Toán bất đẳng thức lớp 10

Tài liệu môn toán THPT : bất đẳng thức lớp 10

danghoa949@gmail.com -1 111Equation Chapter Section 1CHUYÊN ĐỀ 3- CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC DÀNH CHO ÔN TẬP HK-2 KHỐI 10 1-Cho số a,b,c,d, e.Chứng minh : Giải a + b + c + d + e ≥ a (b + c + d + e) (1) (1) ⇔ a + b + c + d + e ≥ ab + ac + ad + ae a2 a2 a2 a2 + b + + c + + d + + e − ab − ac − ad − ae ≥ 4 4 2 a a a2 a2 2 ⇔ ( − ab + b ) + ( − ac + c ) + ( − ad + d ) + ( − ae + e2 ) ≥ 4 4 a a a a ⇔ ( − b ) + ( − c ) + ( − d ) + ( − e) ≥ (1') 2 2 ⇔ Do a ( − b) ≥ 0, a ( − c) ≥ 0, a ( − d ) ≥ 0, a ( − e) ≥ nên (1’) a + b + c + d + e ≥ a (b + c + d + e) 2 2 Vậy : 2-Cho a,b,c số thực Chứng minh : Giải a + b + c ≥ ab + bc + ca (1) ⇔ 2( a + b + c ) ≥ 2(ab + bc + ca ) ⇔ 2a + 2b + 2c − 2ab − 2bc − 2ca ≥ ⇔ a − 2ab + b + b − 2bc + c + c − 2ca + a ≥ ⇔ (a − b) + (b − c) + (c − a ) ≥ ( a − b) ≥ 0, (b − c) ≥ 0, (1') (c − a) ≥ Do : Vậy : a + b + c ≥ ab + bc + ca - , nên (1’) (1) danghoa949@gmail.com -2 ( ac + bd ) ≤ ( a + b )(c + d ) 3-Cho a,b,c,d số thực Chứng minh: Giải -Khi a = 0, b = 0- (1) -Khi a.b ≠ Ta biến đổi tương đương ; (1) ⇔ (a + b )(c + d ) − (ac + bd ) ≥ (1) ⇔ a d + b c − 2abcd ≥ ⇔ (ad − bc) ≥ (1') Do (1’) nên : Vậy : (ac + bd ) ≤ (a + b )(c + d ) (ac + bd ) ≤ (a + b )(c + d ) -a + b + c + ≥ 2a( ab + c − a + 1) 4-Cho a,b,c số thực Chứng minh: Giải (1) ⇔ a + b + c + ≥ 2a 2b + 2ac + 2a + 2a (1) ⇔ a + b + c + − 2a 2b − 2ac − 2a − 2a ≥ ⇔ a + b − 2a 2b + a − 2ac + c + a − 2a + ≥ ⇔ (a − b ) + (a − c) + (a − 1) ≥ Do : (a − b ) ≥ , (a − c) ≥ , (1') (a − 1) ≥ , nên (1’) a + b + c + ≥ 2a( ab + c − a + 1) Vậy : 5-Cho a + b + c ≠ số thực Chứng minh: Giải a + b3 + c − 3abc ≥0 a+b+c (1) danghoa949@gmail.com -3 (1) ⇔ ( a + b + c)( a + b + c − 3abc) ≥ 3 ⇔ ( a + b + c)( a + b + c)( a + b + c − ab − bc − ca ) ≥ ⇔ ( a + b + c) [( a − 2ab + b ) + (b − 2bc + c ) + (c − 2ca + a )] ≥ 2 ⇔ ( a + b + c ) [(a − b) + (b − c) + ( c − a) ] ≥ (1') Do : ( a + b + c) Vậy : , ( a − b) ≥ , (b − c) ≥ (c− a ) ≥ , nên (1’) a + b3 + c − 3abc ≥0 a+b+c a4 + b4 + c4 a+b+c ≤ abc 6-Cho a , b , c > Chứng minh: Giải (1) ⇔ abc( a + b + c) ≤ a + b + c (1) ⇔ 2abc (a + b + c ) ≤ 2(a + b + c ) ⇔ 2( a + b + c ) − 2abc( a + b + c) ≥ ⇔ 2a + 2b + 2c − 2a 2bc − 2ab 2c − 2abc ≥ ⇔ ( a − 2a 2bc + b c ) + (b − 2ab 2c + a 2c ) + (c − 2abc + a 2b ) − b c − a c − a 2b ≥ ⇔ (a − bc) + (b − ac) + (c − ab) + + [(a − b )2 + (b − c ) + (c − a ) ] ≥ Do: (a − bc) ≥ 0, (b − ac) ≥ 0, (c − ab) ≥ (a − b ) ≥ 0, (b − c ) ≥ 0, (c − a ) ≥ 2 2 2 2 nên (1’) (1') danghoa949@gmail.com -4 a+b+c ≤ Vậy : a +b +c abc 4 - 7-Cho a + b ≥ Chứng minh: Giải a3 + b3 ≤ a + b4 (1) (1) ⇔ a + b − a − b3 ≥ ⇔ a (a − 1) + b (b − 1) ≥ ⇔ (a − 1)(a − 1) + (a − 1) + (b − 1)(b − 1) + (b − 1) ≥ ⇔ (a − 1)(a − 1)(a + a + 1)(a − 1) + (b − 1)(b + b + 1)(b − 1) + a + b − ≥ ⇔ (a − 1) (a + a + 1) + (b − 1) (b + b + 1) + a + b − ≥ (a − 1) ≥ 0, (a + a + 1) ≥ (b − 1) ≥ 0, a + b ≥ (b + b + 1) ≥ (1') Do : Vậy : , nên (1’) a +b ≤ a +b 3 4 8-Cho a + b ≥ Chứng minh: Giải (a + b)(a + b3 )(a + b5 ) ≤ 4(a + b9 ) a m + bm a n + bn a m+n + bm +n ≤ 2 -Thừa nhận bổ đề : a + b3 a + b5 a + b8 ≤ 2 Nên : (*) (1) danghoa949@gmail.com -5  a +b  a +b a +b  a+b  a +b ⇔ )≤ ) ÷.( ÷.( 2     a + b9 ≤ 3 5 (a + b)(a + b )(a + b ) a + b9 ⇔ ≤ 3 5 ⇔ ( a + b)( a + b3 )(a + b5 ) ≤ 4( a + b9 ) (1) ( a + b)( a + b3 )( a5 + b5 ) ≤ 4( a + b9 ) Vậy : 1 + ≥ a + b + ab + 9-Cho a b ≥ Chứng minh: Giải b2 + + a + (1) ⇔ ≥ (a + 1)(b + 1) ab + (1) ⇔ (ab + 1)[(a + 1) + (b + 1)] = 2(a + 1)(b + 1) ⇔ (ab − 1)[(a + 1) + (b + 1)] + 2[( a + 1) + (b + 1)] ≥ 2(a + b + a 2b + 1) ⇔ (ab − 1)(a + b + 2) − 2(ab + 1) ≥ ⇔ (ab − 1)(a − b) ≥ Do: (ab − 1) ≥ 0, (1') ( a − b) ≥ , nên (1’) 1 + ≥ a + b2 + ab + Vậy : - 10-Cho a,b,c ≥1.Chứng minh: Giải 1 + + ≥ 2 1+ a 1+ b 1+ c + abc (1) danghoa949@gmail.com -6 2  + ≥ ≥ 2  + a + b + ab + abc  2   + ≥ ≥ 2  + b + c + bc + abc 2   + c + + a ≥ + ca ≥ + abc  Do :       2 + 2 + 2 ≥ ÷ ÷ ÷  1+ a   1+ b   + c  + abc Suy : ⇔ 1 1 + + ≥ 2 + a + b + c + abc (1) 1 + + ≥ 2 1+ a 1+ b 1+ c + abc Vậy : - 11-Cho a,b,c ≥1.Chứng minh: Giải 1 + + ≥ + a + b3 + c + abc (1)  + ≥ 3  1+ a 1+ b + a 3b3    + ≥  + c + abc + abc Do : Suy :   1         + + + +   ÷≥  ÷  ÷  ÷  2  + a   + b   + c   + abc  1 + a b + abc    1 2 + ≥ =   2 4 4 + abc 1 + a b + abc  + a b c Mặt khác ,do: Do tính chất bắc cầu , từ (*) (**), được: (**) (*) danghoa949@gmail.com -7         + + +  ÷≥ ÷  ÷  ÷   + a   + b   + c   + abc  + abc       ⇔ + + ≥ (1)  ÷  ÷  ÷  + a   + b   + c  + abc 1 + + ≥ + a + b3 + c + abc Vậy : 12-Cho a,b,c ≥ Chứng minh: Giải Viết lại : a+b+c a + b2 + c2 ≤ 3 (1) a + b2 + c2 a + b + c ≥ 3 a2 + b2 + c2  a + b + c  ⇔ ≥ ÷ 3   ⇔ 3(a + b + c ) ≥ (a + b + c) ⇔ 3(a + b + c ) − (a + b + c) ≥ ⇔ 3a + 3b + 3c − a − b − c − 2ab − 2bc − 2ca ≥ ⇔ 2a + 2b + 2c − 2ab − 2bc − 2ca ≥ ⇔ (a − b) + (b − c)2 + (c − a) ≥ Do : (a − b) ≥ 0, Vậy : (b − c ) ≥ 0, a+b+c a + b2 + c ≤ 3 (c − a ) ≥ - (1') , nên (1’) danghoa949@gmail.com -8 13-Với a,b,c > 0.Chứng minh : Giải Biến đổi tương đương: a b c + + ≥ b+c c+a a+b (1) a b c +1+ +1+ +1 ≥ + = b+c c+a a +b 2 a +b+c a+b+c a +b+c ⇔ + + ≥ b+c c+a a+b 1   ⇔ 2(a + b + c )  + + ≥9  a + b b + c c + a  (1) ⇔ Áp dụng BĐT Cauchy cho số không âm, được: (a + b) + (b + c) + (c + a ) ≥ (a + b)(b + c )(c + a ) 1 1 + + ≥3 a+b b+c c+a (a + b)(b + c)(c + a) (*) (**) Nhân vế tương ứng (*) (**), ta được: [ (a + b) + (b + c) + (c+ a)]  1  + + ≥9  a + b b + c c + a  1   ⇔ ( a + b + c)  + + ≥  a + b b + c c + a   a b c ⇔ + + +3≥ b+c c+a a+b a b c ⇔ + + ≥ −3 = b+c c+a a+b 2 Vậy : a b c + + ≥ b+c c+a a+b (1) - 14- Với a,b,c > 0.Chứng minh : Giải Biến đổi tương đương: a2 b2 c2 a +b+c + + ≥ b+c c +a a +b (1) danghoa949@gmail.com -9 a b c a+b+c +a +b+ +c ≥ + (a + b + c ) b+c c+a a+b a(a + b + c) b(a + b + c) c(a + b + c) 3(a + b + c ) ⇔ + + ≥ b+c c+a a+b b c   a ⇔ (a + b + c)  + + ≥ ( a + b + c)  b + c c + a a + b   (1) ⇔ 2 b c   a ⇔ + + ≥  b + c c + a a + b   Do (1’) nên : a2 b2 c2 a+b+c +a +b+ +c ≥ + (a + b + c) b+c c+a a+b a b c a +b +c + + ≥ b+c c+a a+b 2 Vậy : (1') 2 - 15-Cho a,b,c số dương, với a2 + b2 + c2 = a b c 3 + + ≥ 2 b +c c +a a +b 2 Chứng minh : Giải Do : (1) b + c = − a  a + b + c = ⇔ c + a = − b a + b = − c  Nên : a2 b2 c2 3 (1) ⇔ + + ≥ (a + b + c ) 2 a (1 − a ) b(1 − b ) c (1 − c ) a > 0, b > 0, c > a + b2 + c = < a, b, c < Mặt khác : nên x ∈ (0,1) Gọi Ta chứng minh : 3 ≥ ⇔ x(1 − x ) ≤ ⇔ x (1 − x ) ≤ x(1 − x ) 27 3 -đúng danghoa949@gmail.com -10 2 Áp dụng BĐT Cauchy cho số : 2x , (1- x ) , (1- x ) , được:  x2 + − x2 + − x2  2 2 x (1 − x )(1 − x ) ≤  ÷ = 27   ⇔ x (1 − x ) ≤ 27 Suy : Vậy : a2 b2 c2 3 3 2 + + ≥ ( a + b + c ) = a (1 − a ) b(1 − b ) c (1 − c ) 2 a b c 3 + + ≥ b2 + c2 c2 + a a + b2 16-Cho a, b,c > Chứng minh: Giải Do a, b,c > nên : a + b8 + c 1 ≥ + + a 3b3 c a b c (1) 1 (1) ⇔ a8 + b8 + c8 ≥ a 3b3c ( + + ) a b c 8 3 3 ⇔ a + b + c ≥ a c b + a b c + a 3b3c  a + b8 ≥ a 6b + a b  ⇔ b8 + c8 ≥ b c + b 2c c + a ≥ c a + c a (a − b )(a − b ) ≥  Do : Thực phép cộng vế tương ứng, được: 2(a + b8 + c8 ) ≥ a (b + c ) + b (c6 + a ) + c (b + a ) Áp dụng lần BĐT Cauchy cho số : a + b ≥ 2a 3b3  6 3 b + c ≥ 2b c c + a ≥ 2c3a  Thực phép cộng vế tương ứng áp dụng tính bắc cầu, lại được: danghoa949@gmail.com -11 2(a + b8 + c8 ) ≥ 2[a b3c3 + a 3b 2c + a 3b3c ] ⇔ a8 + b8 + c8 ≥ a 2b 3c + a 3b 2c + a 3b3c 1 1 = a 3b3c  + + ÷ a b c a + b8 + c  1  ⇔ ≥ + + ÷ (1) a 3b3c3 a b c a8 + b8 + c8 1 ≥ + + a 3b c a b c Vậy : 17-Chứng minh , với số thực a,b,c > : 1 + + ≥2 1+ a 1+ b 1+ c abc ≤ (*) (**) Giải Từ giả thiết cho ta: 1 + −1+ −1 ≥ 1+ a 1+ b 1+ c 1 b c ⇔ ≥ 1− +1− = + 1+ a 1+ b 1+ c 1+ b 1+ c Áp dụng BĐT Cauchy cho số b c bc + ≥2 1+ b 1+ c (1 + b)(1 + c ) (1) b c ; 1+ b 1+ c bc ≥2 1+ a (1 + b)(1 + c) Do từ (1) : , từ vận dụng tương đương: ac ≥2 1+ b (1 + a )(1 + c) danghoa949@gmail.com -12 ba ≥2 1+ c (1 + b)(1 + a) Nhân vế tương ứng, ta được: 1 abc ≥8 1+ a 1+ b 1+ c (1 + a )(1 + b)(1 + c ) abc ⇔ ≥8 (1 + a )(1 + b)(1 + c) (1 + a)(1 + b)(1 + c) ⇔ ≥ abc (**) Vậy : 1 + + ≥2 1+ a 1+ b 1+ c abc ≤ 18-Cho số dương a,b,c,d thỏa mãn: 1 1 + + + ≥3 1+ a 1+ b 1+ c 1+ d abcd ≤ (*) 81 (**) Giải Theo giả thiết , ta được: 1 1 + +1+ +1 + +1 ≥ 1+ a 1+ b 1+ c 1+ d 1 1 b c d ⇔ ≥ 1− +1− +1− = + + 1+ a 1+ b 1+ c 1+ d 1+ b 1+ c 1+ d b c d ; ; 1+ b 1+ c 1+ d Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương : 1 bcd + + ≥ 33 1+ b 1+ c 1+ d (1 + b)(1 + c)(1 + d ) , được: , bcd ≥ 33 1+ a (1 + b)(1 + c)(1 + d ) Suy ra: tương tự cho b,c,d (1) danghoa949@gmail.com -13 acd ≥ 33 1+ b (1 + a )(1 + c)(1 + d ) Nên abd ≥ 33 1+ c (1 + a )(1 + b)(1 + d ) abc ≥ 33 1+ d (1 + a )(1 + b)(1 + c ) Nhân vế tương ứng , lại được: 1 1 abcd ≥ 81 1+ a 1+ b 1+ c 1+ d (1 + a)(1 + b)(1 + c )(1 + d ) 81.abcd ≥ (1 + a )(1 + b)(1 + c)(1 + d ) (1 + a )(1 + b)(1 + c)(1 + d) ⇔ ≥ abcd (**) 81 ⇔ 1 1 + + + ≥3 1+ a 1+ b 1+ c 1+ d Vậy : abcd ≤ - 19-Cho số : a1,a2,b1,b2 thỏa mãn: a1b1 + a2b2 ≥ Chứng minh : Giải Theo giả thiết a1 ≤ a2 ≤ b1 ≤ b2 a1 ≤ a2 ≤ b1 ≤ b2 (a1 + a2 )(b1 + b2 ) ,nên : 81 (*) (1) danghoa949@gmail.com -14 (a2 − a1 )(b2 − b1 ) ≥ ⇔ a2b2 − a2b1 − a1b2 + a1b1 ≥ ⇔ a1b1 + a2b2 ≥ a1b2 + a2b1 ⇔ 2(a1b1 + a2b2 ) ≥ a1b2 + a2b1 + a1b1 + a2b2 ⇔ 2(a1b1 + a2b2 ) ≥ a1 (b1 + b2 ) + a2 (b1 + b2 ) = (b1 + b2 )(a1 + a2 ) ⇔ (a1b1 + a2b2 ) ≥ (b1 + b2 )(a1 + a2 ) a1b1 + a2b2 ≥ (a1 + a2 )(b1 + b2 ) (1) Vậy : 20-Cho a,b,c khác 0.Chứng minh : a2 b2 c a b c + + ≥ + + b2 c a b c a (1) Giải Áp dụng BĐT Svacsơ – Bunhiakopxki cho số : 2 b2 c2  a b c 2 a  + + ÷ ≤ (1 + + )  + + ÷ c a  b c a b  a b2 c   a b c  ⇔  + + ÷≥  + + ÷ c a  3 b c a  b (*) a b c a b c ( + + ) ≥ 33 = b c a b c a Do a b c a b c ⇔ ( + + )2 ≥  + + ÷ b c a b c a (**) a b c 1,1,1, , , b c a ta được: danghoa949@gmail.com -15 ( Từ (*) (**) ta được: 2 a b c a b c + + ) ≥ ( + + ) b2 c a b c a a b2 c a b c + + ≥ + + b2 c a b c a Vậy : -Chúc mừng quí thầy , cô em quan tâm tìm hiểu bổ sung nhiều