skkn VẬN DỤNG NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀO GIẢI TOÁN LỚP 8

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN MỎ CÀY NAM TRƯỜNG THCS THÀNH THỚI B Đề tài SKKN VẬN DỤNG NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀO GIẢI TOÁN LỚP GV: TRẦN NAM HUÂN Năm học:2011-2012 PHẦN MỞ ĐẦU I.Bối cảnh đề tài: Trên đường đến cải cách giáo dục việc đổi phương pháp dạy học nhiệm vụ quan trọng giáo viên phải thực Để làm hiệu việc , đòi hỏi người thầy giáo lao động nghệ thuật sáng tạo, tạo phương pháp phù hợp để hướng dẫn học sinh giải toán nhanh xác II.Lý chọn đề tài: Trong chương trình đại số lớp chương I “ Phép nhân phép chia đa thức” có bài: “Những đẳng thức đáng nhớ” Với tất tiết lí thuyết tiết luyện tập học sinh phần hiểu nắm kiến thức đẳng thức Nhưng việc nắm hiểu sâu để sau vận dụng vào kiến thức có liên quan như: Phân tích đa thức thành nhân tử, tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức xa dạng tốn như: tìm cực trị, chứng minh chia hết … vận dụng thức nhiều Do mức độ kiến thức mà em đạt chưa thể nói thỏa mãn yêu cầu người dạy người học tốn Chính lí tơi lựa chọn viết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “ Vận dụng đẳng thức vào giải tốn lớp 8” III.Phạm vi đối tượng nghiên cứu -Phạm vi nghiên cứu: Vận dụng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán -Đối tượng nghiên cứu: học sinh lớp VI.Mục đích nghiên cứu: Mục đích việc chọn đề tài để nâng cao nghiệp vụ công tác thân.Bên cạnh trao đổi đồng nghiệp phương pháp dạy “Những đẳng thức đáng nhớ” nhằm cung cấp cho học sinh phương pháp học làm toán, nắm kiến thức bản, cách tư phương pháp sử dụng linh hoạt đẳng thức vào giải tốn Từ tạo nên điều kiện để học sinh học tốt, lĩnh hội tốt kiến thức liên quan sau V.Điểm kết nghiên cứu: -Đề tài sai lầm mà học sinh trung bình, yếu vướng phải cách khắc phục vận dụng đẳng thức vào giải toán -Nâng cao kiến thức toán giúp học sinh giỏi kích thích khả tư duy, khả quan sát, sáng tạo, rèn cho em kĩ phân tích, tổng hợp, tư suy luận lơgic để giải tốn khó PHẦN NỘI DUNG I.Cơ sở lý luận: Trong thực tế giảng dạy toán trường THCS việc làm cho học sinh biết vận dụng kiến thức học để giải tốn cơng việc quan trọng khơng thể thiếu người dạy tốn Vì thơng qua rèn luyện tư logic, khả sáng tạo, khả vận dụng cho học sinh Để làm điều người thầy giáo phải cung cấp cho học sinh kiến thức bản, phương pháp vận dụng biến đổi phù hợp giúp cho học sinh hiểu thực chất vấn đề để từ có kĩ giải tốn thành thạo, khỏi tâm lí chán nản sợ mơn tốn II.Thực trạng vấn đề: Năm học 2010-2011 tơi nhà trường phân cơng giảng dạy mơn tốn khối từ đầu năm học Sau học xong nội dung “Những đẳng thức đáng nhớ” cho em làm kiểm tra viết, thời gian làm 45 phút với mục tiêu: Kiểm tra mức độ nắm kiến thức kĩ vận dụng đẳng thức vào làm tập Kết thu sau: KẾT QUẢ ĐIỂM TRƯỚC KHI VẬN DỤNG ĐỀ TÀI Lớp Sĩ số Giỏi Khá Tb Yếu SL % SL % SL % SL % 34 17.6 20.6 26.5 12 35.3 35 17.1 22.9 11 31.5 11 31.5 Kết chứng tỏ rằng: Hầu hết em ghi lại nội dung bảy đẳng thức cho em tập cần vận dụng đẳng thức có số học sinh ngượng ngập, không tìm lời giải, chưa chịu khó suy nghĩ Rất nhiều học sinh lớp chưa hiểu nắm đẳng thức để vận dụng linh hoạt vào giải dạng toán Kết nhiều tốn học sinh khơng giải giải sai Trong chương trình sách giáo khoa khơng phải người học đáp ứng yêu cầu đưa ra, đối tượng học sinh vùng sâu, vùng xa, địa phương có điều kiện kinh tế khó khăn Địa bàn cư trú rộng, xa trường, kinh tế gia đình khơng ổn định, khó khăn nên nhiều ảnh hưởng đến việc học em Bên cạnh đó, số học sinh ham chơi, lười học, ngồi học lớp chưa tập trung có tâm lí chán nản sợ học mơn tốn Khi kiểm tra em lý thuyết hiểu yêu cầu em làm thêm phần tập vận dụng lúng túng khó khăn để trình bày Vì việc chuẩn bị tốt cho học sinh kiến thức đẳng thức đáng nhớ, đặc biệt phương pháp giải tốn có liên quan đến đẳng thức thật vơ quan trọng Qua giúp em khắc sâu kiến thức, kích thích khả tư duy, khả quan sát, sáng tạo, rèn cho em kĩ phân tích, tổng hợp, tư suy luân lôgic Hơn giúp em có “niềm tin” học tập Với thực tế tơi xác định phải tự tìm cho cách dạy đẳng thức cho phù hợp với thực tế, kích thích óc suy nghĩ em Giúp em nâng cao chất lượng mơn tốn, em có tư để linh hoạt sử dụng đẳng thức vào giải toán cần thiết, em thấy hứng thú u thích mơn học Hơn giúp em có niềm tin để lĩnh hội tốt, học tốt kiến thức sau III.Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Chương1:MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN * Bảy đẳng thức đáng nhớ (A+B)2 = A2 + 2AB + B2 (A– B)2 = A2 – 2AB + B2 A2 – B2 = (A– B) (A+B) (A+B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A– B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 A3 + B3 = (A+ B) (A2 – AB + B2 ) A3 – B3 = (A– B) (A2 + AB + B2 ) * Một số đẳng thức tổng quát ( Dành cho học sinh giỏi) (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc an – bn = (a- b)(a n-1 + an-2b + … + abn-2 + bn-1) a2k – b2k = (a + b )(a2k-1 – a2k-1b + … + a2k-3b2 –b2k-1) a2k+1 – b2k+1 = (a + b )(a2k – a2k-1b + a2k-2b2 - … + b2k) n(n  1) n-2 n(n  1) n-2 a b +…+ a b +nabn-1 + b n 1.2 n( n  1) n-2 n( n  1) n-2 (a -b)n = a n - nan-1b + a b - …a b +nabn-1 - bn 1.2 (a + b)n = an + na n-1b + Chương 2: VẬN DỤNG NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀO GIẢI TOÁN: 2.1 Làm để học sinh tránh lỗi vận dụng đẳng thức vào giải toán? Ngay sau học xong hai đẳng thức: Bình phương tổng, bình phương hiệu Tơi có mời hai em học sinh ( học lực trung bình khá) lên bảng với yêu cầu sau: Học sinh 1: a/ Viết cơng thức bình phương tổng hai biểu thức A, B ? b/ Tính: ( x + 1)2 ; (2x + 3y)2 Học sinh 2: a/ Viết cơng thức bình phương hiệu hai biểu thức A, B ? b/ Điền biểu thức thích hợp vào chỗ trống: x2 – 6xy + … = (… – 3y )2 … – 4y + = ( … – )2 Kết em thực sau: Học sinh 1: a/ (A+B)2 = A2 + 2AB + B2 b/ ( x + 1)2 = x2 + 2x + ( 2x + 3y)2 = 2x2 + 12xy + 3y2 Học sinh 2: a/ (A– B)2 = A2 – 2AB + B2 b/ Điền biểu thức thích hợp vào chỗ trống: x2 – 6xy + 3y2.= ( x – 3y )2 y2 – 4y + = ( y – )2 Điều chứng tỏ với biểu thức A, B đẳng thức số gồm biến em dễ dàng vận dụng đẳng thức vào làm tập Tuy nhiên A, B biểu thức phức tạp em lại hay bị mắc phải sai lầm tập Vậy làm để em hạn chế tối đa sai lầm trên? Trước hết lưu ý em phải sử dụng dấu ngoặc lũy thừa biểu thức ta viết đẳng thức dạng: ( + )2 = + + Ví dụ 1: ( 2x + 3y )2 = 2x + 2x 3y + 3y = 4x2 + 12xy + 9y2 Sau hướng dẫn yêu cầu học sinh đứng chỗ sửa chỗ làm sai bạn, kết quả: x2 – 6xy + (3y)2 = (x – 3y )2 hay x2 – 6xy + 9y2 = (x– 3y )2 Qua tiết học lớp, phần lớn em vận dụng vào làm tập vận dụng vào đẳng thức Ví dụ 2: Tính ( 2x2 + 3y)3 ? Kết quả: ( 2x2 + 3y)3 = 8x6 + 36x4y + 54x2y2 + 27y3 2.2 Vận dụng đẳng thức vào làm dạng tập: 2.1.1 Rút gọn biểu thức Ví dụ 1: a/ (x + 3)(x2 – 3x + ) – (54 + x3) b/ (2x + y)( 4x2 – 2xy + y2) – (2x– y)( 4x2 + 2xy + y2) Sau đưa đề lên bảng cho em thảo luận trình bày làm nhóm tơi thấy phần lớn nhóm làm sau: a/ (x + 3)(x2 – 3x + ) – (54 + x3) = x3 – 3x2 + 9x + 3x2 – 9x + 27 – 54 – x3 = - 27 b/ (2x + y)( 4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)( 4x2 + 2xy + y2) = 8x3 – 4x2y + 2xy2 + 4x2y – 2xy2 + y3 – 8x3 – 4x2y – 2xy2 + 4x2y + 2xy2 + y3 = 2y3 Tạm chấp nhận với lời giải đó, tơi đưa tiếp tập: Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: ( x + y + z )2 – 2( x+ y + z)(x + y) + (x+ y)2 Kết hầu hết em không làm Tôi nhận điều, là: Hầu em học hình thức, sau có đề em bắt tay vào làm tất mà em làm mà không quan sát, tư để tìm lời giải nhanh hơn, ngắn gọn hơn, thích hợp Do sau giới thiệu đề đặt câu hỏi: “Các em quan sát kĩ đề thử phát biểu thức cho có đặc biệt ?” để từ em hình thành cho thói quen phải biết quan sát, biết đặt câu hỏi phân tích, tự trả lời tìm cho lời giải thích hợp Kết em nhận đẳng thức biểu thức tự tin bắt tay làm bài: Ví dụ 1: a/ (x + 3)(x2 – 3x + ) – (54 + x3) = x3 + 27 – 54 – x3 = - 27 b/ (2x + y)( 4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)( 4x2 + 2xy + y2) = (2x)3 + y3 – [(2x)3 – y3] = 8x3 + y3 – 8x3 + y3 = 2y3 Ví dụ 2: ( x + y + z )2 – 2( x+ y + z)(x + y) + (x+ y)2 = [( x + y + z ) – (x+ y)]2 = (x + y + z – x –y )2 = z2 Tôi nhận thấy cần phải lưu ý cho em thấy được: “A; B” đẳng thức đơn thức đa thức 2.1.2 Phân tích đa thức thành nhân tử: Trước hết chuẩn bị bảng phụ: Hãy điền biểu thức thích hợp vào vế lại đẳng thức : A2 + 2AB + B2 = …… A2 – 2AB + B2 = …… A2 – B2 = ………… A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = ………… A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 = ……… A3 + B3 = …………………… A3 – B3 = …………………… Qua tập giúp em linh hoạt biến đổi hai vế đẳng thức vận dụng thành thạo đẳng thức vào việc giải tốn dạng: Phân tích đa thức thành nhân tử tập áp dụng Bài tập áp dụng: Ví dụ 1: Tính nhanh giá trị biểu thức: a/ M = x2 + 4y2 – 4xy x = 18 y = b/ N = 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3 x = y = - Giải 2 a/ M = x + 4y – 4xy M = (x – 2y)2 Tại x = 18 y = ta được: M = ( 18 – 2.4)2 = 102 = 100 b/ N = 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3 N = (2x – y )3 Tại x = y = - ta được: N = ( 2.6 – (-8))3 = 203 = 8000 Lưu ý học sinh phải quan sát đề bài, phân tích biểu thức thành nhân tử thay số vào tính giá trị Ví dụ 2: Làm tính chia: a/ (x3 + 8y3) : (x + 2y) b/ ( x2 – y2 + 6x + 9) : ( x + y + 3) Giải 3 a/ (x + 8y ) : (x + 2y) = (x + 2y)(x2 – 2xy +y2) : (x+ 2y) = x2 – 2xy +y2 b/ ( x2 – y2 + 6x + 9) : ( x + y + 3) = [(x2 + 6x + 9) – y2]: ( x + y + 3) = ( x + y + 3)( x - y + 3): ( x + y + 3) = x-y+3 Học sinh thấy lúng túng em thực phép chia phép chia thơng thường giáo viên cần gợi ý để giúp em phân tích đề bài, tìm lời giải thích hợp Chương3 : MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI Bài tập Tính : a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052 b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 Giải a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052 A = + (32 – 22) + (52 – 42)+ …+ ( 20052 – 20042) A = + (3 + 2)(3 – 2) + (5 + )(5 – 4) + … + (2005 + 2004)(2005 – 2004) A = + + + + + … + 2004 + 2005 A = ( + 2002 ) 2005 : = 2011015 b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B = (22 - 1) (22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B = ( 24 – 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B=… B =(232 - 1)(232 + 1) – 264 B = 264 – – 264 B=-1 * Chú ý: Quan sát biến đổi toán cách sử dụng đẳng thức A2 – B2 =(A-B)(A+B) Bài tập 2: Tìm giá trị nhỏ hay giá trị lớn biểu thức sau: a/ A = x2 – 4x + b/ B = x2 + 8x c/ C = - 2x2 + 8x – 15 Giải 2 a/ A = x – 4x + = x – 4x + + = ( x - 2)2 + > Dấu “ =” xảy  x – =  x = Vậy giá trị nhỏ biểu thức A x = b/ B = x2 + 8x = (x2 + 8x + 16 ) – 16 = (x – 4)2 – 16 > - 16 Dấu “ =” xảy  x – =  x = Vậy giá trị nhỏ biểu thức A -16 x = c/ C = - 2x2 + 8x – 15 = – 2(x2 – 4x + 4) – = – 2( x - 2)2 – < - Dấu “ =” xảy  x – =  x = Vậy giá trị lớn biểu thức A - x = * Chú ý:  Để tìm giá trị nhỏ biểu thức A ta cần: - Chứng minh A > m với m số - Chỉ dấu “=” xảy - Kết luận: Giá trị nhỏ A m ( kí hiệu minA )  Để tìm giá trị lớn biểu thức A ta cần: - Chứng minh A < t với t số - Chỉ dấu “=” xảy - Kết luận: Giá trị lớn A t ( kí hiệu maxA ) Bài tập 3: Chứng minh ( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac ) a = b = c Giải ( a + b + c ) = 3(ab + bc + ac )  a2 + 2ab + b2 + 2bc + 2ac + c2 = 3ab + 3bc + 3ac  a2 + b2 + c2- ab - bc – ac =  2a2 + 2b2 + 2c2- 2ab - 2bc – 2ac =  ( a2 – 2ab + b2) + ( b2 – 2bc + c2) + ( c2 – 2ac + a2) =  ( a – b)2 + ( b – c)2 + ( c – a)2 =  ( a – b)2 =0 hay ( b – c)2 = hay ( c – a)2 =  a = b hay b = c hay c = a  a=b=c * Chú ý: Quan sát biến đổi toán cách sử dụng đẳng thức (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 Bài tập Chứng minh rằng: a/ 7.52n + 12.6n  19 ( n  N) b/ 11n+2 + 122n+1  133 ( n N) Giải a/ 7.52n + 12.6n = 7.(25 n – 6n) + 19.6n  19 Vì ( 25n – 6n )  ( 25 – 6) nên ( 25 n – 6n )  19 19.6n  19 Vậy 7.52n + 12.6n  19 ( n  N) b/ 11n+2 + 122n+1  133 = 112 11n + 12.122n = 12.( 144 n – 11n) + 133.11n  133 Vì (144n – 11 n)  (144 – 11) nên (144n – 11n)  133 * Chú ý: Quan sát biến đổi toán cách sử dụng đẳng thức an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b + … + ab n-2 + bn-1) (an – bn)  (a- b) Bài tập Tìm x, y, z biết rằng: 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = Giải 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 =  (x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz) + (x2 + 10x + 25) + (y2+ 6y + 9) =  ( x + y + z)2 + ( x + 5)2 + (y + 3)2 =  ( x + y + z)2 = ; ( x + 5)2 = ; (y + 3)2 =  x = - ; y = -3; z = * Chú ý: Quan sát biến đổi toán cách sử dụng đẳng thức (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 Bài tập 6: Cho x = 11  15  ; y = 11  19  n chữ số n chữ số Chứng minh xy + số phương Giải Ta có : y = 11  19 = 11  15 + = x +   n chữ số n chữ số Do đó: xy + = x(x + 4) + = x2 + 4x + = ( x + )2 hay xy + = 11   17   số phương n chữ số IV.Hiệu SKKN: Năm học 2011-2012 nhà trường phân cơng giảng dạy mơn tốn lớp 81, 82 Rút kinh nghiệm năm trước chất lượng học sinh thấp nên bắt đầu vào dạy từ đẳng thức mạnh dạn vận dụng đề tài vào giảng dạy kết thu sau: KẾT QUẢ ĐIỂM SAU KHI VẬN DỤNG ĐỀ TÀI Lớp Sĩ số Giỏi Khá Tb Yếu SL % SL % SL % SL % 30 26.7 23.3 10 33.3 16.7 29 24.2 24.1 11 37.9 13.8 Kết chứng tỏ rằng: Việc vận dụng kinh nghiệm nêu trên, thời gian chưa dài kết tương đối khả quan kết chưa cao, chưa theo mong muốn thân dù có khởi sắc chất lượng học tập, số học sinh yếu giảm Và kiến thức khắc sâu hơn, em tự tin vận dụng kiến thức học vào giải toán PHẦN KẾT LUẬN I.Những học kinh nghiệm Tôi đưa nội dung đề tài để trao đổi quý đồng nghiệp tổ chuyên môn hưởng ứng đồng tình quý đồng nghiệp tổ Xin rút kinh nghiệm sau: -Tạo mối quan hệ hợp lí dạy kiến thức dạy kĩ năng, phương pháp suy nghĩ hành động -Cần có quan điểm là: Tư quan trọng kiến thức, nắm vững phương pháp thuộc lí thuyết -Dạy cách suy nghĩ, dạy học sinh thành thạo thao tác tư (phân tích, tổng hợp, tương tự…) 10 -Đừng bỏ qua mà khai thác câu trả lời học sinh, khuyến khích câu trả lời tốt -Vừa giảng, vừa luyện, vừa vận dụng kiến thức cách tốt để học sinh nắm kiến thức -Không dừng lại biết mà phải ln tư duy, sáng tạo, tìm tòi học hỏi II.Ý nghĩa SKKN: Việc vận dụng tốt đề tài vào giảng dạy có tác dụng tích cực đến nâng cao chất lượng học tập mơn tốn nói chung mơn tốn khối nói riêng Học sinh dể dàng nhận dạng áp dụng xác đẳng thức vào tập vận dụng.Từ kích thích niềm đam mê học tốn để tìm tòi, sáng tạo tìm cách giải tốn nâng cao III.Khả ứng dụng triển khai: Ở chương I II ứng dụng cho đối tượng học sinh khối 8, chương III dành cho học sinh giỏi Với đề tài nêu đưa vào thực tế giảng dạy trường công tác năm học 2011- 2012 đạt kết tương đối khả quan.Tôi nhận thấy đề tài áp dụng cho tất trường khu vực VI.Những ý kiến đề xuất: Bên cạch ưu điểm mà đề tài đạt được, việc vận dụng đề tài vào dạy có hạn chế như: khơng đủ thời gian để vừa phụ đạo cho học sinh yếu tiết học, vừa giúp em giỏi bồi dưỡng thêm dạng tập nâng cao nhằm củng cố, khắc sâu, kích thích tăng cường rèn luyện khả tư duy, sáng tạo, tìm tòi … thích hợp với đối tượng học sinh Vì để đạt hiệu cao đề tài này, nhà trường nên tổ chức lớp phụ đạo học sinh yếu để áp dụng chương I, II lớp bồi dưỡng học sinh giỏi áp dụng chương III vào giảng dạy Đề tài chắn nhiều thiếu sót, tơi mong đóng góp q đồng nghiệp để nội dung hồn hảo hơn, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục, đáp ứng nhu cầu ngày cao xã hội Tôi xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý đồng ngiệp để giúp tơi hồn thành đề tài 11 MỤC LỤC Phần mở đầu Trang I.Bối cảnh đề tài II.Lý chọn đề tài III.Phạm vi đối tượng nghiên cứu IV.Điểm kết nghiên cứu Phần nội dung I.Cơ sở lý luận II.Thực trạng vấn đề III.Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề IV.Hiệu SKKN Phần kết luận I.Những học kinh nghiệm II.Ý nghĩa SKKN 10 III.Khả ứng dụng triển khai 10 IV.Những kiến nghị đề xuất 10 12