Phương pháp 1: Phương pháp dựa vào định nghĩa - Lập hiệu A-B - Biến đổi biểu thức (A-B) và chứng minh A-B 0 - Kết luận A B - Xét trường hợp A=B khi nào VD: CMR: với mọi a, b cùng dấu. CM: Ta có: a, b cùng dấu => ab>o => Vậy Dấu “=” sảy ra khi và chỉ khi a-b=0, hay a=b ./. Bài tập tương tự : CMR: với ab>1 Phương pháp 2: Phương pháp chứng minh trực tiếp - Biến đổi vế phức tạp, thường là vế trái: vì nên => Dấu “ =” sảy ra khi và chỉ khi M=0 VD: CMR: với mọi x CM: Ta có: => Dấu”=” sảy ra khi và chỉ khi x=2 Bài tập tương tự:CMR: Phương pháp 3: Phương pháp so sánh - Biến đổi riêng từng vế rồi so sánh kết quả. Suy ra đpcm. Nếu VD: CMR: CM: => Phương pháp4: Dùng tính chất tỉ số Cho 3 số dương a,b,c : Nếu thì Nếu thì Nếu b,d>o thì từ VD: a,b,c là 3 số dương. CMR: CM: Do c>o => (3) Tương tự ta có : (4) và: (5) cộng vế với vế 3 BĐT kép(3),(4) và (5) ta được: (đpcm) Bài tập tương tự: Cho các số dương a1,a2,a3,b1,b2,b3 thoả: CMR: Phương pháp 5: Dùng phép biến đổi tương đương Ta biến đổi BĐT cần chứng minh tương đưng với BĐT đúng hoặc BĐT đã được chứng minh đúng. Chú ý các BĐT sau: - Bình phương của tổng, hiệu - Lập phương của tổng, hiệu - VD: Cho a,b là các số thực. CMR: CM: Ta có: <=> <=> <=> (luôn đúng) =>đpcm Bài tập tương tự:Cho a,b,c là các số thực. CMR: Phương pháp 6: Phương pháp làm trội Dùng tính chẩt của BĐT để đưa một vế của BĐT cần chứng minh về dạng để tính tổng hữa hạn hoặc tích hữu hạn. - Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn: là biểu diễn số hạng tổng quát về hiệu của 2 số hạng liên tiếp nhau : Lúc đó : -Phương pháp chung để tính tích hữu hạn là biểu diễn số hạng tổng quát về thương của 2 số hạng liên tiếp nhau Lúc đó VD:Chứng minh các BĐT sau với n là STN: a, (k>1) b, CM: a. Với k>1 ta có Lần lượt thay k=2,3, ,n rồi cộng lại có: => đpcm b. Với mọi k>1 ta có: Vậy : Lần lượt thay k=2,3, ,n vào rồi cộng lại ta được: Bài tập tương tự CMBĐT: : Phương pháp 7:Phương pháp lượng giác Sử dụng điều kiện của biến Đặt x=ksina với hoặc x=kcosa với VD: CM: Điều kiện: . Đặt Khi đó: với Bài tập tương tự: CMR: nếu |x|<1 và n là số nguyên lớn hơn 2 thì ta cs BĐT: Phương pháp 8: Dùng BĐT trong tam giác Nếu a,b,c là số đó 3 cạnh của một tam giác thì a,b,c>0 và |b-c|<a<b+c |a-c|<b<a+c |a-b|<c<a+b VD: Cho a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác.CMR: CM: a,b,c là số đo 3 cạnh của tam giác nên ta có : Cộng vế với vế của BĐT trên ta được (đpcm) Bài tập tương tự: Cho a,b,c là số đo 3 cạnh của tam giác. CMR: với a<b<c Phương pháp 9: Dùng phương pháp quy nạp Để chứng minh BĐT T(n) : n là số tự nhiên ta thực hiện các bước sau : + Chứng minh BĐT T(1) đúng( Kiểm tra mệnh đề đúng với số nhỏ nhất) + Giả sử BĐT T(k) đúng + Ta chứng minh BĐT T(k+1) cũng đúng Khi đó BĐT T(n) đúng với mọi n VD: CMR với n>2 ta có : CM: Với n=3 ta có BĐT đúng Giả sử BĐT đúng với n=k,nghĩa là: Ta CM BĐT đúng với n=k+1, nghĩa là phải CM: Thật vậy, ta có: Vậy BĐT đúng với mọi n Bài tập tương tự: Phương pháp 10: Sử dụng tính chất hàm lồi Cho hàm số f(a,b) -> R có tính chất : Dấu của đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi x1=x2 Khi đó: (1) với mọi x1, x2 thuộc (a,b) và dấu đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi VD: CMR: Nếu thì CM: Ta có: Vì và Cách khác: f(x)=sinx có f’’(x)= nên f(x) là hàm lõm trên và ta có BĐT 1 Bài tập tương tự: Cho A,B,C là ba góc của một tam giác, CMR: Phương pháp 11: Dùng miền giá trị hàm Bài toán: Chứng minh rằng B<f(x) <A với mọi x. Đặt y=f(x) <=> y-f(x)=0 ( * ) Biện luận phương trình ( * ) theo y, => =>đpcm VD: với mọi x CM: Đặt : có miền xác định D=R => có nghiệm +, Với y=1=>x=0 +>Với y khác 1, ta có (đpcm) Bài tập tương tự: CMR: với mọi x Phương pháp 13: Dùng đạo hàm Dạng 1: Dùng tính đơn điệu của hàm số Hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên (a,b) + Nếu f(x)>0 với mọi x thuộc (a,b)thì hàm f(x) tăng trên [a,b]. Khi đó mọi x>a thì f(x)>f(a) + Nếu f'(x)<o mọi x thuộc (a,b) thì hàm f giảm trên [a,b]. Khi đó với mọi x>a thì f(x)<f(a) VD: CMR : với mọi x khác 0 CM: đặt f(x)= . Khi đó f'(x)= * Nếu x>0 thì f(x)>0 nên f tăng với mọi . Do đó f(x)>0, f(0)=0 => * Nếu x<0 thì f(x)<0 nên f giảm khi x<0. Dó đó f(x)>f(0)=0 => Vậy với mọi x khác 0 Bài tập tương tự: CMR với thì Kĩ thuật Cô-si ngược dấu: Bây giờ chúng ta sẽ xem xét BĐT Cô-si và một kĩ thuật đặc biêt- kĩ thuật Cô-si ngược dấu. Đây là một trong những kĩ thuật hay, khéo léo, mới mẻ của BĐT Cô-si. Hãy cùng xem xét các ví dụ cụ thể sau: VD1: Cho các số dương a,b,c thoả mãn Đk :a+b+c=3. CM BĐT: LG: Rõ ràng ta không thể dùng trực tiếp BĐT Cô-si với mẫu số vì BĐT sẽ đổi chiều Tuy nhiên, rất may mắn, có thể dùng lại BĐT đó, theo cách khác: Ta đã sử dụng BĐT Cô-si cho 2 số ở dưới mẫunhưng lại có được một BĐT thuận chiều. Nếu không biết cách sử dụng phương pháp " Ngược Cô-si" thì BĐT trên sẽ rất khó và dài! Từ BĐT trên, xây dựng 2 BĐT tương tự với b,c rồi cộng cả 3 BĐT lại suy ra : vì ta có . Đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1 ./. VD2: CMR: với mọi số thực dương a,b,c,d ta luôn có: LG: Áp dụng BĐT Cô-Si: xây dựng 3 BĐT tương tự với b,c,d rồi cộng vế các BĐT lại ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức sảy ra khi a=b=c=d. Hãy cùng luyện tập vơí các bài toán sau: 1. Cho a,b,c là các số nguyên dương thoả mãn a+b+c=0. CMR: 2. CMR: với mọi a,b,c,d dương có tổng bằng 4 thì . quy nạp Để chứng minh BĐT T(n) : n là số tự nhiên ta thực hiện các bước sau : + Chứng minh BĐT T(1) đúng( Kiểm tra mệnh đề đúng với số nhỏ nhất) + Giả sử BĐT T(k) đúng + Ta chứng minh BĐT T(k+1). Phương pháp 5: Dùng phép biến đổi tương đương Ta biến đổi BĐT cần chứng minh tương đưng với BĐT đúng hoặc BĐT đã được chứng minh đúng. Chú ý các BĐT sau: - Bình phương của tổng, hiệu - Lập phương. Phương pháp 1: Phương pháp dựa vào định nghĩa - Lập hiệu A-B - Biến đổi biểu thức (A-B) và chứng minh A-B 0 - Kết luận A B - Xét trường hợp A=B khi nào VD: CMR: với mọi a, b cùng dấu. CM: