều có: n

n n

a a a

a a

1

b)Nếu a 0 ,b 0 thì ababab0;

b a b ab a b

a

Bài tập 10.Cho xbycz,yaxcz,zaxbyxyz# 0

Tính giá trị của biểu thức:

c b a

B

1

2 1

2 1

Trang 7

Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Giáo viên : Phan Lệ Thuỷ

Bài tập 11. Chứng minh rằng nếu

x

xt t

yt y

thì xyt, x y t = 1

Bài tập 12. Cho a, b, c đôi một khác nhau và thoả mãn abc2 a2 b2 c2

Tính giá trị biểu thức:

ab c

c ac b

b bc a

a P

2 2

2 2

2 2

2

Bài tập 13 Cho abc 0 và a,b,c # 0

Chứng minh rằng:

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

6

b a c

c a

c b

b c

b a

a A

Bài tập 14. Cho a, b, c và x, y, z khác nhau và khác 0 thoả mãn:    0

z

c y

b x

a

và    1

c

z b

y a

x

Tính 2;(***)

2 2

2 2 2

c

z b

y a

x

Bài tập 15. Cho các số dơng a, b, c và a ,b ,c

chứng minh rằng nếu: a  b  c  abca b c thì

c

c b

b a

a

Bài tập 16:

a)Cho

1

1 1998

1

1997 2

1 1998

1

1

k k

1999

1998

b)Cho

1 199

1

1997 3

1 1998

2

1 1999

1

1

HD áp dụng BĐT:

b a ab ab

b a

Bài tập 17.Tìm x, y sao cho xyzxyz.DDK: x 0 ,y 0 ,z 0 ,xyz 0

Bài tập 18. Cho  2 2006 2 2006 2006

Bài tập 19. Chứng minh rằng nếu xyz  0thì 1 1 1  0

z x z x y x y z

Bài tập 20 Cho các số a, b, c khác nhau đôi một là:

b

a c a

c b c

b

Tính giá trị biểu thức 

a

c c

b b

a

9

Ngày đăng: 28/08/2013, 06:10

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w