Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 cấp tỉnh tỉnh Thanh Hoá năm 2017 có đáp án

PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ THANH HÓA NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn Toán: Lớp ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài: 150 phút) Bài 1: (5,0 điểm)  x2  x 1 x Với x  0, x    :     x x x x 1 x   Cho biểu thức: P   a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P  c) So sánh: P2 2P Bài 2: (4,0 điểm) a) Tìm x, y  Z thỏa mãn: y x  x  y   x  y  xy b) Cho a, b, c số nguyên khác thỏa mãn điều kiện: 1 1 1      2 2 b c a b c a Chứng minh rằng: a  b3  c3 chia hết cho Bài 3: (4,0 điểm) a) Giải phương trình sau: x  20 x  25  x  x   10 x  20 b) Cho x, y số thực thoả mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: A = x + y + Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh a N điểm tùy ý thuộc cạnh AB Gọi E giao điểm CN DA Vẽ tia Cx vuông góc với CE cắt AB F Lấy M trung điểm EF a) Chứng minh: CM vuông góc với EF b) Chứng minh: NB.DE = a2 B, D, M thẳng hàng c) Tìm vị trí N AB cho diện tích tứ giác AEFC gấp lần diện tích hình vuông ABCD Bài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b c a b c      ab bc ca bc ca ab Hết -Lưu ý: Học sinh không sử dụng máy tính cầm tay ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP Bài Câu a Nội dung Điểm Điều kiện: x  0, x  0,5  x2 P  x x x    x2     x 1 x   0,5      b x  x 1  : x 1 1 x   x  x 1  : x 1 x    x   x ( x  1)  ( x  x  1)   x  x 1   x 1 x  x 1   x 1 x  x 1 : x 1 2 x 1 0,5 0,5 x  x 1 Với x  0, x  Ta có: P 0,5 2  x  x 1 1,0  x  x 1  0,25   x x 60  ( x  2)( x  3)  Vì x   nên Vậy P = c 0,25 x    x  (t/m) x = Vì x   x  x   0,25 2 x  x 1  0P2  P ( P  2)   0 0,25  P2  2P  0,25  P2  2P Dấu “=” xảy P =  x = 0,25 Vậy P2  2P a y2 x  x  y   x2  y2  xy  y2 x  x  y   x2  y2  xy    x  1 (2 y2  y  x)  1 0,5 0,25 Vì x, y Z nên x - 1 Ư(-1) = 1; 1 +) Nếu x – =  x = 0,5 Khi 2y2 - y – = -  y = (t/m) y = 1 Z (loại) +) Nếu x – = -1  x = 0,5 Khi 2y - y =  y = (t/m) y = 1 Z (loại) 0,25 x  x  ;  y 1 y 1 Vậy  b a) Từ giả thiết 1 1 1 (   )2    a b c a b c 1  2(   )  ab bc ca Vì a, b, c  nên a + b + c = 0,5 0,5 0,5  a  b  c   a  b    c  0,25  a  b3  3ab(a  b)  c3 0,25 3  a  b3  c3  3abc Vậy a  b  c3 3 với a, b, c  Z Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng đẳng thức x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) mà không chứng minh trừ 0,5 điểm a Đkxđ: x  R 0,25 x  20 x  25  x  x   10 x  20 Vì x  20 x  25  x  x   với x  10x – 20   x  0,5 Ta có: x  20 x  25  x  x   10 x  20  x   x   10 x  20  x   x   10 x  20  x  28  x  4(t / m) 0,5 0,5 0,25 Vậy phương trình có nghiệm x = b x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0,5   x  y   7( x  y )  10   y 2  ( x  y  2)( x  y  5)   y   4  x  y   1 * x + y + = - x = - 5; y = * x + y + = - x = - 2; y = Vậy Amin = - x= - 5; y = Amax = - x = -2; y = 0,5 0,5 0,5 a E M A N B F 1,0 D C   BCF  (cùng phụ với ECB ) Ta có: ECD Chứng minh được:  EDC =  FBC (cạnh góc vuông – góc nhọn) 1,0  CE = CF   ECF cân C Mà CM đường trung tuyến nên CM  EF b * Vì  EDC =  FBC  ED = FB 0,5  NCF vuông C Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có: BC2 = NB.BF  a2 = NB.DE (đpcm) 0,5 *  CEF vuông C có CM đường trung tuyến nên CM   AEF vuông A có AM đường trung tuyến nên AM  EF EF 0,5  CM = AM  M thuộc đường trung trực AC Vì ABCD hình vuông nên B, D thuộc đường trung trực AC 0,5  B, D, M thẳng hàng thuộc đường trung trực AC (đpcm) c Đặt DE = x (x > 0)  BF = x 0,5 SACFE = SACF + SAEF = AF   AE  CB   (AB  BF)   AE  AD   (a  x).DE  (a  x)x SACFE = 3.SABCD  0,25 0,5 (a  x)x  3a  6a  ax  x   (2a  x)(3a  x)  Do x > 0; a >  3a + x >  2a  x   x = 2a 0,5  A trung điểm DE  AE = a Vì AE //BC nên AN AE  1 NB BC 0,25  N trung điểm AB Vậy với N trung điểm AB SACFE = 3.SABCD * Vì a, b, c > nên Tương tự:  a a a c 1  ab ab abc b ba c c b  ;  bc abc ca abc a b c    (1) ab bc ca * Ta có: a a  bc a (b  c) Vì a, b, c > nên theo bất đẳng thức Cô- si ta có: a  (b  c )  a (b  c )  2   abc a (b  c ) 0,5 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Website Hoc247.vn cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng I Luyện Thi Online Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90% - Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng - H2 khóa tảng kiến thức luyên thi môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - H99 khóa kỹ làm luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội II Lớp Học Ảo VCLASS Học Online Học lớp Offline - Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh đưa đón học - Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên - Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn - Mỗi lớp từ đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, hỗ trợ kịp thời đảm bảo chất lượng học tập Các chương trình VCLASS: - Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia - Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn - Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao, Toán Chuyên Toán Tiếng Anh danh cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, III Uber Toán Học Học Toán Gia Sư Kèm Online - Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán Giảng viên ĐH Day kèm Toán câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,… - Học sinh lựa chọn GV yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi phù hợp - Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS PH đánh giá lực khách quan qua kiểm tra độc lập - Tiết kiệm chi phí thời gian hoc linh động giải pháp mời gia sư đến nhà W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 ... Tấn - Hoc Toán Nâng Cao /Toán Chuyên /Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao, Toán Chuyên Toán Tiếng Anh danh cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, III Uber Toán Học Học Toán Gia Sư Kèm... thức luyên thi môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - H 99 khóa kỹ làm luyện đề thi thử: Toán, Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội II Lớp Học Ảo VCLASS Học Online Học lớp Offline... sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán Giảng viên ĐH Day kèm Toán câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,… - Học sinh