Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 cấp huyện quỳnh lưu

PHÒNG GD&ĐT QUỲNH LƯU ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP Năm học 2013-2014 Môn: Toán - Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (2,0 điểm) x2 − x x2 + x − Cho A = x + x +1 x − x +1 a) Nêu ĐKXĐ rút gọn biểu thức A b) Đặt B = A + x – Tìm GTNN biểu thức B Câu 2: (1,5 điểm) Tìm cặp số nguyên (x; y) thoả mãn x2 – 5xy + 6y2 + = Câu 3: (2,5 điểm) a) Tìm x, y biết : 1 + + x+ y =4 x y b) Giải phương trình : x + x − + x − x − = x+3 Câu 4: (1,0 điểm) Cho hai số thực x, y ≠ CMR : x y x2 y + + ≥ 3 + ÷ y x  y x Câu 5: (2,0 điểm) Cho điểm M nằm nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R (M không trùng với A B) Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ đường thẳng AB, kẻ tia Ax vuông góc với AB Đường thẳng BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn tâm O E, cắt IB F; đường thẳng BE cắt AI H, cắt AM K a) Chứng minh : điểm F, E, K, M nằm đường tròn b) Tứ giác AHFK hình ?Vì ? c) Chứng minh đường thẳng HF tiếp xúc với đường tròn cố định điểm M di chuyển nửa đường tròn tâm O Hết ĐÁP ÁN Câu 1: ( 2,0 điểm) a) ĐKXĐ: x ≥ ( ) ( ) x x3 −1 x x3 +1 x2 − x x2 + x A= − = − x + x +1 x − x +1 x + x +1 x − x +1 = x ( )( ) − x( )( )= x −1 x + x +1 x +1 x − x +1 x + x +1 x − x +1 x ( ) x −1 − x ( ) x + = x − x − x − x = −2 x b) B = A + x – 1= −2 x + x − = x − x − = ( x − 1) − ≥ −2 Dấu “=” xảy ⇔ x − = ⇔ x = ( TM ĐKXĐ) Vậy GTNN biểu thức B=-2 x=1 Câu 2: ( 1,5 điểm) x – 5xy + 6y + = ⇔ 4x − 20xy + 24y + = ⇔ (2x − 5y) − y + = ⇔ (2x − 5y) − y = −4 ⇔ (2x − 6y)(2x − 4y) = −1 ⇔ (x − 3y)(x − 2y) = −1 KQ: (x; y) ∈ { (−5; −2); (5; 2)} Câu 3: (2,5 điểm) a) ĐKXĐ: x > 0; y > 2 1 1   + + x+ y =4⇔ x+ −2+ y + −2 = ⇔  x −  + y − ÷ =  ÷ x y x y x   y÷     x− x =0 x =  ⇔ ⇔ ( TM ĐKXĐ) y =1  y− =0  y Vậy (x;y)=(1;1) x+3 x+3 ⇔ x −1+ x −1 +1 + x −1− x −1 +1 = 2 2 x+3 ⇔ x −1 +1 + x −1 −1 = ĐKXĐ : x ≥ x+3 ⇔ x −1 +1 + x −1 −1 = (*) Nếu x ≥ phương trình (*) x+3 x+3 ⇔ x −1 +1 + x −1 −1 = ⇔ x −1 = ⇔ x −1 = x + 2 ⇔ 16( x − 1) = x + x + ⇔ x − 10 x + 25 = ⇔ ( x − 5) = ⇔ x = (TM) Nếu ≤ x < phương trình (*) x+3 x+3 ⇔ x −1 +1 +1− x −1 = ⇔2= ⇔ = x + ⇔ x = ( TM) 2 b) x + x − + x − x − = ( ) ( ) Vậy phương trình có nghiệm x=1; x=5 Câu 4: (1,0 điểm)  x y x y x2 y x y2 (x + y − xy)(x − y) + + ≥ + ⇔ + − + + ≥ ⇔ ≥0  ÷  ÷ y x2 y2 x x y2 y x  y x Câu 5: ( 2,0 điểm) a) Các tam giác AEB, AMB vuông ( AB đường · · kính) suy BEF = KMF = 900 Gọi C trung điểm KF ta có EC = CM = KF hay EC = CM = CK = CF Suy điểm F, E, K, M nằm đường tròn tâm C b) Ta có AE vừa đường cao vừa phân giác tam giác AHK nên AH=AK HE=EK EC đường trung bình tam giác HKF nên EC = 1 HF, mà EC= = KF nên HF=KF 2 I F C H M E K A O K trực tâm tam giác FAB nên FK ⊥ AB , mà · · AH ⊥ AB AH//KF suy KFE = EAH ∆KEF = ∆HEA suy AH=KF Do AH=AK=KF=EH AF ⊥ HK nên tứ giác AHFK hình thoi c) Vì AHFK hình thoi suy HF//AM, mà AM ⊥ BF nên HF ⊥ BF (1) Mặt khác HK trung trực AF hay BH trung trực AF nên BF=AB=2R (2) Từ (1) (2) suy HF tiếp tuyến đường tròn (B; 2R) cố định B ... x  y x Câu 5: ( 2,0 điểm) a) Các tam giác AEB, AMB vuông ( AB đường · · kính) suy BEF = KMF = 90 0 Gọi C trung điểm KF ta có EC = CM = KF hay EC = CM = CK = CF Suy điểm F, E, K, M nằm đường tròn