CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC & BẤT ĐẲNG THỨC1... Cho a,b,c là ba số khác không và từng đôi một khác nhau cho a+b+c=0... Cho a,b, c đôi một khác nhau.. Chứng minh rằng:... Tìm các số nguyên x,y t
Trang 1CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC & BẤT ĐẲNG THỨC
1 Chứng minh rằng:
28
1 27
1 26
1 50 49
1
6 5
1 4 3
1 2 1
1
Hướng dẫn:
Đặt A = 491.50
6 5
1 4 3
1 2
.
1
1
Dễ thấy : A= 491 501
6
1 5
1 4
1 3
1 2
1 1
1
50
1
6
1 4
1 2
1 2 50
1 49
1
4
1 3
1 2
1 1 1
25
1
3
1 2
1 1
1 50
1 49
1
4
1 3
1 2
1 1
1
= 501
28
1 27
1 26
1
2 Cho a,b,c Chứng minh rằng:
a3+b3+c3-3abc= (a+b+c)(a2+b2+c2-ab+bc-ca)
( THI HSG TPHCM 1998-1999 VÒNG 2)
Hướng dẫn:
Thay a3+b3= (a+b)3-3ab(a+b)
Biến đổi vế trái thành:
(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=[(a+b)3+c3]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)[ (a+b)2-c (a+b)+ c2]- 3ab(a+b+c)
= (a+b+c)(a2+2ab+b2-ca-cb+c2-3ab)
=(a+b+c)(a2+b2 +c2-ab -bc-ca)
3 Chứng minh rằng nếu a+b+c=abc và 111 2
c b
a thì 12 12 12 2
c b
Hướng dẫn:
Ta có 111 2
c b
a
Bình phương 2 vế ta có:
12 12 12 2 1 1 1 4
ca bc ab c
b
a
12 12 12 2 4
abc
c b a c b
a
12 12 12 2
c b
a
Vậy nếu a+b+c=abc và 111 2
c b
a thì 12 12 12 2
c b a
c a c
b c
b
a
Chứng minh rằng :
2 2 2 0
c a c
b c b a
Trang 2Hướng dẫn:
Nhân hai vế của 1
c a c
b c b
a
với a+b+c , ta được:
b a
b a c c a c
a c b b c b
c b a
a
2
nên: c a b c
b a
c b a c
b a c b
a
2 2
2
2 2 2
c a c
b c b
a
5 Cho a,b,c là ba số khác không và từng đôi một khác nhau cho a+b+c=0 Chứng minh rằng:
b a b
a c a
c b b a
c a c
b c b a
Hướng dẫn:
b
a c y a
c
, ,
Ta có:
z
y x y
x z x
z y z
y x z y
1 1 1 3
Mà: y x z b a c c b a a c b b a c.c2 ac bc ab b2 b a c.ab cbc b2 c2
=b a c b cb a c b c aabc b c
Mà a+b+c=0 a –b –c = 2a
Vậy y xz 2bc a2
Tương tự, zy x 2ac b2, xz y 2ab c2 ,
Tóm lại ta có y x z z y x x z y 2 bc a2 ca b2 ab c2 2 a3abc b3c3
Biết a=-(b+c) a3=-(b+c)3=-[b3+c3+3bc(b+c)] a3=-(b3+c3)+3abc
Hay : a3+b3+c3 = 3abc
Vậy : y z z x x y 6abc 6
Do đó : 1 1 1 9
z y x z y x
6 Chứng minh rằng nếu: x= ;
b a
b a
y=b b c c , z=c c a a thì : (1+x)(1+y)(1+z)= (1-x)(1-y)(1-z)
( THI HSG TP HỒ CHÍ MINH 1987-1988 VÒNG 1) Hướng dẫn:
Ta có:
a c
a c c b
c b b a
b a
1 1
1
Trang 3=a a b b a b b b c c b c c c a a c a
.
= a2a b.b2b c.c2c a = ab8b abccca
a c
a c c
b
c b b
a
b a
1 1
1 =aa bb ab.bb c c bc.cc a a ca
= a b b b c c c a a
2 2 2
= ab8b abccca Vậy: (1+x)(1+y)(1+z)= (1-x)(1-y)(1-z)
7 Cho a, b, c là 3 số thực khác nhau Chứng minh rằng:
b a
a b a c
c a a b
c b a c
c a c b
c b b a
b a
Hướng dẫn:
Đặt x= x a a b
b
a
b
a
1 và x-1=a b b
2 y= y b b c
c b
c b
1 và y-1=b2c c z= z c c a
a c
a c
1 và z-1=c a a
2
(1+x)(1+y)(1+z)= (1-x)(1-y)(1-z) xy+yz+zx=-1 ĐPCM
8 Cho a,b, c đôi một khác nhau Chứng minh:
1
ca b
a a c
bc a
c c b ab
Hướng dẫn:
Đặt : x=b a c
, y= c b a
, z= a c b
(1+x)(1+y)(1+z)= (1-x)(1-y)(1-z) x)(1+y)(1+z)= (1-x)(1-y)(1-z) )(1+x)(1+y)(1+z)= (1-x)(1-y)(1-z) y)(1+z)= (1-x)(1-y)(1-z) )(1+x)(1+y)(1+z)= (1-x)(1-y)(1-z) z)= (1-x)(1-y)(1-z) )= (1-x)(1-y)(1-z) x)(1+y)(1+z)= (1-x)(1-y)(1-z) )(1-x)(1-y)(1-z) y)(1+z)= (1-x)(1-y)(1-z) )(1-x)(1-y)(1-z) z)= (1-x)(1-y)(1-z) ) x)(1+y)(1+z)= (1-x)(1-y)(1-z) y)(1+z)= (1-x)(1-y)(1-z) +x)(1+y)(1+z)= (1-x)(1-y)(1-z) y)(1+z)= (1-x)(1-y)(1-z) z)= (1-x)(1-y)(1-z) +x)(1+y)(1+z)= (1-x)(1-y)(1-z) z)= (1-x)(1-y)(1-z) x)(1+y)(1+z)= (1-x)(1-y)(1-z) =-x)(1-y)(1-z) 1 ĐPCM
9 Cho x,y là các số thực thỏa mãn điều kiện 1 2 1 2 1
Chứng minh rằng: x2+y2=1
Hướng dẫn:
Điều kiện: 1 x 1 ; 1 y 1
Ta có: x 1 y2 y 1 x2 1
2
2 2 2 2
2
2
1 1
1 1 1
1
2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
2
y x y x y x y
x
y x y x xy
y x
10 Chứng minh rằng:
Trang 4Nếu ta có : b a d c thì 4 4
4 4 4
d c
b a d c
b a
( THI HSG MIỀN BẮC 1969-1970) Hướng dẫn:
Ta có b a d c c a d b
Aùp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
c a d b c a d b
4 4
4
d c
b a d
c b
Ta lại có : 44 44 44 44
d c
b a d
b c
a
(2) Từ (1) và (2) 4 4
4 4 4
d c
b a d c
b a
11 Chứng tỏ rằng nếu ta có:
c
xy z b
zx y a
yz
2
thì suy ra được : a x bc b y ca c z ab
2 2
2
( THI HSG MIỀN BẮC 1971-1972)
Hướng dẫn:
Ta đặt : x a yz y b zx z c xy
2 2
2
= k
a = x 2 k yz , b = y 2k zx , c = z 2 k xy
Ta có :
x
k
xy z k
zx y k
yz x x
bc a
2 2
2 2
3 3 3
k
xyz z
y x x
bc
(1) Tương tự ta có : 2
3 3 3
k
xyz z
y x y
ca
(2)
2 3 3 23 3
k
xyz z
y x z
ab
Từ (1), (2) và (3) ĐPCM
12.Cho A = 99.1100
6 5
1 4 3
1 2 1
1
Chứng minh rằng: 127 A65
Hướng dẫn:
Trước hết ta biến đổi A thành 1001
53
1 52
1 51
1
100
1
77
1 76
1 75
1
52
1
51
1
Ta có : 1 1 1 ; 1 1 1
Trang 5A> 25 31 41 127
100
1 25
.
75
1
73
1 25 50
1 25 76
1
25
.
51
1
Vậy : 127 A65
13.a) Cho bN, b>1 Chứng minh rằng:b1 b11 b12 b11 b1
b) Cho S = 2 2 2 9 2
1
4
1 3
1 2
1
Chứng minh rằng: 52S 98 Hướng dẫn:
1
1 1
1 1
.
1 1
1 1
b b b b
b b
b
b b b
Vậy : 12 1 11
b b
b (1)
Chứng minh tương tự ta được: 2
1
b b b (2) Từ (1) va ø(2) suy ra ĐPCM
a) Aùp dụng công thức :b1 b11 b12 b11 b1
Ta có 12 13212 11 12
31 41312 21 31
91 101 912 81 91
1 91
10
1 2
1
Vậy : 52S98
14 Chứng minh rằng nếu các số nguyên dương a,b,c có tổng a+b+c=1 thì
111 9
c
b
a
(THI HSG TP.HCM 1988-1989 VÒNG 2) Hướng dẫn:
Ta có:
b
c a
c c
b a
b c
a b
a c
b a c b a c b
1
3 3 2 2 2 9
b
c c
b a
c c
a a
b b a
111 9
c
b
a
15 Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn bất đẳng thức:
Trang 610x2+20y2+24xy+8x-24y+51 0.
( THI HSG TP.HCM 1991-1992 VÒNG 1) Hướng dẫn :
Ta có: 10x2+20y2+24xy+8x-24y+51 0
(9x2+ 24xy +16y2)+(x2+8x+16)+(4y2-24y+36)1
(3x+4y)2+(x+4)2+4(y-3)21
Vì x,y là các số nguyên (3x+4y)2N , (x+4)2N , 4(y-3)2N
(3x+4y)2+(x+4)2+4(y-3)2N
(3x+4y)2+(x+4)2+4(y-3)2=0 (1 ) hoặc (3x+4y)2+(x+4)2+4(y-3)2=1 (2 )
Ta có:
(1)
0 3
0 4
0 4 3
y
x
y x
3
4
y x
(2)
0 3
1 4
0 4 3
0 3
0 4
1 4
3
2 2
y x
y x y x
y x
không tìm được x,y
Vậy x=-4 và y=3 thoả mãn