Chứng minh rằng A là số chính phương.. Chứng minh rằng khi điểm Q chuyển động trên đường tròn O thì giao điểm M các đường thẳng kẻ qua O vuông góc với PQ và tiếp tuyến kẻ từ Q của đường
Trang 1UBND HUYỆN YÊN LẠC
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HGS LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2014 -2015 MÔN: TOÁN
( Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề )
Bài 1: ( 2,5 điểm)
P
a, Rút gọn biểu thức P
b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q 2 x
P
Bài 2: ( 2,5 điểm)
a, Cho biểu thức 3 3
20 14 2 20 14 2
A= + + − Chứng minh rằng A là số chính phương
b, Giải phương trình 2 2014 2015 1( )
2
x− + y+ + z− = x y z+ +
Bài 3: ( 2,5 điểm)
a, Chứng minh rằng tích của 8 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 128
b, Với số tự nhiên n tùy ý cho trước, chứng minh rằng số
( 1 ) ( 7) 7!
m n n= + n+ + không thể biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính
phương ( với k nguyên dương, kí hiệu k! là tích 1.2.3…k).
Bài 4: ( 1,5 điểm)
Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm bên trong đường tròn (P O≠ ) Gọi Q là
một điểm tùy ý trên đường tròn (O) Chứng minh rằng khi điểm Q chuyển động trên đường tròn (O) thì giao điểm M các đường thẳng kẻ qua O vuông góc với PQ và tiếp tuyến kẻ từ Q của đường tròn (O) chạy trên một đường thẳng cố định.
Bài 5: ( 1,0 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c+ + = 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) ( )
P
b c a c a b a b c
-Hết -(Giám thị không giải thích gì thêm)
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Trang 2UBND HUYỆN YÊN LẠC
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HD CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2014- 2015 MÔN: TOÁN
1
2,5 đ
P
x x
1,25
b, Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
x x
0,75
Bài
2
2,5 đ
3 40 3 203 2 14 2 3 6 40 0
Phương trình đã cho tương đương với
x− − + y+ − + z− − =
0,25
2016
2015 1 0
z z
0,25
Vậy nghiệm của phương trình là (x;y;z)=(3;-2013;2016) 0,25 Bài
3
2,5 đ
a, -Ta có 3 2
128 2 2 2.2 = , trong 8 số nguyên liên tiếp tồn tại 1 số chia hết cho
8, một số chia hết cho 6, một số chia hết cho 4 và một số chia hết cho 2
0,5
-Do đó 8 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2 2 2.2 128 3 2 = 0,5
b, Giả sử 2 2
.
m a= +b Theo ý a, thì n n( + 1 ) (n+ + = 7) 7! 128k, k Z ∈
Từ (1) suy ra a,b đều chẵn Đặt a=2c, b=2d và rút gọn ta được
32 1260
c +d = k+ (2)
0,25
Từ (2) suy ra c, d đều chẵn Đặt c=2p, d=2q và rút gọn ta được
8 315
p +q = k+ (3)
0,25
Vì số chính phương khi chia 4 chỉ có số dư là 0 hoặc 1, nên p2 +q2 chia
cho 4 dư 0;1 hoặc 2 Mà 8k+315 chia 4 dư 3 Nên (3) không xảy ra
0,25
Vậy không thể biểu diễn số m n n= ( + 1 ) (n+ + 7) 7! dưới dạng tổng của hai
số chính phương
0,25 Bài
Trang 31,5 đ
d
S
M
P N
Q
O
Qua M kẻ đường thẳng d vuông góc với đường thẳng OP ở S
Gọi N là chân đường vuông góc kẻ từ O đến PQ
0,25
.
ON OQ
OQ OM
Ta có OPN OMS g g( ) OP ON OP OS OM ON .
OM OS
Từ (1) và (2) suy ra OP OS OQ 2 OS OQ2
OP
= ⇒ = không đổi, nên điểm S cố định
0,25
Vậy điểm M chuyển động trên đường thẳng d vuông góc với OP tại điểm S
cố định
0,25
Bài
5
1,0 đ
a, Áp dụng BĐT AM-GM ta có
a
b c a b c a
+
0,25
P
b c a c a b a b c
1 3
a b c+ +
0,25
1
P