Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 tỉnh Khánh Hòa năm học 2016 2017

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH KHÁNH HÒA THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH NĂM HỌC: 2016 – 2017 MÔN: TOÁN Ngày thi: 11 – – 2017 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài (4 điểm) a + b2 + c2 + a + 2c = 3c + 19 = = b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + 2x + 3x + 2x + a) Tìm số dương a, b, c thỏa mãn Bài (3 điểm) Để tham gia ngày chạy Olympic sức khỏe toàn dân, trường A nhận số áo chia cho lớp Biết theo thứ tự, lớp thứ nhận áo 1 số áo lại, đến lớp thứ n (n = 2; 3; 4; …) nhận 4n áo số áo 9 lại Cứ lớp nhận hết số áo Hỏi trường A nhận áo? Bài (3 điểm) Tìm tất số nguyên dương n để (1 + n 2017 + n 2018 ) số nguyên tố Bài (3 điểm) Một giải bóng chuyền có đội bóng tham gia thi đấu vòng tròn lượt (hai đội thi đấu với trận) Biết đội thứ thắng a1 trận thua b1 trận, đội thứ hai thắng a2 trận thua b2 trận, …, đội thứ thắng a9 trận thua b9 trận Chứng minh a12 + a 22 + a 32 + … + a 92 = b12 + b 22 + b32 + … + b92 Bài (5 điểm) Cho đoạn thẳng AB dài a (cm) Lấy điểm C thuộc đoạn thẳng AB (C khác A B) Vẽ tia Cx vuông góc với AB Trên tia Cx lấy hai điểm D E cho CD = CA CE = CB a) Chứng minh AE vuông góc với BD b) Gọi M N trung điểm AE BD Tìm vị trí điểm C đoạn thẳng AB để đa giác CMEDN có diện tích lớn c) Gọi I trung điểm MN Chứng minh khoảng cách từ I đến AB không phụ thuộc vào vị trí điểm C Bài (2 điểm) Hình vuông có 3x3 ô (như hình bên) chứa số mà tổng số hàng, cột đường chéo gọi hình vuông kì diệu Chứng minh số tâm (x) hình vuông kì diệu trung bình cộng hai số lại hàng, cột, đường chéo x GỢI Ý GIẢI: Bài a) Từ giả thiết a + 2c = 3b + 19 ⇒ a + 2c2 − 3b = 19 a + b + c2 + 3b + 18 2c + a + + 2c + − 3b − 18 14 = = = = = = = 14 15 12 + 12 − 15 Suy ra: a = 49 ⇒ a = b = 64 ⇒ b = c = 81 ⇒ c = Ta có b) P = x + 2x + 3x + 2x + = ( x + 2x + 1) + ( 2x + 2x ) + x = ( x + 1) + 2x ( x + 1) + x 2 = ( x + x + 1) 2 1 3 3 Vì x + x + =  x + 2x +  + =  x +  + ≥ nên P ≥   = 4  2 4    16 Dấu “=” xảy x = − 2 Bài Gọi số lớp trường A nhận áo x Vì lớp thứ x nhận áo cuối số áo phát hết nên số áo lớp thứ x nhận 4x Lớp thứ x – nhận số áo ( x − 1) + 4x = 4,5x − Vì số áo lớp nhận nên ta có phương trình 4,5x − = 4x ⇔ x = ⇒ Số áo lớp nhận được: 4.8 = 32 (áo) Suy số áo trường A nhận được: 32.8 = 256 (áo) Bài Đặt A = + n 2017 + n 2018 Với n = A = số nguyên tố Với n > 1, ta có + n 2017 + n 2018 = ( n 2018 − n ) + ( n 2017 − n ) + ( n + n + 1) = n ( n 2016 − 1) + n ( n 2016 − 1) + ( n + n + 1) = ( n 2016 − 1)( n + n ) + ( n + n + 1) Ta lại có n 2016 − = ( n ) − 1= ( n − 1) ( n ) + ( n ) + … + n + 1 ⋮ ( n − 1) 672 671 670   ⇒ ( n 2016 − 1)⋮ ( n + n + 1) Suy A ⋮ ( n + n + 1) , mà < n + n + < A nên A hợp số Vậy n = số nguyên dương thỏa điều kiện toán Bài Mỗi đội bóng thi đấu với đội bóng khác hai đội gặp trận nên đội thi đấu trận ⇒ + bi = (với i = 1, 2, 3, …, 8) Đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a12 + a 22 + a 32 + … + a 92 = ( − a1 ) + ( − a ) + ( − a ) + … + ( − a ) 2 ⇔ 16 ( a1 + a + a + … + a ) = 576 (1) Mặt khác, tổng số trận thắng đội tổng số trận đấu nên: a1 + a + a + … + a = 9.8 = 36 (2) Từ (1) (2) suy đpcm Bài x E M H D N A B C a) Gọi H giao điểm BD AE ∆ACE = ∆DCB (c-g-c) ⇒ E = B Suy ∆DHE ∼ ∆DCB (g-g) ⇒ DHE = CDB = 900 2 4 b) Ta có SCMEDN = SCME + SCDN = SACE + SBCD = AC.CE + CB.CD = AC.CB ( AC + CB ) Mặt khác, theo bđt AM – GM ta có: AC.CB ≤ Suy SCMEDN ≤ = a2 a2 Dấu “=” xảy AC = CB hay C trung điểm AB c) x E M I D N A B M' C J N' Gọi J, M’, N’ hình chiếu vuông góc I, M, N lên AB Ta có IJ đường trung bình hình thang MNN’M’ nên IJ = MM' + NN' (1) Ta lại có MM’ đường trung bình ∆ACE NN’ đường trung bình ∆BCD nên MM' = CE CB CD AC = NN' = = (2) 2 2 AC CB + 2 = AB = a Từ (1) (2) suy IJ = 4 Vậy khoảng cách điểm I đến đoạn AB không phụ thuộc vị trí điểm C Bài Giả sử hình vuông kì diệu điền số a, b, c, d, e, f, g, h, i hình vẽ Đặt S = a + b + c + d + e + f + g + h + i a b c d e f g h i Suy d + e + f = b + e + h = a + e + i = c + e + g = S (1) Suy ( d + e + f ) + ( b + e + h ) + ( a + e + i ) + ( c + e + g ) = ⇒ (d + e + f ) + ( b + e + h ) + (a + e + i) + (c + e + g ) = ⇒ S + 3e = 4S 4S 4S S ⇒ e = (2) Từ (1) (2) ⇒ d + f = b + h = a + i = c + g = 2S = 2e đpcm