Tính nhanh nguyên hàm – tích phân từng phần sử dụng sơ đồ đường chéo – Ngô Quang Chiến

NGUN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Ngơ Quang Chiến PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN SỬ DỤNG SƠ ĐỒ ĐƯỜNG CHÉO I NHẮC LẠI KIẾN THỨC Công thức :  udv  vu   vdu Áp dụng với các dạng nguyên hàm :  p( x).e axbdx ;  p( x).sin( ax  b)dx ;  p( x).cos( ax  b)dx ;  p( x).lnn (ax  b)dx ;… Cách đặt :  Ưu tiên đặt “u”theo : logarit  ln  _ đa thức ( p( x)) _ lượng giác  sin x ,cos x  _ mũ  e x  Nhất “log”, nhì “đa”, tam “lượng”, tứ “mũ”  Phần còn lại là “dv” II PHƯƠNG PHÁP Chia thành cột  Cột (cột trái : cột u) lấy đạo hàm tới  Cột (cột phải : cột dv) lấy nguyên hàm cho tới tương ứng với cột Nhân chéo kết quả của hai cột với Dấu của phép nhân đầu tiên sẽ có dấu (+), sau đó đan dấu (-), (+), (-)… III PHÂN DẠNG VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ Dạng :  f ( x).e axbdx VD1: Tính nguyên hàm : I  (2 x  3).e x dx (đạo hàm ) dấu (nguyên hàm) u  x2  dv  e xdx + 4x ex - ex + ex  I  e x (2 x  3)  x.e x  e x  C  e x (2 x  x  1)  C VD2: Tính nguyên hàm : I  ( x3  2x).e x dx 2 Ta biến đổi đưa I về dạng thuần tuý : I  ( x2  2).e x xdx  ( x2  2).e x d( x2 ) u  x2 I (u  2).eu du Trang 1/7 GIẢI NHANH TRẮC NHIỆM TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN (đạo hàm ) u dấu + (nguyên hàm) eu eu - eu Ngô Quang Chiến  I  e u (u  2)  1e u  C  e u (u  1)  C  e x ( x  1)  C VD3: Tính nguyên hàm I   x3 e x1dx Ta biến đổi I  (2 x)3 e x1d(2 x) 16 2x  u I (đạo hàm ) u3 3u2 dấu + (nguyên hàm) eu eu 6u - eu + eu - eu u 1 e  u e du   u3 e udu 16 16 I  e u u e  3u2 eu  6u.eu  6eu   C  16  e u 1 (u  3u2  6u  6)  C 16 e x 1  (8 x  12 x  12 x  6)  C 16  Dạng 2:  f ( x).sin( ax  b)dx;  f ( x).cos( ax  b)dx VD1: Tính nguyên hàm I  (2x  1).cos xdx (đạo hàm ) dấu (nguyên hàm) cos x 2x  + sin x -  I  (2 x  1) sin x  2(  cos x)  C  (2 x  1) sin x  cos x  C  cos x VD2: Tính nguyên hàm I  ( x  x).sin xdx (đạo hàm ) dấu (nguyên hàm) sin x x  2x +  cos x 2x  2 -  sin x + cos x I  (  cos x)( x  x)  (2 x  2)(  sin x)  cos x  C  cos x(  x  x  2)  (2 x  2) sin x  C Trang 2/7 GIẢI NHANH TRẮC NHIỆM TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Ngô Quang Chiến VD3: Tính nguyên hàm I  ( x7  x).cos( x )dx u  x2 Ta biến đổi I  ( x6  2).cos( x2 )d( x2 ) (đạo hàm ) u3  3u2 dấu + (nguyên hàm) cosu sinu 6u -  cosu +  sinu - cosu I (u  2).cos udu  I  sin u(u3  2)  3u2 (  cos u) 6u(  sin u)  cos u  C  sin u(u3  6u  2)  cos u(3u2  6)  C  sin( x )  x  x    cos( x )  x    C Dạng 3:  f ( x).lnn (ax  b)dx Chú ý : Dạng  f ( x).lnn (ax  b)dx thì ưu tiên đặt u  ln n ( ax  b) vì vậy đạo hàm “u” sẽ không bằng được, vậy cần phải điều chỉnh hệ số rút gọn (nhân ngang  đơn giản tử mẫu) rồi sau đó mới làm tiếp VD1:Tính nguyên hàm I   x ln xdx (đạo hàm ) dấu (nguyên hàm) x ln x Đơn giản bằng cách nhân kết + x2 x x quả ở cột ta được tách cột (đơn giản) (đơn giản) (đạo hàm ) (nguyên hàm) x 2 x x ( Cách hiểu : từ cột đạo hàm đã “nhảy” sang cột nguyên hàm để triệu tiêu với x x phải “nhảy” ngược lại sang cột đạo hàm để bù ) x2 x2 x2  1  I  ln x   C   ln x    C 2 2  2 nên Trang 3/7 GIẢI NHANH TRẮC NHIỆM TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN VD2: Tính nguyên hàm I   x.ln2 xdx (đạo hàm ) dấu (nguyên hàm) x ln x 2.ln x + x2 x (đơn giản) ln x (đơn giản) x x - (đơn giản) Ngô Quang Chiến x2 x2 x2 ln x  ln x   C 2 2 x  1  ln x  ln x    C  2 I x2 (đơn giản) x x2 VD3: Tính nguyên hàm I  ( x  3) ln x.dx + (đạo hàm ) ln x dấu (nguyên hàm) x3  x + x 4  3x (đơn giản) (đơn giản) x3  - x4 16  3x VD4: Tính nguyên hàm I  (2 x  1).ln (3 x)dx (đạo hàm ) dấu (nguyên hàm) ln (3 x) 2x  + x2  x  x  ln (3x) (đơn giản) (đơn giản) 3x  ln (3 x)  x  ln(3x) - ln(3 x)  ln(3x).( 3x  x) 3x2 3x  x)  (  x)  C 3x 2  3x + 3x 2  x (đơn giản) (đơn giản) 3x  I  ln (3 x).( x  x)  ln (3 x).( (đơn giản) 3x  (đơn giản) x  x4   x4   I    3x  ln x    3x   C    16  - 3x  x Trang 4/7 GIẢI NHANH TRẮC NHIỆM TOÁN NGUN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Ngơ Quang Chiến VD5: Tính nguyên hàm I   ln (5 x)dx Ta biến đổi I   ln5 (5x)d(5x) u  5x I   ln udu (đạo hàm ) ln5 u dấu (nguyên hàm) ln u u + u - (đơn giản) 5u + (đơn giản) 20 20u - (đơn giản) 60 60u + (đơn giản) 120 20u - (đơn giản) 120 120u (đơn giản) ln4 u ln u u (đơn giản) ln3 u ln u u (đơn giản) ln2 u ln u u (đơn giản) lnu u (đơn giản) 1  I  [u.ln u  5u.ln u  20u.ln u 60u.ln u  120u.ln u  120u]  C  x.[ln (5x)  5ln (5x)  20 ln (5x) 60 ln (5x)  120 ln(5x)  120]  C Dạng 4: Nguyên hàm lặp (tích phân lặp) Nếu ta tính nguyên hàm (tích phân) theo sơ đồ đường chéo mà lặp lại nguyên hàm ban đầu cần tính (theo hàng ngang) thì dừng lại ở hàng đó, không tính tiếp nữa Dấu hiệu dừng lại : nhận thấy cùng hàng ngang tích của phần tử ở cột (không kể dấu và hệ số) giống nguyên hàm ban đầu cần tính Ghi kết quả (nhân theo đường chéo) các ví dụ Nối phần tử (ở dòng dừng lại), có thêm dấu  trước kết quả và coi gạch nối là đường chéo, sử dụng quy tắc đan dấu Trang 5/7 GIẢI NHANH TRẮC NHIỆM TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN VD1: Tính nguyên hàm I   sin x.e x dx (đạo hàm ) dấu (nguyên hàm) sin x ex + cos x ex  sin x  I  sin x.e x  cos x.e x  (  sin x).e x dx  C  e x (sin x  cos x)   sin x.e x dx  C  I  e x (sin x  cos x)  C e x (dừng lại) + Ngô Quang Chiến  VD2: Tính nguyên hàm I   e x1 sin2 ( x  )dx     cos(2 x  )   x 1 x 1 e x 1 x 1 Ta biến đổi I   e   I1  C  dx   e dx   e sin(2 x)dx  2     1 I1   e x1 sin(2 x)d(2 x) I1   eu1 sin udu u  2x 4 (đạo hàm ) sinu cosu dấu  sinu + + (nguyên hàm) e u1 e u1 1  I1  eu1 (sin u  cos u)   sin u.eu1du  C 4  e u1 (sin u  cos u)  C  e x 1  sin(2 x)  cos(2 x)   C e u1 (dừng lại) I IV e x 1 x 1  e  sin(2x)  cos(2x)   C BÀI TẬP VẬN DỤNG (sưu tầm và biên soạn) (Nguồn : Thầy Nguyễn Hà Hưng) x.ln xd(5x)  F( x)  C Giá trị của F ( e ) bằng :  e e2 e2 e2 A B  C D  4 2 Câu Nguyên hàm I   x.sin x cos xdx  F( x)  C Giá trị của F( ) bằng : Câu Nguyên hàm I  A   B  C  C  D  Câu Nguyên hàm I   e x cos(2 x)dx  F( x)  C Giá trị của F(0) bằng : A  B D Trang 6/7 GIẢI NHANH TRẮC NHIỆM TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Ngô Quang Chiến (Nguồn : Thầy Lương Văn Huy) Câu Nguyên hàm  ( x  2)sin 3xdx   ( x  a)cos 3x sin 3x   2017 b c thì tổng S  ab  c bằng : A S  14 B S  15 C S  D S  10 x x Câu Nguyên hàm  x e dx  ( x  mx  n).e  C thì giá trị của mn là : A B D 4 C  4x 15 a dx   ln  c , với a , b, c   b  4x Câu Biết I   x.ln  Tìm khẳng định đúng : A a  b  2c B b  b  3c a và phân số b c Tính tổng S  ab  c bằng : A 806 B 559 * a tối giản b D a  b  4c C a  b  c Câu Biết I   ( x  x).ln xdx  ln  , với a , b, c  * và phân số C 1445 b tối giản c D 1994  a  b.e Câu Biết I   e sin(3x)dx  , chọn khẳng định đúng : c 2x A a, b, c là số nguyên tố C b, c là số nguyên tố B a, c là số nguyên tố D a, b là số nguyên tố (Nguồn : Ngô Quang Chiến) Câu Hàm số f ( x)  (ax  bx  c)e  x một nguyên hàm của g( x)  x(1  x)e  x Tính tởng a + b + c : A B 2 C D Câu 10 Nguyên hàm I    ( x  3x  2)(4 cos x  cos x)d(cos x)  F( x)  C Giá trị của F(0) bằng : A  64 B 64 C 32 D Đáp án khác Trang 7/7 GIẢI NHANH TRẮC NHIỆM TOÁN ...NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN (đạo hàm ) u dấu + (nguyên hàm) eu eu - eu Ngô Quang Chiến  I  e u (u  2)  1e u  C  e u (u  1)  C  e x ( x  1)  C VD3: Tính nguyên hàm... TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Ngô Quang Chiến VD3: Tính nguyên hàm I  ( x7  x).cos( x )dx u  x2 Ta biến đổi I  ( x6  2).cos( x2 )d( x2 ) (đạo hàm ) u3  3u2 dấu + (nguyên. .. TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN VD2: Tính nguyên hàm I   x.ln2 xdx (đạo hàm ) dấu (nguyên hàm) x ln x 2.ln x + x2 x (đơn giản) ln x (đơn giản) x x - (đơn giản) Ngô Quang Chiến