CÁC CÂU TÍCH PHÂN – NGUYÊN HÀM HAY VÀ KHÓ

Để biết nên chia cho n cos x hay n sin x, ta xem phân thức chứa nhiều sin hay cos hơn từ đó lựa chọn biểu thức tương ứng.. Ta chia cả hai vế cho 4 cos x ta được: dx Nhận thấy tanx dưới m

LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC CÂU TÍCH PHÂN – NGUYÊN HÀM HAY VÀ KHÓ

Biên soạn: Đoàn Trí Dũng – Điện thoại: 0902.920.389

Câu 1: Tính nguyên hàm: dx 3

cosxsin x



Chú ý: Nếu trong tích phân phân thức lượng giác mà các đơn thức có bậc hơn kém nhau một số chẵn,

ta chia cả tử và mẫu số cho n n

cos x / sin x với n là bậc cao nhất của biểu thức Để biết nên chia cho n

cos x

hay n

sin x, ta xem phân thức chứa nhiều sin hay cos hơn từ đó lựa chọn biểu thức tương ứng

Trong bài toán này ta viết lại nguyên hàm: dx 3 1 3 dx

Tử số là 1 (bậc 0), mẫu số là cosxsin x3 (bậc 3 1 4  , chú ý nhiều em nhầm cái này) Mà chứa nhiều sin hơn do đó ta chia cả tử và mẫu số cho 4

1

Nhận thấy xuất hiện cotx dưới mẫu số, điều này làm ta chú ý đến việc đổi biến về dcotx 12 dx

sin x

2

1

Câu 2: Tính nguyên hàm:  

1 sin2x dx 2sinxcos x cos x







Lập luận tương tự như câu 1, chú ý rằng sin2x 2sinxcosx (bậc 2) Ta chia cả hai vế cho 4

cos x ta được:

dx

Nhận thấy tanx dưới mẫu số do đó ta đưa 12

1 cos x còn lại ta kết hợp với tử số

đưa về tanx như biến đổi dưới đây:



Do bậc của tử số lớn hơn bậc của mẫu số do vậy ta chia đa thức, chú ý rằng khia chia đa thức thì:

𝐏𝐡â𝐧 𝐬ố = 𝐓𝐡ươ𝐧𝐠 + 𝐒ố 𝐝ư

𝐌ẫ𝐮 𝐬ố

Về việc chia đa thức, đây không phải là điều khó, nhưng nhiều bạn không quen, không nắm chắc cách làm, cái này các bạn có thể hỏi các bạn bè cùng lớp để chia đa thức nhé Tuy nhiên, tôi xin chia sẻ với các bạn một cách chia đa thức đơn giản như thế này mà rất nhanh:

  2

Câu 3: Tính nguyên hàm: dx

sinxsin x

6





Đầu tiên, ta biến đổi nguyên hàm bằng công thức lượng:

sinxsin x

6





Ta nhận thấy rằng tử số là bậc 0, mẫu số là bậc 2 và chứa nhiều sin hơn, ta chia cả tử và mẫu cho 2

sin x

2

sin x

sinxsin x

6



Câu 4: Tính nguyên hàm:

sinxdx sinx cosx



Tử số là bậc nhất, mẫu số là bậc 3 và chứa nhiều sin hơn, ta chia cả tử và mẫu cho 3

sin x:

sin x

Câu 5: Tính nguyên hàm:

cos2xdx sinx cosx 2 



Do mẫu số có các đơn thức với các bậc không còn hơn kém nhau một số chẵn nữa cho nên ta lựa chọn hướng đi khác Ta thấy rằng:

sinx cosx cosx sinx cos2xdx cos x sin x



Mặt khác, cosx sinx dx d sinx cosx     , do vậy:

Câu 6: Tính nguyên hàm: 61 cos x sinxcos xdx 3 5

Ta có: 61 cos x sinxcos xdx 3 5  61 cos x cos xdcosx 3 5  61 cos x cos xcos xdcosx 3 3 2

Chú ý rằng: 2 2 1  3 1  3 

3

Đặt 6 3 3 6  3  5

u 1 cos x cos x 1 u  d cos x  6u du Khi đó ta có:

Câu 7: Tính nguyên hàm:

4 x

dx

e 4



Nhân cả tử và mẫu số với x

e ta được:

Đặt

3

4

4 x

 



4 x

u u 4





u e ta được:

4 x

Câu 8: Tính nguyên hàm:

3

x dx



3

x dx

 

Câu 9: Tính tích phân:



1 0

1

dx

Có hai căn thức, đặt căn bé nhất có thể là u Ta có: u x x u ,dx 2udu2  Khi đó:

2

Xét:

1

2

0

u 1du

2

2

1 sin v

1

2

0

0



0



Câu 10: Tính tích phân: 

 

1 23 0

dx

2

 