ung dung nguyen ham tich phan nguyen ham tich phan va ung dung

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn A – NGUYÊN HÀM I – KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa tính chất Định nghĩa:  f ( x)dx  F ( x)  C VD 01: ( x2 ) '  x  x' 1  (a x ) '  a x ln a   F '( x)  f ( x) C  const (ln x) '  , x   x (sinx) '  cos x  với   2xdx  x  C  dx  x  C  a ln adx  a  C x  (e x ) '  e x x  x dx  ln | x | C  cos xdx  sin x  C  e dx  e  C x x Tương tự ta có nhiều ví dụ khác nữa… Các tính chất nguyên hàm: Tính chất 1: Tính chất 2: Tính chất 3:  f ( x) 'dx  f ( x)  C  k f ( x)dx  k  f ( x)dx, k  const  [f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx VD 02: a)  xdx b)  x dx d)  (cos x  sin x)dx e)      e x  dx x  Nguyên hàm số hàm thƣờng gặp Bảng 1:  kdx  kx  C x n 1  x dx  n   C , n  1 ax x a dx  C  ln a VD 03: a)  x dx  a dx f)  3x dx x C (n  1) x n 1 Với n  1:  x 1dx   dx  ln | x | C x x n n dx   Với a  e :  e x dx  ex  C  ex  C ln e  xdx c)  3x dx e)  dx x3 f)  x dx h)  ( x  1)( x i)   3x  x  7)dx k)   x 1  x   dx 3 l)  dx dx n)  x  x dx  o)  d)  4x dx g)   j)  (2 x m) 10  x    dx x   2x c) b)   3x)dx   x   dx 2 x x x x dx x2 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn p)  x( x  1)( x  5)dx q) s) ( t) x  1)( x  x  2)dx     x  x  dx x  (e  1) dx r)  (2 x u)  e dx x  1) dx x Bảng 2: 1  ax  b dx  a ln | ax  b | C k ax b  k dx  a ln k  C VD 04: a)  x  dx x4 d)  x  x  dx n  (ax  b) dx  e ax  b  (2 x  1) g) dx ax  b (ax  b) n 1 C a n 1 dx  e ax b  C a b)  x  dx c) e) x3  x  x  dx f) h)  x( x i)  1)3 dx 4x  dx  2x  x3  x  dx x  e x  e 2 x  2dx Bảng 3:  sin xdx   cos x  C  sin x  cos xdx  sin x  C dx   (1  cot x)dx   cot x  C  cos x dx   (1  tan x)dx  tan x  C  sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C  cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C dx   [1  cot (ax  b)]dx (ax  b)   cot(ax  b)  C a VD 05: a) b)  sin xdx  cos (ax  b) dx   [1  tan  sin 2 (ax  b)]dx  tan(ax  b)  C a  cos  cot  sin xdx c) xdx f) x.cos xdx i)  4(cos x  sin x)dx  sin xdx  cos(3x  4)dx g)  tan  cos xdx h) k)  sin 2xdx l)  cos dx m)  sin x cos xdx n)  cos o)  sin xdx p)  cos q)  sin x cos r)  sin 3xdx s)  cos d) xdx e) dx (3 x  2) xdx x 4 xdx x sin xdx II – PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM Một số kết thƣờng gặp tính nguyên hàm  f ( x)dx   f (t )dt  (ax  b) u'  u dx  ln | u | C n n  u '.u dx  dx   1 C a (n  1)(ax  b) n 1 u n 1 C n 1 Gia sư Thành Được Nếu www.daythem.edu.vn  f ( x)dx  F ( x)  C  f (ax  b)dx  a F (ax  b)  C Các phƣơng pháp tính nguyên hàm a) Phƣơng pháp đổi biến: Bước 1: Đặt t  u( x) , ta dt  u( x) ' dx Bước 2: Tính nguyên hàm theo biến t Bước 3: Thay t  u( x) để kết theo biến x VD 06: x b)  1 x 4x   x  x  dx e) e x  2 x x     18  dx f)  sin h)  x.e dx i)  dx k) x  x dx l)   3x dx n)  sin o)  x cos( x q)  cot xdx r) 3e c)  x e dx f)  xe dx  x cos xdx  ( x  1) d) g) 100 sin x 2x 1 dx  x 1 c) a) dx cos xdx x2 j)  m)  3x p)  tan xdx 1 x 1 x dx x x cos dx 2 x cos xdx dx 5x  x (1  x )2 x 2x )dx dx b) Phƣơng pháp lấy nguyên hàm phần: I   f ( x) g ( x)dx  u  f ( x) Đặt  dv  g ( x)dx  du  f ( x ) ' dx   v   g ( x) Khi đó: I  uv   vdu VD 07: a)  x cos xdx d) g) j)  ln xdx  x cos xdx  x ln(2 x)dx b)  ln xdx e)  x sin dx  x sin xdx  e dx h) l) x i) x x x 9 LUYỆN TẬP Phƣơng Pháp: nguyên hàm hữu tỉ P( x)  Q( x) dx  Nếu bậc P(x) lớn bậc Q(x) ta chia P(x) cho Q(x)  Nếu bậc P(x) nhỏ bậc Q(x): 1 1  (ax  b)n dx   a (n  1) (ax  b)n1  C dx  1   ( x  a)( x  b)  a  b   x  a  x  b  dx dx Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn x dx  1      dx  a 2a  x  a x  a  1) Tính nguyên hàm sau: a)  x2  dx x2  x  d)  x  3x  dx dx g)  x2  5x  x3 j)  x  dx dx x ( x  1) m)  p) x 1  x3  dx d) g) e) h) k) n) x 1 dx 4 3x  3x   x3  3x  dx dx  x2  x  x5   x dx x q) t) x x  e dx b) x 1  x 1  10 x dx e x  e x  e x  e x dx ln | x  |  x  dx 3) Tính nguyên hàm sau: j) e) h) x2  (1  x)100 dx r)  x( x  1)( x  2)dx x2  dx x2 1 u)  c)  (2 f) i)  3x ) dx x (ln x  1)  x dx ex  e2 x  4e x  ex  e x  e x dx b)       x x3 dx c) ( f)  i)  g) x  xdx h)  x  xdx x 1 o) l)  2  e x  e2 x dx e) x  13x  x 2e x dx x2 x2 dx 2 x dx x  1)( x  x  1)dx x  x 4  2dx x  x  (1  x ) 2  1 x  1 x n)  xdx 4 x  4 x o)  b)  sin cos2 x dx x cos x c)   4sin cos  tan e)  tan f)  tan k) dx dx  3x  dx  x2  6x  x  11  x  x  dx x2  x   ( x  1)( x  2)( x  3) dx x k) 3    x  x  x x dx  x l) 3.2 x  2.3 x  x dx ex  e x  dx sin(ln x)  x dx d) x x x dx 2x i)  2   3x  x3  dx x2   x dx  m) f)  x  x  dx a) j) c) x2 s)  x  dx 2) Tính: a) b) 1 x dx l)  x  x 1 dx dx (1  x)  x  x6  5x  x dt 4) Tính: dx x cos x a)  sin d) sin x   3sin x dx 2 xdx  x xdx x x  dx 2 Gia sư Thành Được g) j)  tan  cot www.daythem.edu.vn xdx h) xdx k)  tan  cot b)  e) 5) Tính nguyên hàm sau:  cos x a)   cos x dx d) g) j)  cos x sin xdx cos x  cos x  cos x  sin x  sin x  sin 3x dx dx  cos5 x sin x xdx i) xdx l)  tan  tan c)  sin x cos8xdx  sin x  cos x dx f)  sin x sin x sin 3xdx h) sin x cos x   cos x dx i)  sin k)  sin l)  sin o)  sin c)  x tan  sin 2xdx sin x  cos x x cos xdx sin x m)  cos x sin xdx n)  cos x dx dx p) q)  2sin x  cos x   sin x cos xdx sin x cos x I  dx J   dx Tính I, J s) sin x  cos x sin x  cos x 6) Tính nguyên hàm hàm số sau: a) d)  ln x    x  dx b)  cos x ln(1  cos x)dx e)   x ln x   x  x2 xdx n xdx, n  x cos xdx x cos3 xdx dx x dx , cos x  r)  a cos x  b sin x x  cos x dx dx f) a 2 xdx sin x cos x dx sin x  b cos x B – TÍCH PHÂN I – KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa tính chất Mọi tính chất học nguyên hàm sử dụng cho tích phân Ok!  b  f ( x)dx  F ( x) |  F (b)  F (a) Định nghĩa: b a a VD 08: 1  2  x  x  dx 3 x dx Các tính chất tích phân: a) b)  (1  x) c) 2010 a  f ( x)dx  Tính chất a b  Tính chất a f ( x)dx    f ( x)dx a b b c c a b a  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx Tính chất VD 09: a)  (x  3x  2)dx 1  1  t  t  t  dt b) -5- c)  (5x  2)dx dx Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn  d)  (2 cos x  sin x)dx 5 g)   e) y y  (3  ) dy  s.s s s ds f) sin x  cos x dx  sin x  h) | x  x  | dx i) 3 5 3  cos 3xdx   cos 3xdx   cos 3xdx II – PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Phƣơng pháp đổi biến dạng Bước 1: Đặt t  u( x) , ta dt  u( x) ' dx x a b Bước 2: Đổi cận t t1 t2 Bước 3: Thay cận biến t ta tích phân theo biến t Tính tích phân theo định nghĩa VD 10: a)  b) 1 d) t 2 x  3dx (1  t )dt e) x  xe dx c)   tan x 0 cos2 x dx f) x  1dx  (x 5x dx  4)2  g)  4x  (1  cos 3x)sin 3xdx x 1 Phƣơng pháp đổi biến dạng Bước 1: Đặt x  u(t ) , ta dx  u (t ) ' dt x a b Bước 2: Đổi cận t t1 t2 h) dx Bước 3: i)  t  2t (2  5t )dt Thay cận biến t ta tích phân theo biến t Tính tích phân theo định nghĩa VD 11: a)   x dx b)  x4 d) e) 0 x4  dx Phƣơng pháp tích phân phần dx c)  x2 dx  1 x 1 x 0 x  dx f) x  x dx b I   f ( x) g ( x)dx a  du  f ( x ) ' dx   v   g ( x)  u  f ( x) Đặt  dv  g ( x)dx b Khi đó: I  uv |ba   vdu a VD 12:  a) x  xe dx b)  x ln xdx c)  x sin xdx Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn   x cos xdx  x ln xdx e)  ( x  1)e dx x f)   g) 2 d)  x sin x cos xdx  e cos xdx x h)  i) 0 x3dx x2  LUYỆN TẬP Phƣơng pháp: Tích phân hàm hữu tỉ P( x)  Q( x) dx  R( x)   Nếu P(x) có bậc lớn Q(x): chia P(x) cho Q(x) ta   A( x)  dx Q( x)  R( x) dx  Nếu P(x) có bậc nhỏ Q(x): tương tự với việc ta tính  Q( x) + Xét Q( x)  ax  bx  c (có bậc 2) R( x)  mx  n TH 1: Q( x)  a( x  x1 )( x  x2 ) (x1, x2 hai nghiệm Q(x) = 0) R( x)  A  Q( x) dx    x  x  B   dx với x  x2  k k   1   ( x  a)( x  b)dx  a  b   x  a  x  b  dx TH 2: Q( x)  a( x  xo ) (xo nghiệm kép Q(x) = 0)  B dx  ( x  xo )  o TH 3: Q(x) = vô nghiệm, ta phân tích để R( x)  AQ ( x) ' B đó: R( x)  A  Q( x) dx    x  x   A.Q( x) ' R( x) B  dx     Q( x)   Q( x) Q( x)  dx Trường hợp ta sử dụng phương pháp đổi biến dạng + Xét Q( x)  ax3  bx  cx  d ( có bậc 3) R( x)  mx  nx  p TH 1: Q( x)  ( x  x1 )( x  x2 )( x  x3 ) R( x)  A  Q( x) dx    x  x  B C    dx x  x2 x  x3  TH 2: Q( x)  ( x  x1 ) ( x  x2 )  A R( x) B C  dx      Q( x)   x  x1 ( x  x1 ) x  x2  dx TH 3: Q( x)  ( x  xo )3 R( x)  A  Q( x) dx    x  x  o  B C  dx  ( x  xo ) ( x  xo )  TH 4: Q( x)  ( x  xo )(ax  bx  c) Bx  C   dx ax  bx  c  o + Xét Q(x) hàm có bậc lớn toán xét với dạng đơn giản 1) Tính tích phân sau R( x)  A  Q( x) dx    x  x a)  x (1  x ) dx  b) 19  x(1  x) dx c)  x (1  x ) n dx, n  1, n  Gia sư Thành Được d)   dx x( x  1) www.daythem.edu.vn e) g) x4  2 x3  x dx h) j) 1  x2 1  x4 dx , đặt t  x k) 1 x 2  x dx n) s)  (2 x  1) dx q) 1  x2 1  x4 dx  (3x  1) x 2 dx 3 x  3x   ( x  2) 10 o) dx w) xdx  4x  z) x dx r)  dx 3 2x2  dx x2  xdx 2 x2  x  u) y) l)  x(1  x) dx 4 v) x3 0 x  x  dx t) dx i) xdx 0 x  dx 0 x  3x  2 x  4 x p) f) m) x2 0  x dx x dx 0 x  x  dx 0 x  x) x dx  4x  xdx  ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4)( x  5) Phƣơng pháp: Tích phân hàm lượng giác  Biến đổi tích phân (sử dụng công thức lượng giác)  Đổi biến số + Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác (PP đổi biến số) + Đổi biến số theo chu kì hàm lượng giác Quy tắc chung: Đặt t    x, t   x (Tích phân đặc biệt – đẳng thức tích phân) 1 t2 x 2t cos x  + Đổi biến qua t  tan Khi đó: sin x  1 t2 1 t2 1 t2 2t cot x  tan x  2t 1 t2 a sin x  b cos x  c dx , ta biến đổi Tích phân lượng giác tổng quát:  d sin x  e cos x  f a sin x  b cos x  c (d sin x  e cos x  f ) ' d cos x  e sin x  A B  A B d sin x  e cos x  f d sin x  e cos x  f d sin x  e cos x  f  Sử dụng công thức tích phân phần Chú ý công thức lƣợng giác: 2sin x.sin y  cos( x  y)  cos( x  y)   sin a  cos a  sin(a  )  cos(  a) 2cos x.cos y  cos( x  y)  cos( x  y) 4   2sin x.cos y  sin( x  y)  sin( x  y) sin a  cos a  sin( x  )   cos(  x) 4 x y x y x y x y sin x  sin y  2sin cos sin x  sin y  2sin cos 2 2 x y x y x y x y cos x  cos y  cos cos cos x  cos y  2sin sin 2 2 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 2) Tính (biến đổi tích phân bản)  a)  4  (cos x  sin x)dx b)  cos xdx c)  x  cos x)dx dx 0  sin x e)  cos2 x(sin x  cos x)dx  sin f)  (sin x cos 3x  cos3 x sin 3x)dx xdx   g)  d)  cos x(sin h)   cos 5x cos 3xdx    2 i) dx   sin x đổi sin cos  sin 3xdx 2 2 k) cos x cos xdx 0 cos x  0 0 sin x cos xdx 3) Tính (đổi biến hữu tỉ hóa tích phân lượng giác) dx sin( a  x) a) b) c)  cos 3x  cos2 x dx j)   d)     h)  5(5  cos t ) sin tdt k) n) 0 sin x 0  cos2 x dx sin 3x 0  cos x dx i)   tan xdx l)  sin x 0  sin x dx o) sin xdx x3 t) cos xdx  cos x  q)   dx (2  cos x)(3  cos x) cos x   sin x dx    4sin 3xcos3xdx    2   p) f)  sin x cos x(1  cos x) dx  m)  sin x(1  sin x)dx dx x sin  j) e) 4 g) sin x dx (2  sin x)2 dx  sin x  2sin x  cos xdx r)  sin xdx 0  s)  cos 4) Tính (đổi biến qua t  tan a) 1 sin cos dx x x x )    3sin x  4cos x 0 2sin x  cos x dx dx 0 sin x  cos x  b)  dx 0 cos x e) sin xdx  cos x  2sin x  g) c) sin x  cos x   4sin x  3cos x  dx  d) x 4cos x  3sin x   4sin x  3cos x  dx 5) Tính (sử dụng công thức tích phân phần) f) cox  s inx  sin x  cos x dx Gia sư Thành Được a) www.daythem.edu.vn    x cos xdx b)  x cos x sin c)  (2 x  1) cos xdx e)    cos x ln(1  cos x)dx h)  (x f)  1) sin xdx  sin x  e sin x cos xdx  x cos xdx i)    j) xdx  sin x k) x  sin xdx  xcos xdx l) 0   m)  x sin xdx n) xdx  2cos o) x Phƣơng pháp: Tích phân hàm vô tỉ (chứa thức)  Đổi biến số đưa tích phân hữu tỉ Sử dụng phương pháp đổi biến dạng b a x  a dx Đặt t  x  x  a , (phép Ơle)  Đưa tích phân vô tỉ tích phân lượng giác (Phương pháp đổi biến dạng 2) b Đặt x  a tan t a a  x dx b  a a  x2 dx Đặt x  a sin t x  a cos t b  a  x dx Đặt x  a sin t x  a cos t a  Sử dụng tích phân phần b  x  adx Sử dụng tích phân phần a 6) Tính tích phân sau (Đổi biến số đưa tích phân hữu tỉ) a)  x  3dx b) d)  1 x  x 1 dx e) 28  x  xdx h)   x  x dx x j)  c)   x dx  xdx f) x x  1dx x 1 dx 3x  i) x3 x  1dx l)  2 k) x g) dx 25  3x 2x 1 xdx  ( x sin x) dx   g) 2  x cos xdx  d)   10 x5  x3 x2  dx x2 1 dx Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn m) x  x dx n)  x q) x2   xdx t) x x 4 x dx x 1  x  dx    xdx x) xdx  o)  x2 x x 9   x r) dx v) dx s) x 1 p) x2  xdx 2 x  2 x  u) xdx x dx x  x2 7) Tính (Lượng giác hóa tích phân vô tỉ) 2 a) x  x dx b) g) j) p) x  dx c)  (2 x ln x  dx h) x dx 0 x6   x2 i)  x2 dx x2 k)  2  x dx n) x 0 a 2   dx a2  x2 ,a0  2 xdx 1 x q) t)   x dx x l)  a  dx 1 dx s) 1 x m) x  o)   1) x  dx 9 x dx  x2 a  x dx, a  0 dx xx r) x 1 x dx , đặt x  cos t 1 x dx x2 1 u)  (1  x )3 dx 8) Tính (sử dụng tích phân phần) a)  x  1dx b)  x  1dx Phƣơng pháp: Tích phân hàm siêu việt (mũ – logarit)  Đổi biến số đưa tích phân hữu tỉ  Sử dụng tích phân phần 9) Tính (Đổi biến số đưa tích phân hữu tỉ) x3 a) b) 1 x e dx 1 x (ln x) dx e2 d)  e dx x ln x e) g)  e  1dx h)  f) x e  e  2dx x e x dx   ex 1 ln(2  x) dx 2 x x  xe dx ln x c)  e i) x 11 , đặt x  tan t dx ln x  Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 1 j) dx 0 e x  m) (1  e ) dx 0  e2 x 1 e r) q) s)  e dx x x v) e  x o) x ln(ex) dx , đặt t=-x sử dụng phép truy hồi  1)( x  1) x 2 t) dx e dx  e4 dx  4e x   x ln x dx   x x e 1 u)  (e e ln e 0  e x dx 1 dx 1 x(1  ln x) l) 2 x ln xdx  ln x x n) dx 0 e x  x e p) k) tan xdx  ln | cos x | w) 1 dx x cos (ln x  1)  e  e x) e2 dx x y)  ln x 10) Tính (sử dụng tích phân phần) x b) ln xdx  x ln x 1 x dx e)  [ ln( x 1)  ln( x  1)]dx h)  dx c) k) x ln xdx xe 0 (1  x)2 dx f)  ( x  3)e dx x  x  1x   x   e dx 1  x i)  (2 x  1) ln xdx  cos x ln(sin x)dx l)   ln(2 x  1)dx x 1  e j) (e x  1)3 1  e g)  xe 2 x e x dx 0 d) ln z) ln e a)  cos (ln x)dx  (1  x) e 2x dx  e m) e 2x sin 3xdx n) p)  x ln(1  x )dx q) ln xdx o)   x  e sin xdx r) cos xdx t)  ln( x  e ln xdx x sin xdx x x  e s) x e x  1)dx u)  [ln( x  x  1)]3 dx  v) 2x  x(e  x  1)dx 1  x ln 2x  e sin 3xdx e y) w) x)  (x  x )e x dx 2 xdx z)  ln( x  1)dx Phƣơng pháp: Tích phân hàm chứa trị tuyệt đối Được ứng dụng nhiều toán tính diện tích hình phẳng thể tích vật thể Bước 1: xét dấu biểu thức chứa trị tuyệt đối đoạn 12 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Bước 2: Chia đoạn [a; b] , [b; c] , [c; d ] ,… Bước 3: Tính b c d a b c  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx  11) Tính 1 a) | x  1| dx b)  | x  | dx e) 3 g)  c) h)  1| dx   | cos x | dx f)  | cos x | sin xdx 0 x  x 2  2dx | x 2 2  5 d)  x  x2 dx 1 x  3 e x  e  x  2dx i)   cos 2xdx j)  x  x  9dx Phƣơng pháp: Tích phân đặc biệt – Các đẳng thức tích phân  a a 2 f ( x)dx f hàm chan  f ( x) liên tục [  a; a] ,  f ( x)dx   0 a  f hàm le  a a f ( x) dx   f ( x)dx , đặt t  x  f ( x) liên tục, chẵn [  a; a] ,  x b 1 a  f ( x) liên tục [  a; a] ,  1 f ( x)dx   [f ( x)  f ( x)]dx  f ( x) liên tục [-1;1] , đó:    f (sin x)dx   f (cos x)dx , đặt t  0   xf (sin x)dx  Chú ý: b b a a   0 0  sin mx sin nxdx    1 0  f ( x)dx   f (1  x)dx ,   2 0 x  f (sin x)dx    f (sin x)dx , đặt t    x  f ( x)dx   f (a  b  x)dx   đặt t  a  b  x mn mn , m, n số nguyên dương f ( x) liên tục n n  sin xdx   cos xdx với n  12) Tính a)    ln x   x dx 2 b)    cos x ln x   x dx 2 - 13 - c)   ln x   x 2  dx Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 13) Tính   a) x 1  x dx b)   2 x | sin x | dx  2x c)   sin x sin x cos x dx ex 1 14) Tính x  sin x  x2  dx 1 15) Tính b) x sin x 0  cos x dx b)  d)  sin x dx cos x  sin x dx 1 (e x  1)( x2  1) c)  x2 dx , đặt t  x x   x sin x cos xdx sin x  cos x  sin x dx   c) sin n x 0 cosn x  sin n x dx e)    a) 1 a)   sin x  f)  ln   cos x  dx C - ỨNG DỤNG LUYỆN TẬP D – ÔN TẬP 1) Tính nguyên hàm sau: a)  (x c)     x  x  dx dx f)  (a a x  a  x  2dx i)  b)  (ax d)  1   x  x  dx e)  g)  (a h)  j)  tan xdx k)   2sin x dx l) m)  ( x  1) n)  ( x  9) o) p)  q)   x  4)dx s) v) x  b x ) dx 3x  dx xdx 1 x xdx  ( x  1)3  (2 x  x )dx t) w)  b) dx x  23 x  2 cos x dx dx 2x 1 x5  3x  x  dx  x dx   ex 14 r) x  1)3 dx a x  a  x  2dx sin x dx x  (2  x)2 dx  cos x  cos2 x dx  cos dx x2  x2 u)  x)  (2 x  1)( x  x  3)dx Gia sư Thành Được xdx www.daythem.edu.vn dx x cos x 1 x 2) Tính nguyên hàm sau phƣơng pháp đổi biến số: y)  a) x d) g) j) 23  x dx  (1  x) x dx cos x  sin x  sin x  cos x dx sin x  cos x dx  e x  e x dx z)  sin b)  xe e) h) k)  x2 dx (ln x)  x dx x  (1  x )2 dx  cos xdx x c)  (1  x f)  sin x cos i) x l) sin x  cos x dx dx 2 ) xdx sin dx x x3 o)  x  dx  x x  1dx ln x e2 x sin x dx p) q) r) e cos xdx  x  e2 x  dx  x2 1 x2  s) t)  x  dx  x  x  dx 3) Áp dụng phƣơng pháp lấy nguyên hàm phần tính nguyên hàm sau: x x a) b) c)  (1  x)e dx  xe dx  x ln(1  x)dx m) n) e)  ln  x  h)  k) x  d)  x sin g)  j)  (2 m) x  sin x dx n) p)  sin 3x cos xdx q)  s) x e  x ln( x  1)dx  xe dx v) xdx ln(sin x) dx cos x x  3x ) dx sin xdx t) x cos xdx w)  x dx ln(sin x) dx cos x  xdx   x dx sin x cos x a sin x  b cos x 2 2 x 4) Bằng cách biến đổi hàm số lƣợng giác tính: a) b)  sin x dx  sin xdx 4 d) e)  cos x sin x dx  sin x cos xdx g) h)  sin x sin xdx  sin 3x cos xdx 5) Tìm nguyên hàm hàm số sau: x a) b)  x  dx  x  x  dx 2x d) e)  ( x  3)( x  4) dx  ( x  1)( x  3) dx g) x3  x  dx h) x x2 dx  2x 1 - 15 - dx 1 x f)  x ln  x dx i)  x(3  x) dx l)  ( x  2)( x  3) dx o) sin x  cos x dx r)  u) x)  cos x ln(1  cos x)dx  x e dx c)  sin f)   cos x dx  sin 3x cos xdx i) c) f) i) x 1 x ln xdx x x cos xdx  sin x 2x 1 dx  2x  x3  x  dx x x dx 1 Gia sư Thành Được j) m) p) s) v) y) x2  x  x  dx x  x  dx  x  x dx x2  x  dx  (2 x  3)2 dx  x  dx 6) Tính tích phân hữu tỉ dx a) 0 x  x  3x  x3  x  0 x  dx www.daythem.edu.vn g) x dx  5x  j)  (x m) x dx  1) 6x  dx  x 1 dx 0 x  x  s) x dx  5x   x  x dx r) t) x3  3x  x   x  dx u) w)  2x x) z)   cos  xdx x  1dx  b) c) x n) xdx  5x  x q) t) x dx 2 x8  x4  dx x2 x  11 x dx dx w)   5x  x 1 0 7) Tính tích phân hàm vô tỉ xdx dx a) b) 0 x   x x2  8) Tính tích phân hàm vô tỉ trị tuyệt đối 2 dx x | x  1| dx a) b) 0 0 x  | x  1| x i)  (x x o) x 2 x 4x 1 dx  x 1 x l) f) a x dx 1 x  x( x  1) 2003 r) x u) x xdx  4x  xdx  1) 2 dx ,a0  a2 dx  x 1 dx  6x  dx 3 9) Tính tích phân hàm lượng giác dx a) b)   cos x dx  sin x c) x  x dx c) x  | x  1| 0 x  | x  | dx c)  sin x sin x sin 3xdx  d) dx dx 0 x  x  h) ( x  1)3  x dx 2x 1  x  x  dx 4x 1  ( x  2)3 dx xdx 0 ( x  1)3 e)  xdx cos x x  sin dx 2 x sin x 2 1 v) x q) p) o) x x2  ( x  1)( x  1)2 dx n) k) l)  d) x2 dx x3  k)  sin x cos xdx e) 4sin x 0  cos x dx  cos4 x f) 16 Gia sư Thành Được g) www.daythem.edu.vn   dx 0  sin x  cos x h)  sin x 0 sin x  cos6 x  tan xdx i)   j) sin x 0  sin x dx k) x  e cos xdx n)  1) sin xdx  ( x ln x) dx o)  x tan xdx   x cos x dx q) sin x   cos x dx tan x dx x  cos   t) cos x dx sin x u) w) x  cos x  dx 2  cos x  cos3 xdx  cos x  sin x dx    cot    r)  v)  (x  s) l) e  p)  sin xdx  m)  2  (2  x)sin 3xdx x) x sin xdx  cos x  sin x  cos x    cos2 x sin x  dx 10) Tính tích phân hàm siêu việt y) a) x e dx b) ln d)  e  3e dx 2x e  3e x  2x  ( xe x  log x)dx c)  x e)   ln x  ln x dx 1 x e e x3  sin x ln(cos x)dx f)  cos x ln(1  cos x)dx  3  e g) j) e x cos xdx h)  e e ln x  ( x  1) dx k) e e2 dx x ln x  xe i)  1   dx x   ln x  ln e ln( x  1) dx x 1 3x dx l)   m)  x ln( x 1)dx n) p) x x e dx  ( x  2) q) e 3x sin xdx o) e  e2 x sin ( x) dx   sin x ln(tan x)dx  r)  cos (ln x)dx e e x dx x ln xdx s) t) u) e dx 0  e x   e x 1 ( x  1)2 1 11) Tính tích phân phương pháp đổi biến dạng tích phân đăc biệt x  ln x 12) Ứng dụng tích phân Tính diện tích phẳng giới hạn 17 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Tính thể tích khối giới hạn 13) Tính (đề thi TN, THCN) bao gồm ứng dụng 14) Tính (đề thi ĐH CĐ 2000 – 2004) bao gồm ứng dụng 15) Tính (đề thi ĐH CĐ 2004 – 2010) bao gồm ứng dụng 18 ... hóa tích phân hàm lượng giác (PP đổi biến số) + Đổi biến số theo chu kì hàm lượng giác Quy tắc chung: Đặt t    x, t   x (Tích phân đặc biệt – đẳng thức tích phân) 1 t2 x 2t cos x  + Đổi