(gv văn phú quốc) 22 câu giới hạn image marked image marked

Câu (Gv Văn Phú Quốc 2018): Cho a1 = 0, an+1 = an + 4n + 3, n  Tính giới hạn: lim A 2017 dãy số an  định an + a4 n + a42 n + + a42018 n an + a2 n + a22 n + + a22018 n Đáp án C Ta có: ak = ak −1 + ( k − 1) + = ak −2 + ( k − 2) + ( k − 1) + 2.3 = = a1 = (1 + + + k −1) + ( k −1) = ( 2k + 3)( k −1) Do đó: lim ( 2kn + 3)( kn − 1) akn = lim n Suy ra: lim n  1  = lim  2k +   k −  = k n  n  an + a4 n + a42 n + + a42018 n an + a2 n + a22 n + + a22018 n = + + 42 + + 42018 2 + 2 + 22 + + 22018 22019 + = Câu 2: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính giới hạn hàm số lim x →1 A n B n2 C x n − nx + n − ( x − 1) n2 − n Ta có: lim x →2 ( x − 1) (x = lim n − 1) − n ( x − 1) x →2 (x = lim n −1 x →1 + x n −2 + + x + 1) − n x −1 x →1 (x = lim ( x − 1) n −1 − 1) + ( x n −2 − 1) + + ( x − 1) x −1 ( ) = lim ( x n −1 + x n − + + 1) + ( x n −3 + x n −4 + + 1) + + x →1 = ( n − 1) + ( n − ) + + = n ( n − 1) n − n = 2 D Đáp án C x n + nx + n − 22018 + D 22019 + C B 2018 xác n2 + n Câu 3: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm m để hàm số sau liên tục :  x + x + x   f ( x) =   m sin x x   C m = B m = A m = D m = Đáp án C Hàm số xác định liên tục khoảng ( −;1) (1; + ) Suy hàm số xác định liên tục  hàm số xác định liên tục điểm x = Ta có lim− f ( x ) = lim− ( x + x + 1) = x →1 x →1   lim+ f ( x ) = lim+  m sin x →1 x →1    x  = m sin = m = f (1)  Hàm số liên tục điểm x =  lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f (1)  m = x →1 x →1 n Câu 4: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính giới hạn lim  x → A k =1 (3 k +1 6k − 2k +1 )( 3k − 2k ) C −1 B D Đáp án D Ta có: 6k (3 k +1 6k n  (3 k +1 k =1 − 2k +1 )( 3k − 2k ) − 2k +1 )( 3k − 2k ) =6  3k − 2k 3k −1 − 2k −1  =  k +1 k +1 − k  − 2k  3 −2 3n − 2n 3n +1 − 2n +1 n n Do đó: lim  n → k =1 (3 k +1 6k − 2k +1 )( 3k − 2k ) 3n − 2n n → 3n +1 − n +1 = lim 2 1−   3 = = lim n → 2 −   3 Câu 5(Gv Văn Phú Quốc 2018): Cho hàm số f ( x ) = ( x − 1)( x − 2)( x − 3) ( x − 2019 ) Tính f ' (1) A B C 2018! Đáp án C Ta có lim x →1 f ( x ) − f (1) ( x − 1)( x − )( x − 3) ( x − 2019 ) = lim x →1 x −1 x −1 = lim ( x − 2)( x − 3) ( x − 2019 ) = ( −1) ( −2 ) ( −3) ( −2018) = 2018! x→1 D 2019! Vậy f ' (1) = 2018! Câu 6: (Gv Văn Phú Quốc 2018)Giả sử f : Với k  , tính giới hạn lim x → A → hàm đơn điệu cho lim  x → f ( 2x) =1 f ( x) f ( kx ) x B C D + Đáp án A f ( 2n x ) f ( 2n x ) f ( 2n −1 x ) f ( x ) f ( 2x ) =  lim = lim =1 Ta có lim x → f ( x ) x → x → f 2n −1 x f 2n − x f ( x) ( ) ( ) f ( x) Giả sử f ( x ) tăng k  Ta thấy tồn n cho 2n  k  2n +1 Theo tính đơn điệu f, ta có f ( 2n x )  f ( kx )  f ( 2n +1 x ) Từ suy lim x → f ( kx ) = 1, k  f ( x) Cũng suy luận trên, trường hợp  k  ta có lim x → f ( kx ) f (u ) = lim =1 f ( x ) u →  u  f  k Vậy ta thu lim x → Câu 7: f ( kx ) = 1, k  x (Gv ( Văn ) Phú Quốc 2018) Tính ) ( lim cos  n n3 + 3n + n + + sin  n n3 + 3n + n +   n →   A − 1+ B C Đáp án A Đặt un = n3 + 3n + n + Ta có cos ( nun ) = cos  − nun + ( n + 1) n  = cos  n ( n + − un )     n + 1) − un3 ( 2 u = cos  n = cos    2 2  ( n + 1) + ( n + 1) un + un   ( n + 1) + ( n + 1) un + un  D giới hạn     2   = cos    un    un    1 +  + 1 +  +    n  n  n    n  2 =− Suy lim cos ( nun ) = cos n → 2 =− 1+ n3 + 3n + n +  = −  Biến đổi tương tự, ta tìm lim sin ( nun ) = − sin n → ) ( ( Vậy lim cos  n3 n3 + 3n + n + + sin  n3 n →   ) Câu 8: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho a, b hai số thực thỏa mãn điều kiện lim  x + x + − ( ax + b )  = Tính x →   ( a − 2b ) 2018 (3a + ab + b a A ) C 22018 B D −1 Đáp án A Phân tích x2 + x + − ( ax + b ) = x2 + x + − ( x + 1) + ( x + 1) − ( ax + b ) = x2 + x + − ( x + 1) + ( − a ) x + − b =0 Ta có lim  x + x + − ( x + 1)  = lim x →+   x →+ x + x + − ( x + 1) Khi lim  x + x + − ( ax + b )  = x →+   2 − a = a = lim ( − a ) x + − b  =    x →+ 1 − b = b = Suy ( a − 2b ) 2018 (3a ) + ab + b a = Câu 9: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho số thực a  ln Tính giới hạn L = lim x → ln A L = ln C L = B L = ln Đáp án C ln10 Đặt I =  a ex ex − dx Đặt t = ex −1  t = e x −1  3t 2dt = e x dx Đổi cận: x = a  t = ea − 1; x = ln10  t = Khi I = 3t dt =  tdt = t  t a a e −1 e −1 = e −1 a  3 a − e − )  (  2  ln10  a D L = ex ex − Vậy lim I = = a → ln 2 1.1!+ 2.2!+ + n.n! n → ( n + 1)! Câu 10: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính giới hạn dãy số lim A B C D Đáp án A k , ta có k.k ! = ( k + 1)!− k ! Ta có un = ( 2!− 1!) + ( 3!− 2!) + ( ( n + 1)!− n!) = 1− ( n + 1)! ( n + 1)! Vậy lim un = n → Câu 11: (Gv Văn Phú Quốc 2018)Tính giới hạn hàm số lim x →0 A B C x +8 − x + x D Đáp án B x +8 − x + x +8 −2 x+4 −2 = lim − lim x →0 x → x → x x x 1 1 = lim + lim = + = x →0 x → x + + 12 ( x + 8) + x + + Ta có lim Câu 12: (Gv Văn Phú Quốc 2018)Tính giới hạn lim A 1− a 1− b B 1− b 1− a C + a + a + + a n (với a  1, b  ) + b + b + + b n 1+ a 1+ b Đáp án B − a n +1 1− a − b n +1 + b + b + + b n = 1− b n + a + a + + a − b − a n +1 = Khi + b + b + + b n − a − b n +1 Do a  1, b  nên lim a n+1 = 0,lim bn+1 = Ta có + a + a + + a n = + a + a + + a n − b = + b + b2 + + bn − a Câu 13: Xác định hàm số f ( x ) thỏa mãn điều kiện sau Vậy (i) f ( x ) có tập xác định D = \ 4 (ii) lim f ( x ) = +; lim f ( x ) = lim f ( x ) = x →4 x →+ x →− D 1+ b 1+ a A f ( x ) = f ( x) = 3x ( x − 4) B f ( x ) = 3x + x−4 C f ( x ) = − x2 ( x − 4) D x − 3x ( x − 4) Đáp án A Lần lượt kiểm tra hàm số ta thấy có hàm số f ( x ) = 3x ( x − 4) thỏa mãn hai điều kiện Câu 14: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho số thực a  ln Tính giới hạn ln10 ex L = lim  dx x a →ln e −2 a A L = ln B L = ln C L = D L = Đáp án C ln10 Đặt I a =  ex a ex − dx Đặt t = e x −  t = e x −  3t 2dt = e x dx Đổi cận x = a  t = ea − 1; x = ln10  t = 2 3t dt Khi I =  =  tdt = t t a a e −1 e −1 = e −1 a  3 a − e − ( )   2  Vậy lim I a = = x → ln 2 Câu 15(Gv Văn Phú Quốc 2018): Tính giới hạn lim x →− A ( ) x + 3000 − x3 + 3000 D − C + B Đáp án C Ta có lim x →− ( ) x + 3000 − x3 + 3000 = + − ( − ) = + Câu 7: Trong mệnh đề sau mệnh đề sai? A lim x →+ x15 + x + x3 = + x3 + B lim x → x4 + = x3 + x2 + x x + x8 + lim = D = x →+ x + x → x3 + x C lim  x2 + n  Câu 16(Gv Văn Phú Quốc 2018): Cho hàm số f ( x ) = 2mx − m +  điểm x = x  x  liên tục x = Tính ( m − n ) 2018  m +1  +   n  A 2019 : B C −1 D Đáp án A Tại điểm x = − hàm số không xác định nên hàm số gián đoạn  2sin x  Ta có lim− f ( x ) = lim−  =2 x →0 x →0  x  lim+ f ( x ) = lim+ ( x + 2) = = f ( 0) x →0 x →0 Do lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( 0) nên hàm số liên tục điểm x = x →0 x →0 Vậy hàm số gián đoạn điểm x = − Câu 17(Gv Văn Phú Quốc 2018): Cho dãy số un  u1 =  u = u1 + 2u2 + + ( n − 1) un −1  n n ( n − 1)  Tìm lim ( n + 2018 ) un A B C D Đáp án D Ta có u2 = Với n  ta có u1 + 2u2 + + ( n − 1) un −1  + nun = n ( n − 1) un + nun = n3un ( n − 1) =  n −   n  u  nu = nun + ( n − 1) un −1  n =    ( ) un −1 n − n  n   n +1  Từ (1) suy 2 un un un −1 u3  n −   n −      n n −  12 = =   =        u2 un −1 un − u2  n   n −      n + n  n ( n + 1)  un = n ( n + 1) 3 n Vậy lim ( n + 2018 ) un = Câu 18(Gv Văn Phú Quốc 2018): Cho dãy số  xn  xác định bởi:  x1  Hãy tìm lim xn  2 3 ( n + ) xn +1 = ( n + 1) xn + ( n + ) , n  A B C   Câu 19: Tính giới hạn lim  x + x + x − x  x →+   D xác định A + B C D Đáp án B Ta có: ( n + 2) xn2+1 = ( n + 1) xn2 + ( n + 4) , n   ( n + 2) xn2+1 = ( n + 1) xn2 − ( n + 1) + ( n + ) , n   ( n + ) ( xn2+1 − 1) = ( n + 1) ( xn2 − 1) , n  n +1 yn Đặt yn = xn2 − Khi yn +1 = n+2 n +1 ( n + 1) 2n 2 Suy yn +1 = y1 =   y1 hay lim yn = ( n + ) ( n + 1) 3 n+2 Vậy lim xn =  x + 2a + b Câu 20(Gv Văn Phú Quốc 2018): Cho hàm số f ( x ) =  ax + bx + điểm x0 = Tính giá trị biểu thức P = ( a + b ) A 2018 ( a − b − 1) 2019 C −1 B x  x  có đạo hàm + 3a − 2b D Đáp án D Do f có đạo hàm điểm x0 = −1 nên f liên tục điểm x0 = −1 Khi lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f (1)  lim+ ( ax + bx + c ) = lim− ( x + 2a + b ) = f x →1 x →1 x →1  a + b + = 2a + b +  a = x + + b Với a = , hàm số f ( x ) trở thành f ( x ) =   x + bx + f ( x ) có đạo hàm điểm x0 = lim+ x →1 x →1 x  x  (1) f ( x ) − f (1) f ( x ) − f (1) x + bx + − b − x + 2+b−b−3 = lim−  lim+ = lim− x →1 x →1 x →1 x −1 x −1 x −1 x −1  lim+ ( x + b + 1) = lim1  b + =  b = −1 − x →1 Suy a + b = Vậy P = x →1      Câu 21(Gv Văn Phú Quốc 2018): Tính giới hạn lim 1 −  1 −  1 −  2.3  3.4   ( n + 1)( n + )  A B Đáp án C      Đặt xn = 1 −   −  1 −  2.3  3.4   ( n + 1)( n + )  C D + Từ − xn = ( k + 1)( k + ) = k ( k + 3) , k = 1, , n ta có ( k + 1)( k + ) n ( n + 3) 1.4 2.5 3.6 n+3 = 2.3 3.4 4.5 ( n + 1)( n + ) ( n + 1) Vậy lim xn = ( Câu 22(Gv Văn Phú Quốc 2018): Tính giới hạn lim x x + x + x →− A B − ) C − Đáp án B ( )     Ta có lim x x + x + = lim x  x + x +  = lim x  x − x +  x →− x →− x  x →−  x     − 1 +    x  = lim x 1 − +  = lim x  =− x →− x  x→−  1+ 1+ x D + ... = = x → ln 2 Câu 1 5(Gv Văn Phú Quốc 2018): Tính giới hạn lim x →− A ( ) x + 3000 − x3 + 3000 D − C + B Đáp án C Ta có lim x →− ( ) x + 3000 − x3 + 3000 = + − ( − ) = + Câu 7: Trong... 2018 ) un = Câu 1 8(Gv Văn Phú Quốc 2018): Cho dãy số  xn  xác định bởi:  x1  Hãy tìm lim xn  2 3 ( n + ) xn +1 = ( n + 1) xn + ( n + ) , n  A B C   Câu 19: Tính giới hạn lim  x... 3) 1.4 2.5 3.6 n+3 = 2.3 3.4 4.5 ( n + 1)( n + ) ( n + 1) Vậy lim xn = ( Câu 2 2(Gv Văn Phú Quốc 2018): Tính giới hạn lim x x + x + x →− A B − ) C − Đáp án B ( )     Ta có lim x x +