(gv văn phú quốc) 60 câu tích phân nguyên hàm image marked image marked

  Câu 1: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho 1  ( x − − sin x ) dx =   a − b  − Mệnh đề mệnh đề sau sai? A a + 2b = B a + b = C 2a − 3b = D a − b = Đáp án B     ( x − − sin x ) dx = x − x + cos x|02 =   Ta có  1 −  −  2 Suy a = 4, b = Vajay a + b = (B sai) Câu 2: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số f ( x ) thỏa f (1) = 30; f ' ( x ) liên tục  f ' ( x ) dx = 70 Tính giá trị f ( 4) A 100 B 50 C 40 D 21 Đáp án A Ta có 70 =  f ' ( x ) dx = f ( x )| = f ( ) − f (1) = f ( ) − 30 1 Vậy f ( 4) = 100 Câu 3: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính nguyên hàm ln ( ln x )  x dx A ln x.ln ( ln x ) + C B ln x.ln ( ln x ) + ln x + C C ln x.ln ( ln x ) − ln x + C D ln ( ln x ) + ln x + C Đáp án C Đặt t = ln x  dt = Khi  dx x ln ( ln x ) dx =  ln tdt x dt  u = ln t  du =  Đặt  t Khi  ln tdt = t ln t − t + C  dv = dt v = t   ln ( ln x ) dx = ln x.ln ( ln x ) − ln x + C x   Câu 4: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho a   0;  Hãy tính  2  e xdx + + x2 C I = e B I = −1 A I = tan a cot a dx  x (1 + x ) e D I = −e Đáp án B Xét hàm số T ( x ) = tan x  e tdt + 1+ t2 cot x dt  t (1 + t ) e   xác định với x   0;   2 Ta tính T ( a ) Gọi F ( t ) , G ( t ) nguyên hàm hàm số y= t y = 1+ t t (1 + t ) Khi T ( x ) = F ( tan x ) − F ( e ) + G ( cot x ) − G ( e ) Suy T ' ( x ) = F ' ( tan x ) = 1 − G ' ( cot x ) 2 cos x sin x tan x 1 − = tan x − =0 2 2 cot x (1 + tan x ) cos x cot x (1 + cot x ) sin x    Do T ( x ) hàm khoảng x   0;  Khi a =  2 xdx dx dx   T = + =  = −1 2   e + x e x (1 + x ) e x 1 Câu 5: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho biết với u  phương trình t + ut − = có nghiệm dương f ( u ) Hãy tính  f ( u ) du A 31 B 33 C 35 D 37 Đáp án A Xét hàm số h ( t ) = t + ut − Ta có h ' ( t ) = 3t + u  với t  Do h hàm đồng biến khoảng ( 0; + ) Mặt khác h ( 0) = −8, h ( 2) = 2u  nên tồn c  ( 0;2) suy cho h ( c ) = Với  x  ta có u ( x ) = − x3  Suy x3 + u ( x ) x − = Do x nghiệm x dương phương trình t + u ( x ) t − = Do tính nghiệm ta suy f (u ( x )) = x Ta có u ' ( x ) = − − 2x x2 Khi x = u = x = u = Áp dụng cơng thức đổi biến ta có  0 f ( u ) du = −  f ( u ( x ) ) dx =  ( + x ) dx = Câu 6: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho 31 6 0  ln ( x + 3) dx = x ln ( x + 3) −  f ( x ) dx Tìm hàm số f ( x) C f ( x ) = B f ( x ) = x A f ( x ) = x x x+3 D f ( x ) = x+3 Đáp án C  u = ln ( x + 3) du = dx  Đặt  x+3 dv = dx v = x 6 Khi  ln ( x + 3) dx = x ln ( x + 3)| −  0 Vậy f ( x ) = Câu 7: x  ( 3t x dx x+3 x x+3 (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm tập nghiệm phương − 2t + 3) dt = x + A S = 1; 2 B S = 1; 2;3 C S =  Đáp án A x  ( 3t − 2t + 3) dt = x +  t − t + 3t| = x + x 0 x =  x3 − x + 3x = x3 +  x − 3x + =   x = Vậy tập nghiệm phương trình cho S = 1; 2 D S = trình Câu 8: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước Gọi h ( t ) thể tích nước bơm sau t giây Cho h ' ( t ) = 3at + bt : (Gv Văn Phú Quốc 2018) - Ban đầu bể khơng có nước - Sau giây thể tích nước bể 150m3 - Sau 10 giây thể tích nước bể 1100m3 Tính thể tích nước bể sau bơm 20 giây B 2200 m3 A 8400 m3 C 600 m3 D 4200 m3 Đáp án A Ta có  ( 3at 25  5 + bt ) dt =  at + bt  = 125a + b = 150 2  0 Tương tự ta có 1000a + 50b = 1100 Vậy từ ta tính a = 1; b = Vậy thể tích nước sau bơm 20 giây : (Gv Văn Phú Quốc 2018) 20  h ' ( t ) dt = ( t + t )| = 8400 ( m3 ) 20 0 Câu 9: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn 0;1 Hỏi mệnh đề sau đúng?  A   xf ( sin x ) dx =   f ( sin x ) dx 0  C B  0  xf ( sin x ) dx = 2  f ( sin x ) dx    xf ( sin x ) dx =   f ( sin x ) dx  D  xf ( sin x ) dx = 0   0 f ( sin x ) dx Đáp án D  Đặt I =  xf ( sin x ) dx Đổi biến x =  − t ta    0 I = −  ( − t ) f ( sin ( − t ) ) dt =  ( − t ) f ( sin t ) dt =  f ( sin t ) dt − I Đén ta suy kết (D) Câu 10: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho số thực a giả sử f mơt hàm liên tục Hỏi mệnh đề sau đúng? a A  a C  a x   f ( x )( x − a ) dx =    f ( t ) dt  dx 00  a B  x  f ( x )( x − 2a ) dx =    f ( t ) dt  dx 00  a x   f ( x )( a − x ) dx =    f ( t ) dt  dx 00  a a D  x  f ( x )( 2a − x ) dx =    f ( t ) dt  dx 00  a Đáp án B x Đặt F ( x ) =  f ( t ) dt Ta cần chứng minh a a 0  f ( x )( a − x ) dx =  F ( x ) dx Ta có F ' ( x ) = f ( x ) Khi a  a a a 0 f ( x )( a − x ) dx = a  f ( x ) dx −  xf ( x ) dx = aF ( a ) −  xF ' ( x ) dx Sử dụng cơng thức tích phân phần, ta có a a 0  xF ' ( x ) dx = aF ( a ) −  F ( x ) dx Thay vào ta thu kết B Câu 11: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Thời gian vận tốc vật trược xuống mặt phẳng nghiêng xác định công thức  20 − 3vdv (giây) Chọn gốc thời gian lúc vật bắt đầu chuyển động Hãy tìm phương trình vận tốc A 20 20 − 32t − e 3 B C 20 20 − 32t 20 20 − 3t − e + e 3 3 D + 4e 20 20 − 32t + e 3 Đáp án A Ta có t =  2 dx = − ln 20 − 3v + C với C số 20 − 3v Vào thời điểm t = vật có vận tốc Suy 2 = − ln 20 + C  C = ln 20 3 2 Khi t = − ln 20 − 3v + ln 20 3  ln 20 − 3v = ln 20 − t  20 − 3v = 20.e − t − 3t  − t  v = 20 − 3v = 20.e    − t   20 − 3v = −20.e v =  20 20 − 32 t − e 3 20 20 − 32 t + e 3 Để ý phương trình thứ hai đạt v = t = ta nhận phương trình thứ v = 20 20 − 32 t − e 3 Câu 12: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x y = x Tính giá trị biểu thức 3S ( 3S − ) B −1 A 2018 D 32018 C Đáp án A Phương trình hồnh độ giao điểm hai đường cong x = x  x = x = 1 Diện tích hình phẳng cần tìm S =  x − x dx =  Do 3S ( 3S − ) 2018 ( ) x − x dx = =1 Câu 13: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hình phẳng (C ) : y = x3 − 3x + ( P ) : y = (H ) (H ) giới hạn đường cong x + Thể tích khối tròn xoay nhận cho quay quanh trục Ox có dạng V = a b + 2018c + 2019d Hỏi mệnh đề mệnh đề sau sai? A abcd = B 9a − b − c − d = C a + b + 2c + 3d = 39 D b+d =8 a + c +1 Đáp án D Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) ( P ) x3 − 3x + = x +  x = x3 − 3x Giải phương trình này, ta thu hai nghiệm x = 0; x = 2 Thể tích vật thể cần tìm V =   Suy a = 4; b = 35; c = 0; d = (( ) −(x 2x ) − x ) dx = 4 35 Kiểm tra mệnh đề, nhận thấy D sai b+d 35 + = =7 a + c +1 + +1  Câu 14: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Giả sử tích phân I = tan x − tan x dx = e − k Tính giá x e  3 trị k A −1 B D − C Đáp án B  Ta có I = −x  ( tan x − tan x )e dx = 3  Trong J =  e −x  tan xdx; K =  −x  e tan xdx − 3  e −x   e −x tan xdx = J − K tan xdx Ta tính tích phân K phương trình tích phân phần  u = tan x du = (1 + tan x ) dx Đặt   −x −x dv = e dx  v = −e   −x Khi K = −e tan x =e −  +  e −x 3 dx + J = −e − +  e (1 + tan x ) dx −x 3  −e −x 3 + J = −e −  + J Vậy I = e − = e − k  k = Câu 15: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = x3 x + + x+C A F ( x ) = x3 x − + x+C B F ( x ) = C F ( x ) = x3 x + − x+C D F ( x ) = − x3 x + − x+C Đáp án A Ta có  f ( x ) dx =  (x + 1) − x 2 x2 + x + dx =  ( x − x + 1) dx = x3 x − + x+C x4 + x2 + x2 + x + Câu 16: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số f ( x ) liên tục thỏa mãn  f ( − x ) + f ( x ) = cos x Tính tích phân I =  f ( x ) dx − A I = 3 B I = D I = 2 C I =  Đáp án B   f ( − x ) dx Xét tích phân J = − Đặt x = −t  dx = −dt Đổi cận x = −  t =  ;x =  t =−  Khi I=   2  − f ( −t ) dt = J  3I + I =  − Vậy I =   f ( − x ) + f ( x )  dx =  cos xdx = − 2 Câu 17: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= ( A ) x + ln x ; đường thẳng x = 1, x = e2 trục hoành 8e3 − 9e2 + 13 B 8e3 − 9e2 + 13 C 8e3 + 9e2 + 13 Đáp án D Gọi S diện tích hình phẳng cần tìm Đó f ( x )  0, x  1; e  nên e2 e2 S =  f ( x ) dx =  ( ) x + ln xdx 1  u = ln x du = x dx Đặt   dv = x + dx v = x x + x  ( ) 2 x  + 1 x ln x Khi S =    e2 2 x  8e3 + 8e + 13 −   + 1 dx =   e2 D 8e3 + 9e2 + 13 Câu 18: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính thể tích V vật thể sinh phép quay quanh trục Ox hình ( H ) giới hạn đường y = log x ; x + y − = 0; y = 1  A V =   + log e ( ln − 1)  3  1  B V =   + log e ( ln + 1)  3  1  C V =   − log e ( ln − 1)  3  1  D V =   − log e ( ln + 1)  3  Đáp án A Ta có x + y − =  y = − x Giao điểm đồ thị hàm số y = log x với đường thẳng y = − x y = ( 2;1) , (1;0) 2  Khi V =    log xdx +  ( − x ) dx  = V1 + V2 1  2 1 Trong V1 =   log xdx =  log e  ln xdx =  log e ( 2ln − 1) V2 =   ( − x ) dx = 2  1  Vậy V =   + log e ( ln − 1)  3  Câu 19: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Vận tốc vật chuyển động v ( t ) = sin ( t ) + 2  (m/s) Tính quãng đường di chuyển vật khoảng thời gian 1,5 giây (làm tròn đến kết hàng phần trăm) A 0,37 m B 0,36 m C 0,35 m D 0,34 m Đáp án D Quãng đường mà vật di chuyển là: (Gv Văn Phú Quốc 2018)  sin ( t )    S= + dt =  t + cos ( t )  2     2   1,5 1,5 = +  0,34 (m) 4  e x dx ae + e3 = ln với a, b số nguyên  + ex ae + b −1 Câu 20: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Giả sử  b   b  + 2017  + cos  − sin 2018  dương Tính giá trị biểu thức P = sin   a   a  B −1 A C D − Đáp án B d (2 + e e x dx −1 + e x = −1 + e x Ta có ln x ) = ln ( + ex ) = ln ( + e ) − ln ( + e −1 ) −1 + ee 2e + e3 ae + e3 = ln = ln + e−1 2e + ae + b     Suy a = 2; b = hay P = sin  + 2017  + cos  + 2018  = −1 2  2   Câu 21: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho mx + m − dx = 3x + + C Tính giá trị e tích phân I =  x ln xdx m−2 A −  ( e + 1) B  ( e + 1) C  ( e − 1) D −  ( e − 1) Đáp án C Do  mx + m − dx = 3x + + C nên ' 2  = 3x + + C  = m=3 3x +  mx + m2 −  e Khi I =  x ln xdx = 1 ( e − 1) Câu 22: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số g ( x ) = x2 dt  ln t với x  Tìm tập giá trị T x hàm số B T = 1; + ) A T = ( 0; + ) C T = ( −;ln ) D T = ( ln 2; + ) Đáp án D Ta có g ' ( x ) = x 1 x −1 − =  0, x   g ( x ) đồng biến (1; + ) ln x ln x ln ( Suy tập giá trị hàm số g ( x ) T = g (1+ ) ; g ( + ) Do ) 1 → + x → + hàm số nghịch biến nên g ( x )  ( x − x ) ln t ln x Do g ( + ) = + 2a D  a f ( x ) dx = −  f ( x ) + f ( 2a − x ) dx 0 Câu 25: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính thể tích V vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường cong y = x , trục tung đường thẳng y = quay quanh trục Oy A V = 31 B V = 32 C V = 33 D V = 34 Đáp án B 2 0 Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm V =   x dy =   y dy = 32 Câu 26: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong mặt phẳng Oxy , cho prabol ( P ) : y = x2 Viết phương trình đường thẳng d qua M (1;3) cho diện tích hình phẳng giới hạn ( P ) d đạt giá trị nhỏ A x − y + = B x + y + = C x − y + = D x + y + = Đáp án A Giả sử d cắt (P) hai điểm phân biệt A ( a; a ) , B ( b; b ) với b  a Phương trình đường thẳng d : y = ( a + b ) x − ab Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn (P) đường thẳng d Ta có: (Gv Văn Phú Quốc 2018) b b b a a a S =  ( a + b ) x − ab − x dx =  ( x − a )( x − b ) dx = −  ( x − a )( x − b ) dx a+b 1  = −  x3 − x + abx  = ( b − a ) 3 a b Do M (1;3)  d nên a + b = ab + Suy S =    2 b − a)  = a + b ) − 4ab  = ( ( ( ab + 3) − 4ab       36 36 36  83 128 2  = S ( ab + 1) + 8  =  36 36 S =  ab + =  ab = −1  a + b = Vậy ta lập phương trình đường thẳng d : y = x +  x − y + =   Câu 27: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Giả sử tích phân 3 tan x − tan x dx = e − k Tính giá trị ex k A −1 B D − C Đáp án B  Ta có I =  ( tan x − tan x ) e dx = −x  tan  e −x  tan xdx −  Trong J =    e −x x.e dx; K = −x  e −x tan xdx = J − K tan xdx Ta tính tích phân K phương pháp tích phân phần  u = tan x du = (1 + tan x ) dx Đặt   −x −x dv = e dx  v = −e   −x Khi K = −e tan x =e −  +  e −x 3 dx + J = e − 3 +  e (1 + tan x ) dx −x  −e −x 3 + J = −e −  + J Vậy I = e − = e − k  k = Câu 28: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = A F ( x ) = x3 x − + x+C x3 x C F ( x ) = + − x + C B F ( x ) = x3 x + + x+C x3 x D F ( x ) = − + − x + C Đáp án A Ta có  f ( x ) dx =  (x + 1) − x 2 x2 + x + dx =  ( x + x + 1)dx = x3 x − + x+C x4 + x2 + x2 + x + Câu 29: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số f ( x ) liên tục thỏa mãn  f ( − x ) + f ( x ) = cos x Tính tích phân I =  f ( x ) dx − A I = B I = D I = 2 C I =  Đáp án B   f ( − x ) dx Xét tích phân J = − Đặt x = −t  dx = −dt Đổi cận x = −  t =  ;x =  t =−  Khi I=   2  − f ( −t ) dt = J  3I = J + I =  −   f ( − x ) + f ( x )  dx = J =  cos xdx = − 2 Vậy I = Câu 30: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= ( ) x + ln x ; đường thẳng x = 1, x = e2 trục hoành 8e3 − 9e2 + 13 A 8e3 − 9e2 + 13 B 8e3 + 9e2 + 13 C Đáp án D Gọi S diện tích hình phẳng cần tìm Do f ( x )  0, x  1; e  e2 e2 1 nên S =  f ( x ) dx =  ( ) x + ln xdx  u = ln x du = x dx  Đặt  dv = x + dx v = x x + x  ( ) 2 x  + 1 x ln x Khi S =    e2 2 x  8e3 + 9e + 13 −   + 1 dx =   e2 8e3 + 9e2 + 13 D Câu 31: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính thể tích V vật thể sinh phép quay quanh trục Ox hình ( H ) giới hạn đường y = log x ; x + y − = 0; y = 1  A V =   + log e ( ln − 1)  3  1  B V =   + log e ( ln + 1)  3  1  C V =   − log e ( ln − 1)  3  1  D V =   − log e ( ln + 1)  3  : (Gv Văn Phú Quốc 2018) Đáp án A Ta có x + y − =  y = − x Giao điểm đồ thị hàm số y = log x với đường thẳng y = − x y = ( 2;1) , (1;0) 2  Khi V =    log xdx +  ( − x ) dx  = V1 + V2 1  2 1 Trong V1 =   log xdx =  log e  ln xdx =  log e ( 2ln − 1) V2 =   ( − x ) dx = 2  1  Vậy V =   + log e ( ln − 1)  3  Câu 32: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Vận tốc chuyển động v ( t ) = sin ( t ) + 2  (m/s).Tính quãng đường di chuyển vật khoảng thời gian 1,5 giây (làm tròn đến kết hàng phần trăm) A 0,37 m B 0,36 m C 0,35 m D 0,34 m Đáp án D Quãng đường mà vật di chuyển  sin ( t )    0  2 +  dt =  2 t −  cos ( t ) 1,5 S= 1,5 = +  0,34 (m) 4  Câu 33: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Giả sử F ( x ) họ nguyên hàm hàm số f ( x) = sin x khoảng ( 0; + ) Tính tích phân x A F ( 3) − F (1) B F ( ) − F ( ) sin 2x dx x  C F ( 4) − F ( 2) D F ( ) − F ( ) Đáp án B Đặt t = 2x  dt = 2dx Đổi cận: (Gv Văn Phú Quốc 2018) x =  t = 2; x =  t = F ( x) =  sin x sin u dx  F ( u ) =  du x u 3 sin x sin x sin x sin u 1 x dx = 1 2 x dx  1 x dx = 2 u du = F ( ) − F ( ) Câu 34: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Một chất điểm A xuất phát từ vị trí O, chuyển động nhanh dần đều, giây sau đạt đến vận tốc m/s Từ thời điểm chuyển động thẳng Một chất điểm B xuất phát từ vị trí O chậm 12 giây so với A chuyển động thẳng nhanh dần Biết B đuổi kịp A sau giây (kể từ lúc B xuất phát) Tìm vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 48 m/s B 36 m/s C 24 m/s D 12 m/s Đáp án C Gọi gia tốc chuyển động nhanh dần chất điểm A a vận tốc A vA ( t ) = at Tại thời điểm t = ta có vA ( ) = a.8 =  a = m / s2 ) ( Quãng đường A chuyển động giây đầu 3  S1 =   t  dt = t = 24 m  0 Thời gian A chuyển động lúc gặp B 12 giây Quãng đường A chuyển động S2 = 6.12 = 72m Quãng đường A từ lúc xuất phát đến lúc gặp B S = S1 + S2 = 24 + 72 = 96m Gọi gia tốc B b vận tốc B vB ( t ) = bt Quãng đường B từ lúc xuất phát đến lúc gặp A 96 m 8 bt S = btdt = = 32b = 96  b = m / s Ta có 0 Vận tốc B thời điểm gặp A vB (8) = 3.8 = 24m/s Câu 35: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số g ( x ) = x2  x Tính g  ( x ) t sin tdt xác định với x  A x sin ( x ) − C x sin ( x ) − sin ( x) B x sin ( x ) − 24 x sin ( x) D x sin ( x ) − 24 x sin ( x) sin x ( x) x Đáp án A ( x ) sin ( x ) − Đặt f ( t ) = t sin t Theo định nghĩa tích phân ta có g ( x ) = F ( x ) − F ( ) Khi g  ( x ) = xF  x − F( x) x = xf ( x ) − f ( x ) = 2x sin ( x ) 2 x 24 x a Câu 36: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính giá trị a để đẳng thức  cos ( x + a ) dx = sin a xảy C a = 3 B a =  A a =  D a = 2 Đáp án D a a 0 2 2 2  cos ( x + a ) dx =  cos ( x + a ) d ( x + a ) = sin ( x + a ) = sin ( a + a ) − sin ( a ) Với a = 2 ta có sin ( ) 2 + 2 = sin ( ) 2 Câu 37: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm tập S tất số nguyên dương n thỏa điều kiện e n  ln x dx  e − B S = 2 A S = 1 C S = 1; 2 D S =  Đáp án C e e e n e I =  ln dx =  ( ln n − ln x ) dx = x ln n −  ln xdx x 1 = ( e − 1) ln n − ( x ln x − x ) = ( e − 1) ln n − e Với n = ta có I = −1  e − Với n = ta có I = e ln − ( ln + 1) = ( e −1) ln −1  e −1 −1 = e − Câu 38: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính tích phân hai nghiệm phương trình + ln t dt = t x  e A B e2 C 2e D e2 Đáp án B x (1 + ln t ) + ln t 1 dt =   (1 + ln t ) d (1 + ln t ) =  Ta có  t 2 1 x e e (1 + ln x )  2 x = e x = ln x = =  (1 + ln x ) =     x = 12 ln x = − 2  e  Do tích hai nghiệm phương trình e2 Câu 39: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Từ đẳng thức + cos3 u − 2sin v + C =  f ( t ) dt có tìm t hàm số y = f ( x ) hay khơng ? A Khơng tìm hàm số y = f ( x ) B Tìm hàm số y = f ( x ) = − x6 C Tìm hàm số y = f ( x ) = − x6 D Tìm hàm số y = f ( x ) khác với kết (B), (C) Đáp án C Từ đẳng thức cho, lấy đạo hàm hai vế ta được: (Gv Văn Phú Quốc 2018) − Do f ( x ) = − = f (t ) t6 x6 Câu 40: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn  a; b thỏa mãn điều kiện f ( x ) = f ( a + b − x ) , x  a; b Hỏi mệnh đề sau đúng? A b b a a  xf ( x ) dx = − ( a + b )  f ( x ) dx a+b f ( x ) dx C  xf ( x ) dx = − a a b b B b b a a  xf ( x ) dx = ( a + b )  f ( x ) dx a+b f ( x ) dx D  xf ( x ) dx = a a b Đáp án D Đặt t = a + b − x  dx = −dt Đổi cận: (Gv Văn Phú Quốc 2018) x = a  t = b; x = b  t = a b Khi : (Gv Văn Phú b b a b a a b a Quốc 2018)  xf ( x ) dx =  xf ( a + b − x ) dx = −  ( a + b − t ) f ( t ) dt =  ( a + b − t ) f (t ) dt b b b b a a a a = ( a + b )  f ( t ) dt −  tf ( t ) dt = ( a + b )  f ( x ) dx −  xf ( x ) dx a+b f ( x ) dx Do  xf ( x ) dx = a a b b Câu 41: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = ( x + 1) , x = sin xy  y  A −  B +  C  + D  − Đáp án B Ta có x = sin  y   −1;1  x +  Mà  y  nên y = ( x + 1)  x = y − ( ) Vậy S =  sin  y − y + dy = +  Câu 42: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Gọi h ( t ) (cm) mức nước bồn chứa sau bơm nước t giây Biết h ( t ) = 13 t + lúc đầu bồn cầu khơng có nước Tìm mức nước bồn sau bơm nước giây (làm tròn kết đến hàng phần trăm) A 1,66 cm B 2,66 cm C 3,66 cm D 4,66 cm Đáp án B Mức nước bồn sau bơm nước giây: (Gv Văn Phú Quốc 2018) 12  3 h ( ) =  h ( t ) dt =  ( t + ) −   2, 66 ( cm ) 0  20 a Câu 43: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính tích phân I =  A I = ( 2 − 1) a B I = ( 2 + 1) a C I = x dx theo a a−x ( − ) a Đáp án A Đặt x = a sin t  dx = 2a sin t cos tdt Đổi cận: (Gv Văn Phú Quốc 2018) x =  t = 0; x = a  t = D I = ( + ) a  Khi I =   ( − ) a a sin t a sin t cos tdt = a sin t =  a (1 − sin t ) Câu 44: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số 2 ( x + 1) , x  f ( x) =  Tìm k để k (1 − x ) , x   f ( x ) dx = −1 B k = A k = C k = D k = : (Gv Văn Phú Quốc 2018) Đáp án C Ta có  −1 −1 f ( x ) dx =  −2 ( x + 1) dx +  k (1 − x dx ) = −1 + 2k =1 k = 3 Câu 45: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số g ( x ) = A g  ( x ) = x2 −1 x2 + t −1  t + dt Tính đạo hàm g ( x ) 2x 3x B g  ( x ) = x2 −1 x2 −1 C g  ( x ) = − x + x2 + D g  ( x ) = x2 −1 x2 + ( x − 1) x2 + − ( x − 1) x2 + Đáp án D Đặt f ( t ) = t −1 t2 +1 Gọi F nguyên hàm f Theo định nghĩa tích phân ta có g ( x ) = F ( t ) x = F ( 3x ) − F ( x ) 3x Sử dụng cơng thức tính đạo hàm hàm số hợp ta g  ( x ) = 3F  ( x ) − F  ( x ) = f ( x ) − f ( x ) = ( x − 1) x2 + − ( x − 1) x2 + Câu 46: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong (C1 ) : x + y − y = (C2 ) : x − y + y = A 11 B 10 C D Đáp án C Phương trình tung độ giao điểm ( C1 ) : x = y − y ( C2 ) : x = y − y là: (Gv Văn Phú Quốc 2018) y = y2 − y = y − y2   y = 3 Vậy S =  ( y − y ) − ( y − y )  dy = Câu 47: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính thể tích khối tròn xoay sinh cho elip (E) : A x2 y + = quay quanh trục Ox a b2  ab B a b C  ab D a b Đáp án A Ta xem khối tròn xoay hình giới hạn bốn đường x = a, x = −a, y = 0, y = b a − x quay quanh trục Ox tạo nên a b2  b2 Vậy V =   ( a − x ) dx = a a −a a   x3  a x − =  ab     −  e Câu 48: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho I =  x3 ln xdx = A a = b 3ea + Mệnh đề đúng? b C ab = 60 B a + b = 20 D a − b = 12 Đáp án B  du = dx  u = ln x   x Đặt   dv = x dx v = x  e x4 e4 3e + Khi I = ln x −  x 3dx = − x = 41 14 16 e e Suy a = 3, b = 16 hay a + b = 20 Câu 49: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số f ( x ) biết f ( ) = f  ( x ) = x2 + x + 2x +1 Biết nguyên hàm f ( x ) có dạng F ( x ) = ax2 + bx + ln x + + c Tính tỉ lệ a : b : c A a : b : c = 1: 2:1 B a : b : c = 1:1:1 C a : b : c = 2: 2:1 D a : b : c = 1: 2: Đáp án B Ta có f ( x ) =  4x2 + x +   dx =   x + +  dx = x + x + ln x + + C 2x +1 x +   Do f ( ) = nên c = Suy f ( x ) = x2 + x + ln 2x + + Vậy a : b : c = 1:1:1 Câu 50: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Một vật chuyển động với vận tốc v ( t ) (m/s) có gia tốc v ( t ) = (m/s2) Vận tốc ban đầu vật (m/s) Hỏi vận tốc vật sau 10 giây (làm t +1 tròn kết đến hàng đơn vị) A 10 m/s B 11 m/s C 12 m/s D 13 m/s Đáp án D Ta có v ( t ) =  v ( t ) dt =  dt = 3ln t + + C t +1 Do vận tốc ban đầu m/s nên v ( t ) = 3ln t + + Vận tốc vật sau 10 giây v ( 6) = 3ln11 +  13 ( m / s ) Câu 51: (Gv  ( x − 2) sin 3xdx = − Văn Phú Quốc 2018) ( x − m ) cos3x + sin 3x + C Tính giá trị A 14 n p B −2 C Giả sử m+n+ p D 10 Đáp án A du = dx u = x −   Đặt  cos x dv = sin xdx v = −  Khi  ( x − 2) sin 3xdx = − ( x − ) cos 3x + sin 3x + C Suy m = 2, n = 3, p = Vậy m + n + p = 14 Câu 52: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho f hàm số Tìm số thực a  cho x  , x  a f (t ) dt + = x t2 A B C D 10 Đáp án C Gọi F ( t ) nguyên hàm f (t ) t2 Theo định nghĩa tích phân ta có: (Gv Văn Phú Quốc 2018) x  0, F ( x ) − F ( a ) + = x Cho x = a ta thu a =  a = Câu 53: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho f ( x ) hàm liên tục a  Giả sử với a dx theo a 1+ f ( x) x 0; a ta có f ( x )  f ( x ) f ( a − x ) = Hãy tính I =  A a B a D a C 2a Đáp án B Đặt x = a − t  dx = −dt a a f (t ) dt dt = = dt Ta có I = −  1+ f (a − t ) 1+ 1 + f (t ) a f (t ) a Suy I = I + I =  dt = a Vậy I = a Câu 54: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Hàm số f ( x ) = e2 x  t ln tdt ex A Đạt cực tiểu x = đạt cực đại x = − ln B Đạt cực tiểu x = − ln đạt cực đại x = C Đạt cực tiểu x = đạt cực đại x = ln D Đạt cực tiểu x = ln đạt cực đại x = Đáp án A Gọi F(t) nguyên hàm hàm số t ln t ( 0; + ) Ta có f ( x ) = F ( e x ) − F ( e x ) Suy f ' ( x ) = 2e2 x F ' ( e x ) − e x F ( e x ) = xe x − xe x = xe x ( 4e x − 1) Vậy f ' ( x ) =  x = 0, x = − ln Kết luận: (Gv Văn Phú Quốc 2018) f đạt cực tiểu x = đạt cực đại x = − ln Câu 34: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Hình phẳng S giới hạn ba đường y = x, y = − x, x = Khi quay S quanh Ox, Oy tương ứng ta hai vật thể tròn xoay tích Vx , V y Hãy lựa chọn phương án đúng? A Vy =  C Vx + Vy = B Vx = 12 20 D Vx + Vy = 8 b Câu 55: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Giả sử S = a ln − diện tích hình phẳng giới hạn c x +1 với trục tọa độ Hỏi mệnh đề đúng? x−2 đồ thị hàm số y = A a + b + c = C a − b + c = B a  b D a + 2b − = Đáp án A Đồ thị hàm số cho cắt trục hoành điểm có tọa độ ( −1;0 ) Khi S= −1 x +1 dx = x−2 x +1 −1 x − dx = = ( x + 3ln x − )| = 3ln −1    1 + x −  dx −1 −1 Suy a = b = 3, c = Vậy a + b + c = Câu 56: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho ( P ) : y = x2 + đường thẳng d : mx − y + = Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn (P) d đạt giá trị nhỏ nhất: (Gv Văn Phú Quốc 2018) A B C D Đáp án D Phương trình hồnh độ giao điểm (P) d x − mx − = Ta có  = m2 +  0, m Suy phương trình ln có nghiệm phân biệt x1 , x2 x2 Giả sử x1  x2 Khi S =  ( mx + − x − 1) dx = x1  mx x  = − + x   x2 x1 x2  ( mx + − x ) dx x1  m2  = ( x2 − x1 )  + − ( m + 1)     m2  = m +  +   3 Vậy S = m=0 Câu 57: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm giá trị m để ( Cm ) : y = x ( m + ) x + m + cắt trục hồnh điểm phân biệt cho hình phẳng giới hạn trục hồnh phần phía trục hồnh có diện tích A m = 2 96 15 B m = C m = −2 D m = 3 Đáp án A Phương trình hồnh độ giao điểm ( Cm ) với trục Ox: (Gv Văn Phú Quốc 2018)  x = 1 x − ( m2 + ) x + m2 + =    x =  m +  ( Cm ) cắt trục Ox điểm phân biệt  m  (*) Khi đó: (Gv Văn Phú Quốc 2018) diện tích hình phẳng giới hạn ( Cm ) với trục hồnh phần phía trục hồnh là: (Gv Văn Phú Quốc 2018) 20m2 + 16 96 S =  x − m2 + x + m2 + dx  =  m = 2 (thỏa (*)) 15 15 −1 ( ( ) ) Câu 58: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số y = ( x + 1) e x Tính vi phân y A dy = e x ( x + 1) dx B dy = e x ( x + 1) dx C dy = e x ( x + 1) dx D dy = e x ( x − 1) dx 2 Đáp án A ' '  x3    x3          y ' =   sin  x +  +  sin  x +   = x sin  x +  + x cos  3x +  4    4 4     3 Câu 58: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh miền  ( P ) : y = x − x + quay quanh trục Oy   Ox : y = B 36 A 24 C 48 D 64 Đáp án D Vẽ đồ thị hàm số y = x − x + ( P ) có tọa độ đỉnh B (3; −4) , cắt trục hồnh A (1;0) , C (5;0) AB có phương trình x = y + − 3; BC có phương trình x = y + + VOy =   −4 ( ) y + + dy −   −4 ( ) y + − dy = 64 Câu 59: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số y =     A y ' = x sin  x +  + x cos  x +  4 4       B y ' = x sin  x +  + x cos  x +  4 3       C y ' = x sin  x +  + x cos  x +  4 4   x3   sin  3x +  Tính đạo hàm y’ 4      D y ' = x cos  x +  + x sin  x +  4 4   Đáp án A ' '  x3    x3          y ' =   sin  x +  +  sin  x +   = x sin  x +  + x cos  3x +  4    4 4     3 Câu 60: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Xét hình chắn phía parabol ( P ) : y = x2 , phía đường thẳng qua điểm A (1;4) hệ số góc k Xác định k để hình phẳng có diện tích nhỏ A k = C k = −1 B k = D k = Đáp án B Đường thẳng d qua A (1;4) với hệ số góc k có phương trình y = k ( x − 1) + Phương trình hồnh độ giao điểm (P) d là: (Gv Văn Phú Quốc 2018) x2 = k ( x −1) +  x2 − kx + k − = Ta có  = k − ( k − ) = k − 4k + 16 = ( k − ) + 12  0, k  Suy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt giả sử hai nghiệm x1  x2 x S =   k ( x − 1) + − x  dx = = (k − 4k + 16 ) x1 =  k − ) + 12   (   Vậy S = k = ... Câu 52: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho f hàm số Tìm số thực a  cho x  , x  a f (t ) dt + = x t2 A B C D 10 Đáp án C Gọi F ( t ) nguyên hàm f (t ) t2 Theo định nghĩa tích phân ta có: (Gv Văn Phú. .. ( t ) 1,5 S= 1,5 = +  0,34 (m) 4  Câu 33: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Giả sử F ( x ) họ nguyên hàm hàm số f ( x) = sin x khoảng ( 0; + ) Tính tích phân x A F ( 3) − F (1) B F ( ) − F ( )... nước bồn sau bơm nước giây: (Gv Văn Phú Quốc 2018) 12  3 h ( ) =  h ( t ) dt =  ( t + ) −   2, 66 ( cm ) 0  20 a Câu 43: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính tích phân I =  A I = ( 2 − 1) a