bat dang thuc toan 10

Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn Những Bất đẳng thức th-ờng gặp Những kiến thức th-ờng gặp (a+b)2 4ab an bn ab n Bất đẳng thức hay dùng cho a+b ) , n số tự nhiên ( 2 Dấu xảy a= b với n chẵn, a2 = b2 n lẻ giải ph-ơng trình: Giải ph-ơng trình (x+1)6+ (x + )6 = 18- (1 x) ( x ) 6 ( ) - x = 2 Bài a b3 c3 a b c ; với a, b, c d-ơng Chứng minh bc ca ab Giải: a4 + b4 2a2b2 a4 + b4 + c4 a2b2 + b2c2 + c2a2 a2b2 + b2c2 2ab2c a2b2 + b2c2 + c2a2 abc(a + b + c) a b3 c3 abc a + b + c abc(a + b + c) , chia abc bc ca ab 4 Bài Chứng minh: a a (a b)(a c) + b b (b a)(b c) + c c (c b)(c a) Với a, b, c > Giải: (a b)(a c) ab ac (a+b)(a+c)- ( ac ab ) (a bc ) a a (a b)(a c) a a ab ac a a b c Cộng ba vế lại có (đpcm) Bài Cho a, b, c ba số d-ơng a + b + c 3abc Giải: Từ 1 = a + b + c Chứng minh: a b c 1 = a + b + c ab + bc + ca = abc(a+b+c) a b c a2 + b2 + c2 ab + bc + ca a2 + b2 + c2+ 2(ab + bc + ca) 3(ab + bc + ca) (a+b+c)2 3(ab + bc + ca) = 3abc(a+b+c) a + b + c 3abc Bài Chứng minh bất đẳng thức: 1 ab bc ca 1 Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn với a, b, c số d-ơng a2 + b2 + c2 = 1 1 x y z x yz ab bc ca ab bc ca 9 a2 + b2 + c2 ab + bc + ca dấu a = b = c =1 2 ab bc ca a b c dấu a = b = c = Giải: Sử dụng Bài Gọi a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh a3 + b3 + 3abc > c3 Giải: a+b> c a2 - ab + b2 > 0, a3 + b3 + 3abc = (a+b)(a2-ab+b2) + 3abc > > c(a2-ab+b2) + 3abc = c(a+b)2 > c3 Bài Cho a, b, c ba số d-ơng có tổng Chứng minh a b c ab + bc + ca a2 b2 c2 2 2 Thay vào ta cần chứng minh: a +b +c + 2( a b c ) Giải: a2 +b2+c2 +2(ab+bc+ca) = ab+bc+ca = a2 + a = a2 + a + a 3 a a a = 3a Cộng vế ta có (đpcm) Bài Cho a, b số thực thoả mãn a2 + b3 a3 + b4 Chứng minh: a3 + b3 Giải: Cách 1: Tr-ớc hết chứng minh a + b2 a2 + b3 Giả sử a + b2 < a2 + b3 2(a2 + b3) > a + b2+ a3 + b4 2(a2 + b3) vô lý a + b2 a2 + b3 a3 + b4 2(a + b2) a2 + b3 + a3 + b4 (1+a2 ) + (1+b4) 2(a + b2) a2 + b3 + a3 + b4 a3 + b3 Cách 2: Bằng ph-ơng pháp phản chứng Giả sử a3 + b3 > Chứng minh: a2 + b3 < a3 + b4 Từ a b a3 b3 a2 + b2 2(a b ) < 2 (a b ) (a b ) =a3+b3 a2 - a3 < b3- b2 , nh-ng b2(b - 1)2 b3 - b2 b4 - b3 a2- a3 < b4 - b3 a2 + b3 < a3 + b4 Bài Cho a, b, c số thực đặt M = a + b + c + a b c ab bc ca Chứng minh M max{3a, 3b, 3c} số: M 3a ; M 3b ; M 3c tổng hai số Giải: 3(b - c)2 4b2 + 4c2 - 4bc b2 + c2 + 2bc Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn 4(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) (2a - b - c)2 a b c ab bc ca 2a - b c cộng hai vế với a + b + c T-ơng tự M 3b, M 3c M max{3a, 3b, 3c} đặt x = M 3a , y = M 3b , z = M 3c a= x2 + y2 + z2 =6 M x2 M y2 M z2 ,b= ,c= 3 1 (a b) (b c) (c a) 2 2 x2 + y2 + z2=2 x y z x y y z z x x4+y4+z4 - 2x2y2- 2y2z2 2z2x2 = (x2+y2)2 - 2z2(x2+y2) + z4 - 4x2y2 = (x + y + z)(x + y - z)(x + z - y)(y + z - x) = Bài Cho số thực a, b, c, d a2 + b2 Chứng minh: (ac + bd - 1)2 (a2 + b2 - 1)( c2 + d2 - 1) Giải: Nếu c2 + d2 bất đẳng thức Chúng ta chứng minh c2 + d < 1, đặt x = 1- a2 - b2 y = 1- c2 - d x, y Bđt (2 - 2ac - 2bd)2 4xy ((a-c)2+(b-d)2+x+y)2 4xy ((a-c)2+(b-d)2+x+y)2 (x + y)2 4xy Bài 10 Cho a, b, c ba số d-ơng ab+bc+ca = Chứng minh Giải: a3+b3 ab(a+b) a3 b3 c3 b c a a3 + b2 ab+a2 cộng lại (cđpcm) b Bài 10 a3 b3 c3 abc Chứng minh: 2 + 2 + 2 b c c a a b a ab b Giải: a2 + b2 2ab từ 2 = a - 2 a b c b c Bài 11 Cho a, b, c, d số d-ơng có tổng Chứng minh: a2 b2 c2 d2 ab bc cd d a a2 ab Giải: + a ab Dờu a = b = c=d = Bài 12 Cho a, b, c với < a, b, c Chứng minh: Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn 1 a + b+ c a b c 1 2) k k k ak + bk + ck (k là số tự nhiên) a b c 1) Giải:1) (a-1)(b-1)(c-1) = abc - ab - bc - ca + a + b + c-1= a b c =1- a b c -1= 1 abc a b c 2) 0, bc , bc 4 9a (1 a) 2 9 a(1 a) ab + bc + ac - abc = bc(1- a ) + a(b+c) (1 ) 7 7 Giải: Nếu a (7 - 9a)(1 - a)2 + 28a(1 - a) (a + 1)(3a - 1)2 Dấu a = b = c = Bài 16 Cho a, b, c số d-ơng a+b+c = abc Chứng minh: 1 a + 1 b + 1 c Giải: Đặt a = tg , b = tg , c = tg, vói , , (0,/2) + + = Gia s Thnh c tg( + + ) = www.daythem.edu.vn tg tg tg tgtgtg a b c abc tgtg tgtg tgtg ab bc ca cos + cos + cos = cos + cos - cos( + ) = 2cos( 2cos - 2cos2 +1=2sin - 2sin2 )cos( + 1= (2 sin -1)2 2 2 2 )-2cos2 +1 Bài 17 Cho a, b, c số d-ơng Chứng minh: 27 1 + + a(a c) b(b a) c(c b) 2(a b c) 1 Giải: + + a(a c) b(b a) c(c b) abc(a b)(b c)(c a) a + b + c 33 abc , a + b + c = (a+b+c)2 (a+ b+b+c+c+a) (a b)(b c)(c a) 2 93 (a b)(b c)(c a)abc thay vào (đpcm) Bài 18 Tìm hàm số f(x) biết với số thực x, y, z ta có: f(x + y) + f(y + z) + f(z + x) 3f(x + 2y + 3z) Giải: Thay x = y = -z f(2x) f(0) Thay x=z=-y f(2x) f(0) f(x) = const Bài 19 Chứng minh [ n n n ] = [ 9n ], với n số tự nhiên Giải Thực chứng minh bđt: ( n n )( n n ) = n n = n n > = n n n > n n n n n n n < n = 9n Chứng minh n n n > 9n với n =0 n = 4n 49 n 2, n(n+2)-(n+ )2 = > với n 2, n(n 2) > n + 9 81 Từ n > n n 2( n n n )>3( n n ) 9 ( n n n )2 > (2n+2+ n(n 2) )> (2n+2 +2n+2 ) =9n+8 4 > Bài 20 Cho a, b, c số d-ơng có tích Chứng minh: Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn 1 1 1 a b b c a c a b c Giải: đặt x = a + b+ c y = ab + bc + ca (x, y 3) x x y x y 12 3x2y + xy2 + 6xy - 5x2 - y2 - 24x - 3y - 27 x x xy y x y (3x2y - 5x2 - 12x) + (xy2 - y2 - 3x - 3y) + (6xy - 9x - 27) , x, y Bài 21 a, b, c ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh: < ab + bc + ca - abc 28 27 Giải: Giả sử c b a , từ 2- a = b + c > a a < Xét: ab+bc+ca-abc-1 = a(b+c)+bc(1-a)-1=a(2-a)+bc(1-a)-1=(1-a)(bc+a-1) b < 1, c 0 bc + 1- b-c> bc+a-1>0 Vế trái đpcm (b c) a2 a2 (1 a)a a bc = (1- ) =1- a+ bc+a-1 4 27 (3a+1)(3a-2)2 Bài 22 Cho a, b, c ba số d-ơng Chứng minh: 1) a6b6 + b6c6 + c6a6 + 3a4b4c4 2a3b3c3(a3+b3+c3) 2) a6+b6+c6+3a2b2c2 2(a3b3+b3c3+c3a3) Giải: 1) Chia hai vế cho a4b4c4 Đặt x = a2 b2 c2 ; y= ;z= bc ac ab 1 + 2(x+y+z) x y z 1 ( ) + 2(x-1)(y-1) + (yz-1)2 0, xyz = nên tồn hai ba số x, x y y, z lớn nhỏ 2) T-ơng tự nh- chia hai vế cho a2b2c2 ; đặt x = ab bc ac ; y = ; z = xyz = 1sau c a b trở lại nh- 1) Bài 23 Cho a, b số d-ơng nhỏ Chứng minh 1 a2 + 1 b2 ab Gia s Thnh c Giải: a2 + www.daythem.edu.vn 1 1 2( ) 2 2 ab a b a b b2 (2+a2+b2)(1+ab) 2(1+a2+b2+a2b2) a2+b2 +2 a2b2- (a2+b2)ab-2ab (ab-1)(a-b)2 dấu a= b Bài 24 Gọi R, r bán kính đ-ờng tròn ngoại, nội tiếp tam giác r1 bán kính đ-ờng tròn qua ba tiếp điểm đ-ờng tròn nội tiếp với cạnh tam giác Chứng minh: 2r1 r Rr1 Bài 25 Chứng minh: (n n!) n (n 1)!n1 (n 1)! (với n số tự nhiên n 2) Bài 26 bc ac ab abc a b c 1 1 1 b) a b c ab bc ca 2 2 b a c b a c2 b2 a2 ba c) + + , hd = ((b c) (c a)) ca ab bc ca ca a) đặt u = a+b, v=b+c, z = c+a Bài 27 Cho a, b, c số thực d-ơng có tích Chứng minh: b c c (a-1+ )(b-1+ )(1+c- ) y x ;b= ;c= z y 1 (a-1+ )(b-1+ )(c- 1+ ) = ( b c c Giải: Đặt a = z abc = xyz x x z x x z y -1+ )( -1+ )( -1+ ) z x z y y z (x+z-y)(y+x-z)(z+x-y) xyz trở lại toán đơn giản Bài 28 a 2bc b 2ac c 2ba a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh 2 + 2 + 2 >3 b c a c b a H-ớng dẫn : a2 > (b-c)2 a2 + 2bc > b2 + c2 Bài 29 a2 b2 ab a, b, c, d số d-ơng < Chứng minh a2 + b2 a2 b2 ab , a < bc 1+a3 = b3 + c3 Chứng minh + a < b + c Giải: (1+a)(1-a+a2) = (b+c)(b2-bc+c2) + a < b + c 1-a+a2 > b2- bc+c2 Giả sử 1+a b+c b2- bc+c2 1-a+a2 (b+c)2 - 3bc (1+a)2 - 3a > (1+a)2 - 3bc (b+c)2 > (1+a)2 b +c >1 + a Bài 33 a, b, c số thực d-ơng ab + bc + ca = Chứng minh: 1 3(a+b+c) a b c Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn Giải: qui đồng abc(a+b+c) abc(a+b+c) =(abac+bcba+cacb) (ab bc ca ) = dấu a=b=c= 3 Bài 34 Cho số thực d-ơng a, b, c Chứng minh: a 1< Giải: P = a2 b2 a a b 2 b + + b2 c2 b b c 2 c + + c2 a2 c c a 2 2 P= 1 x 1 y 1 z2 Với x=b/a; y=c/b; z = a/c xyz = P > dễ dàng Sử dụng 1 a2 + Q= t t2 t với ab