LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁCCÂUTÍCHPHÂN–NGUYÊNHÀMHAYVÀ KHĨ Biên soạn: Đồn Trí Dũng – Điện thoại: 0902.920.389 Câu 1: Tính nguyên hàm: dx cosxsin x Chú ý: Nếu tíchphânphân thức lượng giác mà đơn thức có bậc số chẵn, ta chia tử mẫu số cho cosn x / sinn x với n bậc cao biểu thức Để biết nên chia cho cosn x hay sinn x , ta xem phân thức chứa nhiều sin hay cos từ lựa chọn biểu thức tương ứng Trong toán ta viết lại nguyên hàm: dx cosxsin x cosxsin xdx 3 Tử số (bậc 0), mẫu số cosxsin3 x (bậc , ý nhiều em nhầm này) Mà chứa nhiều sin 1 sin4 x dx ta chia tử mẫu số cho sin4 x ta được: dx cotx cosxsin3 x Nhận thấy xuất cotx mẫu số, điều làm ta ý đến việc đổi biến dcotx dx sin2 x 2 sin2 x dx cot x 1dcotx cotx dcotx cot x ln cotx C dx cosxsin3 x cotx sin2 x cotx cotx Câu 2: Tính nguyên hàm: 1 sin2x dx 2sinxcos x cos4 x Lập luận tương tự câu 1, ý sin2x 2sinxcosx (bậc 2) Ta chia hai vế cho cos4 x ta được: 1 2sinxcosx dx 2sinxcos x cos x Nhận thấy tanx mẫu số ta đưa 2sinxcosx dx 2tanx cos x 1 vào dx, đồng thời lại ta kết hợp với tử số cos x cos2 x đưa tanx biến đổi đây: 2sinxcosx 2sinxcosx dx cos x cos2 x tan2 x 2tanx 2sinxcos3 x cos4 x 2tanx cos2 x dx 2tanx dtanx Do bậc tử số lớn bậc mẫu số ta chia đa thức, ý khia chia đa thức thì: 𝐏𝐡â𝐧 𝐬ố = 𝐓𝐡ươ𝐧𝐠 + 𝐒ố 𝐝ư 𝐌ẫ𝐮 𝐬ố Về việc chia đa thức, khơng phải điều khó, nhiều bạn không quen, không nắm cách làm, bạn hỏi bạn bè lớp để chia đa thức Tuy nhiên, xin chia sẻ với bạn cách chia đa thức đơn giản mà nhanh: tan2 x 8tanx tan x 2tanx 6tanx dtanx 2sinxcos3 x cos4 x 2tanx dtanx 2tanx 1 2sinxcosx dx CÁC BÀI TỐN TÍCHPHÂN– NGUN HÀMHAYVÀ KHĨ BIÊN SOẠN: ĐỒN TRÍ DŨNG – ĐIỆN THOẠI: 0902.920.389 1 2sinxcosx dx 2sinxcos x cos x Câu 3: Tính nguyên hàm: 1 2tanx dtanx tan x 3tanx ln 2tanx C 2tanx 4 dx sinxsin x 6 Đầu tiên, ta biến đổi nguyênhàm công thức lượng: dx 2 sinx sinxsin x 6 sinx cosx dx Ta nhận thấy tử số bậc 0, mẫu số bậc chứa nhiều sin hơn, ta chia tử mẫu cho sin2 x dx 1 2 dx 2 dcotx 2ln cotx C sin x cotx cotx sinxsin x 6 Câu 4: Tính nguyên hàm: sinxdx sinx cosx Tử số bậc nhất, mẫu số bậc chứa nhiều sin hơn, ta chia tử mẫu cho sin3 x : sinxdx sinx cosx cotx 1 Câu 5: Tính nguyên hàm: 1 dx dcotx C 2 sin x cotx cotx 1 cos2xdx sinx cosx 2 Do mẫu số có đơn thức với bậc khơng số chẵn ta lựa chọn sinx cosx cosx sinx dx cos2xdx cos2 x sin2 x hướng khác Ta thấy rằng: dx 3 sinx cosx 2 sinx cosx 2 sinx cosx 2 Mặt khác, cosx sinx dx d sinx cosx , vậy: sinx cosx cos2xdx sinx cosx sinx cosx 2 sinx cosx 2 d sinx cosx sinx cosx 2 dsinx cosx cos2xdx sinx cosx 2 1 C d sinx cosx sinx cosx sinx cosx sinx cosx Câu 6: Tính ngun hàm: Ta có: cos3 x sinxcos5 xdx cos3 x sinxcos5 xdx cos3 x cos5 xdcosx cos3 x cos3 xcos2 xdcosx 1 Chú ý rằng: cos2 xdcosx u2du d u3 d cos3 x , vậy: 3 cos3 x sinxcos5 xdx CÁC BÀI TỐN TÍCHPHÂN– NGUN HÀMHAYVÀ KHĨ cos3 x cos3 xd cos3 x BIÊN SOẠN: ĐỒN TRÍ DŨNG – ĐIỆN THOẠI: 0902.920.389 Đặt u cos3 x cos3 x u6 d cos3 x 6u5du Khi ta có: 2 cos3 x sinxcos5 xdx 2 u u6 u5du 2 u6 u12 du u7 u13 C 13 Thay u cos3 x ta được: Câu 7: Tính nguyên hàm: cos3 x sinxcos5 xdx cos3 x 13 cos3 x 13 C dx ex 4 Nhân tử mẫu số với ex ta được: dx ex 4 ex exdx ex ex dex ex u udu 4u3du 4du Đặt u e e u de 4u du x u u u u u u e 4 x x x 1 x du ln u ln u C Thay u e ta được: u u e 4 dx x dx ex ln ex ln ex C ln Câu 8: Tính nguyên hàm: Sử dụng nhân liên hợp: dx x3dx x2 x 4 C ex x3dx x2 x4 x3dx x2 x 1 x3 x x3 x4 1dx x5dx Câu 9: Tính tích phân: ex x x2 x 1 x 1 x dx x3 1 x 1d x x5dx x x2 dx x4 x6 C dx x x 1 1 Có hai thức, đặt bé u Ta có: u x x u2 ,dx 2udu Khi đó: 1 2u u u2 1 2u du x x dx u u2 du 2 0 u u 1 u u 1 2u u dx 2u x x 1 u 1 du CÁC BÀI TỐN TÍCHPHÂN– NGUN HÀMHAYVÀKHÓ u u2 du u2 1du BIÊN SOẠN: ĐỒN TRÍ DŨNG – ĐIỆN THOẠI: 0902.920.389 Xét: 0 u2 1du 0 1 cosv dv dv cosv cos v cos v 0 u2 1du , đặt u tanv u2 1du tan2 v 1dtanv 1 dsinv 1 sin v 4 1 1 dsinv 0 sinv 2 sinv 2 sinv sinv 1 1 sinv u 1du ln ln 2 4 sinv sinv sinv Do vậy, ta có: 1 3 dx ln 2 x x 1 Câu 10: Tính tích phân: x 2x3 3x x2 2x3 3x dx dx Bạn đọc ý rằng: u'dx du , đó: x x 3 4 2x3 3x x x2 Ta đặt u x4 3x2 4x3 6x x 3x 4 dx x 3x 4 d x4 3x2 u d u2 2 du 2 du 8ln2 u u u 0 dx CÁC BÀI TỐN TÍCHPHÂN– NGUN HÀMHAYVÀ KHĨ BIÊN SOẠN: ĐỒN TRÍ DŨNG – ĐIỆN THOẠI: 0902.920.389 ... dx 2u x x 1 u 1 du CÁC BÀI TỐN TÍCH PHÂN – NGUYÊN HÀM HAY VÀ KHÓ u u2 du u2 1du BIÊN SOẠN: ĐỒN TRÍ DŨNG – ĐIỆN THOẠI: 0902.920.389 Xét: 0 ... d cos3 x , vậy: 3 cos3 x sinxcos5 xdx CÁC BÀI TỐN TÍCH PHÂN – NGUN HÀM HAY VÀ KHÓ cos3 x cos3 xd cos3 x BIÊN SOẠN: ĐỒN TRÍ DŨNG – ĐIỆN THOẠI: 0902.920.389 Đặt u cos3 x... d u2 2 du 2 du 8ln2 u u u 0 dx CÁC BÀI TỐN TÍCH PHÂN – NGUN HÀM HAY VÀ KHĨ BIÊN SOẠN: ĐỒN TRÍ DŨNG – ĐIỆN THOẠI: 0902.920.389