SKKN SD bất đẳng thức vào giải toán

S¸ng kiÕn kinh nghiƯm PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ I . Lý do chän ®Ị tµi: - Trong những năm gần đây, Đảng và nhà nước ta luôn quan tâm đến giáo dục, từng bước có những cải cách giáo dục từ bậc mầm non đến đại học và sau đại học nhằm đưa nền giáo dục nước nhà phát triển ngang tầm khu vực. Trong chương trình giáo dục trung học phổ thông,môn toán là môn học quan trọng, là thành phần không thể thiếu của nền văn hóa phổ thông của con người mới. Môn toán có tiềm năng có thể khai thác góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy và các phẩm chất tư duy. Trong quá trình giải toán ở nhà trường cũng như trong các kỳ thi học sinh sinh giỏi các cấp, chuyên đề về bất đẳng thức là một chuyên đề hay và lý thú chính vì vậy mà nó thường xuyên có mặt trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp đặc biệt là cấp THCS và kỳ thi vào lớp 10. Trong chuyên đề về bất đẳng thức thì việc sử dụng các bất đẳng thức cơ bản để giải các loại toán và bài toán khác là khá hiệu quả thông qua đó mà lời giải được đơn giản hơn, thu được kết quả nhanh chóng. Bất đẳng thức Bunhiacopski là một bất đẳng thức kinh điển như vậy. Vì vậy nếu khai thác bất đẳng thức này vào việc giải các bài toán khác thì có thể đem lại kết qua nhiều mặt, kích thích tính sáng tạo của học sinh.Với ý nghó như vậy tôi giới thiệu “việc sử dụng bất đẳng thức bunhiacopxki vào giải một số bài toán ” II. PHẠM VI ĐỀ TÀI x x- 1 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm Tuy nội dung đề cập khá rộng và các bài toán dạng này cũng phong phú song trong khuôn khổ thời gian có hạn tôi chỉ nêu ra một số bài toán điển hình và sắp xếp trình tự từ đơn giản đến phức tạp. III. ĐỐI TƯNG Đề tài này được áp dụng cho học sinh khá giỏi THCS lớp 8-9. IV. MỤC ĐÍCH Nhằm mục đích nâng cao mở rộng hiểu biết cho học sinh nhất là việc bồi dưỡng học sinh giỏi, giúp các em hiểu sâu sắc hơn về bất đẳng thức.Qua đó giúp học sinh có điều kiện hoàn thiện các phương pháp về bất đẳng thứcvà rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh. PHẦN II NỘI DUNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN KHOA HỌC 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN KHOA HỌC. - Trong chương trình giáo dục trung học phổ thông,môn toán là môn học quan trọng, là thành phần không thể thiếu của nền văn hóa phổ thông của con người mới. Môn toán có tiềm năng có thể khai thác góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy và các phẩm chất tư duy. Trong quá trình giải toán ở nhà trường cũng như trong các kỳ thi học sinh sinh giỏi các cấp, chuyên đề về bất đẳng thức là một chuyên đề hay và lý thú chính vì vậy x x- 2 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm mà nó thường xuyên có mặt trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp, đặc biệt là cấp THCS và kỳ thi vào lớp 10. - Đứng trước một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau song việc tìm ra một lời giải hợp lý, ngắn gọn, thú vò và độc đáo là một việc không dễ thông qua đó mà thu được kết quả nhanh chóng. Bất đẳng thức Bunhiacopski là một bất đẳng thức kinh điển như vậy. Vì vậy nếu khai thác bất đẳng thức này vào việc giải các bài toán khác thì có thể đem lại kết qủa nhiều mặt, kích thích tính sáng tạo của học sinh. 2. ĐỐI TƯNG PHỤC VỤ đề tài này dùng để giảng dạy cho các học sinh tham gia thi học sinh giỏi lớp 8-9. 3. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU A. ¸p dơng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski ®Ĩ chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc I. Chứng minh các bất đẳng thức đại số - Để chứng minh các bất đẳng thức có khi áp dụng ngay và cũng nhiều khi phải biến đổi bài toán để đưa về trường hợp thích hợp rồi mới sử dụng. Sau dây là 3 kỹ thuật thường gặp: +Đánh giá từ vế lớn sang vế nhỏ và ngược lại. +Dồn phối hợp. +Kỹ thuật nghòch đảo. 1. Đánh giá từ vế lớn sang vế nhỏ và ngược lại . Ví dụ 1: Cho 2=+ ba , a,b ∈ R Chứng minh rằng: ≥+ 44 ba 2 Lời giải: Ta viết a 4+ b 4 = ( )( )       ++ 22 2 222 )(11 2 1 2 1 ba p dụng bất đẳng thức Bunhiacopski x x- 3 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm ( ) 22. 8 1 2 1 4 4 22 ==+≥ ba (đfcm) Ví dụ 2: cho 3 4 )1()1()1( ≤−+−+− ccbbaa Chứng minh rằng: 41 ≤++≤− cba Lờigiải: Tư øgiả thiết ta có: )())(111( 3 1 )()1()1()1( 3 4 222222222 cbacbacbacbaccbbaa ++−++++=++−++=−+−+−≥ B.C.S ( ) )( 3 1 2 cbacba ++−++≥ ( ) 04)(3 2 ≤−++−++⇒ cbacba 0)4)(1( ≤−+++++⇔ cbacba 41 ≤++≤−⇔ cba Ví dụ 3: cho x,y R∈ . Chứng minh rằng nếu x,y>0 và x+y=1 thì 2 25 ) 1 () 1 ( 22 ≥+++ y y x x Lời giải: Ta sử dụng )(2)( 222 baba +≤+ 2 )( 2 22 ba ba + ≥+⇔ Khi đó ta có: 2222 ) 1 1( 2 1 ) 11 ( 2 1 ) 1 () 1 ( xyy y x x y y x x +=+++≥+++ mà 4 1 4 1 4121 ≥⇒≤⇒≥⇒≥+= xy xyxyxyyx vậy 2 25 )41( 2 1 ) 1 () 1 ( 222 =+≥+++ y y x x x x- 4 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm 2. Kỹ thuật dồn phối hợp Ví dụ 1: Cho 3x-4y=7 Chứng minh rằng: 743 22 ≥+ yx Lời giải: Ta viết { } 49)43()2(3)43( 22222 =−≥−++ yxyx Ví dụ 2: Cho a,b,c,p,q là 5 số dương tùy ý. Chứng minh rằng qpqbpa c qapc b cqbp a + ≥ + + + + + 3 Lời giải )(. qcpba qcpb a a + + = )(. qapcb qapc b b + + = )(. qbpac qbpa c c + + = Gọi S là vế trái ta có: { } ))(()()()()( 2 cabcabqpSqbpacqapcbqcpbaScba +++=+++++≤++ (2) Mà 2 )( 3 1 cbacabcab ++≤++ (3) Vì (3) 2 222222 2 )( 222))(()(2)(3 )()(3 cba cabcabcbacbacabcabcabcabcabcab cbacabcab ++= +++++++≤+++++=++ ++≤++⇔ Từ (2), (3) 22 ).( 3 1 ).()( cbaqpScba +++≤++⇒ qp S + ≥⇒ 3 (đpcm) Ví dụ 3: Cho 0>≥≥ zyx Chứng minh rằng: 222 222 zyx y xz x zy z yx ++≥++ (1) x x- 5 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm Lời giải : Xét hai dãy số: y xz x zy z yx ,, và x yz z xy y zx ,, Ta có: 2222 222222 )()).(( zyx x yz z xy y zx y xz x zy z yx ++≥++++ (2) Xét hiệu 0))()()(( 1 ( 1 232323232323 222222 ≥++−−−= −−−++=−−−++= zxyzxyxzzyyx xyz yzxyzxxzzyyx xyzx yz z xy y zx y xz x zy z yx A x yz z xy y zx y xz x zy z yx 222222 ++≥++⇒ (3) Từ (2), (3) suy ra đpcm 3. Kỹ thuật nghòch đảo Dạng 1 2 1 2 1 2 1 )())(( ∑∑∑ === ≥ n i i n i i i n i i x y x y 0>∀ i y Chứng minh: Ta viết ∑ ∑∑ ∑∑∑ = == === =≥= n i n i i i i i n i n i i i n i i i i n i i x y x y y x y y x y 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 )()).(()(.)()(( Ví dụ Chứng minh rằng 0,, 2 222 >∀ ++ ≥ + + + + + cba cba ba c ac b cb a (1) Lời giải Ta có { } 2 222 )()()()( cba ba c ac b cb a baaccb ++≥       + + + + + +++++ 2)(2 )( 2222 cba cba cba ba c ac b cb a ++ = ++ ++ ≥ + + + + + ⇒ Ví dụ 2 Chứng minh rằng x x- 6 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm cba cba c bac b acb a ++≥ −+ + −+ + −+ 222 (1) ∀ a,b,c là độ dài cạch của ∆ ABC Lời giải [ ] [ ] 2 )()1(.)()()( cbaVTcbabacacb ++≥−++−++−+ cbaVT ++≥⇒ )1( Ví dụ 3: Chứng minh rằng cba cba ba c ac b cb a ,, 2 222333 ∀ ++ ≥ + + + + + (1) Lời giải: 2 )1( 222444 cba cbca c babc b acab a ++ ≥ + + + + + ⇔ Theo bất đẳng thức B.C.S : [ ] [ ] 2222 )()1(.)()()( cbaVTcbcabcbaacab ++≥+++++ Mặt khác ta có: cabcabcba ++≥++ 222 2)(2 ))(( )1( 222222 cba cabcab cabcabcba VT ++ = ++ ++++ ≥ Dạng 2 2 111 )())(.( ∑∑∑ === ≥ n i i n i i i n i ii x y x yx 0, >∀ ii yx Chứng minh: Theo bất đẳng thức B.C.S ta có: ∑∑∑∑∑ ===== =         ≥                 = n i i n i i i n i ii n i i i n i ii x y x yx y x yxVT 1 2 2 111 22 1 )( )(.).( Ví dụ 1 Chứng minh rằng 0,, 2 3 >∀≥ + + + + + cba ba c ac b cb a Lời giải: Ta viết { } { } )(3)()1(.)()()( 2 cabcabcbaVTbacacbcba ++≥++≥+++++ x x- 7 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm 2 3 )(2 )(3 = ++ ++ ≥⇒ cabcab cabcab VT (Đpcm) Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 3 2 32323232 ≥ ++ + ++ + ++ + ++ cba d bad c adc b dcb a Lời giải: Ta có ∑ ∑ +++≥ ++ ++ 2 )( 32 ).32( dcba dcb a dcba Ta sẽ chứng minh ∑ +++≤++ 2 )( 2 3 )32( dcbadcba 0)()()()()( )(3)(2 22222 2222 ≥−+−+−+−+−⇔ +++≤+++++⇔ dccbdacaba dcbacdbdbcadacab II. Chứng minh các bất đẳng thức hình học Cho ABC∆ có AB=c, AC=b, BC=a. Chứng minh rằng 0)()()( 222 ≥−+−+− acaccbcbbaba (1) Lời giải: Theo ký hiệu như hình vẽ thì luôn tồn tại x,y,z>0 Sao cho a=x+z b=z+x c=x+y 0)( 0))(()())(()())(()()1( 333 222 ≥++−++⇔ ≥−+++−+++−++⇔ zyxxyzyxxzzy zxzyyxyzyxxzxyxzzy zyx z x y z x y ++≥++ 222 Theo bất đẳng thức B.C.S 2 222 )())(( zyx z x y z x y zyx ++≥++++ zyx z x y z x y ++≥++⇒ 222 (đpcm) Ví dụ 2: ABC ∆ có AB=c, AC=b, BC=a. p là nửa chu vi. Chứng minh rằng x x- 8 x A C B z x y y z S¸ng kiÕn kinh nghiƯm )( 35 36 2222 p abc pcba +≥++ (1) Lời giải       ++ + ++ ≥++⇔ cb abccba cba 2 2 2 )( 35 36 ()1( 2 222 2222 )(9)(35 cbacba ++≥++⇔ (2) Theo CôSi: 3 222222 3 cbacba ≥++ 3 3 abccba ≥++ cba abc cba ++ ≥++⇒ 72 )(8 222 (3) Từ (2)và (3) suy ra ĐPCM. (dấu bằng xẩy ra khi ABC ∆ đều) Ví dụ 3: Cho đường tròn nội tiếp tiếp xúc với 3 cạch của ABC ∆ tại M,N,P. Chứng minh rằng: S (MNP) 4 S ≤ (S- Diện tích tam giác) Lời giải: Đặt S (ANP) =S 1 ; S (BPM) =S 2 , S (CMN) =S 3 Ta phải chứng minh: 4 3 321 ≥ ++ S SSS (1) 2 222 ).( )()()( pcabcab ab cp ca bp bc ap ≥++       − + − + − 4 3 )(4 )( )1( 2 ≥ ++ ++ ≥⇒ cabcab cba VT 4 3 321 ≥ ++ S SSS 4 1 )( ≤⇒ S S MNP (Dấu “=” xẩy ra khi ABC ∆ đều) B. Sư dơng bÊt ®¼ng thøc BUNHIACOPSKI ®Ĩ gi¶ng c¸c bµi to¸n cùc trÞ ®¹i sè : Sử dụng kết quả: x x- 9 A P N M B C S¸ng kiÕn kinh nghiƯm a. Nếu Cxaxaxa nn =+++ 2211 , C là hằng số thì 22 2 2 1 2 22 2 2 1 ) ( n n aaa C xxxMin +++ =+++ Dấu “=” xẩy ra khi n n x a x a x a === 2 2 1 1 b. Nếu ConstCxxx n −=+++ 222 2 2 1 thì 22 2 2 12211 ||) ( nnn aaaCxaxaxaMax +++=+++ Dấu “=”xẩy ra khi 0 2 2 1 1 ≤=== n n x a x a x a Ví dụ 1: Cho 1 22 =+ yx tìm )11.( xyyxMax +++ Lời giải: [ ] 222))(11( 2)1()1()(11. 2222 2222 +≤+++≤ ++=++++≤+++= yx yxxyyxxyyxA 2 2 22 ==⇔+=⇒ yxMaxA Ví dụ 2: Cho 91636 22 =+ yx Tìm Max, Min của A=(y-2x+5) Lời giải: Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: ( ) 22222 )2() 4 1 () 3 1 (1636 xyyx −≥       +−+ 4 5 2 4 5 )2( 16 25 2 ≤−≤−⇔−≥⇒ xyxy 4 25 52 4 15 ≤+−≤⇔ xy ) 20 9 , 5 2 ( 4 25 )52( =−=⇔=+− yxxyMax ) 20 9 , 5 2 ( 4 15 )52( ==⇔=+− yxxyMin Ví dụ 3: cho x,y, z thỏa mãn xy+yz+zx=4 Tìm MinA biết A=x 4 +y 4 +z 4 x x- 10 [...]... gặp các bài toán về bất đẳng thức, tạo hứng thú với học toán, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền cho học sinh tự học tự nghiên cứu 5 GIẢI PHÁP MỚI - Bài toán nói chung rất đa dạng và phong phú Mỗi bài toán lại có rất nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học... trước hết học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản vận dụng linh hoạt các kiến thức này Từ đó mới dạy các chuyên đề mở rộng, nâng cao, khắc sâu kiến thức một cách hợp ly ùvới các đối tựợng học sinh nhằm bồi dưỡng năng khiếu, rèn kỹ năng cho học sinh Chuyên đề này chủ yếu đưa ra các bài tập có sử dụng bất đẳng thức B.C.S từ đó hình thành kỹ năng, phương pháp giải Do đó khi giảng dạy phải cung cấp nhiều... đã hệ thống được mộït số kiến thức liên quan, sưu tầm và tích lũy được một số bài tập phù hợp theo mức độ từ dễ đến khó để cho học sinh tham khảo tự giải 2 HIỆU QUẢ KHI ÁP DỤNG - Sau khi học sinh học xong chuyên đề này học sinh thấy tự tin hơn, hứng thú hơn, tạo cho hóc sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền cho học... 1 + x + 1 + y + 1 + z ≤ (12 + 12 + 12 )(1 + x + 1 + y + 1 + z ) = 3.4 = 2 3 ⇒ MaxA = 2 3 ⇔ x = y = z = 1 3  x 2 + y 2 = 16  2 2 Ví dụ 5: cho u + v = 25  xu + yv ≥ 20  Tìm Max (x+v) Lời giải: p dụng bất đẳng thức B.C.S ta có: 20 ≤ xu + yv ≤ ( x 2 + y 2 )(u 2 + v 2 ) = 20.25 = 20 ⇒ xu + yv = 20 ⇔ x y + ⇔ xv = yu u v Mặt khác 41 = ( x 2 + y 2 ) + (u 2 + v 2 ) = ( x 2 + v 2 ) + ( y 2 + u 2 ) ≥ x 2... trong tỉnh PHẦN C KẾT LUẬN - Một bài toán có thể có rất nhiều cách giải song việc tìm ra một lời giải hợp lý, ngắn gọn thú vò và độc đáo là một việc không dễ.Do đó đây chỉ là một chuyên đề trong hàng chuyên đề, một phương pháp trong hàng vạn phương pháp để giúp phát triển tư duy, sự sáng tạo của học sinh Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó là cung cấp cho... bản đó, phân tích tìm ra hướng giải, bắt đầu từ đâu và bắt đầu như thế nào là rất quan trọng để học sinh không sợ khi đứng trước một bài toán khó mà dần dần tạo sự tự tin, gây hứng thú say mê môn toán, từ đó tạo cho học sinh tác phong tự học tự nghiên cứu Tuy nội dung đề cập khá rộng song trong khuôn khổ thời gian hạn hẹn người viết cũng chỉ chỉ ra được các ví dụ, bài toán điển hình - Rất mong sựï đóng... kinh nghiƯm -Lời giải: Từ giả thiết 42=(xy+yz+zx)2 ≤ (x2 +y2 +z2)(y2+z2+x2) Suy ra: (x2+y2+z2)2 ≥ 42 ⇒ (12 + 12 + 12 )( x 4 + y 4 + z 4 ) ≥ 16 x4 + y4 + z 4 ≥ MinA = 16 3 16 2 ⇔x= y=z=± 3 3 Ví dụ 4: Cho x,y,z thỏa mãn x,y,z ≥ −1 và x+y+z=1 Tìm MaxA biết A = 1+ x + 1+ y + 1+ z Lời giải: Theo B.C.S ta có A = 1 + x + 1 + y + 1 + z ≤ (12 + 12 + 12 )(1... + 1 + 4c + 1 ≤ 21 8 Có tồn tại hay không 3 số: a ≥ 1, b ≥ 1, c ≥ 1 thỏa mãn điều kiện: a − 1 + b − 1 + c − 1 > c(ab − 1) 9 Cho x, y, z ≥ 0 thỏa mãn điều kiện x+y+z=1 Tìm giá trò nhỏ nhất của các biểu thức a, A=x2+y2+z2 b, B=x4+y4+z4 3 10 Cho: a, b,c ≥ 4 và a+b+c=3 Chứng minh: 4a + 3 + 4b + 3 + 4c + 3 ≤ 3 7 11 Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số: f ( x, y, z ) = xy + yz + zx − mxyz Trong đó x ≥ 0, y ≥... -y= 20 41 , x= 16 41 25 , z= 41 Ví dụ 6: Tìm các cặp số (x,y) x,y>0 để x4 y4 x2 y2 x y A = 4 + 4 − 2 − 2 + + đạt giá trò nhỏ nhất Tìm giá trò nhỏ nhất đó y x y x y x Lời giải: x y Đặt t = y + x ⇒ t ≥ 2 ⇒ x2 y2 x4 y4 + 2 = t 2 − 2 , 4 + 4 = t 4 − 4t 2 + 2 y2 x y x [ ] ⇒ A = t 4 − 5t 2 + t + 4 = (t 2 − 2) 2 − 2 − (t 2 − 2) + t = (t 2 − 2)(t 2 − 3) + t − 2 2 2 Do t ≥ 2 ⇒ . hơn, thu được kết quả nhanh chóng. Bất đẳng thức Bunhiacopski là một bất đẳng thức kinh điển như vậy. Vì vậy nếu khai thác bất đẳng thức này vào việc giải các bài toán khác thì có thể đem lại kết. đó mà thu được kết quả nhanh chóng. Bất đẳng thức Bunhiacopski là một bất đẳng thức kinh điển như vậy. Vì vậy nếu khai thác bất đẳng thức này vào việc giải các bài toán khác thì có thể đem lại kết. THCS và kỳ thi vào lớp 10. Trong chuyên đề về bất đẳng thức thì việc sử dụng các bất đẳng thức cơ bản để giải các loại toán và bài toán khác là khá hiệu quả thông qua đó mà lời giải được đơn giản