Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 yên lạc

UBND HUYỆN YÊN LẠC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HGS LỚP CẤP HUYỆN ĐỀ THI CHÍNH THỨC ( Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề ) NĂM HỌC 2014 -2015 MÔN: TOÁN Bài 1: ( 2,5 điểm) Cho biểu thức P = x +1 x+2 x +1 − − x −1 x x −1 x + x + a, Rút gọn biểu thức P b, Tìm giá trị lớn biểu thức Q = + x P Bài 2: ( 2,5 điểm) a, Cho biểu thức A = 20 + 14 + 20 − 14 Chứng minh A số phương b, Giải phương trình x − + y + 2014 + z − 2015 = ( x + y + z ) Bài 3: ( 2,5 điểm) a, Chứng minh tích số nguyên liên tiếp chia hết cho 128 b, Với số tự nhiên n tùy ý cho trước, chứng minh số m = n ( n + 1) ( n + ) + 7! biểu diễn dạng tổng hai số phương ( với k nguyên dương, kí hiệu k! tích 1.2.3…k) Bài 4: ( 1,5 điểm) Cho đường tròn (O) điểm P nằm bên đường tròn ( P ≠ O ) Gọi Q điểm tùy ý đường tròn (O) Chứng minh điểm Q chuyển động đường tròn (O) giao điểm M đường thẳng kẻ qua O vuông góc với PQ tiếp tuyến kẻ từ Q đường tròn (O) chạy đường thẳng cố định Bài 5: ( 1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = a3 b3 c3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = b 2c + a + c 2a + b + a 2b + c ( ) ( ) ( ) -Hết (Giám thị không giải thích thêm) UBND HUYỆN YÊN LẠC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HD CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014- 2015 MÔN: TOÁN Bài Nội dung a, ĐKXĐ x ≥ 0; x ≠ 2,5 đ x + x + − x − − ( x + 1) ( x − 1) − x = Ta có P = ( )( ) Điểm 0,25 1,25 x + x +1 x −1 x + x + b, Áp dụng BĐT AM-GM ta có: Q= ( )+ −2 x + x + x 0,75   x = −2 −  x + ÷ ≤ −2 − 2 x  Vậy GTLN Q= −2 − 2 x=2 Bài a, Biến đổi A3 = 40 + 3 202 − 14 2 A ⇔ A3 − A − 40 = ( ) 2,5 đ ⇔ ( A − ) ( A2 + A + 10 ) = Vì A2 + A + 10 = ( A + ) + ≥ > , suy A − = ⇔ A = = 22 Vậy A số phương b, ĐKXĐ x ≥ 2; y ≥ −2014; z ≥ 2015 Phương trình cho tương đương với ( ) ( Do ( x − − 1) ) ( x − −1 + y + 2014 − + ≥ 0; ( ) 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 z − 2015 − = ) y + 2014 − ≥ 0; ( ) z − 2015 − ≥  x − −1 = x =   ⇒  y + 2014 − = ⇔  y = −2013   z = 2016   z − 2015 − = Vậy nghiệm phương trình (x;y;z)=(3;-2013;2016) Bài a, -Ta có 128 = 23.22.2.2 , số nguyên liên tiếp tồn số chia hết cho 8, số chia hết cho 6, số chia hết cho số chia hết cho 2,5 đ -Do số nguyên liên tiếp chia hết cho 23.22.2.2 = 128 b, Giả sử m = a + b Theo ý a, n ( n + 1) ( n + ) + 7! = 128 k, k ∈ Z Do a + b = 128k + 7! (1) Từ (1) suy a,b chẵn Đặt a=2c, b=2d rút gọn ta c + d = 32k + 1260 (2) Từ (2) suy c, d chẵn Đặt c=2p, d=2q rút gọn ta p + q = 8k + 315 (3) Vì số phương chia có số dư 1, nên p + q chia cho dư 0;1 Mà 8k+315 chia dư Nên (3) không xảy Vậy biểu diễn số m = n ( n + 1) ( n + ) + 7! dạng tổng hai số phương Bài 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1,5 đ d Q S P O M N Qua M kẻ đường thẳng d vuông góc với đường thẳng OP S Gọi N chân đường vuông góc kẻ từ O đến PQ 0,25 Ta có VONQ : VOQM ( g − g ) ⇒ OQ = OM ⇔ OQ = OM ON (1) ON 0,25 OP ON = ⇔ OP.OS = OM ON (2) OM OS OQ Từ (1) (2) suy OP.OS = OQ ⇒ OS = không đổi, nên điểm S cố OP 0,5 OQ Ta có VOPN : VOMS ( g − g ) ⇒ Bài 1,0 đ 0,25 định Vậy điểm M chuyển động đường thẳng d vuông góc với OP điểm S 0,25 cố định a, Áp dụng BĐT AM-GM ta có 0,25 a3 a3 b 2c + a b 2c a b 2c a 8a 2c a =( + + )− − − ≥ a− − − = − − b ( 2c + a ) b ( 2c + a ) 9 9 9 9 a3 b3 c3  8a b 2c   8b c 2a   8c a 2b  0,25 + + ≥  − − ÷+  − − ÷+  − − ÷ b ( 2c + a ) c ( 2a + b ) a ( 2b + c )  9   9   9  a+b+c = =1 ⇒ P ≥1 0,25 P= Vậy GTNN P=1 a=b=c=1 0,25 ...UBND HUYỆN YÊN LẠC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HD CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014- 2015 MÔN: TOÁN Bài Nội dung a, ĐKXĐ x ≥ 0; x ≠ 2,5 đ x + x... ( 2c + a ) b ( 2c + a ) 9 9 9 9 a3 b3 c3  8a b 2c   8b c 2a   8c a 2b  0,25 + + ≥  − − ÷+  − − ÷+  − − ÷ b ( 2c + a ) c ( 2a + b ) a ( 2b + c )  9   9   9  a+b+c = =1 ⇒ P ≥1 0,25... (x;y;z)=(3;-2013;2016) Bài a, -Ta có 128 = 23.22.2.2 , số nguyên liên tiếp tồn số chia hết cho 8, số chia hết cho 6, số chia hết cho số chia hết cho 2,5 đ -Do số nguyên liên tiếp chia hết cho 23.22.2.2 = 128 b,