TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI VÀ LUYỆN THI VÀO CÁC TRƯỜNG CHUYÊN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC & BẤT ĐẲNG THỨC 1. Chứng minh rằng: 50 1 28 1 27 1 26 1 50.49 1 6.5 1 4.3 1 2.1 1 ++++=++++ Hướng dẫn: Đặt A = 50.49 1 6.5 1 4.3 1 2.1 1 ++++ Dễ thấy : A= 50 1 49 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 −++−+−+− . Do đó: A= ++++−++++++ 50 1 6 1 4 1 2 1 2 50 1 49 1 4 1 3 1 2 1 1 1 = ++++−++++++ 25 1 3 1 2 1 1 1 50 1 49 1 4 1 3 1 2 1 1 1 = 50 1 28 1 27 1 26 1 ++++ 2. Cho a,b,c. Chứng minh rằng: a 3 +b 3 +c 3 -3abc= (a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 -ab+bc-ca) ( THI HSG TPHCM 1998-1999 VÒNG 2) Hướng dẫn: Thay a 3 +b 3 = (a+b) 3 -3ab(a+b) Biến đổi vế trái thành: (a+b) 3 -3ab(a+b)+c 3 -3abc=[(a+b) 3 +c 3 ]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)[ (a+b) 2 -c (a+b)+ c 2 ]- 3ab(a+b+c) = (a+b+c)(a 2 +2ab+b 2 -ca-cb+c 2 -3ab) =(a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 -ab -bc-ca) 3. Chứng minh rằng nếu a+b+c=abc và 2 111 =++ cba thì 2 111 222 =++ cba . Hướng dẫn: Ta có 2 111 =++ cba Bình phương 2 vế ta có: 4 111 2 111 222 = +++++ cabcab cba ⇔ ( ) 4 2111 222 = ++ +++ abc cba cba ⇔ 2 111 222 =++ cba Vậy nếu a+b+c=abc và 2 111 =++ cba thì 2 111 222 =++ cba 4. Cho 1= + + + + + ba c ac b cb a . Chứng minh rằng : BÌNH LONG – BÌNH PHƯỚC TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI VÀ LUYỆN THI VÀO CÁC TRƯỜNG CHUYÊN 0 222 = + + + + + ba c ac b cb a Hướng dẫn: Nhân hai vế của 1= + + + + + ba c ac b cb a với a+b+c , ta được: ( ) ( ) ( ) cba ba bacc ac acbb cb cbaa ++= + ++ + + ++ + + ++ 222 nên: cbac ba c b ac b a cb a ++=+ + ++ + ++ + 222 Vậy 0 222 = + + + + + ba c ac b cb a 5. Cho a,b,c là ba số khác không và từng đôi một khác nhau cho a+b+c=0. Chứng minh rằng: 9= − + − + − − + − + − c ba b ac a cb ba c ac b cb a Hướng dẫn: Đặt x= c ba z b ac y a cb − = − = − ,, Ta có: ( ) z yx y xz x zy zyx zyx + + + + + += ++++ 3 111 Mà: ( ) ( ) bc cbcba cb a bc babacc cb a c ba b ac cb a x zy 2222 −−− − = −+− − = − + − − = + = ( )( ) ( ) bc cbaa cb cbacb cb a −− = −−− − . . Mà a+b+c=0 ⇒ a –b –c = 2a Vậy bc a x zy 2 2 = + Tương tự, ab c z yx ac b y xz 22 2 , 2 = + = + , Tóm lại ta có abc cba ab c ca b bc a z yx y xz x zy 333222 .22 ++ = ++= + + + + + Biết a=-(b+c)⇒ a 3 =-(b+c) 3 =-[b 3 +c 3 +3bc(b+c)]⇒ a 3 =-(b 3 +c 3 )+3abc Hay : a 3 +b 3 +c 3 = 3abc Vậy : 6 6 y z z x x y abc x y z abc + + + + + = = Do đó : ( ) 9 111 = ++++ zyx zyx 6. Chứng minh rằng nếu: x= ; ba ba + − y= cb cb + − , z= ac ac + − thì : (1+x)(1+y)(1+z)= (1-x)(1-y)(1-z) ( THI HSG TP. HỒ CHÍ MINH 1987-1988 VÒNG 1) Hướng dẫn: BÌNH LONG – BÌNH PHƯỚC TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI VÀ LUYỆN THI VÀO CÁC TRƯỜNG CHUYÊN Ta có: (1+x)(1+y)(1+z)= + − + + − + + − + ac ac cb cb ba ba 111 = ac acac cb cbcb ba baba + −++ + −++ + −++ = ac c cb b ba a +++ 2 . 2 . 2 = ( )( )( ) accbba abc +++ 8 (1-x)(1-y)(1-z)= + − − + − − + − − ac ac cb cb ba ba 111 = ac acac cb cbcb ba baba + +−+ + +−+ + +−+ = ac a cb c ba b +++ 2 . 2 . 2 = ( )( )( ) accbba abc +++ 8 Vậy: (1+x)(1+y)(1+z)= (1-x)(1-y)(1-z) 7. Cho a, b, c là 3 số thực khác nhau . Chứng minh rằng: 1 −= − + − + + − + − + + − + − + ba ab ac ca ab cb ac ca cb cb ba ba Hướng dẫn: Đặt x= ba a x ba ba − =+⇒ − + 2 1 và x-1= ba b − 2 y= cb b y cb cb − =+⇒ − + 2 1 và y-1= cb c − 2 z= ac c z ac ac − =+⇒ − + 2 1 và z-1= ac a − 2 ⇒(1+x)(1+y)(1+z)= (1-x)(1-y)(1-z) ⇒ xy+yz+zx=-1 ⇒ ĐPCM 8. Cho a,b, c đôi một khác nhau. Chứng minh: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1−= −− + −− + −− cbba ca baac bc accb ab Hướng dẫn: Đặt : x= cb a − , y= ac b − , z= ba c − ⇒(1+x)(1+y)(1+z)= (1-x)(1-y)(1-z) ⇒ xy+yz+zx=-1 ⇒ ĐPCM 9. Cho x,y là các số thực thỏa mãn điều kiện 111 22 =−+− xyyx . Chứng minh rằng: x 2 +y 2 =1 Hướng dẫn: Điều kiện: 11;11 ≤≤−≤≤− yx Ta có: 111 22 =−+− xyyx ( ) ( ) ( )( ) 111211 222222 =−−+−+−⇒ yxxyxyyx ( )( ) 01112 22222222 =−−−+−+−⇒ yxxyyxyyxx ( )( ) ( )( ) 011211 222222 =−−−+−−⇒ yxxyyxyx BÌNH LONG – BÌNH PHƯỚC TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI VÀ LUYỆN THI VÀO CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ( ) ( ) ( )( ) 011211 2222222 =−−−+−−− yxxyyxxyx ( )( ) ( )( ) 011211 222222 =−−−+−−⇒ yxxyyxyx ( )( ) ( ) ( )( ) 011011 22 2 22 =−−−⇒=−−−⇒ xyyxxyyx ( )( ) ( )( ) 11 1111 22222222 222222 =+⇒=+−−⇒ =−−⇒=−−⇒ yxyxyxyx yxyxxyyx 10. Chứng minh rằng: Nếu ta có : d c b a = thì 44 44 4 dc ba dc ba + + = − − ( THI HSG MIỀN BẮC 1969-1970) Hướng dẫn: Ta có d c b a = ⇔ d b c a = p dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có : dc ba d b c a − − == ⇒ 4 4 4 4 4 − − == dc ba d c b a (1) Ta lại có : 44 44 4 4 4 4 dc ba d b c a + + == (2) Từ (1) và (2) ⇒ 44 44 4 dc ba dc ba + + = − − 11. Chứng tỏ rằng nếu ta có: c xyz b zxy a yzx − = − = − 222 thì suy ra được : z abc y cab x bca − = − = − 222 ( THI HSG MIỀN BẮC 1971-1972) Hướng dẫn: Ta đặt : c xyz b zxy a yzx − = − = − 222 = k ⇒a = k yzx − 2 , b = k zxy − 2 , c = k xyz − 2 Ta có : x k xyz k zxy k yzx x bca −− − − = − 22 2 2 2 . ⇔ 2 3332 3 k xyzzyx x bca −++ = − (1) Tương tự ta có : 2 3332 3 k xyzzyx y cab −++ = − (2) 2 3332 3 k xyzzyx z abc −++ = − (3) Từ (1), (2) và (3) ⇒ĐPCM BÌNH LONG – BÌNH PHƯỚC TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI VÀ LUYỆN THI VÀO CÁC TRƯỜNG CHUYÊN 12.Cho A = 100.99 1 6.5 1 4.3 1 2.1 1 ++++ Chứng minh rằng: 6 5 12 7 << A Hướng dẫn: Trước hết ta biến đổi A thành 100 1 53 1 52 1 51 1 ++++ . Do đó: A= ++++ +++ 100 1 77 1 76 1 75 1 52 1 51 1 Ta có : 75 1 52 1 51 1 >>> ; 100 1 77 1 76 1 >>> A> 12 7 4 1 3 1 25. 100 1 25. 75 1 =+=+ A< 6 5 3 1 2 1 25. 73 1 25. 50 1 25. 76 1 25. 51 1 =+=+<+ Vậy : 6 5 12 7 << A 13. a) Cho b∈N, b>1. Chứng minh rằng: bb b bb 1 1 11 1 11 2 − − << + − b) Cho S = 2222 9 1 4 1 3 1 2 1 ++++ . Chứng minh rằng: 9 8 5 2 << S Hướng dẫn: a) Ta có: ( ) ( ) 2 1 . 1 1. 1 1. 1 1 11 b bbbbbb bb bb =< + = + −+ < + − Vậy : 1 111 2 + −> bb b (1) Chứng minh tương tự ta được: 2 1 1 1 1b b b < − − (2) Từ (1) va ø(2) suy ra ĐPCM a) p dụng công thức : bb b bb 1 1 11 1 11 2 − − << + − Ta có 2 1 1 1 2 1 3 1 2 1 2 −<<− 3 1 2 1 3 1 4 1 3 1 2 −<<− . . . . . . . . . . . . . 9 1 8 1 9 1 10 1 9 1 2 −<<− ⇒ 9 1 1 10 1 2 1 −<<− S Vậy : 9 8 5 2 << S BÌNH LONG – BÌNH PHƯỚC TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI VÀ LUYỆN THI VÀO CÁC TRƯỜNG CHUYÊN 14. Chứng minh rằng nếu các số nguyên dương a,b,c có tổng a+b+c=1 thì 9 111 ≥++ cba (THI HSG TP.HCM 1988-1989 VÒNG 2) Hướng dẫn: Ta có: ( ) b c a c c b a b c a b a cba cba cba ++++++= ++++=++ 3 111111 922233 =+++≥ ++ ++ ++= b c c b a c c a a b b a ⇒ 9 111 ≥++ cba 15. Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn bất đẳng thức: 10x 2 +20y 2 +24xy+8x-24y+51≤ 0. ( THI HSG TP.HCM 1991-1992 VÒNG 1) Hướng dẫn : Ta có: 10x 2 +20y 2 +24xy+8x-24y+51≤ 0 ⇔(9x 2 + 24xy +16y 2 )+(x 2 +8x+16)+(4y 2 -24y+36)≤1 ⇔(3x+4y) 2 +(x+4) 2 +4(y-3) 2 ≤1 Vì x,y là các số nguyên ⇒ (3x+4y) 2 ∈N , (x+4) 2 ∈N , 4(y-3) 2 ∈N ⇒(3x+4y) 2 +(x+4) 2 +4(y-3) 2 ∈N ⇒(3x+4y) 2 +(x+4) 2 +4(y-3) 2 =0 (1 ) hoặc (3x+4y) 2 +(x+4) 2 +4(y-3) 2 =1 (2 ) Ta có: (1) ⇔ =− =+ =+ 03 04 043 y x yx ⇔ = −= 3 4 y x (2) ⇔ ( ) ( ) =− =+ =+ =− =+ =+ 03 14 043 03 04 143 2 2 y x yx y x yx không tìm được x,y Vậy x=-4 và y=3 thoả mãn BÌNH LONG – BÌNH PHƯỚC . A= 50 1 49 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 −++−+−+− . Do đó: A= ++++−++++++ 50 1 6 1 4 1 2 1 2 50 1 49 1 4 1 3 1 2 1 1 1 = ++++−++++++ 25 1 3 1 2 1 1 1 50 1 49 1 4 1 3 1 2 1 1 1 . ++++ +++ 10 0 1 77 1 76 1 75 1 52 1 51 1 Ta có : 75 1 52 1 51 1 >>> ; 10 0 1 77 1 76 1 >>> A> 12 7 4 1 3 1 25. 10 0 1 25. 75 1 =+=+ A< 6 5 3 1 2 1 25. 73 1 25. 50 1 25. 76 1 25. 51 1 =+=+<+ Vậy. dụng công thức : bb b bb 1 1 11 1 11 2 − − << + − Ta có 2 1 1 1 2 1 3 1 2 1 2 −<<− 3 1 2 1 3 1 4 1 3 1 2 −<<− . . . . . . . . . . . . . 9 1 8 1 9 1 10 1 9 1 2 −<<−