Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 26 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
Câu 1: (GvVănPhúQuốc 2018) (GvVănPhúQuốc 2018) Trong không gian Oxyz cho hai x = 4t x − y + 1− z = = đường thẳng d d’ có phương trình ; y = + 6t ; t z = −1 + 4t Xác định vị trí tương đối hai đường thẳng d d’ A Song song B Trùng C Cắt D Chéo Đáp án A Đường thẳng d qua M ( 2; −4;1) có vectơ phương u = ( 2;3; ) Đường thẳng d’ qua M ' ( 0;1; −1) có vectơ phương u ' = ( 4;6; ) Do u u ' phương đồng thời M d ' nên hai đường thẳng song song Câu 2: (GvVănPhúQuốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1 : x +1 y + z −1 x + y −1 z + = = = = 2 = Đường vng góc chung 1 2 −4 1 −1 qua điểm điểm sau? B N (1; −1; −4) A M ( 3;1; −4) C P ( 2;0;1) D Q ( 0; −2; −5) Đáp án A Gọi A ( 2a −1; a − 2; a + 1) 1 ; B ( −4b − 2; b + 1; −b − ) 2 Suy AB = ( 2a + 4b + 1; a − b − 3; a + b + 3) Vectơ phương 1 2 có phương trình u1 = ( 2;1;1) , u2 = ( −4;1; −1) AB.u1 = Ta có AB.u2 = Giải hệ phương trình ta a = 1; b = −1 x = 1+ t Suy phương trình đường vng góc chung y = −1 + t z = − 3t Lần lượt thay tọa độ điểm M ta thu kết A Câu 2: (GvVănPhúQuốc 2018) Trong không gian Oxyz cho A (1; −2;1) ; B ( 0;2;0) Viết phương trình mặt cầu ( S ) qua hai điểm A; B có tâm nằm trục Oz A ( S ) : ( x − 1) + y + z = B ( S ) : x + y + ( z − 1) = D ( S ) : ( x − 1) + y + z = C ( S ) : x + ( y − 1) + z = 2 Đáp án B Tâm nằm trục Oz nên có tọa độ I ( 0;0; z0 ) Do mặt cầu (S) qua hai điểm A; B nên ta có IA = IB (1 − 0) + ( −2 − 0) + (1 − z0 ) 2 = ( − 0) + ( − 0) + ( − z0 ) 2 + ( z02 − z0 + 1) = z02 z0 = Vậy ( S ) : x + y + ( z − 1) = Câu 4: (GvVănPhúQuốc 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba vectơ a.x = a = ( 2;3;1) ; b = (1; −2; −1) ; c = ( −2; 4;3) Tìm tọa độ vectơ x cho b.x = c.x = A ( 4;5;10 ) B ( 4; −5;10) C ( −4; −5; −10 ) D ( −4;5; −10) Đáp án B Gọi x = ( x1; x2 ; x3 ) a.x = 2 x2 + 3x2 + x3 = x1 = Khi b.x = x1 − x2 − x3 = x2 = −5 −2 x + x + x = x = 10 c.x = Vậy x = ( 4; −5;10 )Câu 5: (GvVănPhúQuốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A (1;2;3) đường thẳng d : x +1 y z − = = Viết phương trình đường thẳng qua điểm A, −2 vng góc với đường thẳng d cắt trục Ox A x −1 y − z − = = 2 B x −2 y −2 z −3 = = C x +1 y + z + = = 2 D x+2 y+2 z +3 = = Đáp án A Gọi B = Ox Khi B ( b;0;0) Vì vng góc với đường thẳng d nên AB ⊥ ud Ta có AB = ( b − 1; −2; −3) , ud = ( 2;1; −2 ) Suy AB.ud = b = −1 Do AB = ( −2; −2; −3) Chọn vectơ phương cho đường thẳng u = ( 2; 2;3) Phương trình đường thẳng x −1 y − z − = = 2 Câu 6: (GvVănPhúQuốc 2018) Trong không gian ( S ) : x2 + y + z − x + z − = Oxyz cho mặt cầu điểm A ( 0;1;1) , B ( −1; −2; −3) , C (1;0; −3) Tìm điểm K thuộc mặt cầu ( S ) cho thể tích tứ diện ABCD lớn A D (1;2; −1) B D (1;0; −3) 7 1 D D ; − ; − 3 3 C D ( 3;0; −1) Đáp án D (S) có tâm I (1;0; −1) , bán kính R = AB = ( −1; −3; −4 ) , AC = (1; −1; −4 ) Gọi ( ) mặt phẳng chứa điểm A, B, C nhận n = AB, AC = ( 8; −8; ) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: (GvVănPhúQuốc 2018) ( x + 1) − ( y + 2) + ( x + 3) = x − y + z + = d ( I , ) = − −1 +1 22 + ( −2 ) + 12 = = R ( S ) ( ) = Ta có VABCD = hD S ABC nên VABCD lớn hD lớn Gọi D1 D2 đường kính (S) vng góc với mặt phẳng ( ) Vì D điểm thuộc (S) nên d ( D, ) max d ( D1 , ) , d ( D2 , ) Dấu xảy D trùng với hai điểm D1 D2 D1 D2 qua I nhận vectơ pháp tuyến ( ) làm vectơ phương nên có phương trình tham x = + 2t số D1D2 : y = −2t , t z = −1 + t Gọi D (1 + 2d0 ; −2d0 ; −1 + d0 ) D1D2 điểm cần tìm Khi D nghiệm phương trình: (GvVănPhúQuốc 2018) (1 + 2d0 ) + 4d 02 + ( −1 + d ) − (1 + 2d ) + ( −1 + d ) − = d = 2 2 − + + 9d + 2 3 Vì Ta có d ( D, ) = nên D phải ứng với d = 3 3 7 1 Vậy D ; − ; − điểm cần tìm 3 3 Câu 7: (GvVănPhúQuốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm H ( 4;5;6 ) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua H, cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz A, B, C cho H trực tâm tam giác ABC A x − y + z − 77 = B x + y + z − 77 = C x + y − z − 77 = D x + y + z + 77 = Đáp án B Giả sử ( P ) Ox = A ( a;0;0) , ( P ) Oy = A ( 0; b;0) , ( P ) Oz = A ( 0;0; c ) Khi (P) có phương trình x y z + + =1 a b c Ta có: (GvVănPhúQuốc 2018) H ( 4;5;6 ) ( P ) + + =1 a b c AH = ( − a;5;6 ) , BH = ( 4;5 − b;6 ) BC = ( 0; −b; c ) , AC = ( −a;0; c ) AH BC = −5b + 6c = Vì H trực tâm tam giác ABC nên BH AC = −4b + 6c = 77 a= 4 a + b + c =1 77 Giải hệ phương trình −5b + 6c = b = −4b + 6c = 77 c = Vậy phương trình mặt phẳng (P) x y z + + = x + y + z − 77 = 77 77 77 Câu 8: (GvVănPhúQuốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x2 + y2 + z − 2x + y − 6z −11 = mặt phẳng ( ) : x + y − z + 17 = Viết phương trình mặt phẳng ( ) song song với ( ) cắt (S) theo giao tuyến đường tròn có chu vi 6 A x + y − z + = B x + y − z − = C x + y + z − = D x − y − z + = Đáp án B Do ( ) / / ( ) nên ( ) : x + y − z + D = ( D 17 ) Mặt cầu (S) có tâm I (1; −2;3) , bán kính R = Đường tròn có chu vi 6 nên bán kính đường tròn r = Ta có d ( I ( )) = R − r 2.1 + ( −2 ) − + D 22 + 22 + ( −1) D = −7 = D − = 12 D = 17 Nhận giá trị D = −7 Vậy ( ) có phương trình x + y − z − = Câu 9: (GvVănPhúQuốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 4;0;0) , B ( 0;4;0) măt phẳng ( P ) : 3x + y − z + = Gọi I trung điểm AB Tìm K cho KI vng góc với ( P ) đồng thời K cách gốc O ( P ) 1 3 A K − ; − ; 4 1 3 B K − ; ; − 4 1 3 C K − ; ; 4 1 3 D K ; ; 4 4 Đáp án C Ta có I trung điểm AB I ( 2;2;0) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là: (GvVănPhúQuốc 2018) n = ( 3; 2; −1) Vì KI ⊥ ( P ) nên đường thẳng KI qua I nhận n = ( 3; 2; −1) làm vectơ phương nên có x = + 3t phương trình y = + 2t z = −t K KI K = ( + 3t;2 + 2t; −t ) Theo đề ta có: (GvVănPhúQuốc 2018) d ( K ( P )) = KO + 9t + + 4t + t + 14 = ( + 3t ) + ( + 2t ) 14t + 20t + = 14 t + 14t + 20t + = 14t + 28t + 14 t=− 1 3 Vậy K − ; ; thỏa mãn yêu cầu toán 4 + t2 Câu 10: (GvVănPhúQuốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 0;0;4) , B ( 2;0;0) mặt phẳng ( P ) : x + y − z = = Lập phương trình mặt cầu ( S ) qua O, A, B có khoảng cách từ tâm I mặt cầu đến mặt phẳng ( P ) A x + y + z − x − z = 0; x + y + z − x + 20 y − z = B x + y + z − x + z = 0; x + y + z − x + 20 y − z = C x + y + z − x − z = 0; x + y + z + x + 20 y − z = D x + y + z − x − z = 0; x + y + z − x − 20 y − z = Đáp án A Giả sử ( S ) có phương trình x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = (Điều kiện: (GvVănPhúQuốc 2018) a + b2 + c − d ) O ( S ) d = A ( 0;0;4) ( S ) 16 − 8c + d = Mà d = nên suy c = A ( 2;0;0) ( S ) − 4a + d = Mà d = nên suy a = b+5 b = 5 = 6 b = −5 Với I (1; b; ) , ta có d ( I ; ( P )) = Vậy phương trình mặt cầu (S) cần tìm là: (GvVănPhúQuốc 2018) x + y + z − x − z = 0; x + y + z − x + 20 y − z = Câu 11: (GvVănPhúQuốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( ) : x + y − z = 0, ( ) : x − y − 2z = Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm thuộc ( ) , bán kính tiếp xúc với ( ) M biết điểm M ( Oxz ) A ( x − 1) + ( y − ) + ( z + 3) = 9; ( x + 1) + ( y + ) + ( z + 3) = 2 2 2 B ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 9; ( x + 1) + ( y − ) + ( z + 3) = 2 2 2 C ( x + 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 9; ( x + 1) + ( y + ) + ( z + 3) = 2 2 2 D ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 9; ( x + 1) + ( y + ) + ( z + 3) = 2 2 Đáp án D Gọi M ( a;0; b ) ( Oxz ) M ( ) a = 2b Suy M ( 2b;0; b ) Gọi I tâm (S) Do (S) tiếp xúc với ( ) M nên IM ⊥ ( ) Phương trình đường thẳng IM : x − 2b y z −b = = −2 −2 Điểm I IM nên I ( 2b + t; −2t; b − 2t ) Mặt khác, I ( ) ( 2b + t ) + ( −2t ) − ( b − 2t ) = t = −b I ( b;2b;3b ) Ta có d ( I , ( )) = R 9b = b = 1 Với b = suy I (1; 2;3) R = Do phương trình mặt cầu (S) ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 2 Với b = −1 làm tương tự, ta thu phương trình mặt cầu (S) ( x + 1) + ( y + ) + ( z + 3) = 2 Câu 12: (GvVănPhúQuốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 3;0;0 ) , B ( 0;3;0 ) mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = Viết phương trình mặt 2 phẳng ( ABC ) biết C ( S ) ACB = 45 A z − = C y − = B x − = D x + y + z − = Đáp án A (S) có tâm I (1; 2;3) bán kính R = Ta có AB = Gọi r bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC Theo định lí hàm số sin ta có AB sin ACB AB = 2r r = =3= R 2sin ACB Do mặt phẳng ( ABC ) qua tâm I Ta có AB = ( 3;3;0 ) , AI = ( 0;3;0 ) , AB, BI = ( 0;0;9 ) Mặt phẳng ( ABC ) qua A (1; −1;3) có vectơ pháp tuyến n = AB, AI = ( 0;0;9 ) nên có phương trình ( ABC ) z − = Câu 13: (GvVănPhúQuốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình chóp tam giác S.ABC với A ( 3;0;0 ) , B ( 0;3;0 ) C Oz Tìm tọa độ điểm biết thể tích khối chóp S.ABC A S ( 3;3;3) , S ( −1; −1; −1) B S ( 3;3;3) , S (1;1;1) C S ( −3; −3; −3) , S ( −1; −1; −1) D S ( −3; −3; −3) , S (1;1;1) Đáp án A Do S.ABC hình chóp tam giác nên ABC tam giác cạnh AB = Điểm C Oz suy C ( 0;0; c ) với c Ta có AC = + c = 18 c = C ( 0;0;3) Gọi G trọng tâm ABC , suy G (1;1;1) Theo giả thiết tốn, ta có 1 18 VS ABC = S ABC SG = SG SG = 3 Đường thẳng SG qua G (1;1;1) vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) nên có vectơ phương u = AB, AC = ( 9;9;9 ) Do SG : x −1 y −1 z −1 = = 1 S SG S (1 + t;1 + t;1 + t ) SG = t + t + t = t = 2 S (3;3;3) , S ( −1; −1; −1) Câu 14: (GvVănPhúQuốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y − 2z + = hai điểm A (1;7; −1) , B ( 4;2;0 ) Lập phương trình đường thẳng d hình chiếu vng góc đường thẳng AB lên mặt phẳng (P) x = − 4s A y = 3s z = −2 + s x = − 4s B y = 3s z = − s x = − 4s C y = 3s z = + s x = − 4s D y = −3s z = + s Đáp án C x = + 3t Phương trình tham số đường AB : y = − 5t z = t Gọi M = AB ( P ) tọa độ điểm M ứng với tham số t nghiệm phương trình ( + 3t ) + ( − 5t ) − 2t + = t = M ( 7; −3;1) Gọi I hình chiếu B lên (P) Dễ dàng tìm I ( 3;0;2) Hình chiếu d đường thẳng AB lên (P) MI x = − 4s Vậy phương trình đường thẳng d y = 3s z = + s Câu 15: (GvVănPhúQuốc 2018) A ( 5;3;1) , B ( 4; −1;3) ,C ( −6;2;4 ) , D ( 2;1;7 ) Trong Tìm tập không hợp Oxyz gian điểm M cho điểm cho 3MA − 2MB + MC + MD = MA − MB 2 2 2 2 2 2 8 10 1 A x + + y − + z − = 3 3 3 8 10 1 B x − + y − + z − = 3 3 3 8 10 1 C x − + y − + z + = 3 3 3 8 10 1 D x + + y + + z − = 3 3 3 Đáp án B Giả sử tồn điểm I ( x0 ; y0 ; z0 ) thỏa mãn hệ thức 3IA − 2IB + IC + ID = 10 Dễ dàng tìm điểm I ; ; 3 3 Ta có 3MA − 2MB + MC + MD = MA − MB MI MI = AB 1 10 Vậy tập hợp điểm M mặt cầu tâm I ; ; , bán kính R = AB = 3 3 3 2 8 10 1 Và phương trình mặt cầu là: (GvVănPhúQuốc 2018) x − + y − + z − = 3 3 3 Câu 16: (GvVănPhúQuốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x2 + y2 + z − 4x − y + 2z − m2 − 2m + = mặt phẳng ( ) : x + y − 2z + = Tìm m để giao tuyến ( ) ( S ) đường tròn A m−4; −2;2;4 B m −2 m C m −4 m −2 D m −4 m Đáp án D (S) có tâm I ( 2;1; −1) bán kính R = m2 + 2m + = m + Giao tuyến ( ) (S) đường tròn m −4 d ( I ( )) R m + m Câu 17: (GvVănPhúQuốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A ( 2;0;0) , B ( 0;4;0) , C ( 0;0;6 ) , D ( 2;4;6 ) Xét mệnh đề sau: (GvVănPhúQuốc 2018) (I) Tập hợp điểm M cho MA + MB = MC + MD mặt phẳng (II) Tập hợp điểm M cho MA + MB + MC + MD = mặt cầu tâm I (1; 2;3) bán kính R = A Chỉ (I) B Chỉ (II) C Khơng có D Cả (I) (II) Đáp án D * Xét mệnh đề (I): (GvVănPhúQuốc 2018) Gọi I, J trung điểm AB, CD Khi MA + MB = MC + MD 2MI = 2MJ MI = MJ Do tập hợp điểm M mặt phẳng trung trực IJ Vậy mệnh đề * Xét mệnh đề (II): (GvVănPhúQuốc 2018) Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD Khi MA + MB + MC + MD = 4MG = MG = Do tập hợp điểm M mặt cầu tâm G (1; 2;3) bán kính R = Vậy mệnh đề x = 1− t Câu 18: (GvVănPhúQuốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y = + 3t z = + 2t mặt phẳng ( ) : x + y − z −1 = Tìm vị trí điểm M d cho khoảng cách từ M đến ( ) A M (1;3;3) , M ( 0;6;5) B M (10; −24; −15) , M ( 0;6;5) C M (10; −24; −15) , M ( −8;30;21) D M ( −8;30;21) , M (1;3;3) Đáp án C M d M (1 − t;3 + 3t;3 + 2t ) Ta có: (GvVănPhúQuốc 2018) d ( M ( )) = − t + ( + 3t ) − ( + 2t ) − 1 + + ( −2 ) 2 =3 Từ phương trình mặt phẳng (P) ta có: (GvVănPhúQuốc 2018) y = x − z − 12 nên tọa độ điểm C ( a;2a − 2b; b ) Ta có AB = (1;0;1) , AC = ( a − 1; 2a − 2b − 13; v − 3) Suy AB, AC = ( 2a − 2b − 13; b − a − 2;13 − 2a + 2b ) Do S ABC = 1 AB, AC = 2 ( 2a − 2b − 13) + ( b − a − ) + (13 − 2a + 2b ) 2 Đặt t = a − b 4S2ABC = ( 2t − 13) + ( t + ) + (13 − 2t ) = 9t − 100t + 342 2 2 50 578 578 = 30t − + 9 Dấu “=” xảy t = Do S ABC = 50 50 50 17 t = Vì b = a − 9 50 Suy C a; − ; a − 9 x = t Vậy tập hợp điểm C đường thẳng có phương trình y = − (t z = − + t )Câu 21: (GvVănPhúQuốc 2018) Trong khơng gian Oxyz , cho hình vng ABCD có đỉnh C (1; −1; −2 ) đường chéo BD : x +1 y −1 z +1 = = Tìm tọa độ đỉnh A, B, D biết điểm B có −1 hồnh độ dương A A (1;2;3) , B ( −5;2; −2) , D ( 7; −1;1) B A (1;2;3) , B ( 3;0;0) , D ( 7; −1;1) C A (1;2;3) , B ( −5;2; −2) , D ( −9;3; −3) D A (1;2;3) , B ( 3;0;0) , D ( −1;1; −1) Đáp án D Gọi I tâm hình vng I hình chiếu C lên BD Ta có: (GvVănPhúQuốc 2018) I ( −1 + 4t;1 − t; −1 + t ) nên CI = ( 4t − 2;2 − t; t + 1) Vì CI ⊥ BD nên CI uBD = ( 4t − ) − ( − t ) + t + = t = 1 Do đó: (GvVănPhúQuốc 2018) I 1; ; − , CI − 2 I trung điểm AC A (1; 2;3) Tọa độ điểm B ( −1 + 4t;1 − t; −1 + t ) với t Ta có IB = IC nên 2 t = 1 1 − + t + − t + + t ( ) = t − t = t = 2 2 Tọa độ điểm B ( 3;0;0 ) Suy D ( −1;1; −1) Câu 22: (GvVănPhúQuốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d: x +1 y − z = = điểm A (1;2;7 ) , B (1;5;2) , C ( 3;2;4) Tìm tọa độ điểm M thuộc d −2 cho MA2 − MB − MC đạt giá trị lớn A M ( −1; 4;0 ) C M (1;3; −2) B M (1;3; −2) D M ( −5;6; ) Đáp án C M d M ( −2t − 1; t + 4;2t ) MA2 − MB − MC = −9t − 18t + 12 = 21 − ( t + 1) 21 Dấu “=” xảy t = −1 Vậy max ( MA2 − MB − MC ) M (1;3; −2) Câu 23: (GvVănPhúQuốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm 5 5 A 1; −2; , B 4; 2; Tìm tọa độ điểm M mặt phẳng ( Oxy ) cho tam giác ABM 2 2 vuông M có diện tích nhỏ 5 A M ; 0; 2 1 C M ; 0; 2 B M − ;0;0 Đáp án A 5 5 Gọi I trung điểm AB I ;0; ; AB = 2 2 2 5 5 25 M thuộc mặt cầu ( S ) : x − + y + z − = 2 2 D M − ;0;0 z = 2 Tọa độ điểm M nghiệm hệ 5 5 25 x − + y + z − = Hạ MH ⊥ AB; HK ⊥ ( Oxy ) AB / / ( Oxy ) HK = d ( AB, ( Oxy )) không đổi mà MH HK nên SABM nhỏ MH nhỏ M nằm đường thẳng hình chiếu vng góc AB lên mặt phẳng ( Oxy ) Mặt khác ( S ) tiếp xúc với mặt phẳng ( Oxy ) nên M 5 Vậy M ; 0; 2 Câu 24: (GvVănPhúQuốc 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x2 + y2 + z − 2x + 2z − = Tìm điểm A thuộc mặt cầu cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( P ) : x − y + z + = lớn 7 1 B A ; − ; − 3 3 A A (1;1; −6) C A ( −3;0;0) D A ( 0;3;0 ) Đáp án B Cách 1: (GvVănPhúQuốc 2018) Ta có ( S ) : ( x − 1) + y + ( z + 1) = có tâm I (1;0; −1) , bán kính R = 2 ( P ) : 2x − y + z + = có vecto pháp tuyến n = ( 2; −2;1) Gọi d đường thẳng qua tâm I (1;0; −1) vng góc với ( P ) Suy d có phương trình x = + 2t y = −2t z = −1 + t Tọa độ giao điểm A d với mặt cầu ( S ) có phương trình là: (GvVănPhúQuốc 2018) ( 2t ) + ( −2t ) 2 7 1 5 + t = t = Suy A1 ; − ; − , A2 − ; − ; − 3 3 3 3 Dễ dàng tính d ( A1 , ( P )) = 13 d ( A2 , ( P )) = 3 7 1 Vậy tọa độ điểm A cần tìm A ; − ; − 3 3 Cách 2: (GvVănPhúQuốc 2018) Giả sử điểm A ( x0 ; y0 ; z0 ) ( S ) ( x0 − 1) + y02 + ( z0 + 1) = 2 d ( A, ( P )) = = x0 − y0 + z0 + ( x0 − 1) − y0 + ( z0 + 1) + ( x0 − 1) − y0 + ( z0 + 1) + Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: (GvVănPhúQuốc 2018) 2 ( x0 − 1) − y0 + ( z0 + 1) ( x0 − 1) − y02 + ( z0 + 1) = 9.4 = Suy d ( A, ( P )) 13 ( x0 − 1)2 + y02 + ( z0 + 1)2 = Dấu “=” xảy x − y z +1 = = −2 Giải hệ phương trình ta tìm x = , y = − , z = − 3 Vậy max d ( A, ( P )) = 13 7 1 A ; − ; − 3 3 Câu 25: (GvVănPhúQuốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng d qua điểm M ( 0; −1;1) có vectơ phương u = (1; 2;0 ) Gọi ( P ) mặt phẳng chứa đường thẳng d 2 có vectơ pháp tuyến n = ( a; b; c ) với a + b + c Cho biết kết sau đúng? A a = 2b B a = −3b C a = 3b D a = −2b Đáp án D Đường thẳng d qua M ( 0; −1;1) có vectơ phương u = (1; 2;0 ) Do d ( P ) nên u.n = a + 2b = a = −2b Câu 47: (GvVănPhúQuốc 2018) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M ( 3;1;1) , N ( 4;8; −3) , P ( 2;9; −7 ) mặt phẳng ( Q ) : x + y − z − = Đường thẳng d qua G vng góc với ( Q ) Tìm giao điểm K mặt phẳng ( Q ) đường thẳng d Biết G trọng tâm MNP A K (1;2;1) B K (1; −2; −1) C K ( −1; −2; −1) D K (1;2; −1) Đáp án D MNP có trọng tâm G ( 3;6; −3) Đường thẳng d qua G vng góc với ( Q ) có phương trình là: (GvVănPhúQuốc 2018) x = + t y = + 2t ; t z = −3 − t K = d ( Q ) tọa độ điểm K ứng với tham số t nghiệm phương trình: (GvVănPhúQuốc 2018) + t + ( + 2t ) − ( −3 − t ) − = t = −2 K (1;2; −1) Câu 26: (GvVănPhúQuốc 2018) Trong khơng gian Oxyz, lập phương trình mặt cầu ( S ) qua điểm M (1;4; −1) tiếp xúc với ba mặt phẳng tọa độ A ( x + 3) + ( y − 3) + ( z + 3) = 27 B x + y + z + 3x − y − 3z − = C ( x − 3) + ( y − 3) + ( z + 3) = D x + y + z − x − y − z + 18 = 2 2 2 Đáp án C Phương trình mặt cầu đáp án (C) có tâm I ( 3;3; −3) bán kính R = nên R = xI = yI = zI Do ( S ) tiếp xúc với ba mặt phẳng tọa độ Hơn M thỏa mãn phương trình ( S ) nên M ( S )Câu 27 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z −1 = điểm A (1; −1;2) Gọi đường thẳng qua A vng góc với ( P ) Tính bán kính mặt cầu ( S ) có tâm thuộc đường thẳng , qua A tiếp xúc với ( P ) A R = B R = C R = D R = Đáp án A Do vng góc với (P) nên có vectơ phương u = n p = (1; −1;1) x = 1+ t Phương trình đường thẳng qua A (1; −1;2) là: (GvVănPhúQuốc 2018) y = −1 − t z = + t Gọi tâm I I (1 + t , −1 − t , + t ) Lúc R = IA = d ( I , ( P )) 3t = Vậy R = + 3t t =− Câu 28: (GvVănPhúQuốc 2018) Trong khơng gian Oxyz, xét vị trí tương đối hai mặt cầu sau ( S1 ) : x2 + y + z − 4x + y − 2z − = ( S2 ) : x + y + z + x − y − z + = A Ngoài B Cắt C Tiếp xúc D Tiếp xúc Đáp án B ( S1 ) có tâm I1 ( 2; −4;1) ( S2 ) có tâm I ( −1;2;2) bán kính R1 = bán kính R2 = I1I = 46 Để ý R1 − R2 I1I R1 + R2 ( S1 ) ( S2 ) cắt Câu 29: (GvVănPhúQuốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x −1 y z = = hai điểm A ( 2;1;0) , B ( −2;3;2) Viết phương trình mặt cầu qua A, B −2 có tâm thuộc đường thẳng d A ( x + 1) + ( y + 1) + ( z − ) = 17 B ( x − 1) + y + z = 17 C ( x − 3) + ( y − 1) + ( z + ) = 17 D ( x − ) + ( y − ) + ( z + ) = 17 2 2 2 2 2 Đáp án A Tâm I d I (1 + 2t; t; −2 t ) I ( −1; −1; ) IA2 = IB t = −1 R = IA = 17 Vậy phương trình mặt cầu ( S ) ( x + 1) + ( y + 1) + ( z − ) = 17 2 Câu 30: (GvVănPhúQuốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng ( Q ) : x + y −12 z + = tiếp xúc với mặt cầu ( S ) : x2 + y + z − x − y − z − = A x + y − 12 z − 78 = 0; x + y − 12 z − 26 = B x + y − 12 z + 78 = 0; x + y + 12 z − 26 = C x + y − 12 z + 78 = 0; x − y − 12 z − 26 = D x + y − 12 z + 78 = 0; x + y − 12 z − 26 = Đáp án D (Q) có vectơ pháp tuyến n = ( 4;3; −12 ) ( S ) có tâm I (1; 2;3) bán kính ( P ) // (Q ) R = nên ( P ) : x + y −12 z + d = (với d ) ( P) tiếp xúc với ( S ) d ( I , ( P )) = R 4.1 + 3.2 − 12.3 + d 16 + + 44 d = −26 = d − 26 = 52 d = 78 Vậy ( P ) có phương trình x + y − 12 z + 78 = 0; x + y − 12 z − 26 = Câu 31: (GvVănPhúQuốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1;2;3) đường thẳng d1 : x−2 y + z −3 x −1 y −1 z +1 = = = = d : −1 −1 1 Viết phương trình đường thẳng qua A, vng góc với d1 cắt d A x −1 y − z − = = −5 B x −1 y − z − = = −3 C x −1 y − z − = = −3 −5 D x −1 y − z − = = −1 −3 −5 Đáp án C x = 1− t d có phương trình tham số y = + 2t z = −1 + t d1 có vectơ phương u = ( 2; −1;1) Gọi B = d d , B d2 B (1 − t;1 + 2t; −1 + t ) AB = ( −t; 2t − 1; t − ) Theo giả thiết d ⊥ d1 AB.u = t = −1 AB = (1; −3; −5) Vậy phương trình đường thẳng x −1 y − z − = = −3 −5 Câu 32: (GvVănPhúQuốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1;1;1) đường thẳng d : x −1 y z +1 = = Viết phương trình đường thẳng qua A −2 −1 cắt d cho khoảng cách từ gốc tọa độ đến nhỏ A x −1 y − z −1 = = −1 B x −1 y − z −1 = = Đáp án B Đường thẳng nằm mặt phẳng (P) qua A chứa d Khi ( P ) : 3x + y − z − = Gọi H hình chiếu vng góc O lên ( P ) Tọa độ điểm H nghiệm hệ x = 3t y = 2t 6 2 H ; ;− 7 7 z = −t 3x + y − z − = Gọi K hình chiếu vng góc O lên , d ( O; ) = OK OH d ( O; ) nhỏ K H H Đường thẳng qua hai điểm A H nên có phương trình x −1 y − z −1 = = (Rõ ràng cắt d) C x −1 y − z −1 = = −3 D x −1 y − z −1 = = −9 Câu 33: (GvVănPhúQuốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = đường thẳng d : 2 x −3 y −3 z −2 = = 1 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính nhỏ A x + y + z − = B x + y − z − = C x − y + z − = D x + y + z + = Đáp án A Mặt cầu ( S ) có tâm I (1;1;1) bán kính R = Gọi K hình chiếu I lên ( P ) , H hình chiếu I lên d r bán kính đường tròn tức giao tuyến ( P ) với ( S ) Khi ta có r = R − IK R − IH Dấu “=” xảy K H Từ suy để ( P ) cắt ( S ) theo đường tròn có bán kính nhỏ ( P ) phải vng góc với IH x = + t Phương trình tham số d y = + t H ( + t;3 + t; + 2t ) z = + 2t Do IH ⊥ d nên ta có IH ud = t = −1 H ( 2; 2;0 ) ( P) qua H ( 2;2;0) nhận IH = (1;1; −1) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình x + y − z −4 = Câu 34: (GvVănPhúQuốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x2 + y + z − 4x − y − 4z = điểm A ( 4;4;0) Viết phương trình mặt phẳng ( OAB ) , biết điểm B ( S ) tam giác OAB A x − y + z = 0, x + y − z = B x − y + z = 0, x − y − z = C x − y − z = 0, x − y − z = D x − y + z = 0, x − y + z = Đáp án B Cách 1: (GvVănPhúQuốc 2018) B ( S ) OAB nên ta có hệ phương trình sau: (GvVănPhúQuốc 2018) xB2 + yB2 + zB2 − xB − yB − z B = 2 OA = OB OA2 = AB xB2 + yB2 + z B2 = ( xB + yB + z B ) xB + y B + z B = 32 = xB2 + yB2 + z B2 xB2 + yB2 + z B2 = 32 2 2 2 xB + y B + z B − ( xB + y B ) = 32 = ( − xB ) + ( − yB ) + z B zB = xB + yB + zB = xB2 + yB2 + zB2 = 32 ( xB + yB ) − xB yB + z B2 = 32 x + y = B B xB + yB = xB = xB = yB = hay yB = z = z = B B Trường hợp (Gv 1: VănPhúQuốc 2018) PhúQuốc 2018) (OA) = ( 4; 4;0) , OB = ( 0; 4; 4) OA, OB = (16; −16;16) Phương trình mp ( OAB ) : x − y + z = Trường hợp 2: (GvVăn (OA) = ( 4; 4;0) , OB = ( 4;0; 4) OA, OB = (16; −16; −16) Phương trình mp ( OAB ) : x − y − z = Cách ( S ) có tâm I ( 2; 2; 2) , bán kính R = Nhận thấy O A thuộc ( S ) Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp r = Khoảng cách d ( I ; ( P )) = R − r = ( P) qua O có OA = 3 phương trình dạng: (GvVănPhúQuốc 2018) ax + by + cz = 0; a + b2 + c ( P) qua A, suy b = −a d ( I ; ( P )) = 2(a + b + c) 2c 2 = = 3 a + b2 + c 2a + c 4c = 12c = 8a + 4c c = a c = a 2 2a + c Vậy có hai mặt phẳng cần tìm: (GvVănPhúQuốc 2018) x − y + z = 0, x − y − z = Câu 35: (GvVănPhúQuốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho x y+2 z−4 = = A (1;0;5) , B ( 2;2;6) ( ) : 2x + y − z + = Tìm điểm M nằm mặt phẳng đường : thẳng ( ) mặt cho MB = phẳng ABM = 60 13 A M 1; ; 2 1 D M ; 2; 2 C M (1;1;6) B M ( 0;0;3) Đáp án A Ta thấy A , A ( ) B Áp dụng định lý hàm số Cosin cho tam giác MAB ta có: (GvVănPhúQuốc 2018) MA2 = BA2 + BM − BA.BM cos 60 = + Suy MA = − = 2 2 Từ ta nhận thấy AB = MA2 + MB nên tam giác MAB vuông M có MAB = 30 ( ) Mặt khác: (GvVănPhúQuốc 2018) sin , ( ) = + −1 6 = Từ suy M hình chiếu B lên mặt phẳng ( ) Khi MB : ( ) , ( ) = 30 = MAB x−2 y−2 z −6 = = M ( 2m + 2; m + 2; −m + ) −1 Vì M thuộc mặt phẳng ( ) nên 13 ( 2m + ) + ( m + ) − ( −m + ) + = m = − M 1; ; 2 13 Vậy M 1; ; 2 Câu 36: (GvVănPhúQuốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x = −3 + 2t : y = −1 + t ( t z = + t ) mặt phẳng có phương trình ( ) : x + y − z + = Gọi A giao điểm ( ) Tìm điểm B , C ( ) cho BA = BC = ABC = 60 5 11 A B ( −3; −1;3) , C − ;0; B ( −1;0; ) , C ;0; 2 2 2 11 5 B B ( −3; −1;3) , C − ;0; B (1;1;5 ) , C ;0; 2 2 2 11 5 C B ( −3; −1;3) , C − ;0; B ( −7; −3;1) , C ;0; 2 2 2 11 5 D B ( −3; −1;3) , C − ;0; B ( 3; 2;6 ) , C ;0; 2 2 2 Đáp án B Góc ( ) 30 Điểm A ( −1;0;4) Ta có B ( −3 + 2t; −1 + t;3 + t ) AB = nên B ( −3; −1;3) B (1;1;5) Vì BA = BC = ABC = 60 nên tam giác ABC vuông C Suy : (GvVănPhúQuốc 2018) BAC = 30 , C hình chiếu điểm B mặt phẳng ( ) Từ ta tìm hai điểm C tương ứng với hai điểm B là: (GvVănPhúQuốc 2018) 5 11 C − ; 0; C ;0; 2 2 2 Câu 37: (GvVănPhúQuốc 2018) Trong không gian tọa độ cho đường thẳng d: x − y + z +1 = = mặt phẳng ( P ) : x + y + z + = Gọi M giao điểm d −1 ( P ) Viết phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng ( P ) , vng góc với d đồng thời thỏa mãn khoảng cách từ M tới 42 A x +5 y + z +5 x +3 y + z −5 = = ; = = −3 −3 B x −5 y + z +5 x +3 y + z −5 = = ; = = −2 −3 −3 C x −5 y + z +5 x +3 y + z −5 = = ; = = −3 D x −5 y + z +5 x +3 y + z −5 = = ; = = −3 −3 Đáp án D x = + 2t Ta có phương trình tham số d là: (GvVănPhúQuốc 2018) y = −2 + t với t z = −1 − t Suy tọa độ điểm M nghiệm phương trình: (GvVănPhúQuốc 2018) + 2t − + t −1 − t + = t = −1 M (1; −3;0 ) Lại có VTPT ( P ) n p (1;1;1) , VTCP d ud ( 2;1; −1) Vì nằm ( P ) vng góc với d nên VTCP u = ud , n p = ( 2; −3;1) Gọi N ( x; y; z ) hình chiếu vng góc M , MN = ( x − 1; y + 3; z ) Ta có MN vng góc với u nên ta có hệ phương trình: (GvVănPhúQuốc 2018) 2x − y + z − 11 = Lại có N ( P) MN = 42 ta có hệ: (GvVănPhúQuốc 2018) x + y + z + = 2 x − y + z − 11 = 2 ( x − 1) + ( y + 3) + z = 42 Giải hệ ta tìm hai nghiệm ( x; y; z ) ( 5; −2; −5) , ( −3; −4;5) - Nếu N ( 5; −2; −5) ta có phương trình : x−5 y + z +5 = = −3 - Nếu N ( −3; −4;5) ta có phương trình : x+3 y + z −5 = = −3 Câu 38: (GvVănPhúQuốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD có AB đáy lớn, CD đáy nhỏ A ( 3; −1; −2) , B (1;5;1) , C ( 2;3;3) Tìm tọa độ điểm D hình thang cân 164 51 48 1 1 B D ; − ; C D ; ; 49 49 49 2 4 A D ( 4; −3;0 ) D D ( −4;3;0 ) Đáp án B Vì ABCD hình thang cân nên AD = BC = Gọi đường thẳng qua C song song với AB Gọi ( S ) mặt cầu tâm A bán kính R = Điểm D cần tìm giao điểm ( S ) Đường thẳng có vectơ phương AB = ( −2;6;3) nên có phương trình: (GvVănPhú x = − 2t Quốc 2018) y = + 6t z = + 3t Phương trình mặt cầu ( S ) : ( x − 3) + ( y + 1) + ( z + ) = 2 Tọa độ điểm D nghiệm phương trình ( −2t − 1) + ( 6t + ) + ( 3t + ) 2 t = −1 = 49t + 82t + 33 = t = − 33 49 + Với t = −1 D ( 4; −3;0 ) : (GvVănPhúQuốc 2018) khơng thỏa AB = CD = + Với t = − 33 164 51 48 ; − ; (thỏa mãn) D 49 49 49 49 Câu(Gv 39: VănPhúQuốc ( S ) : x2 + y + z + y − z − = 2018) A ( ) cắt (S) theo đường tròn B ( ) tiếp xúc với (S) C ( ) quâ tâm I (S) D ( ) (S) điểm chung Đáp án D (S) có tâm I ( 0; −2;1) bán kính R = −2 + − = R = 3 Vậy ( ) không cắt mặt cầu (S) gian Oxyz, cho mặt cầu mặt phẳng ( ) : x + y + z − = Mệnh đề sau đúng? Ta có d ( I , ( )) = Trong không Câu 40: (GvVănPhúQuốc 2018) Trong khơng gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cho A O ( 0;0;0) , B ( a;0;0 ) , D ( 0; a;0 ) , A ' ( 0;0; a ) Xét mệnh đề sau: (GvVănPhúQuốc 2018) (I) x + y + z − a = phương trình mặt phẳng (A’BD) (II) x + y + z − 2a = phương trình mặt phẳng (CB’D) Hãy chọn mệnh đề A Chỉ (I) B Chỉ (II) C Cả hai sai D Cả hai Đáp án D Thay tọa độ A ' ( 0;0; a ) , B ( a;0;0) , D ( 0; a;0 ) vào phương trình (I) thấy thỏa Cho nên (I) Tương tự ta chứng minh (III) Câu 41: (GvVănPhúQuốc 2018) Trong không gian Oxyz, cho ABC có A (1;1;0) , B ( 0;2;1) trọng tâm G ( 0;2; −1) Viết phương trình đường thẳng qua điểm C vng góc với mặt phẳng (ABC) x = −1 − t A y = + t z = −4 x = −1 + t B y = − t z = −4 x = −1 + t C y = + t z = −4 + t x = −1 + t D y = + t z = −4 Đáp án D Do G trọng tâm ABC nên C ( −1;3; −4) Ta có AB = ( −1;1;1) , AC = ( −2; 2; −4 ) x = −1 + t Đường thẳng qua G nhận u = AB; AC = ( −6; −6;0 ) nên có phương trình y = + t z = −4 Câu 42: (GvVănPhúQuốc 2018) Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình tập hợp điểm M cho AMB = 90 với A ( 2; −1; −3) , B ( 0; −3;5) A ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 1) = 18 B ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 1) = 18 C ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 1) = D ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 1) = 2 2 2 Đáp án A Tập hợp điểm M mặt cầu đường kính AB Tâm I trung điểm AB I (1; −2;1) Bán kính R = IA = 2 2 2 Vậy phương trình mặt cầu nói ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 1) = 18 2 Câu 43: (GvVănPhúQuốc 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x −1 y −1 z − = = mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = Mặt phẳng (Q) chứa d cắt (P) 1 −2 theo giao tuyến đường thẳng cách gốc tọa độ O khoảng ngắn Viết phương trình mặt phẳng (Q) A x − y + z − = B x + y + z + = C x + y + z − = D x + y − z − = Đáp án C Gọi H,I hình chiếu vng góc O lên (P) Ta có d ( O, ) = OI OH Dấu “=” xảy I H Đường thẳng OH qua O ( 0;0;0) nhận n = (1; 2;1) làm vectơ phương nên có phương trình x = t y = 2t z = t Mặt phẳng (P) có phương trình: (GvVănPhúQuốc 2018) x + y + z − = Từ hai phương trình suy t = H (1;2;1) Khi (Q) mặt phẳng chứa d qua H Ta có M (1;1;2) d , vectơ phương d u = (1;1; −2 ) , HM = ( 0; −1;1) Suy vectơ pháp tuyến (Q) n = u; HM = ( −1; −1; −1) Hơn (Q) qua điểm M (1;1;2) nên (Q) có phương trình là: (GvVănPhúQuốc 2018) x+ y+ z−4=0 ... (S) ( x + 1) + ( y + ) + ( z + 3) = 2 Câu 12: (Gv Văn Phú Quốc 201 8) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 3;0;0 ) , B ( 0;3;0 ) mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3). .. Trường hợp (Gv 1: Văn Phú Quốc 201 8) Phú Quốc 201 8) (OA) = ( 4; 4; 0) , OB = ( 0; 4; 4) OA, OB = (16; −16;1 6) Phương trình mp ( OAB ) : x − y + z = Trường hợp 2: (Gv Văn (OA) = ( 4; 4; 0) , OB... (thỏa mãn) D 49 49 49 49 Câu (Gv 39: Văn Phú Quốc ( S ) : x2 + y + z + y − z − = 201 8) A ( ) cắt (S) theo đường tròn B ( ) tiếp xúc với (S) C ( ) quâ tâm I (S) D ( ) (S) khơng có