Đang tải... (xem toàn văn)
Giúp học sinh ôn tập các kiến thức hình lớp dưới, đồng thời củng cố kiến thức hình không gian 12. Bài tập có lời giải chi tiết.
Phng phỏp hỡnh khụng gian 12 ễN TP 1: KIN THC C BN HèNH HC LP 9-10 H thc lng tam giỏc vuụng : Cho D ABC vuụng A ta cú : 2 a) nh lý Pitago : BC = AB + AC A b) BA = BH.BC; CA = CH.CB c) AB AC = BC AH 1 d) = + 2 AH AB AC2 e) BC = 2AM f) sin B = b , cosB = c , tan B = b , cot B = c a a c b g) b = a sinB = a.cosC, c = a sinC = a.cosB, a = b c B M H a b b , = sin B cos C b = c tanB = c.cot C H thc lng tam giỏc thng: * nh lý Cụsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA a b c = = = 2R * nh lý Sin: sin A sin B sin C Cỏc cụng thc tớnh din tớch a/ Cụng thc tớnh din tớch tam giỏc: 1 a.b.c a +b +c S = a.ha = a.b sin C = = p.r = p.(p - a)(p - b)(p - c) vi p = 2 4R 2 a c bit :* D ABC vuụng A : S = AB.AC ,* D ABC u cnh a: S = b/ Din tớch hỡnh vuụng : S = cnh x cnh c/ Din tớch hỡnh ch nht : S = di x rng d/ Din tớch hỡnh thoi : S = (chộo di x chộo ngn) d/ Din tớch hỡnh thang : S = (ỏy ln + ỏy nh) x chiu cao e/ Din tớch hỡnh bỡnh hnh : S = ỏy x chiu cao f/ Din tớch hỡnh trũn : S = p.R Cỏc h thc quan trng tam giỏc u: C Phng phỏp hỡnh khụng gian 12 ễN TP 2: KIN THC C BN HèNH HC LP 11 A QUAN H SONG SONG Đ1 NG THNG V MT PHNG SONG SONG I nh ngha: ng thng v mt phng gi l song song vi nu chỳng khụng cú im no chung a a / /(P) a ầ (P) = ặ (P) II.Cỏc nh lý: L1:Nu ng thng d khụng nm trờn mp(P) v song song vi ng thng a nm trờn mp(P) thỡ ng thng d song song vi mp(P) L2: Nu ng thng a song song vi mp(P) thỡ mi mp(Q) cha a m ct mp(P) thỡ ct theo giao tuyn song song vi a d ỡù d ậ (P) ùù d / /a ị d / /(P) ùù ùùợ a è (P) a (P) (Q) ỡù a / /(P) ùù ị d / /a a è (Q) ùù ùùợ (P) ầ (Q) = d a d (P) L3: Nu hai mt phng ct cựng song song vi mt ng thng thỡ giao tuyn ca chỳng song song vi ng thng ú ùỡù (P) ầ (Q) = d ù ị d / /a (P) / /a ùù ùùợ (Q) / /a d a Q P Đ2.HAI MT PHNG SONG SONG I nh ngha: Hai mt phng c gi l song song vi nu chỳng khụng cú im no chung (P) / /(Q) (P) ầ (Q) = ặ P Q II.Cỏc nh lý: L1: Nu mp(P) cha hai ng thng a, b ct v cựng song song vi mt phng (Q) thỡ (P) v (Q) song song vi L2: Nu mt ng thng nm mt hai mt phng song song thỡ song song vi mt phng ỡù a, b è (P) ùù ị (P) / /(Q) a ầb = I ùù ùùợ a / /(Q), b / /(Q) ỡùù (P) / /(Q) ị a / /(Q) ùùợ a è (P) a P b I Q a P Q Phng phỏp hỡnh khụng gian 12 L3: Nu hai mt phng (P) v (Q) song song thỡ mi mt phng (R) ó ct (P) thỡ phi ct (Q) v cỏc giao tuyn ca chỳng song song R ỡù (P) / /(Q) ùù (R) ầ (P) = a ị a / /b ùù ùùợ (R) ầ (Q) = b a P b Q B QUAN H VUễNG GểC Đ1.NG THNG VUễNG GểC VI MT PHNG I.nh ngha: Mt ng thng c gi l vuụng gúc vi mt mt phng nu nú vuụng gúc vi mi ng thng nm trờn mt phng ú a a ^ mp(P) a ^ c, " c è (P) P c II Cỏc nh lý: L1: Nu ng thng d vuụng gúc vi hai ng thng ct a v b cựng nm mp(P) thỡ ng thng d vuụng gúc vi mp(P) d ỡù d ^ a , d ^ b ùù a , b è mp(P) ị d ^ mp(P) ùù ùùợ a , b caột L2: (Ba ng vuụng gúc) Cho ng thng a khụng vuụng gúc vi mp(P) v ng thng b nm (P) Khi ú, iu kin cn v b vuụng gúc vi a l b vuụng gúc vi hỡnh chiu a ca a trờn (P) b a P a a ^ mp(P), b è mp(P) b ^a b ^a' P a' b Đ2.HAI MT PHNG VUễNG GểC I.nh ngha: Hai mt phng c gi l vuụng gúc vi nu gúc gia chỳng bng 900 II Cỏc nh lý: L1:Nu mt mt phng cha mt ng thng vuụng gúc vi mt mt phng khỏc thỡ hai mt phng ú vuụng gúc vi Q ỡùù a ^ mp(P) ị mp(Q) ^ mp(P) ùùợ a è mp(Q) a P Phng phỏp hỡnh khụng gian 12 L2:Nu hai mt phng (P) v (Q) vuụng gúc vi thỡ bt c ng thng a no nm (P), vuụng gúc vi giao tuyn ca (P) v (Q) u vuụng gúc vi mt phng (Q) ùỡù (P) ^ (Q) ù (P) ầ (Q) = d ị a ^ (Q) ùù ùùợ a è (P), a ^ d P a Q d L3: Nu hai mt phng (P) v (Q) vuụng gúc vi v A l mt im (P) thỡ ng thng a i qua im A v vuụng gúc vi (Q) s nm (P) L4: Nu hai mt phng ct v cựng vuụng gúc vi mt phng th ba thỡ giao tuyn ca chỳng vuụng gúc vi mt phng th ba P ỡù (P) ^ (Q) ùù ùù A ẻ (P) ị a è (P) ùù A ẻ a ùù ùợ a ^ (Q) a A Q ỡù (P) ầ (Q) = a ùù ị a ^ (R) (P) ^ (R) ùù ùùợ (Q) ^ (R) P a R Đ3.KHONG CCH Khong cỏch t im ti ng thng , n mt phng: Khong cỏch t im M n ng thng a (hoc n mt phng (P)) l khong cỏch gia hai im M v H, ú H l hỡnh chiu ca im M trờn ng thng a ( hoc trờn mp(P)) O O d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH H a Khong cỏch gia ng thng v mt phng song song: Khong cỏch gia ng thng a v mp(P) song song vi a l khong cỏch t mt im no ú ca a n mp(P) a d(a;(P)) = d(O; (P)) = OH P Q 4.Khong cỏch gia hai ng thng chộo nhau: l di on vuụng gúc chung ca hai ng thng ú a O H P Khong cỏch gia hai mt phng song song: l khong cỏch t mt im bt k trờn mt phng ny n mt phng d((P);(Q)) = d(O; (P)) = OH P O H A d(a;b) = AB b Đ4.GểC B H Q Phng phỏp hỡnh khụng gian 12 Gúc gia hai ng thng a v b l gúc gia hai ng thng a v b cựng i qua mt im v ln lt cựng phng vi a v b a a' b' b Gúc gia ng thng a khụng vuụng gúc vi mt phng (P) l gúc gia a v hỡnh chiu a ca nú trờn mp(P) c bit: Nu a vuụng gúc vi mt phng (P) thỡ ta núi rng gúc gia ng thng a v mp(P) l 900 a a' P Gúc gia hai mt phng l gúc gia hai ng thng ln lt vuụng gúc vi hai mt phng ú Hoc l gúc gia ng thng nm mt phng cựng vuụng gúc vi giao tuyn ti im a P Din tớch hỡnh chiu: Gi S l din tớch ca a giỏc (H) mp(P) v S l din tớch hỡnh chiu (H) ca (H) trờn mp(P) thỡ b b a Q Q P S S' = Scos j j ú l gúc gia hai mt phng (P),(P) A C B ễN TP 3: KIN THC C BN HèNH HC LP 12 A TH TCH KHI A DIN I/ Cỏc cụng thc th tớch ca a din: TH TCH KHI LNG TR: V= B.h h vi B: din tớch ỏy h: chiu cao B a) Th tớch hp ch nht: V = a.b.c vi a,b,c l ba kớch thc b) Th tớch lp phng: a V = a3 c vi aa l di cnh a TH TCH KHI CHểP: V= Bh vi B: din tớch ỏy h: chiu cao b a h B Phng phỏp hỡnh khụng gian 12 T S TH TCH T DIN: Cho t din SABC v A, B, C l cỏc im tựy ý ln lt thuc SA, SB, SC ta cú: S C' A' VSABC SA SB SC = VSA 'B'C' SA ' SB ' SC ' A B' C B TH TCH KHI CHểP CT: A' h V = B + B '+ BB ' ỡùù B, B' : dieọn tớch hai ủaựy vi ùùợ h : chieu cao ( ) B' C' A B C Chỳ ý: 1/ ng chộo ca hỡnh vuụng cnh a l d = a , ng chộo ca hỡnh lp phng cnh a l d = a , ng chộo ca hỡnh hp ch nht cú kớch thc a, b, c l d = a + b + c2 , a 3/ Hỡnh chúp u l hỡnh chúp cú ỏy l a giỏc u v cỏc cnh bờn u bng ( hoc cú ỏy l a giỏc u, hỡnh chiu ca nh trựng vi tõm ca ỏy) 4/ Lng tr u l lng tr ng cú ỏy l a giỏc u II/ Bi tp: LOI 1: TH TCH LNG TR Khi lng tr ng cú chiu cao hay cnh ỏy 1) Dng 1: Vớ d 1: ỏy ca lng tr ng tam giỏc ABC.ABC l tam giỏc ABC vuụng cõn ti A cú cnh BC = a v bit A'B = 3a Tớnh th tớch lng tr 2/ ng cao ca tam giỏc u cnh a l h = Li gii: Ta cú C' A' VABC vuụng cõn ti A nờn AB = AC = a ABC A'B'C' l lng tr ng ị AA ' ^ AB B' 3a a C A a VAA 'B ị AA '2 = A 'B2 - AB2 = 8a ị AA ' = 2a Vy V = B.h = SABC AA' = a B Vớ d 2: Cho lng tr t giỏc u ABCD.ABCD' cú cnh bờn bng 4a v ng chộo 5a Tớnh th tớch lng tr ny Phng phỏp hỡnh khụng gian 12 Li gii: ABCD A'B'C'D' l lng tr ng nờn BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2 ị BD = 3a C' D' A' ABCD l hỡnh vuụng B' 4a 5a Suy B = SABCD = C D ị AB = 3a 9a Vy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3 A B Vớ d 3: ỏy ca lng tr ng tam giỏc ABC.ABC l tam giỏc u cnh a = v bit din tớch tam giỏc ABC bng Tớnh th tớch lng tr Li gii: Gi I l trung im BC Ta cú V ABC u nờn C' A' B' AI = A AB = & AI ^ BC ị A 'I ^ BC(dl3 ^) 2S SA'BC = BC.A 'I ị A 'I = A'BC = BC AA ' ^ (ABC) ị AA ' ^ AI C I B VA 'AI ị AA ' = A 'I2 - AI2 = Vy : VABC.ABC = SABC AA'= Vớ d 5: Cho hỡnh hp ng cú ỏy l hỡnh thoi cnh a v cú gúc nhn bng 600 ng chộo ln ca ỏy bng ng chộo nh ca lng tr Tớnh th tớch hỡnh hp Li gii: Ta cú tam giỏc ABD u nờn : BD = a C' D' B' A' A 60 B a2 a =a VDD'B ị DD' = BD'2- BD = a a3 Vy V = SABCD.DD' = Theo bi BD' = AC = C D v SABCD = 2SABD = Bi tp: Bi 1: Cho lng tr ng cú ỏy l tam giỏc u bit rng tt c cỏc cnh ca lng tr bng a Tớnh th tớch v tng din tớch cỏc mt bờn ca lng tr.S: V = a 3 ; S = 3a2 Bi 2: Cho lng tr ng ABCD.A'B'C'D' cú ỏy l t giỏc u cnh a bit rng BD' = a Tớnh th tớch ca lng tr.s: V = 2a3 Bi 5: Cho lng tr ng tam giỏc ABC A'B'C' cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn ti A ,bit rng chiu cao lng tr l 3a v mt bờn AA'B'B cú ng chộo l 5a Tớnh th tớch lng tr.s: V = 24a3 2) Dng 2: Lng tr ng cú gúc gia ng thng v mt phng Vớ d 1: Cho lng tr ng tam giỏc ABC A'B'C' cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn ti B vi BA = BC = a ,bit A'B hp vi ỏy ABC mt gúc 600 Tớnh th tớch lng tr Phng phỏp hỡnh khụng gian 12 C' A' Li gii: Ta cú A 'A ^ (ABC) ị ỏy ABC A 'A ^ AB& AB l hỡnh chiu ca A'B trờn gúc[A 'B,(ABC)] = ẳ ABA ' = 60o VABA ' ị AA ' = AB.tan 600 = a a2 SABC = BA.BC = 2 a Vy V = SABC.AA' = Vy B' C A 60o B ẳ = Vớ d 2: Cho lng tr ng tam giỏc ABC A'B'C' cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti A vi AC = a , ACB o 60 bit BC' hp vi (AA'C'C) mt gúc 30 Tớnh AC' v th tớch lng tr A' VABC ị AB = AC.tan 60o = a Ta cú: AB ^ AC;AB ^ AA ' ị AB ^ (AA 'C'C) C' nờn AC' l hỡnh chiu ca BC' trờn (AA'C'C) Vy gúc[BC';(AA"C"C)] = B' 30o A VAC'B ị AC' = C a o 60 B V =B.h = SABC.AA' o ẳ BC'A = 30 AB = 3a t an30o VAA 'C' ị AA ' = AC'2 - A 'C'2 = 2a 2 VABC l na tam giỏc u nờn SABC = a Vy V = a Vớ d 3: Cho lng tr ng ABCD A'B'C'D' cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a v ng chộo BD' ca lng tr hp vi ỏy ABCD mt gúc 300 Tớnh th tớch v tng diờn tớch ca cỏc mt bờn ca lng tr Li gii: Ta cú ABCD A'B'C'D' l lng tr ng nờn ta cú: B' C' DD' ^ (ABCD) ị DD' ^ BD A' D' Vy gúc [BD';(ABCD)] = C D o 30 A v BD l hỡnh chiu ca BD' trờn ABCD ẳ DBD' = 300 a 3 a S = 4S 4a ADD'A' = 3 VBDD' ị DD' = BD.tan 300 = B Vy V = SABCD.DD' = a o Vớ d 4: Cho hỡnh hp ng ABCD A'B'C'D' cú ỏy ABCD l hỡnh thoi cnh a v ẳ BAD = 60 bit AB' hp vi ỏy (ABCD) mt gúc 30o Tớnh th tớch ca hỡnh hp Phng phỏp hỡnh khụng gian 12 C' B' VABD u cnh a ị SABD = A' D' o 30 A Li gii: C D a a2 VABB' vuụng tiB ị BB' = AB t an30o = a 3a Vy V = B.h = S ABCD BB' = ị SABCD = 2SABD = B 60 o a2 3) Dng 3: Lng tr ng cú gúc gia mt phng Vớ d 1: Cho lng tr ng tam giỏc ABC A'B'C' cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn ti B vi BA = BC = a , bit (A'BC) hp vi ỏy (ABC) mt gúc 600 Tớnh th tớch lng tr Hot ng ca giỏo viờn: A' C' BC ^ A 'B gúc[(A 'BC),(ABC)] = ẳ ABA ' = 60o VABA ' ị AA ' = AB.tan 600 = a a2 SABC = BA.BC = 2 a Vy V = SABC.AA' = Vy B' A Li gii: Ta cú A 'A ^ (ABC)& BC ^ AB ị C 60o B Vớ d 2: ỏy ca lng tr ng tam giỏc ABC.ABC l tam giỏc u Mt (ABC) to vi ỏy mt gúc 300 v din tớch tam giỏc ABC bng Tớnh th tớch lng tr Li gii: C' A' VABC u m AA' ^ (ABC) nờn A'I ^ BC (l ^ ) ị AI ^ BC ẳ'IA = 30o Vy gúc[(A'BC);)ABC)] = A 2x = x Ta cú 2 AI x A' AI : A' I = AI : cos 30 = = = 2x 3 Gi s BI = x B' A AI = =x = CI.AI.AA = x = BI.AI = x.2x = x = AA = AI.tan 300 = 30o C x 3 Vy VABC.ABC B xI M SABC Do ú VABC.ABC = Vớ d 3: Cho lng tr t giỏc u ABCD A'B'C'D' cú cnh ỏy a v mt phng (BDC') hp vi ỏy (ABCD) mt gúc 60o.Tớnh th tớch hp ch nht Phng phỏp hỡnh khụng gian 12 D' C' A' B' Li gii: Gi O l tõm ca ABCD Ta cú ABCD l hỡnh vuụng nờn OC ^ BD ẳ CC' ^ (ABCD) nờn OC' ^ BD (l ^ ) Vy gúc[(BDC');(ABCD)] = COC' = 60o Ta cú V = B.h = SABCD.CC' ABCD l hỡnh vuụng nờn SABCD = a2 C VOCC' vuụng nờn CC' = OC.tan60o = D 60 O B Vy V = A a a a3 Vớ d 4: Cho hỡnh hp ch nht ABCD A'B'C'D' cú AA' = 2a ; mt phng (A'BC) hp vi ỏy (ABCD) mt gúc 60o v A'C hp vi ỏy (ABCD) mt gúc 30o Tớnh th tớch hp ch nht Ta cú AA' D' A' C' B' 2a o 60 D A o 30 B C ^ (ABCD) ị ẳ A'CA = 30o BC ^ AB ị BC ^ A'B (l ^ ) Vy gúc[(A'BC),(ABCD)] = ẳ A 'BA = 60o Vy gúc[A'C,(ABCD)] = VA 'AC ị AC = AA'.cot30o = VA 'AB ị AB = AA'.cot60o = 2a 2a 3 VABC ị BC = AC2 - AB2 = Vy V = AB.BC.AA' = 4) Dng 4: AC l hỡnh chiu ca A'C trờn (ABCD) 4a 16a 3 Khi lng tr xiờn Vớ d 1: Cho lng tr xiờn tam giỏc ABC A'B'C' cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a , bit cnh bờn l a v hp vi ỏy ABC mt gúc 60o Tớnh th tớch lng tr A' C' B' a B CH l hỡnh chiu ca CC' trờn (ABC) gúc[CC',(ABC)] = ẳ C'CH = 60o 3a VCHC' ị C'H = CC'.sin 600 = 2 a Vy V = S C'H = 3a SABC = = ABC Vy C A Li gii: Ta cú C'H ^ (ABC) ị o 60 H Vớ d 2: Cho lng tr xiờn tam giỏc ABC A'B'C' cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a Hỡnh chiu ca A' xung (ABC) l tõm O ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC bit AA' hp vi ỏy ABC mt gúc 60 1) Chng minh rng BB'C'C l hỡnh ch nht 2) Tớnh th tớch lng tr 10 Phng phỏp hỡnh khụng gian 12 A' Li gii: 1) Ta cú A 'O ^ (ABC) ị C' Vy OA l hỡnh chiu ca AA' trờn (ABC) ẳ ' = 60o gúc[AA ',(ABC)] = OAA Ta cú BB'CC' l hỡnh bỡnh hnh ( vỡ mt bờn ca lng tr) AO ^ BC ti trung im H ca BC nờn BC ^ A 'H (l B' ị BC ^ (AA 'H) ị BC ^ AA ' m AA'//BB' nờn ^) BC ^ BB' BB'CC' l hỡnh ch nht 60 o A a 2a a AO = AH = = 3 o VAOA ' ị A 'O = AO t an60 = a a3 Vy V = SABC.A'O = 2) C O H B VABC u nờn AD = Hai mt bờn Vớ d 3: Cho hỡnh hp ABCD.ABCD cú ỏy l hỡnh ch nht vi AB = 0 (ABBA) v (ADDA) ln lt to vi ỏy nhng gúc 45 v 60 Tớnh th tớch hp nu bit cnh bờn bng Li gii: K AH D' ( ABCD ) ,HM AB, HN AD A' M AB, A' N AD (l ^ ) C' ẳ' NH = 60o ị ẳ A 'MH = 45o ,A A' t AH = x Khi ú B' AN = x : sin 600 = D AN = C N 3 4x AA' A' N = = HM 2 M HM = x.cot 450 = x H A Ngha l x = M 2x B 4x x= 3 Vy VABCD.ABCD = AB.AD.x = =3 LOI 2: TH TCH KHI CHểP 1) Dng 1: Khi chúp cú cnh bờn vuụng gúc vi ỏy Vớ d 1: Cho hỡnh chúp SABC cú SB = SC = BC = CA = a Hai mt (ABC) v (ASC) cựng vuụng gúc vi (SBC) Tớnh th tớch hỡnh chúp Li gii: Ta cú A a_ C B / / \ ỡù (ABC) ^ (SBC) ùớ ị AC ^ (SBC) ùù (ASC) ^ (SBC) ợ Do ú 1 a2 a3 V = SSBC AC = a= 3 12 S Vớ d 2: Cho hỡnh chúp SABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn ti B vi AC = a bit SA vuụng gúc vi ỏy ABC v SB hp vi ỏy mt gúc 60o 1) Chng minh cỏc mt bờn l tam giỏc vuụng 11 Vy Phng phỏp hỡnh khụng gian 12 2) Tớnh th tớch hỡnh chúp Li gii: 1) SA ^ (ABC) ị S SA ^ AB &SA ^ AC m BC ^ AB ị BC ^ SB ( l ^ ) Vy cỏc mt bờn chúp l tam giỏc vuụng 2) Ta cú SA ^ (ABC) ị AB l hỡnh chiu ca SB trờn (ABC) ẳ = 60o SAB a VABC vuụng cõn nờn BA = BC = 2 a SABC = BA.BC = a VSAB ị SA = AB.t an60o = 2 1 a a a3 Vy V = S SA = = ABC 24 Vy gúc[SB,(ABC)] = C a A 60o B Vớ d 3: Cho hỡnh chúp SABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a bit SA vuụng gúc vi ỏy ABC v (SBC) hp vi ỏy (ABC) mt gúc 60o Tớnh th tớch hỡnh chúp Li gii: M l trung im ca BC,vỡ tam giỏc ABC u nờn AM ^ BC ị SA ^ BC (l3 ^ ) S ẳ Vy gúc[(SBC);(ABC)] = SMA = 60o Ta cú V = C A 60 o a M 1 B.h = SABC.SA 3 3a 1 a B.h = SABC SA = 3 VSAM ị SA = AM tan 60o = Vy V = B Vớ d 4: Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cú cnh a v SA vuụng gúc ỏy ABCD v mt bờn (SCD) hp vi ỏy mt gúc 60o 1) Tớnh th tớch hỡnh chúp SABCD 2) Tớnh khong cỏch t A n mt phng (SCD) Li gii: 1) Ta cú SA ^ (ABC) v S 60 o D VSAD vuụng nờn SA = AD.tan60o = a 1 a3 Vy V = S SA = a a = ABCD 3 2) Ta dng AH ^ SD ,vỡ CD ^ (SAD) (do (1) ) nờn CD ^ AH ị AH ^ (SCD) Vy AH l khong cỏch t A n (SCD) B a ( l ẳ Vy gúc[(SCD),(ABCD)] = SDA = 60o H A CD ^ AD ị CD ^ SD VSAD ị C Vy AH = 1 1 = 2+ = 2+ 2= 2 AH SA AD 3a a 3a a 2) Dng : Khi chúp cú mt mt bờn vuụng gúc vi ỏy 12 ^ ).(1) Phng phỏp hỡnh khụng gian 12 Vớ d 1: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cú cnh a Mt bờn SAB l tam giỏc u nm mt phng vuụng gúc vi ỏyABCD 1) Chng minh rng chõn ng cao chúp trựng vi trung im cnh AB 2) Tớnh th tớch chúp SABCD Li gii: 1) Gi H l trung im ca AB VSAB u ị SH ^ AB S m (SAB) ^ (ABCD) ị SH ^ (ABCD) Vy H l chõn ng cao ca chúp Ta cú tam giỏc SAB u nờn SA = a D A 2) 3 suy H B a C a V = SABCD SH = Vớ d 2: Cho t din ABCD cú ABC l tam giỏc u ,BCD l tam giỏc vuụng cõn ti D , (ABC) ^ (BCD) v AD hp vi (BCD) mt gúc 60o Tớnh th tớch t din ABCD Li gii: Gi H l trung im ca BC Ta cú tam giỏc ABC u nờn AH ^ (BCD) , m (ABC) A ^ (BCD) Ta cú AH ^ HD ị AH = AD.tan60o = a a & HD = AD.cot60o = B 60 o H D C a 3 2a suy 1 a3 SBCD AH = BC.HD.AH = 3 VBCD ị V= ^ (BCD) ị AH BC = 2HD = Vớ d 3: Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn ti B, cú BC = a Mt bờn SAC vuụng gúc vi ỏy, cỏc mt bờn cũn li u to vi mt ỏy mt gúc 450 a) Chng minh rng chõn ng cao chúp trựng vi trung im cnh AC b) Tớnh th tớch chúp SABC a) K SH BC vỡ mp(SAC) mp(ABC) nờn SH mp(ABC) Gi I, J l hỡnh chiu ca H trờn AB v BC SI AB, SJ BC, theo gi thit S ẳ = SJH ẳ = 45o SIH SHI = SHJ HI = HJ nờn BH l ng phõn giỏc ca VABC ú suy H l trung im ca AC a a ị V = S ABC SH = b) HI = HJ = SH = 12 Ta cú: H A SABC 45 C I J B 3) Dng : Khi chúp u Vớ d 1: Cho chúp tam giỏc u SABC cnh ỏy bng a v cnh bờn bng 2a Chng minh rng chõn ng cao k t S ca hỡnh chúp l tõm ca tam giỏc u ABC.Tớnh th tớch chúp u SABC 13 Phng phỏp hỡnh khụng gian 12 \ Li gii: Dng SO ^ (ABC) Ta cú SA = SB = SC suy OA = OB = OC Vy O l tõm ca tam giỏc u ABC Ta cú tam giỏc ABC u nờn S AO = 2a VSAO ị SO2 = SA - OA = C A a 2a a AH = = 3 ị SO = O H 11a a 11 a 11 Vy V = SABC SO = 12 B Vớ d 2:Cho chúp t giỏc SABCD cú tt c cỏc cnh cú di bng a 1) Chng minh rng SABCD l chúp t giỏc u 2) Tớnh th tớch chúp SABCD Li gii: Dng SO (ABCD) Ta cú SA = SB = SC = SD nờn OA = OB = OC = OD ABCD l hỡnh thoi cú ng trũn ngoi tip nờn ABCD l hỡnh vuụng Ta cú SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2 nờn VASC vuụng ti S S C D ị V = S ABCD SO = a a = a O A a 2 OS = a Vy B V= a 3 6 Vớ d 3: Cho t din u ABCD cnh bng a, M l trung im DC a) Tớnh th tớch t din u ABCD b)Tớnh khong cỏch t M n mp(ABC) Suy th tớch hỡnh chúp MABC Li gii: a) Gi O l tõm ca D V = S ABC DO a2 , a OC = CI = S ABC = 3 M A C O I H a B ABC DO ( ABC ) DOC vuụng cú : DO = DC OC = a a a a3 V = = 12 b) K MH// DO, khong cỏch t M n mp(ABC) l MH MH = a DO = 14 Phng phỏp hỡnh khụng gian 12 VMABC Vy 4) Dng : V= 1 a a a3 = S ABC MH = = 3 24 a3 24 Khi chúp & phng phỏp t s th tớch Vớ d 1: Cho hỡnh chúp S.ABC cú tam giỏc ABC vuụng cõn B, AC = a , SA vuụng gúc vi ỏy ABC , SA = a 1) Tớnh th tớch ca chúp S.ABC 2) Gi G l trng tõm tam giỏc ABC, mt phng ( ) qua AG v song song vi BC ct SC, SB ln lt ti M, N Tớnh th tớch ca chúp S.AMN Li gii: VS ABC = S ABC SA v SA = a + ABC cõn cú : AC = a AB = a 1 a3 S ABC = a Vy: VSABC = a a = S a)Ta cú: N C G A b) Gi I l trung im BC SG = SI // BC MN// BC SM = SN = SG = SB SC SI G l trng tõm,ta cú : M I B VSAMN SM SN = = VSABC SB SC Vy: 2a VSAMN = VSABC = 27 Vớ d 2: Cho tam giỏc ABC vuụng cõn A v AB = a Trờn ng thng qua C v vuụng gúc vi mt phng (ABC) ly im D cho CD = a Mt phng qua C vuụng gúc vi BD, ct BD ti F v ct AD ti E a) Tớnh th tớch t din ABCD b) Chng minh CE ( ABD) c) Tớnh th tớch t din CDEF Li gii: a) Tớnh VABCD : VABCD = SABC CD = a b) Tacú: c) Tớnh M AB AC , AB CD AB ( ACD) AB EC DB EC EC ( ABD ) VDCEF :Ta cú: VDCEF DE DF = (*) VDABC DA DB DE.DA = DC , chia cho DA2 DE DC a2 = = = DA DA 2a 15 Phng phỏp hỡnh khụng gian 12 D Tng t: F T (*) a DF DC a2 = = = 2 DB DB DC + CB 3 VDCEF = Vy VDCEF = VABCD = a VDABC 6 36 E B C a A Vớ d 3: Cho chúp t giỏc u SABCD Mt mt phng ( ) qua A, B v trung im M ca SC Tớnh t s th tớch ca hai phn chúp b phõn chia bi mt phng ú Li gii: K MN // CD (N SD ) thỡ hỡnh thang ABMN l thit din ca chúp ct bi mt phng (ABM) S + N M D A O B C VSAND SN 1 = = VSANB = VSADB = VSABCD VSADB SD 2 VSBMN SM SN 1 1 = = = VSBMN = VSBCD = VSABCD M VSBCD SC SD 2 4 VSABMN = VSANB + VSBMN = VSABCD Suy VABMN.ABCD = VSABCD VSABMN = Do ú : V ABMN ABCD Vớ d 4: Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD, ỏy l hỡnh vuụng cnh a, cnh bờn to vi ỏy gúc 60 Gi M l trung im SC Mt phng i qua AM v song song vi BD, ct SB ti E v ct SD ti F a) Hóy xỏc nh mp(AEMF) b) Tớnh th tớch chúp S.ABCD c) Tớnh th tớch chúp S.AEMF Li gii: a) Gi I = S M E B I C F b) VS ABCD = S ABCD SO vi S ABCD = a + VSOA Vy : cú : SO = AO.tan 60 = VS ABCD a3 = c) Phõn chia chúp t giỏc ta cú VS AEMF = V O A SO AM Ta cú (AEMF) //BD EF // BD SAMF D 16 + VSAME =2VSAMF a Phng phỏp hỡnh khụng gian 12 VS ABCD = 2V SACD = VSABC Xột chúp S.AMF v S.ACD Ta cú : SM = SC SAC cú trng tõm I, EF // BD nờn: VSAMF SM SF SI SF = = = = VSACD SC SD SO SD 1 a3 = VSACD = VSACD = 36 VSAMF VS AEMF = a3 a3 = 36 18 Vớ d 5: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a, SA vuụng gúc ỏy, SA = a Gi B, D l hỡnh chiu ca A ln lt lờn SB, SD Mt phng (ABD) ct SC ti C a) Tớnh th tớch chúp S.ABCD b) Chng minh SC ( AB ' D ') c) Tớnh th tớch chúp S.ABCD VS ABCD a) Ta cú: S a3 = S ABCD SA = 3 BC ( SAB ) BC AB ' SB AB ' Suy ra: AB ' ( SBC ) b) Ta cú & nờn AB' ^ SC Tng t AD' ^ SC Vy SC ^ (AB'D') c) Tớnh B' C' D' VSAB 'C ' SB ' SC ' = (*) VSABC SB SC SC ' = SAC vuụng cõn nờn SC SB ' SA2 2a 2a 2 Ta cú: = = = = SB SB SA2 + AB 3a + Tớnh I B A O D VS A B 'C ' D ' C VS AB 'C ' : Ta cú: T (*) V SAB 'C ' = VSABC a3 a3 VSAB ' C ' = = 3 + VS A B 'C ' D ' = 2VS A B 'C ' 17 2a =