CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC & BẤT ĐẲNG THỨC1... Cho a,b,c là ba số khác không và từng đôi một khác nhau cho a+b+c=0... Cho a,b, c đôi một khác nhau.
Trang 1CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC & BẤT ĐẲNG THỨC
1 Chứng minh rằng:
50
1
28
1 27
1 26
1 50 49
1
6 5
1 4 3
1 2 1
1
+ + + +
= +
+ + +
Hướng dẫn:
Đặt A =
50 49
1
6 5
1 4 3
1 2
1
6
1 5
1 4
1 3
1 2
1 1
− + + + + + +
50
1
6
1 4
1 2
1 2 50
1 49
1
4
1 3
1 2
1 1 1
− + + + + + +
25
1
3
1 2
1 1
1 50
1 49
1
4
1 3
1 2
1 1
1
=
50
1
28
1 27
1 26
2 Cho a,b,c Chứng minh rằng:
a3+b3+c3-3abc= (a+b+c)(a2+b2+c2-ab+bc-ca)
( THI HSG TPHCM 1998-1999 VÒNG 2)
Hướng dẫn:
Biến đổi vế trái thành:
c b
c b
Hướng dẫn:
c b
a
Bình phương 2 vế ta có:
+ + +
ca bc ab c
b
a
2 2
abc
c b a c
b
a
⇔ 12 + 12 + 12 =2
c b
a
c b
c b a
+
+ +
+
c a c
b c
b
a
Chứng minh rằng :
Trang 22 2 2 =0
+
+ +
+
c a c
b c b a
Hướng dẫn:
+
+ +
+
c a c
b c b
a
với a+b+c , ta được:
b a
b a c c a
c
a c b b c
b
c b a
+
+ + + +
+ + + +
+
2
b a
c b a c
b a c b
+ + + + + + +
2 2
2
+
+ +
+
c a c
b c b
a
5 Cho a,b,c là ba số khác không và từng đôi một khác nhau cho a+b+c=0 Chứng minh rằng:
−
+
−
+
b a b
a c a
c b b a
c a c
b c b a
Hướng dẫn:
b
a c y a
c
, ,
z
y x y
x z x
z y z
y x z y
+ + +
bc
c b c b a c b
a bc
b ab ac c c b
a c
b a b
a c c b
a x
z
−
=
− +
−
−
=
− + −
−
=
+
bc
c b a a c
b
c b a c b c b
Vậy
bc
a x
z
Tương tự,
ab
c z
y x ac
b y
x
,
=
+
, Tóm lại ta có y x z z y x x z y 2 a bc2 b ca2 ab c2 =2.a3 +abc b3 +c3
=
+ +
+ + +
Biết a=-(b+c)⇒ a3=-(b+c)3=-[b3+c3+3bc(b+c)]⇒ a3=-(b3+c3)+3abc
Hay : a3+b3+c3 = 3abc
+ +
z y x z y x
b a
b a
+
−
y=b b+−c c, z=c c+−a a thì : (1+x)(1+y)(1+z)= (1-x)(1-y)(1-z)
( THI HSG TP HỒ CHÍ MINH 1987-1988 VÒNG 1) Hướng dẫn:
Trang 3Ta có:
+
− +
+
− +
+
− +
a c
a c c
b
c b b
a
b a
1 1
1
=
a c
a c a c c b
c b c b b a
b a b a
+
− +
+ +
− +
+ +
− +
=
a c
c c b
b b a
a
+ + +
2
2
2
= (a b)(b c)(c a)
abc
+ + + 8
+
−
−
+
−
−
+
−
−
a c
a c c
b
c b b
a
b a
1 1
1
=
a c
a c a c c b
c b c b b a
b a b a
+
+
−
+ +
+
−
+ +
+
−
=
a c
a c b
c b a
b
+ + +
2
2
2
= (a b)(b c)(c a)
abc
+ + + 8
Vậy: (1+x)(1+y)(1+z)= (1-x)(1-y)(1-z)
7 Cho a, b, c là 3 số thực khác nhau Chứng minh rằng:
−
+
−
+ +
−
+
−
+ +
−
+
−
+
b a
a b a c
c a a b
c b a c
c a c b
c b b a
b a
Hướng dẫn:
b a
b a
−
= +
⇒
−
y=
c b
b y
c b
c b
−
= +
⇒
−
c b
c
− 2
z=
a c
c z
a c
a c
−
= +
⇒
−
a c
a
− 2
8 Cho a,b, c đôi một khác nhau Chứng minh:
( − )( − ) (+ − )( − ) (+ a−b)(b−c) =−1
ca b
a a c
bc a
c c b ab
Hướng dẫn:
Đặt : x=b a−c , y= c−b a , z= a−c b
Hướng dẫn:
Điều kiện: −1≤x≤1; −1≤ y≤1
Ta có: x 1−y2 +y 1−x2 =1
(1 2) (2 1 2) 2 (1 2)(1 2) 1
(1 )(1 ) 1 0
2 2 2 2
2
(1− 2)(1− 2)+ 2 2 −2 (1− 2)(1− 2) =0
Trang 4(1−x2) (−y2 1−x2)+x2y2 −2xy (1−x2)(1− y2) =0
(1− 2)(1− 2)+ 2 2 −2 (1− 2)(1− 2) =0
( )( )
( )( ) ( )( )
1 1
1 1
1
1
2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 2
= +
⇒
= +
−
−
⇒
=
−
−
⇒
=
−
−
⇒
y x y x y x y
x
y x y x
xy y
x
10 Chứng minh rằng:
4
d c
b a d
c
b a
+
+
=
−
−
( THI HSG MIỀN BẮC 1969-1970) Hướng dẫn:
Ta có b a = d c ⇔a c = d b
Aùp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
d c
b a
d
b
c
a
−
−
=
= ⇒
4 4
4 4
4
−
−
=
=
d c
b a d
c b
d c
b a d
b c
a
+
+
=
4
d c
b a d
c
b a
+
+
=
−
−
11 Chứng tỏ rằng nếu ta có:
c
xy z b
zx y a
yz
thì suy ra được : a2 −x bc =b2 −y ca = c2 −z ab
( THI HSG MIỀN BẮC 1971-1972)
Hướng dẫn:
Ta đặt :
c
xy z b
zx y a
yz
= k
k
yz
x2 −
, b =
k
zx
y2 −
, c =
k
xy
z2 −
Ta có :
x
k
xy z k
zx y k
yz x x
bc a
−
−
−
=
−
2 2
2 2
k
xyz z
y x x
bc
3 3 3
k
xyz z
y x y
ca
(2)
k
xyz z
y x z
ab
Trang 512.Cho A = 99.1100
6 5
1 4 3
1 2 1
Chứng minh rằng:
6
5 12
7
<
< A
Hướng dẫn:
Trước hết ta biến đổi A thành
100
1
53
1 52
1 51
+
100
1
77
1 76
1 75
1
52
1
51
1
52
1 51
1 > > > ; 1001
77
1 76
1 > > >
A>
12
7 4
1 3
1 25 100
1 25
75
73
1 25 50
1 25 76
1
25
51
Vậy :
6
5 12
7 < A<
b b
b
1 1
1 1 1
1 1
−
<
<
+
−
9
1
4
1 3
1 2
1
+ + +
9
8 5
2
<
<S
Hướng dẫn:
1
1 1
1 1
1 1
1 1
b b b b
b b
b
b b b
+
= +
− +
<
+
−
Vậy : b12 >1b−b1+1 (1)
1
b <b −b
Từ (1) va ø(2) suy ra ĐPCM
a) Aùp dụng công thức :
b b
b b
b
1 1
1 1 1
1 1
−
<
<
+
−
Ta có 12−31< 212 <11−12
3
1 2
1 3
1 4
1
3
1
2 < −
<
9
1 8
1 9
1 10
1
9
1
2 < −
<
10
1 2
1− <S < −
Vậy :
9
8 5
2 <S<
Trang 6
14 Chứng minh rằng nếu các số nguyên dương a,b,c có tổng a+b+c=1 thì
1+1+1≥9
c b
a
(THI HSG TP.HCM 1988-1989 VÒNG 2) Hướng dẫn:
Ta có:
b
c a
c c
b a
b c
a b
a c
b a c b a c b
+ + +
+
= +
1
+ +
+ +
+ +
=
b
c c
b a
c c
a a
b b a
⇒ 1+1+1 ≥9
c b
a
15 Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn bất đẳng thức:
( THI HSG TP.HCM 1991-1992 VÒNG 1) Hướng dẫn :
Ta có:
=
−
= +
= +
0 3
0 4
0 4 3
y
x
y x
⇔
=
−
= 3
4
y x
=
−
= +
= +
=
−
= +
= +
0 3
1 4
0 4 3
0 3
0 4
1 4
3
2 2
y x
y x y x
y x
không tìm được x,y
Vậy x=-4 và y=3 thoả mãn