De giai bai tap chung minh BDT va tim cuc tri daisodoc

Hướng dẫn Có thể viết lại vế phải như sau.. Tìm Min P..[r]

Sử dụng Bất đẳng thức 1 1     n (*) an   a1 a2  a1  a2   an   với  0, i 1, n (Dấu “=” xảy và a1 = a2 = =an > 0) Để giải bài tập chứng minh BĐT và tìm cực trị đại số Từ Bất đẳng thức (*) ta suy các BĐT sau 1 n2     (1) a1 a2 an a1  a2   an 11 1       (2) a1  a2   an n  a1 a2 an  Bài toán Cho a, b, c là các số dương CMR 3 18      a b c a  b 3b  4c c  6a Hướng dẫn 1   a b c Có thể viết lại vế trái BĐT cần chứng minh sau: S = Chính vì thế, ta viết lại vế phải là: P = a  b  b c  2  c  2a Và ta cần chứng minh S ≥ P b c x a; y  ; z  , bây ta phải chứng minh Đặt  1 1 1    3     x y z  x  y y  2z z  2x  1 1 1  1 2          Ta có x  y x  y  y  x y y   x y  tương tự b c a   0 xong Dấu “=” xảy  x = y = z  Bài toán Cho a, b, c là các số dương CMR 48 12      a b c 2a  b 3b  2c c  3a Hướng dẫn Có thể viết lại vế phải sau    48 12 4  P           b c c 2a  b 3b  2c c  3a a  b b  c c  a a  b    a 2 3 2 3 Theo tư tưởng đó, ta viết vế trái thành        1  1 1 1 S               b c c a a b c a b     2   3   Và ta cần chứng minh S P Do vậy, ta có thể giải sau:        1  1 1 1 4 S                  P b c c a b b c c a b c a b     a  a 2 2 3   3   cách khác Có thể viết lại vế phải sau 48 12 24 48 24      2a  b 3b  2c c  3a 6a  3b 3b  2c 2c  6a ta có 24 48 24  1 1 1 1 1 6      (1), 12      (2); 6      (3) 6a  3b  6a 3b  a b 3b  2c 2c  6a  2c 6a  c a  3b 2c  b c Từ (1) ;(2) (3) ta có ĐPCM dấu xảy 6a=3b=2c Bài toán Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c ≤ Tìm Min P 12 2012  2 a b c ab  bc  ca Hướng dẫn Ta cần đánh giá vế trái cho xuất tổng a + b + c để sử dụng giả thiết Quan sát đặc điểm vế trái và điều kiện a, b, c dương, ta có thể sử dụng kỹ thuật cộng mẫu số sau: 1 9     1 a  b2  c ab  bc  ca ab  bc  ca a  b  c   ab  bc  ca   a  b  c  Mặt khác, ta luôn có BĐT  ab  bc  ca   a  b  c  Do đó 1 1988 1988 2024   P 12.   12    2 ab  bc  ca ab  bc  ca  ab  bc  ca 3  a b c Do đó Min( P)  2024  a b c 1 Bài toán Cho a,b,c dương thoả mãn:a+b+c=1.Tìm GTNN của: a b c P    a  b  c  9abc Hướng dẫn: 9     1 9abc 1 9abc 10 9abc a b c a  b  c  a b c a b c 243abc 243abc 1  39  243abc       10 9abc  10 30abc  90abc 10 P    39 Min( P)   a b c  10 chứng minh (a  b  c  1 1 1 1 1 1 1              a b c a b c a b c  a b c  a b c 1 10  1  10  bc  ca  ac  10 (a  b  c ) 10 a b c            )  a b c  a b c  abc 3abc 27 abc  Bài toán Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+2y+3z =18 Tìm P y  3z  3z  x  x  y    1 x 1 y  3z Hướng dẫn y  3z  z  x  x  y    1 x 1 2y  3z y  3z  3z  x  x  2y 5  1  1  1  1 x 1 y  3z  1   x  y  3z        24 3  x  y  3z    x  y  3z  51 24   21 51 Min( P)   x 6; y 3; z 2 Bài toán Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn 2x+3y+5z =9 Tìm P x  y  5z  2006 x  y  z  2006 x  y  2c  2006   x  2y y 2 x  3z Hướng dẫn P 3  x  y  5z  2006 x  y  z  2006 x  y   2006   x  2y y  2z x  3z  1  P   x  y  z  2006  2006       x  y y  z x  3z  P  2015 2015  P 2012 x  y  y  z  x  3z 7  x  ; y  y; z  Min (P)=2012 Bài toán Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn Tìm P x y z   x  y  3z 3x  y  3z 3x  y  z Hướng dẫn x y z       x  y  3z 3x  y  3z 3x  y  z 3( x  y  z ) 3( x  y  z ) 3( x  y  z ) P    2( x  y  z ) 2(3 x  y  3z ) 2(3 x  y  z ) P P  3( x  y  z )  1      2  x  y  3z 3x  y  3z 3x  y  z  P 3( x  y  z ) 27 27 3    P   2 7( x  y  z ) 14 14 Min( P )   x  y  z  Bài toán Cho a,b,c dương 3a+4b+5c 12 Tìm giá trị lớn P ab 2ac 3bc   ab  a  b ac  a  c bc  b  c Ta có ab ab  1          b  a  (1) ab  a  b  ab a b  2ac 2ac  1          2c  2a  (2) ac  a  c  ac a c  P 3bc 3bc  1          3c  3c  (3) bc  b  c  bc b c  Từ (1) (2) (3) P   3a  4b  5c  2 ab a b ac b c   a b c 1 ac a c 3a  4b  5c 12   Max(P)=2  Bài toán Cho a,b c>0 , a+b+c=3 tìm Max P= ab bc ca + + a+3 b+ c a+ b+3 c a+2 b+ c Dự đoán a=b=c=1 tách mẫu để a+c=b+c=2b ( 3+2+1=6 chia hết cho 3) Tacó ab ab ab  1   ab ab a            (1) a  3b  2c (a  c)  (b  c)  2b  a  c b  c 2b   a  c b  c  Tương tự bc bc bc  1   bc bc b           (2) 2a  b  3c (a  b)  (a  c)  2c  a  c b  c 2b   a  b b  c  ac ac ac  1   ac ac c           (2) 3a  2b  c (a  b)  (b  c )  2a  a  b b  c 2a   a  b b  c  Từ (1) (2) (3)  ac  bc ab  ac bc  ab a  b  c   a b c   3 P        a b c    3    a b b c a c 2 2  9  9 Max( P)   a b c 1 Bài toán 10 Cho a,b,c >0, a+b+c=3 Tìm Max Q= ab bc ca + + a+ b+2 c a+3 b+ c a+ 2b+ c Hướng dẫn Dự đoán a=b=c=1 tách mẫu để 3=3c=a+2b ( 2+3+4=9 chia hết cho 3) Ta có ab ab ab = = a+ b+2 c 2(a+b+ c)+a+ 2b 3+ 3+(a+2 b) ab 1 ab ab 1 ab b a + + ≤ + + + = + + 3 a+2 b 27 81 a b b 27 81 81 ( ) ( ) Tương tự bc bc bc bc  1  2bc c 2b          2a  3b  4c 2( a  b  c)  b  2c   (b  2c)  3 b  c  c  27 81 81 ca ac ac ac  1  2ac a 2c          4a  2b  3c 2( a  b  c)  c  2a   (c  2a)  3 c  a  a  27 81 81 P a b c (ab  bc  ca)   27 27 ab+ bc+ ca ≤ ( a+ b+c )2 =3 Bài toán 11 Cho a,b,c dương Tìm Max Q 2a  b 2b  c 2a  b   3a  2b  c a  3b  2c 2a  b  3c Hướng dẫn 2a  b 2b  c 2a  b 1  1 3a  2b  c a  3b  2c 2a  b  3c a b c a b c a b c 3 Q    3a  2b  c a  3b  2c 2a  b  3c 1    Q  a  b  c        a  b  c  6(a  b  c )  3a  2b  c a  3b  2c 2a  b  3c  3 Q 3    Max(Q)   a b c  2  Q 1  Bài toán 12 Cho a,b,c dương Tìm Max Q a b c   5a  3b  3c 3a  5b  3c 3a  3b  5c Hướng dẫn 3(a  b  c )  1   Q     2  5a  3b  3c 3a  5b  3c 3a  5b  3c  3(a  b  c ) 27 27  Q   Q   2 11(a  b  c) 22 22 11 Max(Q)   a b c  11 Bài toán 13 Cho a,b,c dương Tìm Max Q a b c   3a  b  c a  3b  c a  b  3c Hướng dẫn a b c  1   Q     2  3a  b  c a  3b  c a  b  3c  a b c 9  Q   Q   2 5(a  b  c ) 10 10 Max(Q)   a b c  Bài toán 14 1   8 x y z Cho x, y, z lµ sè d¬ng tho¶ m·n: P T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña 1   2x  y  z x  2y  z x  y  2z Hướng dẫn Nhận xét Vì phải tách mẫu thành tổng số hạng không để tổng số hạng 1 1 ≤ + ta cã : A+ B A B 1 1 1   1 1  1               2x  y  z x  y  x  z  x  y x  z  16  x y x z  16  x y z  (1) ( Vì x, y, z là các số dơng, áp dụng bất đẳng thức ) DÊu “=” x¶y  x = y = z = 1 1 1   1 1  1              x  2y  z x  y  y  z  x  y y  z  16  x y y z  16  x y z  (2) DÊu “=” x¶y  x = y = z = 1 1 1   1 1  1               x  y  2z x  z  y  z  x  z y  z  16  x z y z  16  x y z  (3) DÊu “=” x¶y  x = y = z = Tõ(1); (2); (3) suy P 1 11 1         2 2x  y  z x  2y  z x  y  2z  x y z  1   8 x y z ( v× ) DÊu “=” x¶y  x = y = z = Pmax 2  x y z  VËy Bài toán 15 1 Cho x;y;z dương cho x + y + y + z + z + x =6 1 Tìm giá trị lớn P= x+3 y +2 z + y+ z +2 x + z+3 x +2 y Hướng dẫn Nhận xét Vì phải tách mẫu thành tổng số hạng không để tổng số hạng ( 3+3+2=8 không chia hết cho 3) 1 1 ≤ + với a; b là các số dương Ta có: A+ B A B 1 1 = ≤ + x +3 y +2 z (2 x + y + z)+( x+2 y + z) x+ y+ z x+2 y + z 1 1 1 ¿ + ≤ + + ( x+ y )+(x + z ) ( x + y )+( y + z ) 16 x + y x + z y + z HD Áp dụng BĐT ( Tương tự Bài toán 16 ( ) ( ) ( ) ) Cho a, b, c lµ sè thùc d¬ng, Chøng minh r»ng: 2ab 3bc 3ca a  2b  3c    3a  8b  6c 3b  6c  a 9c  4a  4b Hướng dẫn: 1 1  1 1 ( A  B  C )     9       A  B C  A B C   A B C Áp dụng BĐ T Đăt x=a; y=2b;z=3c ta có 2ab 3bc 3ca a  2b  3c    3a  8b  6c 3b  6c  a 9c  4a  4b ⇔ Q= xy yz xz x+ y+ z + + ≤ x +4 y+2 z x+3 y + z x +2 y +3 z Ta có  1 1 1       3x  y  z ( x  y)  ( x  y  z)  ( x  y  z )  x  y  y x  y  z x  y  z  1   x y y 1      2x  y xy xy x y 2 xy x yz        (1) 3x  y  z  xyz 81 9( x  y  z )     Tương tự  1 1 1       x  y  z ( y  z)  ( x  y  z)  ( x  y  z)  y  z  z x  y  z x  y  z  1   y z z 1      2y  z yz yz y z 2 yz x yz        (2) 2x  3y  4z  x yz  81 9( x  y  z )     ¿ xz 2z+x xz Tương tự x +2 y+3 z ≤ 81 + 9(x + y + z ) (3) Từ (1) ;(2) ;(3) ta có ¿ x+ y + z 2( xy +yz +zx ) x+ y+ z 2(x+ y+ z ) x + y + z Q≤ + ≤ + = 27 9( x + y + z) 27 27 Vì xy + yz+zx ≤ ( x + y + z ) Bài toán 17 Chứng minh với a, b, c dương: 1 1 1 + + ≤ + + a+2 b+c b+ c+ a c +2 a+b a+ b b+3 c c+3 a Hướng dẫn: 1   Vận dụng bất đẳng thức x y x  y ta có: 1 + ≥ = a+3 b b+2 c+ a (a+ 3b)+(b+2 c +a) a+2 b+ c 1 + ≥ = b+3 c c +2 a+b ( b+3 c)+(c +2 a+b) b+2 c +a (5) 1 + ≥ = c+3 a a+2 b+ c (c+ a)+(a+ 2b+ c) c +2 a+b Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta co bất đẳng thức (5) ¿ a+3 b=b+ 2c +a b+ c=c +2 a+b Đẳng thức xảy khi: c +3 a=a+2 b+ c ⇔ a=b=c ¿{{ ¿ Bài toán18: Cho a,b,c dương thoả mãn:a+b+c=1.Tim max : ab bc ca P    c 1 a 1 b 1 Hướng dẫn: ab ab ab  1       c 1  a  c    b  c    a  c  b  c  Ta có : Tương tự ,cộng vế ta được:  ab  bc   ab  ac   ac  bc  1 P         a  b  c   a c   b c   a b  4