GIẢI 10 BT CHỨNG MINH ĐT&BĐT-P2

TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI & LUYỆN THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) a 2 +b 2 +1≥ ab+a+b b) a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +e 2 ≥ a(b+c+d+e) c) a 3 +b 3 ≥ ab(a+b) d) a 4 +b 4 ≥ a 3 b+ab 3 Hướng dẫn: a) a 2 +b 2 +1≥ ab+a+b ⇔ 2a 2 +2b 2 +2≥ 2ab+2a+2b ⇔(a 2 -2ab+b 2 )+(a 2 -2a+1)+(b 2 -2b+1) ≥ 0 ⇔( a-b) 2 +(a-1) 2 +(b-1) 2 ≥ 0 Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a 2 +b 2 +1≥ ab+a+b với mọi a,b b) a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +e 2 ≥ a(b+c+d+e) ⇔ a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +e 2 -a(b+c+d+e)≥ 0 ⇔ 0 4444 2 2 2 2 2 2 2 2 ≥         +−+         +−+         +−+         +− eae a dad a cac a bab a ⇔ 0 2222 2222 ≥       −+       −+       −+       − e a d a c a b a Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +e 2 ≥ a(b+c+d+e) c) a 3 +b 3 ≥ ab(a+b) ⇔ a 3 +b 3 - ab(a+b) ≥ 0 ⇔ (a+b) 2 (a 2 -2ab+b 2 ) ≥ 0 ⇔ (a+b) 2 (a-b) 2 ≥ 0 Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a 3 +b 3 ≥ ab(a+b) d) a 4 +b 4 ≥ a 3 b+ab 3 ⇔ (a 4 - a 3 b )+(b 4 -ab 3 ) ≥ 0 ⇔ a 3 (a- b )+b 3 (b-a) ≥ 0 ⇔ (a- b )( a 3 - b 3 ) ≥ 0 ⇔ (a- b ) 2 ( a 2 +ab+ b 2 ) ≥ 0 ⇔ (a- b ) 2         +       + 4 3 2 2 2 bb a ≥ 0 Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a 4 +b 4 ≥ a 3 b+ab 3 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) (a+b+c) 2 ≥ 3(ab+bc+ca) b) a 2 (1+b 2 )+b 2 (1+c 2 )+c 2 (1+a 2 )≥ 6abc Hướng dẫn: a) (a+b+c) 2 ≥ 3(ab+bc+ca) ⇔ 2(a+b+c) 2 ≥ 6(ab+bc+ca) ⇔ 2a 2 +2b 2 +2c 2 +4 ab+4bc+4ca - 6ab-6bc-6ca≥ 0 ⇔ (a-b) 2 +(a-c) 2 +(b-c) 2 ≥ 0 Bất đẳng thức cuối đúng, suy ra : (a+b+c) 2 ≥ 3(ab+bc+ca) b) a 2 (1+b 2 )+b 2 (1+c 2 )+c 2 (1+a 2 )≥ 6abc ⇔ a 2 +a 2 b 2 +b 2 +b 2 c 2 +c 2 +c 2 a 2 -6abc≥ 0 ⇔ (a-bc) 2 +(b-ac) 2 +(c-ab) 2 ≥ 0 Bất đẳng thức cuối đúng, suy ra : a 2 (1+b 2 )+b 2 (1+c 2 )+c 2 (1+a 2 )≥ 6abc BÌNH LONG – BÌNH PHƯỚC TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI & LUYỆN THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN 3. a) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b=2 . Chứng minh rằng: a 4 +b 4 ≥ a 3 +b 3 b) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b+c=3 . Chứng minh rằng: a 4 +b 4 +c 4 ≥ a 3 +b 3 + c 3 Hướng dẫn : a) a 4 +b 4 ≥ a 3 +b 3 ⇔ 2(a 4 +b 4 ) ≥ ( a 3 +b 3 )(a+b) ⇔ (a-b) 2 0 4 3 2 2 2 ≥         +       + b b a Xảy ra dấu đẳng thức khi a = b = 2 1 b) a 4 +b 4 +c 4 ≥ a 3 +b 3 + c 3 ⇔3 ( a 4 +b 4 +c 4 ) ≥ ( a 3 +b 3 + c 3 )(a+b+c) ⇔ ( ) ( ) ( ) 0 4 3 24 3 24 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ≥         +       +−+         +       +−+         +       +− a a cacc c bcbb b aba 4. Cho a,b,c là các số dương . Chứng minh rằng: 21 < + + + + + < ca c cb b ba a Hướng dẫn: Do a,b,c> 0 nên: ( ) ( ) ( )a a b ac a a b a b c a a b< + ⇒ + + < + + + ( ) ( ) ( ) a a c a a b c a b a c a b a b c + ⇒ + + < + + ⇒ < + + + Tương tự ta cũng chứng minh được: cba ba ca a cba ba cb b ++ + < +++ + < + , Ta có : cba ca ba a cba a ++ + < + < ++ (1) cba ba cb b cba b ++ + < + < ++ (2) cba cb ca c cba c ++ + < + < ++ (3) Cộng từng vế của (1) , (2) và (3) ta được : 21 < + + + + + < ca c cb b ba a 5. Cho 4 số dương a,b, c . Chứng minh : 21 < ++ + ++ + ++ + ++ < bad d adc c dcb b cba a Hướng dẫn: Ta có : ca a cba a dcba a + < ++ < +++ BÌNH LONG – BÌNH PHƯỚC TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI & LUYỆN THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN db a dcb b dcba b + < ++ < +++ ……………………………………………… Sau đó cộng từng vế của BĐT 6. Chứng minh rằng với a,b,c>0 thì: a) cba c ab b ac a bc ++≥++ b) 2 cba ac ca cb bc ba ab ++ ≤ + + + + + c) cabcab a c c b b a ++≥++ 333 Hướng dẫn: a) c b a a b c b ac a bc 2≥       +=+ (do a,b,c>0 ) Tương tự: a c ab b ac 2≥+ , b a bc c ab 2≥+ Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên b) p dụng bất dẳng thức yxxy yx + ≥ + 4 với x,y >0 , ta có : 4 ba ba ab + ≤ + , 4 cb cb bc + ≤ + , 4 ac ac ca + ≤ + , Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên c) Ta có: a 3 +b 3 ≥ ab(a+b) với a,b>0 ⇒ ( ) baab b a +≥+ 2 3 Tương tự : ( ) cbbc c b +≥+ 2 3 , ( ) caca a c +≥+ 2 3 Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên 7. Chứng minh rằng với a,b,c>0 thì: a. a b b a a b b a +≥+ 2 2 2 2 b. cba a c c b b a ++≥++ 222 c. 2 222 cba ba c ac b cb a ++ ≥ + + + + + Hướng dẫn: a. Ta có: A=       ++       +−         +=       +−         + a b b a a b b a a b b a a b b a a b b a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 BÌNH LONG – BÌNH PHƯỚC TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI & LUYỆN THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN Do a,b>0 nên A≥ 01122 22 2 2 2 2 ≥       −+       −=+       +−         + a b b a a b b a a b b a b. Xét : a b ab b ba b b a 2 2 222 =≥ + =+ (do a,b>0 ) Tương tự: bc c b 2 2 ≥+ , ca a c 2 2 ≥+ Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên suy ra điều phải chứng minh c. Xét : ( ) ( ) ( ) ( ) a cb cba cb cbacb cb a = + + ≥ + ++ = + + + 4 4 )(4 2 4 22 2 (do b,c>0) Tương tự: b ac ac b ≥ + + + 4 2 , c ba ba c ≥ + + + 4 2 Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ⇒ ĐPCM 8. Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn a+b+c=2 và ab+bc+ca=1. Chứng minh rằng: 0≤a,b,c≤ 3 4 Hướng dẫn: a+b+c=2 ⇒2-a=b+c ⇒(2-a) 2 =(b+c) 2 ≥ 4bc =4[1-a(b+c)]=4[1-a(2-a)] ⇒(2-a) 2 ≥ 4(a-1) 2 ⇒ a(3a-4)≤ 0 ⇒0≤ a ≤ 3 4 Làm tương tự cho b và c. 9. Cho a, b,c là các số thuộc đoạn [-1; 2] thoả mãn a+b+c=0. Chứng minh : a 2 +b 2 +c 2 ≤ 6 Hướng dẫn: Ta có -1 ≤ a,b,c ≤ 2 ⇒ a+1≥ 0 và a-2 ≤ 0 ⇒(a+1)(a-2) ≤ 0 ⇒ a 2 -a-2 ≤ 0 ⇒ a 2 ≤ a+2 Tương tự, ta có b 2 ≤ b+2; c 2 ≤ c+2 ⇒ a 2 +b 2 +c 2 ≤ (a+b+c)+6=6 Vậy a 2 +b 2 +c 2 ≤ 6 10. Cho a,b,c là các số không âm thoả mãn a+b+c=1 Chứng minh : b+c≥ 16abc Hướng dẫn: Cách 1: b+c≥ 16abc ⇔ b+c≥ 16bc(1-b-c) ⇔b+c≥ 16bc-16b 2 c-16bc 2 ⇔16b 2 c+16bc 2 -16bc+b+c≥ 0 ⇔ c(16b 2 -8b+1)+b(16c 2 -8c+1) ≥ 0 ⇔ c(4b-1) 2 +b(4c-1) 2 ≥ 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng, suy ra: b+c≥ 16abc BÌNH LONG – BÌNH PHƯỚC TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI & LUYỆN THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN Cách 2: Ta có: b+c=(b+c)[a+(b+c)] 2 ≥ (b+c)4a(b+c)=4a(b+c) 2 Mà (b+c) 2 ≥ 4bc ⇒ 4a(b+c) 2 ≥ 4a.4bc= 16abc Vậy: b+c≥ 16abc BÌNH LONG – BÌNH PHƯỚC . a) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b=2 . Chứng minh rằng: a 4 +b 4 ≥ a 3 +b 3 b) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b+c=3 . Chứng minh rằng: a 4 +b 4 +c 4 ≥ a 3 +b 3 + c 3 Hướng. ≤ b+2; c 2 ≤ c+2 ⇒ a 2 +b 2 +c 2 ≤ (a+b+c)+6=6 Vậy a 2 +b 2 +c 2 ≤ 6 10. Cho a,b,c là các số không âm thoả mãn a+b+c=1 Chứng minh : b+c≥ 16abc Hướng dẫn: Cách 1: b+c≥ 16abc ⇔ b+c≥ 16bc(1-b-c) . TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI & LUYỆN THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) a 2 +b 2 +1≥ ab+a+b b) a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +e 2 ≥ a(b+c+d+e) c)