Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 đa

Phũng GD&T i Lc THI HC SINH GII CP HUYN NM HC 2014 2015 Thi gian lm bi : 150 phỳt (Khụng k thi gian phỏt ) Mụn : Toỏn Lp : Ngi : n v : Nguyn Vn Tin THCS Phan Bi Chõu BI Bi 1: ( im) Cho biu thc a3 a a a 9a A = + ữ: ữ a a +3 a a + a a) Rỳt gn A b Tỡm cỏc s nguyờn ca a A l s nguyờn Bi (1 im): Chng minh rng tớch ca bn s t nhiờn liờn tip cng vi 1, luụn l s chớnh phng Bi (4 im) gii phng trỡnh 1) 1 + + =1 x +3 + x +2 x + + x +1 x +1 + x 2) x x = x Bi 4: (4im) Chng minh ng thc: abc + bc vi a > 0, b > v a a = a abc abc > Bi 5: (4im) Cho na ng trũn tõm O cú ng kớnh AB = 2R K hai tia tip tuyn Ax v By ca na ng trũn (Ax, By v na ng trũn cựng thuc mt na mt phng b AB) Gi M l im tựy ý thuc na ng trũn (khỏc A v B) Tip tuyn ti M ca na ng trũn ct Ax ti D v ct By ti E a) Chng minh rng: DOE l tam giỏc vuụng b) Chng minh rng: AD ìBE = R c) Xỏc nh v trớ ca im M trờn na ng trũn (O) cho din tớch ca t giỏc ADEB nh nht Bi ( im) Cho ng trũn ( O, 15 cm) dõy BC = 20 cm cỏc tip tuyn ca ng trũn ti B v C ct ti A Gi H l giao im OA v BC a Chng minh rng: HB = HC b Tớnh di OH c Tớnh di OA HNG DN CHM V THANG IM THI XUT HC SINH GII CP HUYN NM HC 2012 2013 Mụn Toỏn - Lp (Thi gian: 150 phỳt khụng k thi gian giao ) Ni dung Bi im 1.Cho biu thc a3 a a a 9a A = + ữ: ữ a a +3 a a + a a) Rỳt gn A TX: a 0; a A = Bài 1: 4điể m ( 0,5 a +3 )( ( ( ) a a a 3 a A = + ữ: ữ a + a + a a A= a : a +3 a +3 A= a b) Tỡm cỏc s nguyờn ca a A l s nguyờn Gi s a Z A Z ( Z a ) a l c ca a = a =3 a = a =1 )( )( ) ữ ) ữ a a 3 a 3+ a ữ: + + a ữ a +3 a a a +3 a ( a 3) 0,5 0,5 a =3a =9 a =1 a =1 a = a = 25 a = 1(l ) 0,5 Bi 2(1) Bài 3: 5đ Gi s t nhiờn liờn tip l n, n + 1, n + 2, n + (n N) ta cú : n (n + 1)(n + 2)(n + 3) + = () n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = n.(n + 3)(n + 1)(n + 2) +1 (0,5 ) = (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + (*) (0,5 ) t n2 + 3n = t (t N) thỡ (*) = t( t + ) + = t2 + 2t + = ( t + )2 = (n2 + 3n + 1)2 (0,5 ) Vỡ n N nờn n2 + 3n + N Vy n(n + 1)(n + 2) (n + 3) + l mt s chớnh phng 1) Giải phơng trình: 1 + + =1 x +3 + x +2 x + + x +1 x +1 + x 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0,25 0,25 ĐK x x+ 3+ x+ + ( ( + x+ + x+1 x + 1+ x x+ x+ x+ 3+ x+ )( x+ x+ x + x x + 1+ x ( + )( x + x ) ( x+ x+ + ) + ) ( =1 x+ x+1 )( x+ + x+1 0,25 ) x+ x+1 0,25 =1 ) ( x+ x+1 + 0,25 ) x + x = 0,25 x+ = x +1 0,25 x + 3= x + x + x=2 0,25 x =1 0,25 x=1 x = tha K Vy PT cú nghim x = 2) x x = x 0,25 ( ẹK : x 4) 0,25 0,5 0,25 x x + = x ( Bài 4: 4đ ) 0,25 x = x 0,25 x x = x x 1,5 x = x x 1,5 x = x = x = ( thoỷa maừn ủieu kieọn) x=8 Vy x = abc + bc Chng minh ng thc: a a = abc a vi a > 0, b > v abc > abc + bc a a = abc VT = = ( a abc ( ) abc + abc a abc 2 abc ) = abc = a ( abc 2) a 2 Bi 5: im + Hỡnh v ỳng (cõu a): + Theo gi thit: DA v DM l hai tip tuyn ct ti D, nờn OD l tia phõn giỏc gúc AOM Tng t: OE l tia phõn giỏc gúc MOB l hai gúc + M AOM v MOB = 900 Vy tam k bự, nờn DOE giỏc DOE vuụng ti O í b) + Tam giỏc DOE vuụng ti O v OM DE nờn theo h thc lng 0,25 0,25 tam giỏc vuụng, ta cú: DM ìEM = OM = R (1) + M DM = DA v EM = EB (nh lớ v tip tuyn ct nhau) (2) + T (1) v (2) ta cú: DA ìEB = R í c) + T giỏc ADEB l hỡnh thang vuụng, nờn din tớch ca nú l: S= 0,25 0,5 0,25 1 AB ( DA + EB ) = ì2 R ì( DM + EM ) = R ìDE 2 + S nh nht v ch DE nh nht M DE l ng xiờn hay ng vuụng gúc k t D n By, nờn DE nh nht DE = DH (DH vuụng gúc vi By ti H) 0,5 Khi ú DE song song vi AB nờn M l im chớnh gia ca na ng trũn (O) (hoc OM AB) Giỏ tr nh nht ca din tớch ú l: S0 = R Ghi chỳ: Nu hc sinh khụng tỡm giỏ tr nh nht ca din tớch cho im ti a 0,5 V hỡnh, ghi gi thit v kt lun Bài 6: điể m nờn a Tam giỏc OBC cõn ti O cú OH l phõn giỏc ca BOC HB = HC b OH = OB HB = 152 122 = 9cm 0,5 c.p dng h thc v cnh v ng cao tam giỏc OBA ta cú OB 152 = = 25(cm) OB = OH.OA => OA = OH ...HNG DN CHM V THANG IM THI XUT HC SINH GII CP HUYN NM HC 2012 2013 Mụn Toỏn - Lp (Thi gian: 150 phỳt khụng k thi gian giao ) Ni dung Bi im 1.Cho biu thc a3 a a a 9a A = + ữ: ữ a a... hc sinh khụng tỡm giỏ tr nh nht ca din tớch cho im ti a 0,5 V hỡnh, ghi gi thit v kt lun Bài 6: điể m nờn a Tam giỏc OBC cõn ti O cú OH l phõn giỏc ca BOC HB = HC b OH = OB HB = 152 122 = 9cm... Hỡnh v ỳng (cõu a): + Theo gi thit: DA v DM l hai tip tuyn ct ti D, nờn OD l tia phõn giỏc gúc AOM Tng t: OE l tia phõn giỏc gúc MOB l hai gúc + M AOM v MOB = 90 0 Vy tam k bự, nờn DOE giỏc