TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI &LUYỆN THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN 1. Cho a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: ab+bc+ca ≤ a 2 +b 2 +c 2 < 2(ab+bc+ca) Hướng dẫn : Ta có (a-b) 2 ≥ 0 ⇔ a 2 -2ab+b 2 ≥ 0 ⇔ a 2 +b 2 ≥ 2ab (1 ) Tương tự, ta cũng chứng minh được: b 2 +c 2 ≥ 2bc ( 2 ) ; c 2 +a 2 ≥ 2ac (3) Cộng các bất đẳng thức (1) ,(2) và (3) vế theo vế , ta có : 2(a 2 +b 2 +c 2 ) ≥ 2ab+2bc+2ac ⇔ a 2 +b 2 +c 2 ≥ ab+bc+ca ( * ) Mặt khác, theo bất đẳng thức trong tam giác ta có : +< +< +< bac acb cba ⇔ +< +< +< bccac babcb caaba 2 2 2 Do đó : a 2 +b 2 +c 2 < 2(ab+bc+ca) (**) Từ (*) và (**) ⇒ ab+bc+ca ≤ a 2 +b 2 +c 2 < 2(ab+bc+ca) 2. Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh và p là nửa chu vi của một tam giác . Chứng minh : a) (p-a)(p-b)(p-c) 8 1 ≤ abc b) ++≥ − + − + − cbacpbpap 111 .2 111 Hướng dẫn: a) p dụng tính chất : (x-y) 2 ≥ 0 ⇔ 4xy ≤ (x+y) 2 ⇔ xy 2 2 + ≤ yx Ta có: (p-a)(p-b) ( ) ( ) 42 2 2 cbpap = −+− ≤ Tương tư,ï ta có: (p-b)(p-c) 4 2 a ≤ ; (p-c)(p-a) 4 2 b ≤ ⇒ [(p-a)(p-b)(p-c)] 2 2 8 ≤ abc ⇒ (p-a)(p-b)(p-c) abc 8 1 ≤ b)Theo kết quả chứng minh câu a) ta có : (p-a)(p-b) 4 2 c ≤ ⇒ ( )( ) cbpap c 4 ≥ −− Mà ( ) ( )( ) ( )( ) bpap c bpap bap bpap −− = −− +− = − + − 211 Do đó: cbpap 411 ≥ − + − (1) Tương tự: acpbp 411 ≥ − + − (2) BÌNH LONG- BÌNH PHƯỚC TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI &LUYỆN THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN bapcp 411 ≥ − + − (3) Cộng vế với vế (1), (2) và (3) ta được: ++≥ − + − + − cbacpbpap 111 4 111 2 hay ++≥ − + − + − cbacpbpap 111 2 111 3. Cho a, b, c thoả mãn a > c, b > c > 0. Chứng minh rằng: ( ) ( ) abcbccac ≤−+− Hướng dẫn : ( ) ( ) abcbccac ≤−+− ⇔ ( )( ) ( )( ) 02 2 ≥−−−−−+ cbcaccbcac ⇔ ( )( ) [ ] 0 2 ≥−−− cbcac luôn đúng với a > c, b > c > 0. 4. Chứng minh bất đẳng thức: 3 33 22 + ≥ + baba trong đó a > 0, b >0. Hướng dẫn: Với a > 0, b > 0 ⇒ a+b > 0 Ta có : 3 33 22 + ≥ + baba ⇔ ( ) 2 22 222 + + ≥+− + baba baba ba ⇔ 2 22 2 + ≥+− ba baba ⇔ 4a 2 -4ab+4b 2 ≥ a 2 +2ab+b 2 ⇔ 3a 2 -6ab+3b 2 ≥ 0 ⇔ 3(a 2 -2ab+b 2 )≥ 0 ⇔ 3(a-b) 2 ≥ 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng, suy ra : 3 33 22 + ≥ + baba 5. Cho 3 số thực a,b,c sao cho a 2 +b 2 +c 2 =1. Chứng minh rằng: 1 2 1 ≤++≤− cabcab Hướng dẫn : Ta có : (a+b+c) 2 ≥ 0 ⇔ 2(ab+bc+ca) ≥ -( a 2 +b 2 +c 2 )=-1 ⇔ ab+bc+ca≥ 2 1 − (1) Mặt khác ta có: (a-b) 2 +(b-c) 2 +(c-a) 2 ≥ 0 BÌNH LONG- BÌNH PHƯỚC TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI &LUYỆN THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN ⇔ a 2 +b 2 +c 2 ≥ ab+bc+ca ⇒ ab+bc+ca ≤ 1 (2) Từ (1) và (2) ⇒ 1 2 1 ≤++≤− cabcab 6. Cho a,b,c dương . Chứng minh rằng : ba c ac b cb a c c b b a a + + + + + ≤ + + + + + 222 111 Hướng dẫn: Ta có (1-a) 2 ≥ 0 ⇔ 1+a 2 ≥2a ⇔ 2 1 1 2 ≤ + a a Tương tự, ta có 2 1 1 2 ≤ + b b ; 2 1 1 2 ≤ + c c ⇒ 2 3 111 222 ≤ + + + + + c c b b a a (1) Mặt khác ta có thể viết : 3111 − + + + + + + + + = + + + + + ba c ac b cb a ba c ac b cb a ( ) 3 111 − + + + + + ++= baaccb cba ( ) ( ) ( ) [ ] 2 3 3 2 9 3 111 2 1 =−≥− + + + + + +++++= baaccb baaccb (2) Từ (1) va ø(2) ⇒ ba c ac b cb a c c b b a a + + + + + ≤ + + + + + 222 111 7. Chứng minh rằng : 10 100 1 3 1 2 1 1 1 >++++ Hướng dẫn: 10 1 1 1 > ; 10 1 2 1 > ; 10 1 3 1 > ; … ; 10 1 100 1 = Vậy 10 10 1 .100 100 1 3 1 2 1 1 1 =>++++ 8. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta luôn có: a. n n >++++ 1 3 1 2 1 1 b. ( ) 112 1 3 1 2 1 1 −+>++++ n n Hướng dẫn: a. nn nn =>++++ . 11 3 1 2 1 1 b. Ta có: BÌNH LONG- BÌNH PHƯỚC TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI &LUYỆN THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN ( ) ( )( ) ( ) kk kkkk kk kkkk −+= −+++ −+ = ++ >= 12 11 12 1 2 2 21 Cho k lần lượt bằng 1,2,3,…,n ta được: 1> ( ) 122 − ( ) 232 2 1 −> ( ) 342 3 1 −> ……………………… ( ) nn −+> 12 2 1 Cộng theo trong vế n bất đẳng thức trên , ta có: ( ) 112 1 3 1 2 1 1 −+>++++ n n 9. a. Chứng minh rằng: 12 1 1 + >−+ n nn (với mọi n∈N) b. Suy ra 19942 1994 1 3 1 2 1 1 <++++ Hướng dẫn: a. Ta có: ( ) ( )( ) nnnn nn nnnnn −+++ −+ = ++ < +++ = + 11 1 1 1 11 1 12 1 Vậy nn n −+< + 1 12 1 (với mọi n∈N) b. Từ BĐT nn n −+< + 1 12 1 ( với mọi n∈N) ⇒ ( ) nn n −+< + 12 1 1 Ta có 1<2 ( ) 122 2 1 −< ( ) 232 3 1 −< ……………………… ( ) 199319942 2 1 −< BÌNH LONG- BÌNH PHƯỚC TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI &LUYỆN THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN Cộng theo trong vế n bất đẳng thức trên , ta có: 19942 1 3 1 2 1 1 >++++ n 10. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương, ta có: ( ) 2 1 1 23 1 2 1 < + +++ nn Hướng dẫn: Ta có: ( ) ( ) + − + += + −= + = + 1 11 1 11 1 11 1 1 1 nnnn n nn n nn n nn + −= + − +≤ 1 11 2 1 1111 nnnnnn n Vậy : ( ) + ++−+−≤ + +++ 1 11 3 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 34 1 23 1 2 1 nnnn = 2 1 1 12 < + − n BÌNH LONG- BÌNH PHƯỚC . 3 1 2 1 1 1 >++++ Hướng dẫn: 10 1 1 1 > ; 10 1 2 1 > ; 10 1 3 1 > ; … ; 10 1 100 1 = Vậy 10 10 1 .100 100 1 3 1 2 1 1 1 =>++++ 8. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương. a 2 +2ab+b 2 ⇔ 3a 2 -6ab+3b 2 ≥ 0 ⇔ 3( a 2 -2ab+b 2 )≥ 0 ⇔ 3( a-b) 2 ≥ 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng, suy ra : 3 33 22 + ≥ + baba 5. Cho 3 số thực a,b,c sao cho a 2 +b 2 +c 2 =1. Chứng minh. ) [ ] 2 3 3 2 9 3 111 2 1 =−≥− + + + + + +++++= baaccb baaccb (2) Từ (1) va ø(2) ⇒ ba c ac b cb a c c b b a a + + + + + ≤ + + + + + 222 111 7. Chứng minh rằng : 10 100 1 3 1 2 1 1 1 >++++