THÔNG TIN TÀI LIỆU
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT TÍNH BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Chuyên đề Chủ đề 1.1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) xác định K , với K khoảng, nửa khoảng đoạn • Hàm số y = f ( x ) đồng biến (tăng) K ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) • Hàm số y = f ( x ) nghịch biến (giảm) K ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm khoảng K • Nếu hàm số đồng biến khoảng K f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K • Nếu hàm số nghịch biến khoảng K f ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ K Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm khoảng K • Nếu f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ K hàm số đồng biến khoảng K • Nếu f ′ ( x ) < 0, ∀x ∈ K hàm số nghịch biến khoảng K • Nếu f ′ ( x ) = 0, ∀x ∈ K hàm số không đổi khoảng K Chú ý Nếu K đoạn nửa khoảng phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn nửa khoảng đó” Chẳng hạn: Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [ a; b ] có đạo hàm f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ K khoảng ( a; b ) hàm số đồng biến đoạn [ a; b ] Nếu f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K ( f ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ K ) f ′ ( x ) = số điểm hữu hạn K hàm số đồng biến khoảng K ( nghịch biến khoảng K ) B KỸ NĂNG CƠ BẢN Lập bảng xét dấu biểu thức P ( x ) Bước Tìm nghiệm biểu thức P( x ) , giá trị x làm biểu thức P( x ) không xác định Bước Sắp xếp giá trị x tìm theo thứ tự từ nhỏ đến lớn Bước Sử dụng máy tính tìm dấu P( x ) khoảng bảng xét dấu Xét tính đơn điệu hàm số y = f ( x ) tập xác định Bước Tìm tập xác định D Bước Tính đạo hàm y ′ = f ′( x ) Bước Tìm nghiệm f ′( x ) giá trị x làm cho f ′( x ) không xác định Bước Lập bảng biến thiên Bước Kết luận Tìm điều kiện tham số m để hàm số y = f ( x ) đồng biến, nghịch biến khoảng ( a; b ) cho trước Cho hàm số y = f ( x, m) có tập xác định D, khoảng (a; b) ⊂ D : Hàm số nghịch biến (a; b) ⇔ y ' < 0, ∀x ∈ (a; b) Hàm số đồng biến (a; b) ⇔ y ' > 0, ∀x ∈ (a; b) Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 1|THBTN Chú ý: Riêng hàm số đa thức : Hàm số nghịch biến (a; b) ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ (a; b) Hàm số đồng biến (a; b) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) * Nhắc lại số kiến thức liên quan: Cho tam thức g ( x ) = ax + bx + c (a ≠ 0) a > a) g ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ ∆ ≤ a < c) g ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ ∆ ≤ a < b) g ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ ∆ > a < d) g ( x ) < 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ ∆ < Chú ý: Nếu gặp toán tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng (a; b) : Bước 1: Đưa bất phương trình f ′( x ) > (hoặc f ′( x ) < ), ∀x ∈ (a; b) dạng g ( x ) > h(m) (hoặc g ( x ) < h(m) ), ∀x ∈ (a; b) Bước 2: Lập bảng biến thiên hàm số g ( x) (a; b) Bước 3: Từ bảng biến thiên điều kiện thích hợp ta suy giá trị cần tìm tham số m Sử dụng tính đơn điệu cửa hàm số để giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình: Đưa phương trình, bất phương trình dạng f ( x) = m f ( x) ≥ g (m) , lập bảng biến thiên f ( x) , dựa vào BBT suy kết luận C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu x +1 Khẳng định khẳng đinh đúng? 1− x A Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) ∪ (1; +∞ ) Cho hàm số y = B Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) ∪ (1; +∞ ) Câu C Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) , (1; +∞ ) D Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) , (1; +∞ ) Cho hàm số y = − x3 + 3x − x + Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số nghịch biến ℝ B Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) , (1; +∞ ) C Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) nghịch biến khoảng (1; +∞ ) D Hàm số đồng biến ℝ Câu Cho hàm số y = − x + x + 10 khoảng sau: ( ) (I): −∞; − ; ( ) ( ) (II): − 2; ; (III): 0; ; Hỏi hàm số đồng biến khoảng nào? A Chỉ (I) B (I) (II) C (II) (III) Câu D (I) (III) 3x −1 Khẳng định sau khẳng định đúng? −4 + x A Hàm số nghịch biến ℝ B Hàm số nghịch biến khoảng xác định C Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; ) , ( 2; +∞ ) Cho hàm số y = Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 2|THBTN D Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; − ) , ( −2; +∞ ) Câu Câu Hỏi hàm số sau nghịch biến ℝ ? A h( x) = x − x + B g ( x ) = x + x + 10 x + 4 C f ( x) = − x + x3 − x D k ( x ) = x + 10 x − cos x x2 − 3x + Hỏi hàm số y = nghịch biến khoảng ? x +1 A (−∞; −4) , (2; +∞) B ( −4; ) C ( −∞; −1) , ( −1; +∞ ) Câu Hỏi hàm số y = A (5; +∞) Câu Câu D ( −4; −1) ( −1; ) x3 − x + x − nghịch biến khoảng nào? B ( 2;3) C ( −∞;1) x − 3x + x3 − đồng biến khoảng nào? A (−∞; 0), (1;3) B (1;3) C ℝ D (1;5 ) Hỏi hàm số y = D (−∞;1) Cho hàm số y = ax3 + bx + cx + d Hỏi hàm số đồng biến ℝ nào? a = b = 0, c > A a > 0; b − 3ac ≤ a = b = 0, c > C a < 0; b − ac ≤ a = b = 0, c > B a > 0; b − 3ac ≥ a = b = c = D a < 0; b − ac < Câu 10 Cho hàm số y = x3 + x − x + 15 Khẳng định sau khẳng định sai? A Hàm số nghịch biến khoảng ( −3;1) B Hàm số đồng biến ℝ C Hàm số đồng biến ( −9; −5 ) D Hàm số đồng biến khoảng ( 5; +∞ ) Câu 11 Cho hàm số y = 3x − x Khẳng định sau khẳng định sai? A Hàm số đồng biến khoảng ( 0; ) B Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;0 ) ; ( 2;3) C Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; ) ; ( 2;3) D Hàm số nghịch biến khoảng ( 2;3 ) Câu 12 Cho hàm số y = x + sin x, x ∈ [ 0; π ] Hỏi hàm số đồng biến khoảng nào? 7π A 0; 12 11π ;π 12 7π 11π B ; 12 12 7π C 0; 12 7π 11π ; 12 12 7π 11π D ; 12 12 11π ;π 12 Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 3|THBTN Câu 13 Cho hàm số y = x + cos2 x Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số đồng biến ℝ π B Hàm số đồng biến + kπ ; +∞ nghịch biến khoảng 4 π −∞; + kπ π C Hàm số nghịch biến + kπ ; +∞ đồng biến khoảng 4 D Hàm số nghịch biến ℝ π −∞; + kπ Câu 14 Cho hàm số sau: (I) : y = x3 − x + x + ; (IV) : y = x3 + x − sin x ; x −1 ; x +1 (V) : y = x4 + x + (II) : y = (III) : y = x2 + Có hàm số đồng biến khoảng mà xác định? A B C D Câu 15 Cho hàm số sau: (I) : y = − x3 + x2 − 3x + ; (II) : y = sin x − x ; (III) : y = − x3 + ; (IV) : y = Hỏi hàm số nghịch biến ℝ ? A (I), (II) C (I), (II) (IV) x−2 1− x B (I), (II) (III) D (II), (III) Câu 16 Xét mệnh đề sau: (I) Hàm số y = −( x − 1)3 nghịch biến ℝ (II) Hàm số y = ln( x − 1) − (III) Hàm số y = x đồng biến tập xác định x −1 x đồng biến ℝ x2 + Hỏi có mệnh đề đúng? A B C D Câu 17 Cho hàm số y = x + ( x − ) Khẳng định sau khẳng định sai? 1 A Hàm số nghịch biến khoảng −1; 2 B Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −1) 1 C Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −1) ; +∞ 2 1 1 D Hàm số nghịch biến khoảng −1; đồng biến khoảng ; +∞ 2 2 Câu 18 Cho hàm số y = x + + 2 − x Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −2 ) đồng biến khoảng ( −2; ) B Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −2 ) nghịch biến khoảng ( −2; ) C Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) nghịch biến khoảng (1; ) Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 4|THBTN D Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) đồng biến khoảng (1; ) π π Câu 19 Cho hàm số y = cos x + sin x.tan x, ∀x ∈ − ; Khẳng định sau khẳng định 2 đúng? π π A Hàm số giảm − ; 2 π π B Hàm số tăng − ; 2 π π C Hàm số không đổi − ; 2 π D Hàm số giảm − ;0 Câu 20 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = mà xác định ? A m > B m ≥ C m ≤ x−m+2 giảm khoảng x +1 D m < Câu 21 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số sau nghịch biến ℝ ? y = − x − mx + (2m − 3) x − m + A −3 ≤ m ≤ B m ≤ C −3 < m < Câu 22 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = D m ≤ −3; m ≥ x2 − (m + 1) x + 2m − tăng x−m khoảng xác định nó? A m > B m ≤ C m < D m ≥ Câu 23 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = f ( x) = x + m cos x đồng biến ℝ ? A m ≤ B m > C m ≥ D m < Câu 24 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = (m − 3) x − (2m + 1)cos x nghịch biến ℝ ? A −4 ≤ m ≤ B m ≥ m > C m ≠ D m ≤ Câu 25 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số sau đồng biến ℝ ? y = x3 − 3(m + 2) x + 6(m + 1) x − 3m + A m = B m = −1 C m = Câu 26 Tìm giá trị nhỏ tham số m cho hàm số y = ℝ? A m = −5 B m = D m = x3 + mx2 − mx − m đồng biến C m = −1 Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số D m = −6 5|THBTN Câu 27 Tìm số nguyên m nhỏ cho hàm số y = xác định nó? A m = −1 B m = −2 (m + 3) x − nghịch biến khoảng x+m C m = D Không có m Câu 28 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = mx + giảm khoảng x+m ( −∞;1) ? A −2 < m < B −2 ≤ m ≤ −1 C −2 < m ≤ −1 D −2 ≤ m ≤ Câu 29 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = x3 − x + mx + đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) ? A m ≤ B m ≤ 12 C m ≥ D m ≥ 12 Câu 30 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = x − 2(m − 1) x + m − đồng biến khoảng (1;3) ? A m ∈ [ −5; ) B m ∈ ( −∞; 2] C m ∈ ( 2, +∞ ) D m ∈ ( −∞; −5 ) Câu 31 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = nghịch biến đoạn có độ dài 3? A m = −1; m = B m = −1 C m = Câu 32 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = π 0; ? A ≤ m < B m ≤ 0;1 ≤ m < C m ≥ x − mx + 2mx − 3m + D m = 1; m = −9 tan x − đồng biến khoảng tan x − m D m ≤ mx Câu 33 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = f ( x) = + mx + 14 x − m + giảm nửa khoảng [1; +∞) ? 14 A −∞; − 15 14 B −∞; − 15 14 C −2; − 15 14 D − ; +∞ 15 Câu 34 Tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = − x + (2m − 3) x + m nghịch biến p p khoảng (1; ) −∞; , phân số tối giản q > Hỏi tổng p + q là? q q A B C D Câu 35 Hỏi có giá trị nguyên tham số m cho hàm số y = biến khoảng xác định nó? A Hai B Bốn C Vô số x − 2mx + m + đồng x−m D Không có Câu 36 Hỏi có giá trị nguyên dương tham số m cho hàm số y= x + (1 − m) x + + m đồng biến khoảng (1; +∞) ? x−m Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 6|THBTN A Câu 37 Tìm B tất giá C trị thực tham D số α β cho hàm số − x3 y = f ( x) = + (sin α + cosα )x − x sin α cosα − β − giảm ℝ ? 2 π π A + kπ ≤ α ≤ + kπ , k ∈ Z β ≥ 12 π 5π B + kπ ≤ α ≤ + kπ , k ∈ Z β ≥ 12 12 π C α ≤ + kπ , k ∈ Z β ≥ 5π D α ≥ + kπ , k ∈ Z β ≥ 12 Câu 38 Tìm mố i liên hệ tham số a b cho hàm số y = f ( x) = x + a sin x + bcosx tăng ℝ ? A 1 + = a b C a + b ≤ B a + 2b = D a + 2b ≥ 1+ Câu 39 Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình x − x − x − m = có nghiệm? A −27 ≤ m ≤ B m < −5 m > 27 C m < −27 m > D −5 ≤ m ≤ 27 Câu 40 Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình x + = x + m có nghiệ m thực? A m ≥ B m ≤ C m ≥ D m ≤ Câu 41 Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình nghiệm dương? A ≤ m ≤ B −3 < m < C − < m < x − x + = m + x − x có D −3 ≤ m < Câu 42 Tìm tất giá trị thực tham số m cho mọ i nghiệm bất phương trình: x − 3x + ≤ nghiệm bất phương trình mx + ( m + 1) x + m + ≥ ? B m ≤ − A m ≤ −1 Câu 43 Tìm tất giá trị thực C m ≥ − tham số D m ≥ −1 m cho phương trình: log 32 x + log 32 x + − 2m − = có nghiệm đoạn 1;3 ? A −1 ≤ m ≤ B ≤ m ≤ C ≤ m ≤ D −1 ≤ m ≤ Câu 44 Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình x + mx + = x + có hai nghiệm thực? A m ≥ − B m ≥ C m ≥ D ∀m ∈ ℝ 2 Câu 45 Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình x − + m x + = x − có hai nghiệm thực? Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 7|THBTN A ≤ m < B −1 ≤ m ≤ C −2 < m ≤ D ≤ m < Câu 46 Tìm tất giá trị thực tham số m cho bất phương trình (1 + x)(3 − x) > m + x − x − nghiệm với mọ i x ∈ − ;3 ? A m > B m > C m < D m < Câu 47 Tìm tất giá trị thực tham số m cho bất phương trình ( ) + x + − x − (1 + x )(3 − x ) ≥ m nghiệm với mọ i x ∈ [ − 1;3] ? A m ≤ Câu 48 Tìm tất B m ≥ giá trị thực C m ≥ − tham số m D m ≤ − cho bất phương trình bất phương trình + x + − x − 18 + 3x − x ≤ m − m + nghiệm ∀x ∈ [ −3, 6] ? A m ≥ −1 C ≤ m ≤ Câu 49 Tìm tất m.4 + ( m − 1) x B −1 ≤ m ≤ D m ≤ −1 m ≥ x+2 A m ≤ giá trị thực tham số m + m − > nghiệm ∀x ∈ ℝ ? B m ≥ C −1 ≤ m ≤ cho D m ≥ Câu 50 Tìm tất giá trị thực tham số m cho bất phương trình: − x + 3mx − < − nghiệm ∀x ≥ ? 2 A m < B m ≥ 3 C m ≥ D − ≤ m ≤ 2 Câu 51 Tìm giá trị lớn tham số m cho bất phương trình 2cos x + 3sin x ≥ m.3cos nghiệm? A m = B m = C m = 12 D m = 16 Câu 52 Bất phương trình x có x3 + x + x + 16 − − x ≥ có tập nghiệm [ a; b ] Hỏi tổng a + b có giá trị bao nhiêu? A −2 B Câu 53 Bất phương trình x3 C D x − x + − x − x + 11 > − x − x − có tập nghiệm ( a; b ] Hỏi hiệu b − a có giá trị bao nhiêu? A B C Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số D −1 8|THBTN D ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN D A D B C D D B A 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B B A A C A A B C C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A B A A A C D C D B A B B C C D B C C B 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 B C B C D D D D B A A C A II –HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Chọn D > 0, ∀x ≠ (1 − x)2 Hàm số đồng biến khoảng (−∞;1) (1; +∞) TXĐ: D = ℝ \ {1} Ta có y ' = Câu Chọn A TXĐ: D = ℝ Ta có y ' = −3 x + x − = −3( x − 1)2 ≤ , ∀x ∈ ℝ Câu Chọn D x = TXĐ: D = ℝ y ' = −4 x + x = x (2 − x ) Giải y ' = ⇔ x = ± ( ) ( ) Trên khoảng −∞; − 0; , y ' > nên hàm số đồng biến Câu Chọn B TXĐ: D = ℝ \ {2} Ta có y ' = − Câu 10 < 0, ∀x ∈ D ( −4 + x ) Chọn C Ta có: f '( x) = −4 x + x − = − (2 x − 1) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ Câu Chọn D TXĐ: D = ℝ \ {−1} y ' = x2 + 2x − x = Giải y ' = ⇒ x + x − = ⇒ ( x + 1) x = −4 y ' không xác định x = −1 Bảng biến thiên: x −∞ −4 −1 ′ y – + −11 – +∞ +∞ + +∞ y −∞ −∞ Hàm số nghịch biến khoảng ( −4; −1) ( −1; ) Câu Chọn D x = TXĐ: D = ℝ y ' = x − x + = ⇔ x = Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 9|THBTN Trên khoảng (1;5) , y ' < nên hàm số nghịch biến Câu Chọn B TXĐ: D = ℝ y ' = x − 12 x + 12 x = x ( x − 2)2 ≥ , ∀x ∈ ℝ Câu Chọn A a = b = 0, c > y ' = 3ax + 2bx + c ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ a > 0; b − 3ac ≤ Câu 10 Chọn B TXĐ: D = ℝ Do y ' = x + x − = 3( x − 1)( x + 3) nên hàm số không đồng biến ℝ Câu 11 Chọn B HSXĐ: x − x ≥ ⇔ x ≤ suy D = (−∞;3] y ' = x = Giải y ' = ⇒ y ' không xác định x = Bảng biến thiên: x −∞ y′ || − + y x − 3x2 3x2 − x3 , ∀x ∈ ( −∞;3) x = x = − || +∞ 0 Hàm số nghịch biến (−∞; 0) (2;3) Hàm số đồng biến (0; 2) Câu 12 Chọn A π x = − + kπ 1 12 ,(k ∈ℤ) TXĐ: D = ℝ y ' = + sin x Giải y ' = ⇔ sin x = − ⇔ π 2 x = + kπ 12 7π 11π Vì x ∈ [ 0; π ] nên có giá trị x = x = thỏa mãn điều kiện 12 12 Bảng biến thiên: 7π 11π x π 12 12 y ′ || 0 + − + || y 7π 11π ;π Hàm số đồng biến 0; 12 12 Câu 13 Chọn A TXĐ: D = ℝ ; y ′ = − sin x ≥ ∀x ∈ ℝ suy hàm số đồng biến ℝ Câu 14 Chọn C (I): y ′ = x − x + = ( x − 1) + > 0, ∀x ∈ ℝ Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 10 | T H B T N x − ′ (II): y ′ = > 0, ∀x ≠ −1 = x + ( x + 1) (III): y ′ = (IV): y ′ = 3x + − cos x > 0, ∀x ∈ ℝ (V): y ′ = x3 + x = x(2 x + 1) ( ′ x2 + = ) x x2 + Câu 15 Chọn A (I): y ' = (− x + x − 3x + 1) ' = −3x + x − = −3( x − 1)2 ≤ 0, ∀x ∈ ℝ ; (II): y ' = (sin x − x ) ' = cos x − < 0, ∀x ∈ ℝ ; (III) y ′ = − ( ′ x3 + = − ) 3x2 x +2 ( ) ≤ 0, ∀x ∈ − 2; +∞ ; x − ′ x − ′ (IV) y ' = < 0, ∀x ≠ = =− (1 − x) 1− x −x +1 Câu 16 Chọn A ′ (I) y ′ = − ( x − 1)3 = −3( x − 1)2 ≤ 0, ∀x ∈ ℝ ( ) x ′ x > 0, ∀x > (II) y ′ = ln( x − 1) − = x − ( x − 1) x + − x (III) y ′ = ( x2 + x2 + Câu 17 Chọn B x − y′ = −2 x + x y′ x x + − x x + = > 0, ∀x ∈ ℝ x +1 x2 + x2 + ′ )= ( ) x ≥ −1 ; y′ = ⇔ x = x < −1 2 −1 −∞ || + − +∞ + y Câu 18 Chọn C TXĐ: D = ( −∞; 2] Ta có y ′ = − x −1 , ∀x ∈ ( −∞; ) 2− x Giải y ′ = ⇒ − x = ⇒ x = ; y ' không xác định x = Bảng biến thiên: x y′ −∞ + y − −∞ || Câu 19 Chọn C Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 11 | T H B T N π π Xét khoảng − ; 2 Ta có: y = cos x + sin x.tan x = cos x.cos x + sin x.sin x = ⇒ y′ = cos x π π Hàm số không đổi − ; 2 Câu 20 Chọn D Tập xác định: D = ℝ \ {−1} Ta có y ′ = m −1 ( x + 1)2 Để hàm số giảm khoảng mà xác định ⇔ y ′ < 0, ∀x ≠ −1 ⇔ m < Câu 21 Chọn A Tập xác định: D = ℝ Ta có y ′ = − x − 2mx + 2m − Để hàm số nghịch biến ℝ −1 < (hn) a y′ < ⇔ ⇔ −3 ≤ m ≤ y ′ ≤ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ m + 2m − ≤ ∆′ ≤ Câu 22 Chọn B Tập xác định: D = ℝ \ {m} Ta có y ′ = x − 2mx + m2 − m + ( x − m) Để hàm số tăng khoảng xác định 1 ≥ (hn) ⇔ y ′ ≥ 0, ∀x ∈ D ⇔ x − 2mx + m2 − m + ≥ 0, ∀x ∈ D ⇔ ⇔ m ≤1 m − ≤ Câu 23 Chọn A Tập xác định: D = ℝ Ta có y ′ = − m sin x Hàm số đồng biến ℝ ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ m sin x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ Trường hợp 1: m = ta có ≤ 1, ∀x ∈ ℝ Vậy hàm số đồng biến ℝ , ∀x ∈ ℝ ⇔ m Trường hợp 3: m < ta có sin x ≥ , ∀x ∈ ℝ ⇔ m Vậy m ≤ Trường hợp 2: m > ta có sin x ≤ ≥1⇔ m ≤1 m ≤ −1 ⇔ m ≥ −1 m Câu 24 Chọn A Tập xác định: D = ℝ Ta có: y ' = m − + (2m + 1) sin x Hàm số nghịch biến ℝ ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ (2m + 1) sin x ≤ − m, ∀x ∈ ℝ ta có ≤ ,∀x ∈ℝ Vậy hàm số nghịch biến ℝ 2 3− m 3−m Trường hợp 2: m < − ta có sin x ≥ , ∀x ∈ ℝ ⇔ ≤ −1 2m + 2m + ⇔ − m ≥ −2m − ⇔ m ≥ −4 Trường hợp 3: m > − ta có: Trường hợp 1: m = − Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 12 | T H B T N sin x ≤ 3− m 3− m 2 , ∀x ∈ ℝ ⇔ ≥ ⇔ − m ≥ 2m + ⇔ m ≤ Vậy m ∈ −4; 2m + 2m + 3 Câu 25 Chọn A x = Tính nhanh, ta có f ′( x) = ⇔ x − ( m + ) x + ( m + 1) = ⇔ x = m +1 Phương trình f ′( x ) = có nghiệm kép m = , suy hàm số đồng biến ℝ Trường hợp m ≠ , phương trình f ′( x ) = có hai nghiệm phân biệt (không thỏa yêu cầu toán) Câu 26 Chọn C Tập xác định: D = ℝ Ta có y ′ = x + 2mx − m 1 > (hn) ⇔ −1 ≤ m ≤ Hàm số đồng biến ℝ ⇔ y ′ ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ m + m ≤ Vậy giá trị nhỏ m để hàm số đồng biến ℝ m = −1 Câu 27 Chọn D Tập xác định: D = ℝ \ {− m} Ta có y ′ = m + 3m + ( x + m )2 Yêu cầu đề ⇔ y ′ < 0, ∀x ∈ D ⇔ m + 3m + < ⇔ −2 < m < −1 Vậy số nguyên m thuộc khoảng ( −2; −1) Câu 28 Chọn C Tập xác định D = ℝ \ {− m} Ta có y ′ = m2 − ( x + m )2 Để hàm số giảm khoảng ( −∞;1) m − < ⇔ y ′ < 0, ∀x ∈ ( −∞;1) ⇔ ⇔ −2 < m ≤ −1 1 ≤ − m Câu 29 Chọn D Cách 1:Tập xác định: D = ℝ Ta có y ′ = 3x − 12 x + m • Trường hợp 1: 3 > (hn) Hàm số đồng biến ℝ ⇔ y ′ ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ ⇔ m ≥ 12 36 − 3m ≤ • Trường hợp 2: Hàm số đồng biến ( 0; +∞ ) ⇔ y ′ = có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x1 < x2 ≤ (*) Trường hợp 2.1: y ′ = có nghiệm x = suy m = Nghiệm lại y ′ = x = (không thỏa (*)) Trường hợp 2.2: y ′ = có hai nghiệm x1 , x2 thỏa 36 − 3m > ′ ∆ > x1 < x2 < ⇔ S < ⇔ < 0(vl ) ⇒ m Vậy m ≥ 12 P > m >0 3 Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 13 | T H B T N Cách 2:Hàm số đồng biến ( 0; +∞ ) ⇔ m ≥ 12 x − 3x = g ( x ), ∀x ∈ (0; +∞) Lập bảng biến thiên g ( x) ( 0; +∞ ) x +∞ + g′ – 12 g –∞ Câu 30 Chọn B Tập xác định D = ℝ Ta có y ' = x3 − 4(m − 1) x Hàm số đồng biến (1;3) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ (1;3) ⇔ g ( x) = x + ≥ m, ∀x ∈ (1;3) Lập bảng biến thiên g ( x) (1;3) x g′ + 10 g Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: m ≤ g ( x ) ⇔ m ≤ Câu 31 Chọn A Tập xác định: D = ℝ Ta có y ′ = x − mx + 2m Ta không xét trường hợp y ′ ≤ 0, ∀x ∈ ℝ a = > Hàm số nghịch biến đoạn có độ dài ⇔ y ′ = có nghiệm x1 , x2 thỏa ∆ > ⇔ m − 8m > m = −1 m > hay m < x1 − x2 = ⇔ ⇔ ⇔ 2 m = m − 8m = ( x1 − x2 ) = ⇔ S − P = Câu 32 Chọn B π +) Điều kiện tan x ≠ m Điều kiện cần để hàm số đồng biến 0; m ∉ 0;1 4 ( ) +) y ' = 2− m cos x(tan x − m)2 +) Ta thấy: π > 0∀x ∈ 0; ;m ∉( 0;1) 4 cos x(tan x − m) y' > −m + > π +) Để hs đồng biến 0; ⇔ ⇔ ⇔ m ≤ ≤ m < 4 m ∉(0;1) m ≤ 0;m ≥ Câu 33 Chọn B Tập xác định D = R , yêu cầu toán đưa đến giải bất phương trình −14 mx + 14mx + 14 ≤ 0, ∀x ≥ , tương đương với g ( x ) = ≥ m (1) x + 14 x Dễ dàng có g ( x) hàm tăng ∀x ∈ [1; +∞ ) , suy g ( x ) = g (1) = − x≥1 Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 14 15 14 | T H B T N Kết luận: (1) ⇔ g ( x) ≥ m ⇔ − x ≥1 14 ≥m 15 Câu 34 Chọn C Tập xác định D = ℝ Ta có y ′ = −4 x3 + 2(2m − 3) x = g ( x ), ∀x ∈ (1; 2) Lập bảng biến thiên g ( x) (1; 2) g ′( x ) = x = ⇔ x = Hàm số nghịch biến (1; 2) ⇔ y ′ ≤ 0, ∀x ∈ (1; 2) ⇔ m ≤ x + Bảng biến thiên x g′ g + 11 Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: m ≤ g ( x) ⇔ m ≤ Vậy p + q = + = Câu 35 Chọn C Tập xác định D = ℝ \ {m} Ta có y ′ = x − 2mx + 2m − m − g ( x) = ( x − m) ( x − m) Hàm số đồng biến khoảng xác định g ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ D m ≤ −1 Điều kiện tương đương ∆ g ( x ) = − m + m + ≤ ⇔ m ≥ Kết luận: Có vô số giá trị nguyên m thỏa yêu cầu toán Câu 36 Chọn D Tập xác định D = ℝ \ {m} Ta có y ′ = x − 4mx + m2 − 2m − g ( x) = ( x − m) ( x − m) Hàm số đồng biến (1; +∞) g ( x ) ≥ 0, ∀x > m ≤ (1) Vì ∆ g ′ = 2(m + 1)2 ≥ 0, ∀m nên (1) ⇔ g ( x) = có hai nghiệm thỏa x1 ≤ x2 ≤ 2 g (1) = 2(m − 6m + 1) ≥ ⇔ m ≤ − 2 ≈ 0, Điều kiện tương đương S = m ≤1 2 Do giá trị nguyên dương m thỏa yêu cầu toán Câu 37 Chọn B Điều kiện xác định: β ≥ Yêu cầu toán đưa đến giải bất phương trình Kết luận: π 12 + kπ ≤ α ≤ ≤ sin 2α ≤ 5π + kπ , k ∈ Z β ≥ 12 Câu 38 Chọn C Tập xác định D = R Ta có: y ′ = + acosx − b sin x Áp dụng bất đẳng thức Schwartz ta có − a + b ≤ y ′ ≤ + a + b Yêu cầu toán đưa đến giải bất phương trình Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 15 | T H B T N y ′ ≥ 0, ∀x ⇔ − a + b ≥ ⇔ a + b2 ≤ Câu 39 Chọn C (1) ⇔ m = x − x − x = f ( x) Bảng biến thiên f ( x ) ℝ x y′ −1 −∞ + − +∞ + +∞ y −27 −∞ Từ suy pt có nghiệm m < −27 m > Câu 40 Chọn B Đặt t = x + 1, t ≥ Phương trình thành: 2t = t − + m ⇔ m = −t + 2t + Xét hàm số f (t ) = −t + 2t + 1, t ≥ 0; f ′(t ) = −2t + Bảng biến thiên f ( t ) : t f ′ (t ) + f (t ) +∞ − −∞ Từ suy phương trình có nghiệm m ≤ Câu 41 Chọn B Đặt t = f ( x) = x − x + Ta có f ′( x) = x−2 x − 4x + f ′( x) = ⇔ x = Xét x > ta có bảng biến thiên x f ′( x) f ( x) − +∞ + +∞ Khi phương trình cho trở thành m = t + t − ⇔ t + t − − m = (1) Nếu phương trình (1) có nghiệm t1 , t2 t1 + t2 = −1 (1) có nhiều nghiệm t ≥ Vậy phương trình cho có nghiệm dương phương trình (1) có ( ) nghiệm t ∈ (1; ) Ta có g ′(t ) = 2t + > 0, ∀t ∈ (1; ) nghiệm t ∈ 1; Đặt g (t ) = t + t − Ta tìm m để phương trình g (t ) = m có Bảng biến thiên: t g′ (t ) + g (t ) −3 Từ bảng biến thiên suy −3 < m < giá trị cần tìm Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 16 | T H B T N Câu 42 Chọn C Bất phương trình x − 3x + ≤ ⇔ ≤ x ≤ Bất phương trình mx + ( m + 1) x + m + ≥ ⇔ m( x + x + 1) ≥ − x − ⇔ m ≥ Xét hàm số f ( x) = −x − x2 + x + x + 4x + −x − ′ v i Có f ( x) = > 0, ∀x ∈ [1;2] 1≤ x ≤ x2 + x + ( x + x + 1) Yêu cầu toán ⇔ m ≥ max f ( x ) ⇔ m ≥ − [1;2] Câu 43 Chọn B Đặt t = log32 x + Điều kiện: t ≥ Phương trình thành: t + t − 2m − = (*) Khi x ∈ 1;3 ⇒ t ∈ [1; 2] (*) ⇔ f (t ) = t2 + t − = m Bảng biến thiên : t + f ′ (t ) 2 f (t ) Từ bảng biến thiên ta có : ≤ m ≤ Câu 44 Chọn C Điều kiện: x ≥ − Phương trình x + mx + = x + ⇔ 3x + x − = mx (*) 3x + x −1 Vì x = không nghiệm nên (*) ⇔ m = x 3x2 + 1 3x2 + x − Ta có f ′( x) = > ∀x ≥ − ; x ≠ x x Bảng biến thiên x − + + f ′( x) Xét f ( x ) = +∞ f ( x) +∞ +∞ −∞ Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có hai nghiệm m ≥ Câu 45 Chọn D Điều kiện : x ≥ Pt ⇔ x −1 x −1 x −1 x −1 +m= ⇔3 + m = 24 x +1 x +1 x +1 ( x + 1)2 Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 17 | T H B T N x −1 với x ≥ ta có ≤ t < Thay vào phương trình ta m = 2t − 3t = f (t ) x +1 Ta có: f ′(t ) = − 6t ta có: f ′(t ) = ⇔ t = Bảng biến thiên: t= t f ′ (t ) f (t ) 3 + − −1 Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có hai nghiệm ≤ m < Câu 46 Chọn D 2 Đặt t = (1 + x)(3 − x) x ∈ − ;3 ⇒ t ∈ 0; Thay vào bất phương trình ta f (t ) = t + t > m Bảng biến thiên t f ′ (t ) + 49 + 14 f (t ) Từ bảng biến thiên ta có : m < Câu 47 Chọn D Đặt t = + x + − x ⇒ t = + (1 + x)(3 − x) ⇔ (1 + x )(3 − x ) = t − Với x ∈ [ − 1;3] => t ∈ [2; 2] Thay vào bất phương trình ta được: m ≤ −t + 3t + Xét hàm số f (t ) = −t + 3t + 4; f ′(t ) = −2t + ; f ′(t ) = ⇔ t = t ⇒ t = ( + x + − x ) = + ( + x )( − x ) ⇒ ≤ t = + ( + x )( − x ) ≤ + ( + x ) + ( − x ) = 18 Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 18 | T H B T N ⇒ 18 + x − x = ( + x )( − x ) = ( t − ) ; t ∈ 3;3 Xét f ( t ) = − t + t + ; f ′ ( t ) = − t < 0; ∀t ∈ 3;3 ⇒ max f ( t ) = f ( 3) = 2 3;3 ycbt ⇔ max f ( t ) = ≤ m − m + ⇔ m − m − ≥ ⇔ m ≤ −1 m ≥ 3;3 Câu 49 Chọn B Đặt t = x > m.4 x + ( m − 1) x + + m − > , ∀x ∈ ℝ ⇔ m.t + ( m − 1) t + ( m − 1) > 0, ∀t > ⇔ m ( t + 4t + 1) > 4t + 1, ∀t > ⇔ g (t ) = 4t + < m, ∀t > t + 4t + Ta có g ′ ( t ) = −4t − 2t < nên g ( t ) nghịch biến [ 0; +∞ ) ( t + 4t + 1) ycbt ⇔ max g ( t ) = g ( ) = ≤ m t ≥0 Câu 50 Chọn A Bpt ⇔ 3mx < x − 13 + 2, ∀x ≥ ⇔ 3m < x − 14 + = f ( x ) , ∀x ≥ x x (x ) x Ta có f ′ ( x ) = x + 45 − 22 ≥ 2 x 45 − 22 = 22− > suy f ( x ) tăng x x x x Ycbt ⇔ f ( x ) > 3m, ∀x ≥ ⇔ f ( x ) = f (1) = > 3m ⇔ > m x ≥1 Câu 51 Chọn A 2 (1) ⇔ 3 cos2 x 1 + 3 9 t cos x ≥ m Đặt t = cos x, ≤ t ≤ t t t 2 1 2 1 (1) trở thành + ≥ m (2) Đặt f (t ) = + 3 9 3 9 Ta có (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm t ∈ [0;1] ⇔ m ≤ Max f (t ) ⇔ m ≤ t∈[0;1] Câu 52 Chọn C Điều kiện: −2 ≤ x ≤ Xét f ( x) = x3 + 3x + x + 16 − − x đoạn [ −2; 4] Có f ′( x) = ( x + x + 1) 2 x + x + x + 16 + > 0, ∀x ∈ ( −2; ) 4− x Do hàm số đồng biến [ −2; 4] , bpt ⇔ f ( x) ≥ f (1) = ⇔ x ≥ So với điều kiện, tập nghiệm bpt S = [1; 4] ⇒ a + b = Câu 53 Chọn A Điều kiện: ≤ x ≤ ; bpt ⇔ ( x − 1) + + x −1 > Xét f (t ) = t + + t với t ≥ Có f '(t ) = t (3 − x ) + + 3− x > 0, ∀t > t +2 t Do hàm số đồng biến [0; +∞) (1) ⇔ f ( x − 1) > f (3 − x) ⇔ x − > ⇔ x > 2 + So với điều kiện, bpt có tập nghiệm S = (2;3] Chuyên đề 1.1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 19 | T H B T N ... B A 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B B A A C A A B C C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A B A A A C D C D B A B B C C D B C C B 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52... Câu 12 Cho hàm số y = x + sin x, x ∈ [ 0; π ] Hỏi hàm số đồng biến khoảng nào? 7π A 0; 12 11 π ;π 12 7π 11 π B ; 12 12 7π C 0; 12 7π 11 π ; 12 ... 12 7π 11 π ; 12 12 7π 11 π D ; 12 12 11 π ;π 12 Chuyên đề 1. 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 3|THBTN Câu 13 Cho hàm số y = x + cos2 x
Ngày đăng: 18/09/2017, 10:03
Xem thêm: BTN 1 1 TINH DON DIEUI CUA HAM SO